Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kĩ năng giải bài tập về căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trong ôn thi vào lớp 10

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài "Rèn kĩ năng giải bài tập về căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trong ôn thi vào lớp 10" nhằm đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn thức bậc hai để từ đó giúp học sinh rèn kĩ năng giải bài tập trong kiểm tra, thi cử, đặc biệt trong ôn và thi vào 10.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kĩ năng giải bài tập về căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trong ôn thi vào lớp 10

1 ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN BA VÌ TRƯỜNG THCS CỔ ĐÔ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP 9 ÔN THI VÀO LỚP 10 MÔN :TOÁN GIÁO VIÊN : PHÙNG THỊ KHÁNH TỔ : KHOA HỌC TỰ NHIÊN Năm học 2022 – 2023 A - ĐẶT VẤN ĐỀ
2 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Lí do khách quan Môn toán là một bộ môn khoa học tự nhiên. Nó đóng vai trò rất quan trọng trong thực tiễn cuộc sống, ứng dụng rất nhiều trong mọi lĩnh vực khác nhau như: kinh tế, tài chính, kế toán...là tiền đề cơ bản cho các bộ môn khoa học tự nhiên khác. Vì vậy việc giảng dạy môn Toán ở các trường THCS nói chung và môn Toán lớp 9 nói riêng là một vấn đề hết sức quan trọng. Nếu như trước đây hoạt động dạy học nặng về việc truyền thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho học sinh. Hướng dẫn học sinh tự tìm tòi chủ động lĩnh hội kiến thức. Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi phương pháp dạy – học , hình thức tổ chức, phương tiện, cách kiểm tra đánh giá… Đặc biệt là đối với môn toán, một môn khoa học tự nhiên thì yêu cầu này quan trọng hơn bao giờ hết. 2. Lí do thực tiễn Với mục đích nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán, đặc biệt là toán lớp 9 và chất lượng ôn thi vào lớp 10 thúc đẩy việc đổi mới phương pháp dạy và học nhằm đáp ứng yêu cầu hiện nay. Hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay là tích cực hóa hoạt động của HS, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tích cực, độc lập, sáng tạo,chủ động lĩnh hội kiến thức.Vì vậy người Giáo viên phải năng động, sáng tạo vận dụng hợp lý các phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế của lớp, của trường và điều chỉnh lại về phương pháp dạy học của bản thân mình hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói chung và môn Toán 9 nói riêng. 3. Lý do chủ quan Qua quá trình thực tế giảng dạy lớp 9 nhiều năm và ôn thi vào lớp 10 tôi đã phát hiện ra rằng còn nhiều học sinh kỹ năng giải toán căn thức bậc hai còn yếu rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích, kỹ năng tính toán và biến đổi yếu Khi dạy về căn thức bậc hai tôi thấy nếu chỉ dạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này. Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống. Như vậy kết quả bài làm của các em không cao, bên cạnh đó hầu
3 hết đề thi vào trường THPT đều có một bài đầu tiên về phần kiến thức này. Chính vì thế, tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT, các tài liệu tham khảo toán lớp 9, các đề thi vào lớp 10 của thành phố Hà Nội Trong 10 năm gần đây để tập hợp các bài tập về rút gọn tổng hợp . Sau đó đã tiến hành phân dạng và với từng dạng đều chỉ rõ phương pháp giải, từ đó các em có cơ hội làm tốt dạng bài 1 trong cấu trúc đề thi vào 10 Do vậy trong năm học 2022 – 2023 tôi tiếp tục chọn đề tài: “Rèn kĩ năng giải bài tập về căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trong ôn thi vào lớp 10” để nghiên cứu và thực hiện. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn thức bậc hai để từ đó giúp học sinh rèn kĩ năng giải bài tập trong kiểm tra ,thi cử, đặc biệt trong ôn và thi vào 10... Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp giáo viên toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn thức bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp các em phát triển khả năng tiềm tàng trong chính bản thân các em. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp 9 THCS : Bao gồm 3 lớp 9 với tổng số 99 học sinh Rèn kĩ năng giải toán toán về căn thức bậc hai trong ôn thi vào lớp 10. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng những phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp điều tra, đọc sách, nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực tế chuyên đề, trao đổi cùng đồng nghiệp - Phương pháp dạy học thực tiễn để rút ra kinh nghiệm - Một số phương pháp khác. V. PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH THỰC HIỆN Phạm vi : môn toán 9, học sinh khối 9 của trường: Năm học 2019 - 2020
4 2020-2021 2021-2022 2022-2023
5 B - NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong những năm gần đây, định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thống nhất theo tư tưởng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên , học sinh tự giác chủ động tìm tòi, phát hiện, giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức kỹ năng đã thu nhận được. Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hưởng đến cách dạy của thầy. Mặt khác, cũng có trường hợp học sinh mong muốn được học theo phương pháp dạy học tích cực nhưng giáo viên chưa đáp ứng được. Do vậy, giáo viên cần phải được bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo phương pháp dạy học tích cực, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh. Trong đổi mới phương pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả. Phương pháp dạy học tích cực hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 9 và ôn thi vào 10 và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy: Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán về thức căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học. Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài. Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu, mạch kiến thức bị vỡ. Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về thức bậc hai thì người thầy phải nắm được những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương pháp Rèn kĩ năng giải bài tập về căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trong ôn thi vào lớp 10. III. THỰC TRẠNG
6 1.Giới thiệu sơ lược về đặc điểm riêng của trường *Thuận lợi -Trường THCS chúng tôi có môi trường học tập học tốt, thiết bị dạy học đầy đủ tất cả các HS đều có sách giáo, sách tham khảo phục vụ học tập khá tốt. -Với đội ngũ tập thể giáo viên của trường nhiệt tình trong công việc, say chuyên môn .Vì vậy mà chất lượng và hiệu quả đào tạo của nhà trường đều đạt kết quả cao, đặc biệt là chất lượng thi vào lớp 10 môn toán *Khó khăn Trường nằm trên địa bàn xã có điều kiện kinh tế ít phát triển. Dân cư thu nhập thấp, sống chủ yếu bằng nghề nông. Một số khác, phụ huynh làm ngư nghiệp, đi làm ăn xa, ít quan tâm đến con, phó mặc cho nhà trường. Học sinh chưa có ý thức chủ động học tập, gây khó khăn đến công tác quản lý và giảng dạy. Do dịch bệnh Cô vít kéo dài phải học trực tuyến nên nhiều học sinh không có phương tiện học tập tốt bị hổng nhiều kiến thức cơ bản 2. Số liệu thống kê trước khi nghiên cứu Bài kiểm tra sau khi học xong chương 1 - Đại số 9, kết quả như sau: Tổng số Giỏi Khá TB Yếu học sinh Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lượng (%) lượng (%) lượng (%) lượng lệ (%) 99 44,5 12 12,1% 20 20,2% 23 23,2% 44 % Hai nguyên nhân chính dẫn đến kết quả trên là: Về phía giáo viên: Khi dạy về chương căn thức bậc hai giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập. Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong kiểm tra định kì và các đề thi vào lớp
7 10 . Do dịch bệnh Cô Vít kéo dài phải dạy trực tuyến nhiều nên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh học yếu gặp nhiều khó khăn Về phía học sinh: Trong những năm học trước sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bài toán về căn thức bậc hai , tôi nhận thấy rằng đa số các học sinh thường bỏ qua câu 1, ý 3 trong đề thi vào 10, hoặc câu rút gọn phần cuối của bài kiểm tra định kì Nguyên nhân: - Do dịch bệnh Cô Vít kéo dài học tập của học sinh bị gián đoạn , hổng nhiều kiến thức - Học sinh không nắm chắc các phép biến đổi căn thức bậc hai, không nhớ và hiểu sâu về giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, chứa căn ,tìm cực trị , tìm x để biểu thức nguyên… IV. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 1. Tổng hợp nội dung cơ bản về căn bậc hai 1.1. Kiến thức Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai. *Nội dung của phép khai phương gồm : - Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm) - Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương (với a≥0, có 2 a a ; với a bất kỳ có a2 | a |) - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b a b ”) - Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab a b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : a a b b ”) * Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau : A 2 = | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức) AB A B ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0) A A B B ( với A, B là hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0) A2 B | A | B ( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )
8 A 1 ( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 ) AB B B A A B ( với A, B là biểu thức và B > 0) B B C C ( A B ) (với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B2 ) A B A B2 C C( A  B ) (với A, B, C là biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B) A B A B *Để so sánh biểu thức rút gọn A với một số k, ta xét hiệu: A – k + Nếu A – k > 0 thì A > k + Nếu A – k < 0 thì A < k * Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b 1.2. Kĩ năng Hai kĩ năng chủ yếu là kĩ năng tính toán và kĩ năng biến đổi biểu thức, biểu thức chứa căn thức bậc hai. Có thể kể các kĩ năng về tính toán như sau: -Tìm khai phương của một số (Số đó có thể là số chính phương hoăc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc thương của số đó với 100) -Phối hợp kĩ năng khai phương với kĩ năng cộng trừ nhân chia các số (Sử dụng tính chất khai phương ) Có thể kể các kĩ năng về biến đổi như sau -Các kĩ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên (Công thức dạng A = B có thể biến đổi A thành B hoặc B thành A) Chẳng hạn kĩ năng nhân 2 căn thức bậc hai có thể coi là vận dụng công thức AB A B theo chiều từ phải qua trái -Phối hợp các kĩ năng để có kĩ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai: Chẳng hạn kĩ năng trục căn thức ở mẫu
9 Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kĩ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của biến đổi .Điều này sách giáo khoa chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kĩ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kĩ năng (So sánh các số tìm x thõa mãn điều kiện nào đó) Ngoài hai kĩ năng nêu ở trên ta còn thấy có những năng được hình thành và củng cố trong phần này như : -Giải toán so sánh số -Giải toán tìm x thỏa mãn điều kiện ,giải phương trình chứa căn thức , giải bất phương trình , tìm GTLN, GTNN 2. Những sai lầm thường gặp và cách khắc phục khi giải toán căn bậc hai: Khi giải toán căn thức bậc hai thì học sinh sẽ mắc sai lầm chủ yếu sau: 2.1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học: a) Định nghĩa về căn bậc hai: *Ở lớp 7 đưa ra nhận xét 3 2 = 9; (-3)2 = 9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9. - Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a. - Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a và một số âm ký hiệu là - a . * Ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học. b) Định nghĩa căn bậc hai số học Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có: Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a; Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x = a . Ta viết x 0 x= a x2 a Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương). ⋆ Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “căn bậc hai” và "căn bậc hai số học”. Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của 16. Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 và - 4. Ví dụ 2: Tính 16
10 Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau : 16 = 4 và −4 có nghĩa là 16 = 4 Như vậy học sinh đã tính ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là : 16 = 4 và 16 = −4 Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau. Cách khắc phục : GV viên hướng dẫn cho học sinh hiểu rõ khái niệm về căn bậc hai số học và căn bậc hai. Từ đó các em sẽ có định hướng đúng về căn bậc hai số học. Cụ thể: 16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16) Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích. c) So sánh các căn bậc hai số học Với hai số a và b không âm, ta có a < b a b Ví dụ 3: So sánh 4 và 15 Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15 ). Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa. Cách khắc phục: Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học! Ta có 16 > 15 nên 16 > 15 . Vậy 4 = 16 > 15 d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 =a; Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a . Ví dụ 4: Tìm số x, không âm biết : x = 15 Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau:
11 Nếu x = a thì x ≥ 0 và x 2 =a; vì phương trình x 2 = a có 2 nghiệm là x = a và x = - a học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau : Do x ≥ 0 nên x 2 = 152 hay x = 225 và x = - 225 Vậy tìm được hai nghiệm là x1 =225 và x2 = - 225 Cách khắc phục: cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 15 2. Vậy x =225. e) Sai trong thuật ngữ khai phương Ví dụ 5: Tính - 25 - Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - 25 là một căn bậc hai âm của số dương 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau : - 25 = 5 và - 5 Cách khắc phục : Cần nhấn mạnh cho học sinh về định nghĩa căn bậc hai của số a không âm thì - 25 = -5 g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A 2 = | A| ∙ Căn thức bậc hai : Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. A xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm. ∙ Hằng đẳng thức : A 2 = | A| Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương. Ví dụ 6: Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được. Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) : (-8)2 = 64 , nên khai phương số 64 lại bằng -8 Cách khắc phục: Mối liên hệ a 2 = | a| cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu” (-8)2 = 64 và 64 = 8. 2.2 Sai lầm trong các kỹ năng tính toán a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A=x+ x
12 1 1 1 1 * Lời giải sai : A = x + x = (x+ x + ) - = ( x + )2 ≥ - 4 4 2 4 1 Vậy min A = - . 4 * Phân tích sai lầm : 1 1 Sau khi chứng minh f(x) ≥ - , chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = - . 4 4 1 Xảy ra khi và chỉ khi x = - (vô lý). 2 * Cách khắc phục: Để tồn tại x thì x ≥0. Do đó A = x + x ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0 Ví dụ 2: Tìm x, biết : 4(1 x) 2 - 6 = 0 * Lời giải sai : 4(1 x) 2 - 6 = 0 2 (1 x) 2 6 2(1-x) = 6 1- x = 3 x = - 2. * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A 2 = | A|, có nghĩa là : A 2 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm ); A 2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ). Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm. * Cách khắc phục: 4(1 x) 2 - 6 = 0 2 (1 x) 2 6 | 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3 x = -2 2) 1- x = -3 x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4. Ví dụ 3: Tìm x sao cho B có giá trị là 16. B = 16 x 16 - 9 x 9 + 4 x 4 + x 1 với x ≥ -1 * Lời giải sai : B = 4 x 1 -3 x 1 + 2 x 1 + x 1 B=4 x 1 16 = 4 x 1 4= x 1 42 = ( x 1 )2 hay 16 = ( x 1) 2 16 = | x+ 1| Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15 2) 16 = -(x+1) x = - 17.
13 * Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x 1= 15 và x2=-17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! * Cách khắc phục: B = 4 x 1 -3 x 1 + 2 x 1 + x 1 B=4 x 1 16 = 4 x 1 4 = x 1 (do x ≥ -1) 16 = x + 1. Suy ra x = 15. b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai. Ví dụ 4: Tìm x, biết : (4 − 17).2 x < 3(4 − 17) . * Lời giải sai : (4 − 17).2 x < 3(4 − 17) 2x < 3 ( chia cả hai vế cho 4- 17 ) 3 x< . 2 * Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”. Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và 17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai. * Cách khắc phục: Vì 4 = 16 < 17 nên 4 - 17 < 0, do đó ta có 3 (4 − 17).2 x < 3(4 − 17) 2x > 3 x> . 2 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức : x2 3 x 3 x2 3 (x 3 )( x 3) * Lời giải sai : = = x - 3. x 3 x 3
14 * Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = - 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức 2 x 3 x 3 sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được. * Cách khắc phục: Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + 3 ≠ 0 hay x ≠ − 3 . Khi đó ta có x2 3 (x 3 )( x 3) = = x - 3 (với x ≠ − 3 ). x 3 x 3 Ví dụ 6 : Cho biểu thức x x 3 x Q= với x ≠ 1, x > 0 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q > -1. x x 3 x Giải : a) Q = 1 x 1 x x 1 x (1 x) x (1 x) 3 x Q= - (1 x )(1 x) 1 x x x x x 3 x Q= 1 x 1 x 2 x 3 x 2 x (3 x) Q= = 1 x 1 x 1 x 3 x 3 3 Q= = 1 x 1 x 3 Q=- 1 x b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có 3 - > -1 3 > 1+ x 2> x 4 > x hay x < 4. 1 x Vậy với x < 4 thì Q < -1. * Phân tích sai lầm : Học sinh đã bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai. * Cách khắc phục: Q > -1 nên ta có
15 3 3 - > -1 3 x >2 x > 4. 1 x 1 x Vậy với x > 4 thì Q > - 1. 3. Những phương pháp giải toán căn bậc hai 1.1 Xét thuật ngữ toán học Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc phục được nhược điểm này của học sinh (GV: Có thể áp dụng vào giảng dạy hằng ngày bằng cách nhắc nhở và đặt câu hỏi vấn đáp trả lời). 2.2 Xét biểu thức phụ có liên quan Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh a b < a b Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và ( a + b )2 Ta có : ( a + b )2 = a+ b + 2 ab Suy ra a + b < ( a + b )2 do đó ta khai căn hai vế ta được : a b < ( a b ) 2 vì a > 0, b > 0 nên ta được : a b < a b * Như vậy trong bài toán này muốn so sánh được a b với a b thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết được quan hệ thứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A : 1 A= 2 3 x2 Giải : Ta phải có |x| ≤ 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau : 1 B= 2- 3 x 2 A Ta có : 0 ≤ 3 x 2 ≤ 3 => - 3 ≤- 3 x 2 ≤ 0 => 2- 3 ≤ 2 - 3 x 2 ≤ 2 giá trị nhỏ nhất của B = 2- 3 3 = 3 x2 x=0 1 Khi đó giá trị lớn nhất của A = = 2+ 3 . 2 3 Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi 3 x2 = 0 x= 3 , khi đó 1 1 giá trị nhỏ nhất của A = = . B 2 Nhận xét: Trong ví dụ trên, để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ . A
16 3.3 Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học: hằng đẳng thức, quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phương một thương, quy tắc chia hai căn bậc hai, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu… Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhưng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dương hoặc bằng 0 hoặc bằng một giá trị nào đó… thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức sao cho khi hướng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu được bài toán đó . Ví dụ 1: Cho biểu thức : 2 a 1 a 1 a 1 P= . với a > 0 và a ≠ 1. 2 2 a a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị của a để P < 0 Giải: 2 a. a 1 ( a 1) 2 ( a 1) 2 a) P = . 2 a ( a 1)( a 1) 2 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 (a 1)( 4 a ) = . = 2 a a 1 (2 a ) 2 (1 a ).4 a 1 a = = . 4a a 1 a Vậy P = với a > 0 và a ≠ 1. a b) Do a > 0 và a ≠ 1 nên P < 0 khi và chỉ khi 1 a 1. a Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A : A = x 1+ y 2 biết x + y = 4 Giải : Ta có A2 = ( x-1) + (y - 2) + 2 ( x 1)( y 2) = = (x + y) - 3 + 2 ( x 1)( y 2) = 1+ 2 ( x 1)( y 2) Ta lại có 2 ( x 1)( y 2) ≤ (x -1) + (y- 2) = 1
17 Nên A2 ≤ 2 x 1 y 2 x 1,5  2 khi và chỉ khi Giá trị lớn nhất của A = x y 4 y 2,5 . 4. Một số bài tập rút gọn tổng hợp: a− a a+2 a Bài 1: Cho biểu thức: A= +1 : −1 a −1 a +2 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A b) Tìm a để A = 5 c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên e) Tìm a để A < 1 Bài giải: a 0 a 0 a) ĐKXĐ: a −1 0 a 1 Ta có: a− a a+2 a a ( a − 1) a ( a + 2) A= +1 : −1 = +1 : −1 a −1 a +2 a −1 a +2 = ( a + 1) : ( a − 1) Vậy A = a +1 a −1 a) Tìm a để A = 5 Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn và giải phương trình: a +1 A=5 =5 a + 1 = 5( a − 1) a +1 = 5 a − 5 4 a =6 a −1 3 9 a= a = (TM ) 2 4 Vậy với a = 9/5 thì A = 5. a = 3+ 2 2 b) Tính giá trị của A khi
18 Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép tính Ta có: a = 2 + 2 2 + 1 = ( 2) 2 + 2. 2.1 + 12 = ( 2 + 1) 2 Suy ra a = 2 + 1 = 2 + 1 . Do đó thay vào biểu thức A ta được: 2 +1+1 2 +2 A = = = 1+ 2 2 +1−1 2 d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên Phương pháp : Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số) chú ý điều kiện xác định. Ta có: a +1 2 A= + a −1 a −1 2 Để A nguyên thì nguyên, suy ra a − 1 ước của 2 là a −1 a − 1 = −1 a=0 a −1 = 1 a = 4 (TMĐK) a −1 = 2 a=9 a − 1 = −2 Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên. e) Tìm a để A < 1 Phương pháp : Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng M < 0 (hoặc M > 0) trong N N đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến. a +1 a +1 2
19 Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. Rút gọn A x 2 1 x 2 1 ( ): ( ): x 1 x x x 1 x 1 x ( x 1) x 1 ( x )2 + 2 x −1 (x + 2)( x −1) x + 2 A= . = = x ( x −1) 1 x ( x −1) x b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức. Ta có A = x + 2 = x + 2 2 2 (BĐT Côsi cho hai số dương) x x 2 A min = 2 2 x= x = 2 (TMĐK) x Vậy: A min = 2 2 x=2 Ví dụ 3: Cho biểu thức 1 1 1 A= + . 1+ x −1 x +1 x a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. A > A. b)Tìm giá trị của x để Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x . 1 1 1 1 x + 1+ x −1 x +1 A= + . 1+ = . = x −1 x +1 x ( x −1 )( x +1 ) x 2 x ( x +1 ) A= 2 ( x − 1) ( x + 1) x x −1 b) A > A 2 0 < A
20 2 +)0 < x −1 > 0 x > 1( 1) x −1 2 2 x −3 +) 0 >0 x −1 x −1 x −1 x −3> 0 A >A (vì x > 1) x > 9 . Vậy x > 9 thì . x −1 > 0 x 2 x −1 Ví dụ 4: Cho biểu thức A= − x −1 x − x a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A A >A b) Với giá trị nào của x thì Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 ( x) ( ) 2 2 x 2 x −1 − 2 x +1 x −1 x −1 A= − = = = x −1 ( x x −1 ) x ( x −1 ) x ( x −1 ) x b) A > A x −1 A