Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) cho học sinh Trung học cơ sở

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu nhằm rèn luyện kỹ năng giải loại toán này có ý nghĩa hết sức quan trọng đối với học sinh: Giúp các em củng cố và hệ thống hoá được nhiều kiến thức , vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo kiến thức của bậc học THCS để có cách giải thông minh và phù hợp. Bên cạnh đó nó giúp cho các em luôn luôn có những suy nghĩ khoa học, giúp các em đạt được hiệu quả cao nhất trong công việc và cuộc sống đời thường. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) cho học sinh Trung học cơ sở

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ BỘT XUYÊN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LĨNH VỰC: TOÁN HỌC TÁC GIẢ: NGUYỄN TRỌNG TUÂN CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN NĂM HỌC : 2012-2013 1
MỤC LỤC Nội dung Trang TT 1 Sơ yếu lý lịch 3 2 A. Phần mở đầu 4 3 5 4 5 5 6 4 1 (côsi) 6 5 2 (côsi) 7 6 2.1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi 7 7 2.2. Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình kết hợp chọn điểm rơi 16 8 2.3. Phương pháp đổi biến số 22 9 2.4. Các bất đẳng thức thường dùng được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy (Côsi) 26 10 3. Kết quả 38 11 39 12 41 2
CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc. ----------o0o---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ và tên : NGUYỄN TRỌNG TUÂN Ngày tháng năm sinh : 05/10/1976 Năm vào ngành : 10/09/1997 : Giáo viên : TrƣờngTHCS Bột Xuyên- Mỹ Đức-Hà Nội . Trình độ chuyên môn : Đại học. Bộ môn giảng dạy : Toán học. Khen thƣởng : Giáo viên dạy giỏi cấp thành phố Chiến sĩ thi đua cấp cơ sở. 3
A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài: Trong nhà trƣờng phổ thông môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng góp phần phát triển nhân cách, năng lực trí tuệ chung nhƣ phân tích, tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa, ….Rèn luyện những đức tính của ngƣời lao động trong thời kỳ mới nhƣ tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dƣỡng óc thẩm mỹ. Bên cạnh đó những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phƣơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trƣờng, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế vì vậy toán học là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hóa phổ thông. Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán phổ biến và quan trọng trong chƣơng trình toán phổ thông, rất thƣờng gặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào các trƣờng chuyên, lớp chọn. Để giải đƣợc loại toán này đòi hỏi học sinh phải biết cách vận dụng thành thạo nội dung kiến thức đã đƣợc học bên cạnh đó còn phải biết phân tích bài toán một cách hợp lý mới có thể tìm đƣợc lời giải cho bài toán. Tuy nhiên trong chƣơng trình toán THCS thời lƣợng dành cho nội dung này không nhiều do đó học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn khi gặp dạng bài này. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú. Xét về cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tƣ duy cho học sinh. duy k hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trƣờng , tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kĩ năng mới trong sử dụng Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ), vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán, trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của ngƣời giáo viên. Đó là lý do tôi chọn đề tài này. 2. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài Nghiên cứu về phƣơng pháp giải toán bất đẳng thức, cực trị thông qua “rèn luyện kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)” đặc biệt là các phƣơng pháp chứng minh và bài tập vận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo trong việc học toán cũng nhƣ trong cuộc sống. Thời gian thực hiện 1 năm ( Năm học 2012-2013) 4
3. Mục đích nghiên cứu: Có nhiều phƣơng pháp đƣợc áp dung trong chứng minh bất đẳng thức : nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, làm trội, làm giảm, quy nạp…. Trong đó việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản nhƣ bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev,…có vị trí đặc biệt quan trọng. Rèn luyện kỹ năng giải loại toán này có ý nghĩa hết sức quan trọng đối với học sinh: Giúp các em củng cố và hệ thống hoá đƣợc nhiều kiến thức , vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo kiến thức của bậc học THCS để có cách giải thông minh và phù hợp. Bên cạnh đó nó giúp cho các em luôn luôn có những suy nghĩ khoa học, giúp các em đạt đƣợc hiệu quả cao nhất trong công việc và cuộc sống đời thƣờng. 4. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu các phƣơng pháp « Rèn luyện kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) » là một phần quan trọng trong chứng minh bất đẳng thức và giải các bài toán cực trị trong chƣơng Toán THCS. 5. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Học sinh lớp 9 trƣờng THCS Bột Xuyên, đội tuyển học sinh giỏi môn Toán dự thi cấp thành phố huyện Mỹ Đức. 6. Phương pháp nghiên cứu : . B. PHẦN NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận Xu thế đổi mới mạnh mẽ của nền Giáo dục nói chung và Giáo dục THCS nói riêng là lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên là ngƣời hƣớng dẫn, tổ chức các hoạt động nhằm phát huy những năng lực chung cho học sinh, đáp ứng với việc bƣớc đầu hình thành những con ngƣời mới cho xã hội hiện đại và không ngừng phát triển. Học toán và giải toán có vị trí rất quan trọng trong chƣơng trình cấp THCS, do đó học sinh cần phải học và có đƣợc phƣơng pháp học tập, phƣơng pháp giải toán độc đáo. Muốn vậy học sinh cần phải đƣợc phát triển kỹ năng vận dụng phƣơng pháp giải toán một cách tốt nhất, nhanh nhất, hay nhất tạo thói quen thành thạo và phát triển khả năng tƣ duy, trí thông minh cho học sinh. Chính vì vậy, ở cấp THCS, việc phát triển trí thông minh cho các em thông qua môn Toán là hết sức cần thiết. 5
. 2. 2.1 Qua khảo sát cho thấy phần lớn học sinh còn lúng túng khi đứng trƣớc bài toá , các em chƣa biết cách phân tích bài toán để áp dụng phƣơng pháp một cách hợp lý. Một số em khá, giỏi cũng chỉ dừng lại ở mức giải quyết đƣợc những bài tập đơn giản mà đƣờng lối giải đã có sẵn. 2.2 . 2.3 Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9C 32 5 9 11 7 . ) (CÔSI) Cho n số không âm: a 1 ; a 2 ; a 3 ; .... a n ta có a1 a2 a3 ...... an * n a 1 a 2 a 3 . . . .a n (n N ) n Đẳng thức xảy ra khi a 1 a 2 a3 .... an * Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số ) n = 2: x, y 0 khi đó : n = 3: x, y, z 0 khi đó : x y x y z 2.1 xy 3 xyz 2 3 2.1 x y 2 xy x y z 3 3 xyz Đẳng thức xảy ra khi x = y. Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. 6
Hệ quả 1: Nếu hai số dƣơng thay đổi có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Chứng minh: Giả sử hai số dƣơng x và y có tổng x + y = S không đổi. Khi 2 S x y S đó, xy nên xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. 2 2 4 2 S Do đó, tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng khi và chỉ khi x = y. 4 Hệ quả 2: Nếu hai số dƣơng thay đổi có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. Chứng minh: Giả sử hai số dƣơng x và y có tích x.y = P không đổi. Khi đó, x y xy P nên x y 2 P . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. 2 Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 P khi và chỉ khi x = y. : Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhỏ nhất. 2. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ”.Đánh giá từ tổng sang tích. 1 Bài 1: Cho x > 0 chứng minh rằng: x 2 x Giải 1 1 Do x 0 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có x 2 x. 2 x x 1 Đẳng thức xảy ra khi x x 1 thỏa mãn đk x > 0 x Lời bình Đây là bài toán đơn giản chỉ cần áp dụng trực tiếp bđt côsi là ta có lời giải của bài toán. Tuy nhiên ta ít gặp những bài toán có nội dung đơn giản như vậy 1 10 Bài 2: Chứng minh rằng: x 2 3 2 x 3 3 7
Giải Ta có 2 2 1 x 3 1 8 2 x 3 2 2 x 3 x 3 9 x 3 9 2 x 3 1 8 2 8 10 2 . 2 .3 9 x 3 9 3 3 3 2 x 3 1 Đẳng thức xảy ra khi 9 x 2 3 x 2 0 x 0 2 x 3 3 Lời bình 2 x 3 8 Lời giải trên có vẻ thiếu tự nhiên, tại sao lại tách x 2 3 (x 2 3) ? 9 9 Điều đó dựa trên phân tích sau: +) Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi x = 0 +) Khi sử dụng bđt côsi thì đẳng thức xảy ra khi hai số bằng nhau do đó ta 2 x 3 1 có: k x 2 3 k 9 x 0 Bài 3: Chứng minh rằng: a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 8a b c 2 2 2 a,b,c Giải Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 2 x y 2 2 = 2|xy| ta có: 2 2 a b 2 ab 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c 2 bc 0 a b b c c a 8|a b c | 8a b c a,b,c 2 2 c a 2 ca 0 Sai lầm thường gặp Sử dụng bđt x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 0 x2 + y2 2xy. Do đó: 2 2 a b 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c 2bc a b b c c a 8a b c a,b,c 2 2 c a 2ca Cách giải trên sai ví dụ 2 2 3 5 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 4 3 8
Lời bình +) Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không không âm. +) Cần chú ý rằng: x2 + y2 2 x y = 2|xy| vì x, y không biết âm hay 2 2 dương. +) Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Côsi. +) Trong bài toán trên dấu “ ” đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số. Bài 4: Cho hai số dƣơng x, y thỏa mãn x y 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 9 P 3x 4y x y Giải Biến đổi rồi áp dụng giả thiết và bđt côsi ta có 5 9 7 5x 5 9y 9 P 3x 4y x y x y 4 4 x 4 y 7 5x 5 9y 9 .4 2 . 2 . 21 4 4 x 4 y Dấu “=” xảy ra khi x y 4 5x 5 x y 2 4 x 9y 9 4 x Vậy MinP = 21 khi x = y = 2 Lời bình 7 Một câu hỏi đặt ra là làm sao nghĩ ra được thành phần x y ? Liệu có 4 thành phần nào khác hơn không ?....và diều đó được giải quyết như sau Với 0 < m < 3 ta có 5 9 P m x y 3 m x 4 m y x y 5 9 4m 2 3 m .x. 2 4 m .y. x y 4m 2 3 m 5 2 4 m 9 9
x y 4 5 3 m x x 2 x Đẳng thức xảy ra khi y 2 9 4 m y 7 y m 4 x 0; y 0 Đây chính là điểm mấu chốt của bài toán 47 Bài 5: Cho ba số thực dƣơng x, y, z thỏa mãn x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất 12 của biểu thức A 3 x 4 y 5 z 2 2 2 Giải : Áp dụng bđt côsi cho hai số dƣơng ta có 2 25 2 25 3x 2 3x . 10 x (1) 3 3 2 25 2 25 4y 2 4y . 10 y (2) 4 4 2 2 5z 5 2 5 z .5 10 z (3) Cộng theo từng vế các bđt A 25 25 5 10(x y z) 10. 47 A 235 470 (1), (2), (3) ta đƣợc 3 4 12 12 12 235 A 12 Dấu “=” xảy ra khi 2 25 3x 5 3 x 3 2 25 4y 5 4 y 2 4 5z 5 z 1 47 x y z 12 235 5 5 Vậy M in A khi x ; y ; z 1 12 3 4 Lời bình Rõ ràng các bđt đưa ra có vẻ thiếu tự nhiên, làm sao có được lời giải như vậy ? Tuy nhiên bằng suy luậnsau đây thì chúng ta hoàn toàn thấy được điều đó Không mất tính tổng quát, giả sử tồn tại các số m, n, p thỏa mãn m > n > p > 0 Áp dụng bđt côsi cho hai số dương ta có 2 2 2 3x m 2 3 m .x ; 4y n 2 4n .y; 5z p 2 5 p .z Do đó A m n p 2 3 m . x 2 4 n . y 2 5 p .z Ta cần xác định m, n, p sao cho 10
25 m 3 3m 4n 5p 25 n m n p 47 4 3 4 12 12 p 5 Đây chính là mấu chốt giải bài toán. Bài 6: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) 9ab a, b 0. Giải Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) 3 3 1 .a .b . 3 . a .b .a b 3 9ab . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 Lời bình 9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ khử được căn thức cho các biến đó. Bài 7: Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 9ab2 a, b 0 Giải C ôsi Ta có: 3a3 + 7b3 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 3 3 3 a b 3 3 6 = 9ab2 Lời bình 9ab2 = 9.a.b.b gợi ý đến việc tách hạng tử 7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b2. Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn. 2 a 2 Bài 8 : CMR: 2 2 a R a 1 Giải Ta có : 2 a 2 2 a 1 1 1 C ôsi 1 2 2 a 1 2 a 1 2 2 2 2 2 a 1 a 1 a 1 a 1 1 Dấu “ = ” xảy ra a 2 1 2 a 2 1 1 a 0 a 1 1 Bài 9: CMR: a 3 a b 0 b a b Giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ đƣợc phân tích nhƣ sau : 11
1 1 C ôsi 1 a b a b 3 3 b. a b . 3 a b 0 b a b b a b b a b 1 Dấu “ = ” xảy ra b a b a = 2 và b = 1. b a b 4 Bài 10: CMR: a 2 3 a b 0 (1) a b b 1 Giải Ta có 4 b 1 b 1 4 VT + 1 = a 1 2 a b a b b 1 2 2 a b b 1 b 1 C ô si b 1 b 1 4 4 .4 a b . . . 4 đpcm. 2 2 a b b 1 b 1 Lời bình Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho các thừa số dưới mẫu . Tuy nhiên dưới mẫu có dạng a b b 1 (thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b, thừa số 2 thứ hai là một tam thức bậc hai của b) do đó ta có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu. Vậy ta có : a b b 1 = (a - b)( b + 1)( b + 1) ta phân tích a theo hai 2 cách sau: b 1 b 1 2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoặc a +1 = a b 2 2 1 3 a 2a 1 2 Bài 11: CMR : 3 4b (a b) a 1 b Giải Nhận xét : Dƣới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điều mong muốn vì việc xử lí với một biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng là một mặt mạnh của BĐT Côsi. Do đó: 2 b a b a 2 Ta có đánh giá về mẫu số nhƣ sau: 4 .b a b 4. 4. a 2 2 4 12
3 3 3 3 C ôsi 2a 1 C ôsi 2a 1 a a 1 1 1 Vậy: 2 2 a a 2 3 3 a .a . 3 4b (a b) a a a a b a b a 1 Dấu “ = ” xảy ra 1 1 a 2 b a 2 Lời bình +) Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kĩ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b. +) Đối với phân thức thì việc đánh giá mẫu số, hoặc tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phu thuộc vào dấu của BĐT. *) Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “ = ” quy tắc đối xứng sẽ đƣợc sử dụng để tìm điểm rơi của biến. 1 Bài 12. Cho a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S a a Giải 1 1 Sai lầm thường gặp của học sinh: S a 2 a =2 a a 1 Dấu “ = ” xảy ra a a=1 vô lí vì giả thiết là a 2. a Cách làm đúng 1 Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử để sao cho khi áp dụng a BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau: 1 a; 1 (1) Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1): a ( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm) 1 a; (2 ) 1 a 1 1 a, a 2 1 a 1 a = 4. a; (3) 2 a a 2 a; (4 ) a a 1 3a a 1 3a 3 .2 5 Vậy ta có : S 2 1 . 4 a 4 4 a 4 4 2 Dấu “ = ” xảy ra a = 2. Lời bình Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 để tìm ra = 4. 13
Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng bất đẳng a 1 3a thức Côsi cho 2 số , và đạt giá trị lớn nhất khi a = 2, tức là chúng có 4 a 4 điểm rơi a = 2. 1 Bài 13: Cho a 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S a a2 Giải a 1 2 1 Sơ đồ chọn điểm rơi: a 2 = 8. 4 a 2 Sai lầm thường gặp 1 a 1 7a a 1 7a 2 7a 2 7 .2 2 7 9 S a 2 2 2 . 2 MinS a 8 a 8 8 a 8 8a 8 8 .2 8 4 4 4 9 = 4 Nguyên nhân sai lầm: 9 Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và MinS = là đáp số đúng nhƣng cách giải trên 4 2 2 2 đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a 2 thì đánh 8a 8 .2 4 giá sai. Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kĩ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số. Lời giải đúng: 1 a a 1 6a C ôsi a a 1 6a 3 6a 3 6 .2 9 S a 2 2 33 . . 2 ( Do a 2 ) a 8 8 a 8 8 8 a 8 4 8 4 8 4 9 Vậy Min S = khi a = 2 4 bc ca ab Bài 14: Chứng minh rằng : a b c a,b,c 0 a b c Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: 1 bc ca bc ca . c 2 a b a b 1 ca ab ca ab bc ca ab . a a b c . 2 b c b c a b c 1 bc ab bc ab . c 2 a c a c 14
Dấu “ = ” xảy ra a = b = c. 2 2 2 a b c b c a Bài 15: Chứng minh rằng: 2 2 2 , abc 0 b c a a b c Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: 1 a2 b2 a2 b2 a a 2 . 2 2 2 2 b c b c c c 1 b2 c2 b2 c2 b b 2 2 2 . 2 2 c a c a a a 1 a2 c2 a2 c2 c c 2 . 2 2 2 2 b a b a b b a2 b2 c2 b c a b c a 2 2 2 b c a a b c a b c Bài tập vận dụng 18 1. Cho a 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S a 2 a 1 1 2. Cho 0 < a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S 2a 2 2 a a,b 0 1 3. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S ab a b 1 ab a,b,c 0 1 4. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S abc a b c 1 abc a b ab 5. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S ab a b a,b,c 0 6. Cho 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c 2 1 1 1 S a b c a b c a,b,c 0 7. Cho 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c 2 2 2 2 1 1 1 S a b c a b c 8. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2a 2b 2c 2d 9. S 1 1 1 1 3b 3c 3d 3a 15
10.Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x y 6 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 8 P 3x 2y x y a,b,c 0 1 1 1 2 2 2 11. Cho Chứng minh rằng : S 2 2 2 81 a b c 1 a b c ab bc ca 2 2 2 a,b,c 0 a b c 1 1 1 12. Cho Chứng minh rằng : S 28 a b c 1 b c a a b c 2.2. Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng kết hợp chọn điểm rơi Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu a b , đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ TBN sang TBC là thay dấu a.b bằng dấu a + b . Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số. Bài 1: CMR ab cd a c b d a,b,c,d 0 (*) Giải ab cd (*) 1 Theo BĐT Côsi ta có: a c b d a c b d 1 a b 1 c d 1 a c b d 1 VT 1 1 1 (đpcm) 2 a c b d 2 a c b d 2 a c b c 2 Lời bình +) Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số ta có phép biến đổi tương đương (1) sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số. +) Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng BĐT Côsi thì ta phải đánh giá từ TBN sang TBC . a c 0 Bài 2: CMR c a c c b c ab (*) b c 0 Giải c a c c b c Ta có (*) tƣơng đƣơng với: 1 ab ab Theo BĐT Côsi ta có: c a c c b c 1 c a c 1 c b c 1 a b 1 (đpcm) ab ab 2 b a 2 a b 2 a b Bài 3: CMR 1 3 abc 3 1 a 1 b 1 c a,b,c 0 (*) 16
Giải Ta có biến đổi sau, (*) tƣơng đƣơng: 3 3 1 .1 .1 abc 3 1 a 1 b 1 c 1 .1 .1 abc 3 3 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Theo BĐT Côsi ta có: 1 1 1 1 1 a b c 1 a 1 b 1 c 1 1 VT .3 1 3 1 a 1 b 1 c 3 1 a 1 b 1 c 3 1 a 1 b 1 c 3 Dấu “ = ” xảy ra a = b = c > 0. Ta có bài toán tổng quát 1: CMR: n a 1 a 2 ....... a n n b1 b 2 .......b n n a1 b1 a2 b 2 ........ a n bn a i , bi 0 i 1, n a,b,c 0 8 Bài 4: Cho Chứng minh rằng : abc a b b c c a a b c 1 729 Giải Sơ đồ điểm rơi : Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu “ = ” của BĐT 1 xảy ra khi a b c . Nhƣng thực tế ta chỉ cần quan tâm là sau khi sử dụng 3 BĐT Côsi ta cần suy ra đƣợc điều kiện xảy ra dấu “ = ” là a = b = c .Do đó ta có lời giải sau : 3 3 3 3 C ôsi a b c a b b c c a 1 2 8 abc a b b c c a 3 3 3 3 729 1 Đẳng thức xảy ra khi a b c 3 *) Trong một số trường hợp phải nhân thêm hằng số trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Trong kĩ thuật đánh giá TBN sang TBC ta thấy thường nhân thêm các hằng số để sao cho sau khi biến tích thành tổng các tổng đó triệt tiêu các biến. Đặt biệt là đối với những bài toán có thêm điều kiện ràng buộc của ẩn số thì việc nhân thêm hằng số các em học sinh dễ mắc sai lầm. Bài 5: Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab a,b 1 Giải 17
Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp dụng phƣơng pháp đánh giá từ TBN sang TBC nhƣ phần trƣớc đã trình bày, tuy nhiên ở đây ta áp dụng một phƣơng pháp mới : phƣơng pháp nhân thêm hằng số. C ô si b 1 1 ab a b 1 a b 1 .1 a 2 2 Ta có : C ôsi a 1 1 ab b a 1 b a 1 .1 b. 2 2 ab ab a b 1 b a 1 + ab 2 2 b 1 1 b 2 Dấu “ = ” xảy ra a 1 1 a 2 Lời bình +) Ta nhận thấy việc nhân thêm hằng số 1 vào biểu thức không hoàn toàn tự nhiên, tai sao lại nhân thêm 1 mà không phải là 2. Thực chất của vấn đề là chúng ta chọn điểm rơi của BĐT là a = b =2. +) Nếu không nhận thức được rõ vấn đề trên thì học sinh sẽ dễ mắc sai như trong VD sau. a,b,c 0 Bài 6: Cho Tìm giá trị lớn nhất: S a b b c c a a b c 1 Giải Sai lầm thường gặp: C ôsi a b 1 a b a b .1 2 C ôsi b c 1 b c b c .1 2 C ôsi c a 1 c a c a .1 2 2 a b c 3 5 a b b c c a 2 2 Nguyên nhân sai lầm Dấu “ = ” xảy ra a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c = 2 trái với giả thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là nhƣ nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ 1 2 là a b c từ đó ta dự đoán Max S = 6 . a+b=b+c=c+a= 3 3 2 hằng số cần nhân thêm là . Vậy lời giải đúng là: 3 18
2 C ôsi a b 3 2 3 3 a b . a b . . 2 3 2 2 2 C ôsi b c 3 2 3 3 b c . b c . . 2 3 2 2 2 C ôsi c a 3 2 3 3 c a . c a . . 2 3 2 2 2 2 a b c 3. 3 3 3 a b b c c a . .2 6 2 2 2 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a b b c c a a b c 3 3 1 Vậy M axS 6 khi a b c 3 Lời bình Bài toán trên nếu cho đầu bài theo yêu cầu sau thì học sinh có định hướng tốt a,b,c 0 hơn: Cho Chứng minh rằng: S a b b c c a 6 . a b c 1 Tuy nhiên nếu nắm được kỹ thuật điểm rơi thì việc viết đầu bài theo hướng nào cũng có thể giải quyết được. a,b,c 0 Bài 7: Cho Tìm Max S 3 a b 3 b c 3 c a a b c 1 Giải Sai lầm thường gặp a b 1 1 3 3 a b a b .1 .1 3 b c 1 1 3 3 b c b c .1 .1 3 3 c a 1 1 c a 3 c a .1 .1 3 2 a b c 6 8 8 S 3 a b 3 b c 3 c a Max S = 3 3 3 Nguyên nhân sai lầm a b 1 8 Max S = b c 1 2 a b c 3 2 3 V ô lí 3 c a 1 19
Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S thƣờng xảy ra khi: 2 a b 3 a,b,c 0 1 2 a b c b c Vậy hằng số cần nhân thêm là: a b c 1 3 3 2 c a 3 2 2 . 3 3 Ta có lời giải 2 2 a b 3 9 2 2 9 3 3 a b 3 .3 a b . . 3 4 3 3 4 3 2 2 b c 3 9 2 2 9 3 3 b c 3 .3 b c . . 3 4 3 3 4 3 2 2 c a 3 9 2 2 9 3 3 c a 3 .3 c a . . 3 4 3 3 4 3 3 3 3 9 2 a b c 4 9 6 3 S a b b c c a 3 . 3 . 18 4 3 4 3 2 a b 3 2 1 Dấu “ = ” xảy ra b c a b c . 3 3 2 c a 3 1 Vậy Max S = 3 18 . Khi a b c 3 Bài 8: Cho a, b, c lần lƣợt là số đo 3 cạnh của tam giác ABC,. Chứng minh rằng :. b c a c a b a b c abc Giải Áp dụng BĐT Côsi ta có: 20