Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG để áp dụng trong giảng dạy ôn thi THPT QG tại trường THPT Tân Kỳ 3

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là đưa ra nhiều hướng tiếp cận cho cùng một bài toán giữa trên việc phân tích dấu hiệu của bài toán đó. Rèn luyện cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề toán học để tạo hứng thú học tập toán học cho học sinh lớp 12 nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện phẩm chất, năng lực học sinh về nhiều mặt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG để áp dụng trong giảng dạy ôn thi THPT QG tại trường THPT Tân Kỳ 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BA BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f ( x; m ) THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QG LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 3 =====  ===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BA BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y = f ( x; m ) THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QG LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tên tác giả : Nguyễn Văn Bản Tổ bộ môn : Toán Tin Năm thực hiện : 2020 2021 Số điện thoại : 0974754825
MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ ......................................................................................................................... 4 1.1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................................. 4 1.2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................................... 4 1.3. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................................................... 5 1.4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................................. 5 1.5. Những điểm mới của SKKN .......................................................................................... 5 II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................................................................................................. 6 2.1. Cơ sở lí luận .................................................................................................................... 6 2.1.1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số .................................................................. 6 2.1.2. Cực trị của hàm số ................................................................................................... 7 2.1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ...................................................... 7 2.1.4. Đồ thị hàm số ................................................................................................... 8 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ..................................... 8 2.3. Các giải pháp thực hiện ................................................................................................. 8 2.3.1. Bài toán: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. .......... 9 2.3.2. Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điểm cực trị. .................... 29 2.3.3. Bài toán: Cho hàm số . Tìm đê giá tr ̉ ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn thoa man môt điêu kiên cho tr ̉ ̃ ̣ ̀ ̣ ươc. ́ ........................................................................ 40 III. KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 48 3.1. Kết luận ......................................................................................................................... 48 3.2. Kiến nghị ....................................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................................... 49
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do chọn đề tài Để phát triển các năng lực toán học cho học sịnh, đặc biệt là học sinh lớp 12 giúp các em có một kết quả cao nhất trong kỳ thi tốt nghiệp THPT QG. Tać ̉ ̣ gia nhân thây ch ́ ương ưng dung đao ham đê khao sat va ve đô thi ham sô trong ́ ̣ ̣ ̀ ̉ ̉ ́ ̀ ̃ ̀ ̣ ̀ ́ chương trinh giai tich l ̀ ̉ ́ ơp 12 la nôi dung quan trong va co nhiêu ́ ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ̀ ứng dung trong ̣ ̣ bô môn toan, điêu nay đ ́ ̀ ̀ ược thê hiên thông qua viêc kiên th ̉ ̣ ̣ ́ ức cua ch̉ ương naỳ ́ ̉ ̣ luôn chiêm ti lê cao nhât trong đê thi THPT.QG. Sô câu hoi ́ ̀ ́ ̉ ở mưc vân dung va ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ vân dung cao cua ch ̉ ương nay cung luôn mang đên cho giao viên va hoc sinh ̀ ̃ ́ ́ ̀ ̣ nhưng s ̃ ự quan tâm đăc biêt, trong đo phai kê đên cac bai toan ch ̣ ̣ ́ ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ ứa tham sô.́ ̉ ̣ Qua qua trinh giang day tai tr ́ ̀ ̣ ương THPT Tân Ky 3, tac gia nhân thây nôi ̀ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ̣ ̉ dung cua ch ương nay luôn tao h ̀ ̣ ưng thu hoc tâp cho cac em hoc sinh, viêc hoc tôt ́ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ̣ ́ ̀ ́ ững kiên th va năm v ́ ức cua ch ̉ ương nay se tao đa cho viêc hoc tâp cac ch ̀ ̃ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ương khac rât tôt. Cac năm d ́ ́ ́ ́ ạy học ôn thi tốt nghiệp THPT QG tac gia rut ra đ ́ ̉ ́ ược môṭ ̀ ̀ ần phải bồi dưỡng cũng như phát triển năng lực tư duy kết hợp phân điêu la c tích trực quan và suy luận logic để giải quyết một số bài toán trong chương 1 giải tích lớp 12. Cac dang toan ch ́ ̣ ́ ưa tham sô luôn đ ́ ́ ược giao viên va hoc sinh qua ́ ̀ ̣ ̉ ̣ ̣ ̀ ́ ượng hoc sinh kha gioi ôn thi vao cac tr tâm tim hiêu, đăc biêt la đôi t ̀ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ương đai ̀ ̣ ̣ hoc. Trong ky thi THPT. QG hang năm thi cac câu hoi ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ở mưc vân dung, vân dung ́ ̣ ̣ ̣ ̣ cao ở chương ưng dung đao ham chiêm ti lê cao, trong đo cac bai toan ch ́ ̣ ̣ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ́ ̀ ́ ưa tham ́ ́ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi sô cua ham sô ch ́ ́ ̣ ̣ ́ y = f ( x; m ) cung th ̃ ường xuyên xuât hiên. ́ ̣ Tư nh ̀ ưng ly do nêu trên, cung s ̃ ́ ̀ ự nghiên cưu cua tac gia kêt h ́ ̉ ́ ̉ ́ ợp sự chia se kinh ̉ ̣ ̉ ̣ ̀ ́ ́ ́ ̉ ̣ ́ ̉ ̃ ́ ́ ược nghiêm cua cac đông nghiêp la giao viên côt can tinh nghê an. Tac gia đa đuc rut đ ́ ̀ nhưng kinh nghiêm quy bau thanh ̃ ̣ ́ ́ ̀ đê tai “Ba bài toán ch ̀ ̀ ứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x; m) thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT ̉ ́ ̣ ̉ ̣ QG” đê ap dung trong giang day ôn thi THPT. QG tai tr ̣ ương THPT Tân Ky 3. ̀ ̀ 1.2. Mục đích nghiên cứu Trong đề tài tác giả nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số trong chương trình giải tích lớp 12 vơi muc đich nh ́ ̣ ́ ư sau. ́ ợp phân tich trên đô thi cua ham sô Kêt h ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ̉ ưa ra cac điêu kiên ́ y = f ( x; m) đê đ ́ ̀ ̣ tương đương cua bai toan giup hoc sinh linh hôi kiên th ̉ ̀ ́ ́ ̣ ̃ ̣ ́ ưc kho tr ́ ́ ở nên đơn gian̉ hơn. Đưa ra nhiêu h ̀ ương tiêp cân cho cung môt bai toan gi ́ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ưa trên viêc phân tich ̃ ̣ ́ ̣ ̉ dâu hiêu cua bai toan đo. ́ ̀ ́ ́ ̣ ́ ưng ban chât cua cac lâp luân thông qua viêc phân tich cac Hoc sinh năm v ̃ ̉ ́ ̉ ́ ̣ ̣ ̣ ́ ́ trương h ̀ ợp co thê xay ra cua cac bai toan tim điêu kiên đê ham sô đ ́ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ơn điêu, sô ̣ ́ 4
cực tri cua ham sô, gia tri l ̣ ̉ ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ y = f ( x; m ) . ̀ ́ ́ ̣ ơn nhât gia tri nho nhât cua ham sô ̣ ̣ Ren luyên cho hoc sinh năng l ̀ ực giai quyêt vân đê toan hoc đê tao h ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ưng thu ́ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ hoc tâp toan hoc cho hoc sinh lơp 12 nhăm phat triên tri tuê va gop phân giao duc, ́ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ren luyên phâm chât, năng l ̀ ́ ực hoc sinh vê nhiêu măt. ̣ ̀ ̀ ̣ ̉ Kêt qua nghiên c ́ ưu đê lam tai liêu giang day cho đông nghiêp trong tô toan ́ ̉ ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ tin trương THPT Tân Ky 3. ̀ ̀ 1.3. Đối tượng nghiên cứu Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh. Học sinh thi tốt nghiệp THPT QG để xét Đại học. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet về cách thức tổ chức dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh. Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích các định hướng của từng bài toán, sử dụng các kinh nghiệm của bản thân để giúp học sinh phát triển năng lực phân tích, tổng hợp. Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dò học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em. 1.5. Những điểm mới của SKKN Trong đê tai nay tac gia đa nêu lên đ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̃ ược sự kết hợp trực quan đô thi và l ̀ ̣ ập luận có lý giúp học sinh dê hiêu va n ̣ ̉ ̀ ắm vững bản chất của cac bài toán ch́ ưá ́ ̉ tham sô cua ham sô ch ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́ y = f ( x; m ) ̀ ́ ơn điêu; bai : Bai toan đ ̣ ̀ ́ ực tri; bai toan gia tri l toan c ̣ ̀ ́ ́ ̣ ơn nhât, gia tri nho nhât. ́ ́ ́ ̣ ̉ ́ ́ ược cac dâu hiêu cua t Phân tich đ ́ ́ ̣ ̉ ưng bai toan va đ ̀ ̀ ́ ̀ ưa ra được nhiêu đinh ̀ ̣ hương khac nhau giup hoc sinh dê dang tim ra h ́ ́ ́ ̣ ̃ ̀ ̀ ướng giai quyêt bai toan. ̉ ́ ̀ ́ Sử dung mô hinh năng l ̣ ̀ ực giai quyêt vân đê toan hoc đê phân tich va đinh ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ̣ hương giup hoc sinh phat triên cac năng l ́ ́ ̣ ́ ̉ ́ ực đoc hiêu d ̣ ̉ ữ liêu câu hoi; năng l ̣ ̉ ực ̣ ́ ̣ suy luân toan hoc; năng l ực thực hiên tinh toan; năng l ̣ ́ ́ ực vân dung kiên th ̣ ̣ ́ ưc vao ́ ̀ thực tiên giai quyêt vân đê toan hoc. ̃ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ 5
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1. Cơ sở lí luận 2.1.1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số a. Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x) xác định trên K . Ta nói + Hàm số y = f ( x) đồng biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 � f ( x1 ) < f ( x2 ); + Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 � f ( x1 ) > f ( x2 ). b. Định lý Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K . + Nếu f '( x) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K . + Nếu f '( x) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K . ( f '( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K ). c. Đồ thị hàm số đơn điệu + Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải. + Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái qua phải. 6
2.1.2. Cực trị của hàm số a. Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b ) và điểm x0 ( a; b ) . + Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x) < f ( x0 ) với mọi x �( x0 − h ; x0 + h ) và x x0 thì ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x0 . + Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x) > f ( x0 ) với mọi x �( x0 − h ; x0 + h ) và x x0 thì ta nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x0 . b. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x0 } , với h > 0. + Nếu f '( x) > 0 trên khoảng ( x0 − h ; x0 ) và f '( x) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f ( x) . + Nếu f '( x) < 0 trên khoảng ( x0 − h ; x0 ) và f '( x) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) . 2.1.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a. Đinh nghia ̣ ̃ ́ y = f ( x) xac đinh trên tâp Cho ham sô ̀ ́ ̣ ̣ D. + Sô ́ M được goi la gia tri l ̣ ̀ ́ ̣ ơn nhât cua ham sô ́ ́ ̉ ̀ ́ y = f ( x) trên tâp ̣ D nêu ́ f ( x) M ́ ̣ x thuôc vơi moi ̀ ̀ ̣ x0 D sao cho f ( x0 ) = M . ̣ D va tôn tai ́ ̣ M = max Ki hiêu D f ( x). + Sô ́ m được goi la gia tri nho nhât cua ham sô ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̀ ́ y = f ( x) trên tâp ̣ D nêu ́ f ( x) m ́ ̣ x thuôc vơi moi ̀ ̀ ̣ x0 D sao cho f ( x0 ) = m. ̣ D va tôn tai ́ ̣ m = min Ki hiêu D f ( x). b. Đinh lý ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ơn nhât va gia tri nho nhât trên Moi ham sô liên tuc trên môt đoan đêu co gia tri l ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̣ đoan đo.́ 7
2.1.4. Đồ thị hàm số y = f ( x) f ( x) nê´u f ( x) 0 Ta có y = f ( x) = − f ( x) nê´u f ( x ) < 0 ́ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) được suy ra tư đô thi ham sô Do đo đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) như sau: ̃ ́ y = f ( x) năm trên truc hoanh + Giư nguyên phân đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ + Lây đôi x ̣ ̀ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) năm d ́ ́ ứng qua truc hoanh phân đô thi ham sô ̀ ươi truc hoanh. ́ ̣ ̀ ́ y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f ( x) Đô thi ham sô ̀ ̣ ̀ 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế dạy học và kết quả kỳ thi tốt nghiệp THPT QG tại trường THPT Tân Kỳ 3: Những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy và học các bài toán vận dụng cao trong chương hàm số dẫn đến kết quả thấp. ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ Vê phia giao viên: Đa phân cac đông nghiêp tai tr ̣ ương THPT Tân Ky 3 rât ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ ở mưc vân dung va vân dung cao, môt phân vi năng l it khi day cac bai toan ́ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ ực hoc̣ ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ ̣ ̣ sinh đai tra qua thâp môt phân vi kho khăn trong viêc tim kiêm tai liêu day hoc. ̀ ́ ́ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ́ Điêu đo tao nên môt tâm ly e ngai khi găp phai cac bai toan kho, lâu dai dân đên ́ ̀ ̃ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ viêc giang day cho hoc sinh ôn thi đai hoc găp nhiêu kho khăn. ̀ ́ ̀ ́ ̣ Vê phia hoc sinh: S ự tiêp cân cac dang toan vân dung va vân dung cao con ́ ̣ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ương dân ch it, tai liêu h ́ ̃ ưa co dân đên kêt qua hoc tâp va thi ch ́ ̃ ́ ́ ̉ ̣ ̣ ̀ ưa cao. Cu thê kêt ̣ ̉ ́ ̉ ̉ qua thi THPT QG năm 2019: Điêm trung binh môn toan cua l ̀ ́ ̉ ơn 12A1 trong ky thi ́ ̀ ̀ ̉ ́ ̉ TN THPT QG năm 2018 2019 la 6.5 điêm. ( thông kê điêm toan TN THPT 2018 ́ 2019 cua l̉ ơp 12A1) ́ Điêm ̉ 8.6 8.4 8.2 7.8 7.4 7.2 7.0 6.8 6.6 6.4 6.2 6.0 5.6 4.8 4.6 4.2 3.6 Tân ̀ 1 1 1 2 2 4 3 3 2 3 4 1 1 2 1 2 1 số Va nhiêu năm tr ̀ ̀ ươc đo điêm thi THPT QG cua cac l ́ ́ ̉ ̉ ́ ơp 12A1 tr ́ ương THPT Tân ̀ Ky 3 con thâp. ̀ ̀ ́ 2.3. Các giải pháp thực hiện 8
2.3.1. Bài toán: Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x; m) đơn điệu trên một khoảng cho trước. 2.3.1a. Hàm số y = f ( x; m) đồng biến trên khoảng ( a; b ) . Phương phap phat hiên va giai quyêt vân đê ́ ́ ̣ ̀ ̉ ́ ́ ̀ Bươc 1: ̣ ̣ ́ Phat hiên/ thâm nhâp vân đê. ́ ́ ̀ Câu hoi 1:̉ Chung ta đa biêt cach giai cac bai toan xet s ́ ̃ ́ ́ ̉ ́ ̀ ́ ́ ự đông biên, nghich ̀ ́ ̣ ́ ̉ biên cua cac ham sô ́ ̀ ́ y = f ( x) ; bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m đê ham sô ̉ ̀ ́ y = f ( x; m) đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ ( a; b ) . Bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m để ham sô ̀ ́ y = f ( x; m) đông biên trên ̀ ́ ( a; b ) co giai đ ́ ̉ ược như thê không? ́ ́ ̣ ̉ ̀ ̣ ̃ ́ ưng suy nghi nay sinh nhiêu Sau khi tiêp cân câu hoi thi hoc sinh se co nh ̃ ̣ ̉ ̀ ̣ đinh h ương khac nhau. Nh ́ ́ ưng co môt vân đê đăt ra la ph ́ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ương phap giai cho bai ́ ̉ ̀ toan nay co giông nh ́ ̀ ́ ́ ư cac dang đa găp không? Hay co cach nao khac đê giai quyêt ́ ̣ ̃ ̣ ́ ́ ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ữa không? bai toan nay n Bươc 2: ̀ ̀ ương giai bai toan. ́ Tim toi h ́ ̉ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ̃ ư duy va phân tich bai toan, giao viên tiêp Sau khi đăt câu hoi 1, hoc sinh đa t ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ tuc đăt câu hoi cho hoc sinh. Câu hoi 2: ̉ Hay nhăc lai điêu kiên t ̃ ́ ̣ ̀ ̣ ương đương cua bai toan tim điêu kiên ̉ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ m đê ham sô cua tham sô ̉ ̀ ̀ ́ ̉ ( a; b ) ? ́ y = f ( x; m) đông biên trên khoang + Ở bươć naỳ hoc̣ sinh sẽ trinh ̀ baỳ được điêu ̣ tương đương là ̀ kiên f '( x ; m) 0; ∀x (a ; b). ́ ́ ́ ̣ ́ ́ ̀ ược đao ham cua ham sô + Đên đây giao viên tiêp tuc phân tich, nêu tim đ ̣ ̀ ̉ ̀ ́ y = f ( x; m) thi chung ta se s ̀ ́ ̃ ử dung điêu kiên t ̣ ̀ ̣ ương tự. Va đăt câu hoi 3. ̀ ̣ ̉ Câu hoi 3: ̉ Hay bo dâu gia tri tuyêt đôi đê lây đ ̃ ̉ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ́ ược đao ham cua ham sô ̣ ̀ ̉ ̀ ́ y = f ( x; m) . + Ở bươc nay hoc sinh se co 2 đinh h ́ ̀ ̣ ̃ ́ ̣ ướng: f ( x; m) nê´u f ( x; m) 0 y = f ( x; m) = − f ( x; m) nê´u f ( x; m) < 0 ̣ y = f ( x; m) = [ f ( x; m) ] 2 Hoăc ́ Ở bươc nay giao viên cân phân tich đê hoc sinh thây đ + Phân tich: ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ́ ược viêc̣ ̣ y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] 2 đê tinh đao ham. Khi tim đ sử dung ̉ ́ ̣ ̀ ̀ ược đao ham thi chung ̣ ̀ ̀ ́ ta đa quy vê bai toan quen ̃ ̀ ̀ ́ y ' 0; ∀x (a ; b). Bươc 3: ̀ ơi giai bai toan. ́ Trinh bay l ̀ ̀ ̉ ̀ ́ Ta có y = f ( x m) = [ f ( x; m) ] 2 9
f '( x; m). f ( x; m) f '( x; m). f ( x; m) y'= = . [ f ( x; m)] 2 f ( x; m) Để hàm số y = f ( x; m) đồng biến trên khoảng ( a; b ) ۳∀� y ' 0, x (a; b). ( f ( x; m) 0 ) � f '( x; m) 0 , ∀x(a; b) f ( x; m) > 0 f '( x; m). f ( x; m) 0, ∀x (a; b). f '( x; m) 0 , ∀x(a; b) f ( x; m) < 0 Bươc 4: ́ ơi giai va nghiên c ́ Đanh gia l ́ ̀ ̉ ̀ ứu sâu bai toan ̀ ́ ̀ ́ ́ ̉ y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] 2 chung ta đa quy bai toan vê bai toan Băng cach biên đôi ́ ̃ ̀ ́ ̀ ̀ ́ quen ۳∀� y ' 0, x (a; b). ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ Bai toan con co cac cach giai khac: ́ Cách 2: Sử dụng đồ thị ← Phân tích: Nếu đồ hàm số y = f ( x; m) thị cắt trục Ox ← Ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( x; m) như sau 10
Vì vậy hàm số y = f ( x; m) không đơn điệu trên khoảng ( a; b ) được. (Nên đồ thị hàm số không thể cắt trục Ox được, ta chỉ có hai trường hợp sau đây) 11
Trương h ̀ ợp 1: f '( x; m) 0 Điều kiện bài toán trong trường hợp này là ∀x (a; b). f ( x; m) 0 f '( x; m) 0 ∀x (a; b). f (a ) 0 Trương h ̀ ợp 2: f '( x; m) 0 Điều kiện của bài toán trong trường hợp này là , ∀x ( a; b). f ( x; m) 0 f '( x; m) 0 , ∀x (a; b). f (a ) 0 Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên Trong trường hợp y ' = 0 nhẩm được các nghiệm thì ta có thể lập bảng biến thiên sau đó giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của bài toán. 2.3.1b. Hàm số y = f ( x; m) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . 12
Phân tích tương tự bài toán đồng biến ta có: Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến Ta có y = f ( x; m) = [ f ( x; m)] 2 f '( x; m). f ( x; m) f '( x; m). f ( x; m) y'= = . [ f ( x; m)] 2 f ( x; m) Để hàm số y = f ( x; m) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) ∀�y ' 0, x (a; b). ( f ( x; m) 0 ) � f '( x; m) 0 , ∀x(a; b) f ( x; m) > 0 f '( x; m). f ( x; m) 0, ∀x (a; b). f '( x; m) 0 , ∀x(a; b) f ( x; m) < 0 Cách 2: Sử dụng đồ thị Trương h ̀ ợp 1: f '( x; m) 0 Điều kiện bài toán trong trường hợp này là , ∀x ( a; b). f ( x; m) 0 f '( x;) 0 , ∀x (a; b). f (b) 0 Trương h ̀ ợp 2: 13
f '( x; m) 0 Điều kiện bài toán trong trường hợp này là , ∀x ( a; b). f ( x; m) 0 f '( x; m) 0 , ∀x ( a; b). f (b) 0 Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên Trong trường hợp y ' = 0 nhẩm được các nghiệm thì ta có thể lập bảng biến thiên sau đó giữa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của bài toán. Các trường hợp đơn điệu trên [ a; b] , (− ;b] , [ a; + ) , ( a; + ) , ( − ;b ) Ta phân tích tương tự. 2.3.1c. Vi du ap d ́ ̣ ́ ụng Ví dụ 1: Tổng tất cả các giá trị nguyên thuộc [ −5;5] của tham số m để 1 2 hàm số y = x3 + (m − 1) x 2 + (2m − 3) x − đồng biến trên khoảng ( 1;5) là 3 3 A. 1. B. −1. C. 0. D. 2. 1 2 Lời giải: Đặt f ( x) = x3 + (m − 1) x 2 + (2m − 3) x − 3 3 Cách 1: Sử dụng đồ thị Nếu đồ thị hàm số y = f ( x) cắt trục hoành và có đổi dấu trong khoảng ( 1;5) thì đồ thị hàm số y = f ( x) không đơn điệu trên ( 1;5) . Nên y = f ( x) không đổi dấu trên khoảng ( 1;5) hàm số y = f ( x) đồng biến trên ( 1;5) xảy ra hai trường hợp Trương h ̀ ợp 1: Hàm số y = f ( x) đồng biến và đồ thị nằm phía trên trục hoành trên khoảng ( 1;5) f '( x) 0 x 2 + 2(m − 1) x + 2m − 3 0 � ∀x �(1;5). ∀x (1;5). f ( x) 0 f (1) 0 14
−x + 3 2m( x + 1) − x 2 + 2 x + 3 m , ∀x (1;5) 2 13 ∀x (1;5) 3m − 0 13 3 m 9 −x + 3 m Max( ) =1 [ 1;5] 2 m 13 . 13 9 m 9 Trương h ̀ ợp 2: Hàm số y = f ( x) nghịch biến và đồ thị nằm phía dưới trục hoành trên khoảng ( 1;5) f '( x ) 0 x 2 + 2(m − 1) x + 2m − 3 0 � , ∀x �(1;5). , ∀x (1;5). f ( x) 0 f (1) 0 −x + 3 2m( x + 1) − x 2 + 2 x + 3 m , ∀x (1;5) 2 13 , ∀x (1;5) 3m − 0 13 3 m 9 −x + 3 m Min( ) = −1 [ 1;5] 2 m −1. 13 m 9 13 m Cả hai Trương h ̀ ợp ta được 9 m −1 Vì m nguyên và thuộc [ −5;5] 15
� m �{ −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5} Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng −1 Chọn đáp án: B 16
Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến Ta có y = f ( x) = [ f ( x) ] 2 f '( x ). f ( x) f '( x). f ( x) y' = = . [ f ( x) ] 2 f ( x) Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( 1;5) ۳∀� y ' 0, x (1;5). ( f ( x) 0 ) f '( x). f ( x) 0, ∀x (1;5). f '( x) 0 f '( x) 0 Trương h ̀ ợp 1: , ∀x (1;5) , ∀x (1;5) f ( x) > 0 f (1) 0 x 2 + 2( m − 1) x + 2m − 3 0 , ∀x (1;5). f (1) 0 −x + 3 2m( x + 1) − x 2 + 2 x + 3 m , ∀x (1;5) 2 13 , ∀x (1;5) 3m − 0 13 3 m 9 −x + 3 m Max( ) =1 [ 1;5] 2 m 13 . 13 9 m 9 f '( x) 0 f '( x) 0 Trương h ̀ ợp 2: , ∀x (1;5) , ∀x (1;5) f ( x) < 0 f (1) 0 x 2 + 2(m − 1) x + 2m − 3 0 ∀x (1;5). f (1) 0 −x + 3 2m( x + 1) − x 2 + 2 x + 3 m , ∀x (1;5) 2 13 ∀x (1;5) 3m − 0 13 3 m 9 −x + 3 m Min( ) = −1 [ 1;5] 2 m −1. 13 m 9 13 m Cả hai trương h ̀ ợp ta được 9 m −1 Vì m nguyên và thuộc [ −5;5] 17
� m �{ −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5} Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng −1 Chọn đáp án: B Cách 3: Sử dụng bảng biến thiên Ta có f '( x) = 0 x 2 + 2(m − 1) x + 2m − 3 = 0 x = −1 x = 3 − 2m Trương h ̀ ợp 1: 3 − 2m −1 m 2 (*) Ta có bảng biến thiên x − 3 − 2m −1 + f ( x) + 0 − 0 + f (3 − 2m) + f ( x) − f (−1) Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( 1;5) f (1) 0 13 13 3m − 0 m kết hợp (*) ta được m 2 3 9 Trương h ̀ ợp 2: 3 − 2m > −1 m < 2 (**) Ta có bảng biến thiên x − −1 3 − 2m + f ( x) + 0 − 0 + f (−1) + f ( x) − f (3 − 2m) Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số y = f ( x) đồng biến trên khoảng ( 1;5) có hai khả năng như sau m −1 5 3 − 2m ̉ Kha năng 1: 13 m −1 f (1) 0 3m − 0 3 kết hợp với (**) ta được m −1 m 1 3 − 2m 1 13 ̉ Kha năng 2: 13 m f (1) 0 3m − 0 9 3 13 kết hợp (**) ta được m < 2 9 18
13 m Cả hai trương h ̀ ợp ta được 9 m −1 Vì m nguyên và thuộc [ −5;5] � m �{ −5; −4; −3; −2; −1; 2;3; 4;5} Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn bài toán bằng −1 Chọn đáp án: B Nhận xét: Mỗi cách làm có một ưu điểm nhất định, các em cần nhận định được những dấu hiệu của hàm số phù hợp để định hướng cách giải nhanh. Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = 2 x 3 − mx + 1 đồng biến trên khoảng (1; + ). A. 2. B. 6. C. 3. D. 4. Lời giải: Đặt f ( x) = 2 x3 − mx + 1 Nhận thấy f '( x) = 0 nhẩm được nghiệm nên chúng ta sử dụng cách bảng biến thiên Ta có f '( x) = 6 x 2 − m Trương h ̀ ợp 1: Nếu m 0 thì hàm số đồng biến trên  6m x= 6 ̀ ợp 2: Nếu m > 0 thì f '( x) = 0 Trương h 6m x=− 6 Ta có bảng biến thiên 6m 6m + x − − 6 6 f ( x) + 0 − 0 + ycd + f ( x) − yct Từ bảng biến thiên suy ra Để hàm số y = 2 x − mx + 1 đồng biến trên khoảng (1; + ) 3 6m m 6 1 m 3 6 m 3 f (1) 0 Từ hai trường hợp ta được m 6 Vì m nguyên dương nên m { 1; 2;3} 19
Chọn đáp án: C Nhận xét: Nếu f '( x) = 0 nhẩm được nghiệm các em nên chọn cách lập bảng biến thiên, đây là cách phân tích dễ hiểu nhất. Ví dụ 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x5 − 5 x 2 + 5(m − 1) x − 8 nghịch biến trên khoảng (− ;1)? A. 2. B. 0. C. 4. D. 1. Lời giải: Đặt f ( x) = x5 − 5 x 2 + 5(m − 1) x − 8 Nhận thấy f '( x) = 0 không nhẩm được nghiệm nên ta không dùng cách 3 để giải bài toán này, mà dung cách 1 Ta có xlim− f ( x) = − nên hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( − ;1) f '( x) 0 5 x 4 − 10 x + 5m − 5 0 , ∀x �(−�;1) , ∀x �(−�;1) f ( x) 0 f (1) 0 m Max( − x 4 + 2 x + 1) m 2.1905... m − x4 + 2x + 1 ( − ;1) , ∀x �(−�;1) 17 17 5m − 17 0 m m 5 5 Vì m nguyên nên m = 3 Chọn đáp án: D Nhận xét: Khi nhận định được giải bài toán theo cách 1 hoặc 2 thì các em cần nhận thấy ở nhánh − đồ thị f ( x) nằm dưới trục hoành để không phải xét hai trường hợp. 20