Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Ứng dụng Định lý Vi-et trong giải toán

Chia sẻ: Khánh Thành | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là tập trung trang bị đầy đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Vi-et. Đối với mỗi dạng toán đưa ra phương pháp giải cụ thể và tập trung phân tích kĩ các ví dụ và bài tập áp dụng. Trong đề tài này sẽ đưa ra đầy đủ các dạng toán từ dễ đến khó, các bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi. Khi gặp dạng toán học sinh dễ nắm bắt và vận dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Ứng dụng Định lý Vi-et trong giải toán

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VIET TRONG GIẢI TOÁN 1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài: Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên nghiên cứu, có tính thực tế cao, ảnh hưởng lớn đến đời sống con người. Các công trình nghiên cứu khoa học đều cho rằng: Tất cả các môn khoa học khác đều liên quan mật thiết với Toán học. Vận dụng kiến thức Toán học để giải thích các hiện tượng trong tự nhiên và vận dụng vào thực tế cuộc sống Muốn vậy việc giảng dạy Toán học phải hướng tới một mục đích lớn hơn, thông qua việc dạy học Toán mà học sinh phát triển trí tuệ, hình thành phẩm chất tư duy cần thiết. §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ mét yªu cÇu tÊt yÕu, ®¶m b¶o cho sù ph¸t triÓn cña gi¸o dôc. Ngµy nay nÒn kinh tÕ trÝ thøc cïng víi sù bïng næ th«ng tin, gi¸o dôc ®· vµ ®ang thay ®æi ®Ó phï hîp víi sù ph¸t triÓn cña khoa häc kü thuËt, sù ph¸t triÓn cña x· héi. Néi dung tri thøc khoa häc cïng víi sù ®å sé vÒ lîng th«ng tin yªu cÇu chóng ta ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc. Môc tiªu gi¸o dôc thay ®æi kÐo theo yªu cÇu ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc mét c¸ch phï hîp. Để gióp cho gi¸o viªn th¸o gì nh÷ng khã kh¨n trong qu¸ tr×nh ®æi míi ph- ¬ng ph¸p d¹y häc, ®· cã nhiÒu gi¸o s tiÕn sü, c¸c nhµ khoa häc chuyªn t©m nghiªn cøu, thÝ ®iÓm vµ triÓn khai ®¹i trµ vÒ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc. Mét trong nh÷ng yªu cÇu ®Æt ra cña c¶i c¸ch lµ ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc theo híng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, díi sù tæ chøc h- íng dÉn cña gi¸o viªn. Häc sinh tù gi¸c, chñ ®éng t×m tßi, ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt nhiÖm vô nhËn thøc vµ cã ý thøc vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo bµi tËp vµ thùc tiÔn, trong ®ã cã ®æi míi d¹y häc m«n To¸n. Trong trêng phæ th«ng, d¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng To¸n häc. §èi víi häc sinh cã thÓ xem viÖc gi¶i To¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. Qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ qu¸ tr×nh rÌn luyÖn ph¬ng ph¸p suy nghÜ, ph¬ng ph¸p t×m tßi vµ vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tÕ. Th«ng qua viÖc gi¶i to¸n thùc chÊt lµ h×nh thøc ®Ó cñng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc rÌn luyÖn ®îc nh÷ng kÜ n¨ng c¬ b¶n trong m«n to¸n. Tõ ®ã rót ra 1
®îc nhiÒu ph¬ng ph¸p d¹y häc hay, nh÷ng tiÕt lªn líp cã hiÖu qu¶ nh»m ph¸t huy høng thó häc tËp cña häc sinh, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc toµn diÖn. Phương trình bậc hai và Định lý Viet học sinh được học trong chương trình Đại số 9 và đặc biệt biệt Định lí Viet có ứng dụng rất phong phú trong việc giải các bài toán bậc hai như: nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai….Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số ứng dụng cơ bản với thời lượng chưa nhiều. Với các bài tập có liên quan đến Định lí Viet và phương trình bậc hai phần lớn học sinh vận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố đã biết để giải bài tập. Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập về phương trình bậc hai trong SGK thường chưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá tri thức mới của mình. Hiện nay, trong kì thi vào lớp 10 THPT các bài toán có ứng dụng Định lí Viet khá phổ biến. Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 9 tôi nhận thấy nhu cầu học tập của học sinh, muốn được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số trường, lớp chất lượng cao là rất cần thiết. Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng Định lý Viet trong giải Toán”. * Đề tài “Ứng dụng Định lý Viet trong giải toán” đã có nhiều người nghiên cứu – là những giáo viên giảng dạy lớp 9 tại các trường THCS. Các thầy cô giáo tập trung vào việc nghiên cứu các dạng bài tập, các dạng toán cơ bản liên quan đến Định lý Viet, các dạng bài tập tổng hợp có liên quan đến Định lý Viet. Điểm mới trong đề tài này, tôi tập trung trang bị đầy đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Viet. Đối với mỗi dạng toán đưa ra phương pháp giải cụ thể và tập trung phân tích kĩ các ví dụ và bài tập áp dụng. Trong đề tài này tôi đưa ra đầy đủ các dạng toán từ dễ đến khó, các 2
bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi. Khi gặp dạng toán học sinh dễ nắm bắt và vận dụng. 1.2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: Đề tài thực hiện tại trường đang giảng dạy Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lí Viet trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS. 2. PHẦN NỘI DUNG 2.1. Thực trạng việc dạy và học Toán: a) Đối với giáo viên: Giáo viên đạt trình độ chuyên môn, có tinh thần trách nhiệm cao trong giảng dạy. Luôn có ý thức học tập, bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, năng lực sư phạm Luôn được ban giám hiệu Nhà trường, Tổ chuyên môn quan tâm chỉ bảo trong công tác. Được đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ trong giảng dạy b) Đối với học sinh: Học sinh đa phần chăm ngoan, có ý thức trong học tập, có tinh thần học hỏi, xây dựng bài, lĩnh hội kiến thức tốt. Phần lớn học sinh là con em gia đình làm nghề nông nên nhận thức về việc học tập còn hạn chế. Đồng thời, thời gian dành cho việc học tập của các em chưa nhiều. Khả năng nhận thức Toán học của một số học sinh còn chậm. Nội dung Ứng dụng Định lí Viét để giải bài toán bậc hai rất đa dạng và tương đối khó với học sinh. Khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của một số học sinh còn chậm. Mặt khác, nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan như: phương trình, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, biến đổi biểu thức đại số…Trong khi đó, rất nhiều học sinh không nắm vững kiến thức đã học nên việc vận dụng vào các dạng bài tập là rất khó khăn. c) Số liệu khảo sát trước khi áp dụng đề tài: 3
Trước khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Định lý Viét và ứng dụng của Định lý Viét trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như sau: 0
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có c nghiệm: x1 = 1; x2 = a Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: c x1 = 1; x2 = a c) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng u v S Nếu có hai số u và v thoã mãn: thì u và v là hai nghiệm của phương trình: u.v P x2 – Sx + P = 0. (Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P 0) Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh các bài toán có chứa tham số và phân loại các dạng bài tập nhất là các bài toán có thể đưa về bài toán bậc hai quen thuộc đối với học sinh. Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm. Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hướng dẫn và phân loại cho các em một số dạng bài tập có ứng dụng Định lí Viet. 2.2.2. Trang bị đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Viet cho các đối tượng học sinh. I. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1 Phương pháp: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c Ví dụ. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 3x 2 8 x 11 0 b) 2 x 2 5 x 3 0 Giải: a) Ta có: a b c 3 8 ( 11) 0 nên phương trình có một nghiệm là x1 1 , c 11 nghiệm còn lại là x 2 a 3 5
b) Ta có: a b c 2 5 3 0 nên phương trình có một nghiệm là x1 1 , c 3 nghiệm còn lại là x 2 a 2 Bài tập. Tìm nghiệm của phương trình: a) 5 x 2 14 x 9 0 b) 2 x 2 (m 5) x m 3 0 2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình: Phương pháp: Thay giá trị 1 nghiệm vào phương trình để tìm hệ số Áp dụng định lí Viet viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc tích hai nghiệm) để tính nghiệm còn lại Ví dụ 1: a) Phương trình x 2 2 px 5 0 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình b) Phương trình x 2 5 x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình Giải a) Thay x1 2 vào phương trình ta được 4 4 p 5 0 9 9 4p 0 p 4 9 Phương trình đã cho trở thành x 2 x 5 0 2 5 5 9 9 9 5 Theo Viet: x1 x 2 5 x2 x1 2 ( hoặc x1 x2 x2 x1 2 ) 2 2 2 2 b) Thay x1 5 vào phương trình ta được 5 2 5.5 q 0 q 50 Phương trình đã cho trở thành x 2 5 x 50 0 50 Theo Viet x1 x 2 50 x2 x1 10 Ví dụ 2: 6
a) Phương trình x 2 7 x q 0 biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình b) Phương trình x 2 qx 50 0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó Phương pháp: Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức của Định lí Viet để tìm các nghiệm đó Tìm hệ số chưa biết Giải a) Theo đề bài ta có x1 x 2 11 Theo định lí Viet: x1 x 2 7 x1 x2 11 x1 9 x1 x2 7 x2 2 => q = x1 x 2 9( 2) 18 b) Ta có x1 2x 2 . 2 2 x2 5 Theo định lí Viet ta có x1 x 2 50 2 x2 50 x2 25 x2 5 Với x 2 5 thì x1 10 , q x1 x 2 = 10 + 5 = 15 Với x 2 5 thì x1 10 , q x1 x 2 = ( 10) + ( 5) = 15 Bài tập : Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình a) x 2 + mx − 35 = 0 biết một nghiệm bằng – 5 b) 2 x 2 − (m + 4) x + m = 0 biết một nghiệm bằng – 3 c) mx 2 − 2(m − 2) x + m − 3 = 0 biết một nghiệm bằng 3 II. Lập phương trình bậc hai 1. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó Phương pháp: Từ 2 nghiệm đã cho tính tổng và tích của chúng Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích Ví dụ 1. Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2 S x1 x2 3 2 5 Giải: Ta có P x1 x 2 3.2 6 7
Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 − Sx + P = 0 x2 5x 6 3 1 1 Ví dụ 2. Cho x1 ; x 2 2 1 3 Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2 Giải 3 1 Ta có: x1 2 1 1 3 3 1 x 2 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 x1 x2 3 2 2 Nên: 3 1 3 1 1 x1 x 2 . 2 2 2 1 Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là x2 3 x + = 0 2 Hay 2x2 2 3 x + 1 = 0 Bài tập: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: a) 8 và 3 b) 36 và – 104 1 c) 1 2 và 1 2 d) 2 3 và 2 3 2. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm thỏa mãn biểu thức của 2 nghiệm của phương trình cho trước Ví dụ 1. Cho phương trình x 2 3x 2 0 có hai nghiệm x1 ; x 2 . 1 1 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x2 x1 ; y2 x1 x2 Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải: Cách 1: Tính trực tiếp y1 ; y 2 bằng cách: Tìm nghiệm x1 ; x 2 của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính y1 ; y 2 Phương trình x 2 3x 2 0 có a b c 1 ( 3) 2 0 nên phương trình có hai nghiệm là x1 1; x 2 2 1 1 1 1 3 Ta có y1 x2 x1 2 1 3; y 2 x1 x2 1 2 2 8
Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1 ; y 2 (dạng 2.1) 3 9 S y1 y2 3 2 2 3 9 P y1 y 2 3. 2 2 9 9 Phương trình cần lập có dạng: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 2 2 hay 2 y 2 9 y 9 0 Cách 2: Không tính y1 ; y 2 mà áp dụng Định lí Viet tính S y1 y2 ; P y1 y 2 sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là y1 ; y 2 Theo Định lí Viet ta có: 1 1 1 1 x1 x 2 3 9 S y1 y2 x2 x1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 x1 x 2 2 2 1 1 1 1 9 ( x2 ).( x1 ) x1 x 2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1 x 2 2 2 9 9 Phương trình cần lập có dạng: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 2 2 hay 2 y 2 9 y 9 0 Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 5 x 1 0 có hai nghiệm x1 ; x 2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 4 x1 ; y 2 x2 4 x1 x2 5 Giải: Theo Định lý Viet ta có: x1 .x 2 1 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 y1 y2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x 2 x1 x2 2 x1 x 2 2 x1 x 2 727 Ta có: 4 4 4 y1 y 2 x1 x 2 ( x1 x 2 ) 1 Vậy phương trình cần lập là: y2 727y + 1 = 0 Bài tập: Bài 1. Cho phương trình x 2 2 x 8 0 có hai nghiệm x1 ; x 2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 3; y 2 x2 3 9
Bài 2. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x 2 mx 2 x1 x2 2 Bài 3. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn: 3 3 x1 x2 26 III. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng u v S Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn: u.v P thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0. (Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P 0) Ví dụ 1. Tìm hai số u và v biết u + v = 3, uv = 4 Giải: Hai số u và v là nghiệm của phương trình x 2 3x 4 0 Giải phương trình trên ta được x1 1; x2 4 Vậy nếu u = 1 thì v = 4; nếu u = 4 thì v = 1 Ví dụ 2. Tìm hai số u và v biết S = u + v = 3, P = uv = 6 Giải: Hai số u và v là nghiệm của phương trình x 2 3x 6 0 32 4.1.6 9 24 15 0 Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn đề bài Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay S 2 4 P 32 4.6 9 24 15 0 nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn yêu cầu đề bài mà chưa cần lập phương trình Bài tập. Bài 1. Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20 Bài 2. Tìm hai số x, y biết: a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66 Bài 3, Tìm hai số x, y biết: x 2 + y 2 = 25; xy = 12 10
IV. Dạng toán về biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai Biến đổi một số biểu thức thường gặp 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x 2 2 2 x1 x2 x1 x2 4 x1 x 2 3 3 3 x1 x2 x1 x2 3 x1 x 2 x1 x2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x 2 x1 x2 2 x1 x 2 2 x1 x 2 1 1 x1 x 2 x1 x2 x1 x 2 2 2 2 1 1 x1 x2 x1 x2 2 x1 x 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x 2 x1 x 2 ... Chú ý: Mọi biểu thức đều được biến đổi xuất hiện x1 + x2 và x1 . x2 1. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm Phương pháp: Không giải phương trình bậc hai, ta biến đổi biểu thức đã cho dưới dạng tổng và tích các nghiệm Vận dụng Định lý Viet để tính giá trị của biểu thức Ví dụ: Cho phương trình x 2 − 8 x + 15 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 hãy tính 1 1 a) x12 + x2 2 b) x + x 1 2 Giải b c Theo Định lý Viet ta có: x1 + x2 = − = 8; x1 x2 = = 15 a a a) x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 82 − 2.15 = 64 − 30 = 34 1 1 x + x2 8 b) + = 1 = x1 x2 x1 x2 15 Bài tập. Bài 1. Cho phương trình x 2 5 x 3 0 có hai nghiệm x1 ; x2 hãy tính 1 1 a) x12 + x2 2 b) 2 2 x1 x2 Bài 2. Cho phương trình x 2 4 x 7 có hai nghiệm x1 ; x2 hãy tính a) x13 + x23 b) x1 x 2 2 11
2. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước Phương pháp: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Viet để giải phương trình tìm m Đối chiếu với điều kiện để xác định m Ví dụ 1. Tìm giá trị của tham số m để các nghiệm x1, x2 của phương trình mx2 2(m 2)x + (m 3) = 0 thoã mãn x12 x 22 1 Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: m 0 ; ' ≥ 0 ' = (m 2)2 m(m 3) = m + 4 ' 0 m 4. 2(m 2) x1 x2 m Với 0 m 4, theo Đị nh lý Viet: m 3 x1 x 2 m Do đó: x 12 x 22 1 x1 x2 2 2 x1 x 2 1 4m 2 2 2m 3 1 m2 m 4m2 16m + 16 2m2 + 6m = m2 m2 10m + 16 = 0 m = 2 hoặc m = 8 Giá trị m = 8 không thoã mãn 0 m 4 Vậy với m = 2 thì x12 x 22 = 1 Ví dụ 2. Cho phương trình x2 + 3x – m = 0 (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 13. Giải 9 Để phương trình có 2 nghiệm thì 0 9 4m 0 m 4 Theo Định lý Viet và theo bài ra ta có: x1 x2 3 x1 22 2 x1 3x2 13 x2 19 x1 x 2 m m 418 Vậy với m = 418 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13. Ví dụ 3. Cho phương trình bậc hai x2 – mx +m – 1 = 0 Tìm giá trị của m để A = x12 +x22 – 6 x1x2 = 8 Giải Ta có : ( m) 2 4(m 1) (m 2) 2 0 m 12
Nên phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2 x1 x2 m Theo Định lý Viet ta có: x1 x 2 m 1 A = (x1 +x2)2 – 8x1x2 = m 2 8 (m 1) = m2 – 8m + 8 A = 8 m2 – 8m +8 = 8 m2 8m = 0 m = 0 hoặc m = 8 Vậy với m = 0 hoặc m = 8 thì A = 8 Ví dụ 4. Cho phương trình 3x2 – 4x + m + 5 = 0 1 1 4 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho : x x2 7 1 (Đề kiểm tra học kì II – Năm học 20092010) Giải Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: ' 0 4 3(m 5) 0 11 3m 11 0 m 3 4 x1 x2 3 Theo Định lý Viet ta có: m 5 x1 x 2 3 Ta có: 1 1 4 x1 x 2 4 4 m 5 4 4 4 : x1 x2 7 x1 x 2 7 3 3 7 m 5 7 m 5 7 m 12(TMDK ) Vậy với m = 12 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : 1 1 4 x1 x2 7 Bài tập: Bài 1. Cho phương trình mx 2 2(m 1) x 3(m 2) 0 . Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1 2 x2 1 Bài 2. Cho phương trình x 2 2 m 2 x m 4 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 2 x2 2 2 x1 x2 0 (Đề thi thử vào THPT năm học 20132014) Bài 3. Cho phương trình x 2 − 2(m + 2) x + m2 − 9 = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 − x2 = x1 + x2 13
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của tham số Phương pháp: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ( ∆ ' 0 ; ∆ 0 hoặc a.c
Giải m 1 �a 0 �m −1 0 Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: � �� 4 �∆ 0 5m − 4 0 � m 5 2m x1 + x2 = m −1 Theo Định lí Viet ta có: m−4 x1 x2 = m −1 2m m−4 0 Thay vào A ta được: A = 3( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3. + 2. −8 = =0 m −1 m −1 m −1 4 Vậy A = 3( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0 với ∀m 1 và m 5 hay biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập: . Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1). B ài 1 a) CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 2 Cho phương trình x 2 − 2(m + 1) x + m 2 − 1 = 0(1) a) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm Phương pháp: * Tìm giá trị nhỏ nhất của A : Phân tích A = f (x) 2 + M (M là một hằng số) A có giá trị nhỏ nhất khi f(x) = 0 Giải f(x) = 0 tìm x Giá trị nhỏ nhất của A là M * Tìm giá trị lớn nhất của A: Phân tích A = M f (x) 2 (M là hằng số) A có giá trị lớn nhất khi f(x) = 0 Giải f(x) = 0 tìm x 15
Giá trị lớn nhất của A là M Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P x1 x2 x1 x 2 (Đề kiểm tra HKII – Năm học 20082009) Giải a) Ta có: ' m 2 (m1 1) 1 0 m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m x1 x2 2m b) Theo Định lý Viet ta có: 2 x1 x 2 m 1 2 2 2 P x1 x2 x1 x 2 x1 x2 2 x1 x 2 x1 x 2 2 2m 3 m2 1 m2 3 3 m Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3 khi m = 0 Ví dụ 2. Cho phương trình x 2 − (m − 1) x − m 2 + m − 2 = 0 Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 , tìm giá trị của m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải x1 x2 m 1 Theo Định lý Viet ta có: x1 x 2 m2 m 2 x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = (m − 1) 2 − 2(− m 2 + m − 2) 2 = m − 2m + 1 + 2m 2 − 2m + 4 = 3m 2 − 4m + 5 2 � 4 5� 2 4 11 = 3 �m 2 − m + �= 3(m 2 − 2m + + ) � 3 3� 3 9 9 2 11 11 = 3(m − ) 2 + 3 3 3 11 2 Vậy GTNN của (x 2 1 + x22 là ) 3 khi m = 3 Ví dụ 3. Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x1x2 2x1 2x2 Giải 16
Để phương trình đã cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 2(m2 + 4m + 3) = (m + 1)(m + 5) 0 5 m 1 x1 x2 (m 1) Theo Định lý Viet ta có: m 2 4m 3 x1 x 2 2 m2 4m 3 m2 8m 7 A x1 x 2 2 x1 2 x2 2(m 1) 2 2 Vì 5 m 1 nên m 2 8m 7 m 1 m 7 0 m2 8m 7 9 (m 4) 2 9 Suy ra: A = = 2 2 2 Dấu “ = ” xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = 4 9 Vậy A đạt giá trị lớn nhất là khi m = 4 2 Bài tập. Bài 1. Tìm m để phương trình x 2 − 2(m − 4) x + m 2 − 8 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất b) B = x12 + x2 2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2. Cho phương trình: x2 – mx + (m 2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3. Cho phương trình x 2 − (3m − 1) x + 2(m2 − 1) = 0 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x12 + x2 2 V. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Các trường hợp xét dấu của nghiệm ∆ 0 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu P>0 ∆ 0 Phương trình có 2 nghiệm dương P>0 S>0 17
∆ 0 Phương trình có 2 nghiệm âm P>0 S0 4 −m > 0 Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 2(m + 2)x + m = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm Giải a) Ta có : ' (m 2) 2 m 2 4m 4 m 0 m 0 m 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' 0 4m 4 0 m 1 Vậy với m 0 và m > 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 2(m 2) S x1 x2 m b) Theo Định lý Viet ta có: m P x1 x 2 1 m 18
Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm m 0 m 0 m 1 m 0 m 0 ' 0 1 0 m 1 m 1 1 m 0 P 0 2( m 2) m 2 0 2 m 0 S 0 0 m m 0 m 2 0 m 0 Vậy với 1 m 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm Bài tập: Bài 1. Cho phương trình: x2 2( m 2)x 6m = 0 a) Giải phương trình khi m = 3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm Bài 2. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 3 = 0 (1) a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia Bài 3. Xác định m để phương trình a) mx 2 − 2(m + 2) x + 3(m − 2) = 0 có hai nghiệm cùng dấu b) (m −1) x 2 − 2 x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm II.1. Kết quả khảo sát sau khi áp dụng đề tài Sau khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Định lý Viét và ứng dụng của Định lý Viét trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như sau: 19
0