Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách trong không gian

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là rèn luyện cho học sinh cách tư duy, cách phân tích và kĩ năng giải toán và tạo ra các bài toán mới. Rèn luyện cho các em đức tính cần cù, chịu khó tìm tòi, sáng tạo và đồng thời hình thành cho các em một thói quen tự học, tự nghiên cứu. Hình thành cho các em một thói quen biết khai thác các vấn đề đơn giản của Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TOÁN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN LINH V ̃ ỰC: TOAN HOC ́ ̣
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHÊ AN ̣ TRƯỜNG THPT QUY H ̀ ỢP 3 *** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TOÁN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Lĩnh vực : Toán học Người viết : Nguyễn Đinh Ngo ̀ ̣ Tổ : Toán Tin Năm hoc̣ : 2020 2021 Sô điên thoai ́ ̣ ̣ : 0974.364.777
̀ ợp, tháng 32021 Quy H 3
MỤC LỤC Trang PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ................................................................................................................. 5 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI............................................................................................................ 5 II. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI....................................................................................................... 5 III. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI....................................................................................................... 6 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU............................................................................................ 7 I. CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI.............................................................................................................. 7 1. Cơ sở lý luận.................................................................................................................... 7 2. Cơ sở thực tiễn................................................................................................................. 7 II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI................................................................................................. 8 III. NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI.......................................................................................... 9 A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT......................................................................................................... 9 B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG............................................................................ 11 1. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng................................... 11 2. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng....................................... 13 3. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau................................ 27 4. Một số bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song................36 5. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.................................... 37 6. Một số bài tập đề nghị.................................................................................................... 40 IV. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG....................................................................................................... 42 PHẦN III. KẾT LUẬN................................................................................................................. 44 1. Quá trình thực hiện đề tài................................................................................................... 44 2. Ý nghĩa của đề tài............................................................................................................... 44 3. Khả năng ứng dụng, triển khai........................................................................................... 45 4. Hướng phát triển................................................................................................................ 45 5. Kiến nghị............................................................................................................................ 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................................. 46
PHÂN I. ĐĂT VÂN ĐÊ ̀ ̣ ́ ̀ I. LY DO CHON ĐÊ TAI ́ ̣ ̀ ̀ Trong chương trình toán học THPT thì bai toan khoanh cach là m ̀ ́ ̉ ́ ột trong những dạng toán tương đôi kho v ́ ́ ới mọi đối tượng học sinh. Đặc biệt trong các kỳ thi hoc sinh gioi va ky thi tôt nghiêp THPT trong các năm g ̣ ̉ ̀ ̀ ́ ̣ ần đây thì các bài tập về khoang cach luôn xu ̉ ́ ất hiện nhiều và khiến đại bộ phận học sinh cảm thấy bế tắc trong quá trình định hướng đi tìm lời giải đôi v ́ ơi ĺ ơp bai toan nay. ́ ̀ ́ ̀ Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hiện hành, bài toán tính khoảng cách được trình bày rất là ít và hạn chế. Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm. Hơn nữa, do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít (3 tiết) nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách đã mất nhiều thời gian thì với giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càng mất nhiều thời gian và công sức hơn. Chính những khó khăn đó đã cản trở đến quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ cho hoc sinh trong hoạt động giảng dạy. Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT Quy H ̀ ợp 3 tôi nhận thấy nhiều học sinh chưa có phương pháp giải quyết lớp bài toán này, hoặc còn lúng túng nhầm lẫn trong quá trình làm bài. Vi vây ̀ ̣ nếu sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh có nền tảng kiến thức vững hơn,tự tin hơn khi giải bài tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, sáng tạo cho các em. Vơi nh ̀ ̀ Đinh h ́ ưng ly do trên, tôi đa chon đê tai: ” ̃ ́ ̃ ̣ ̣ ương t ́ ư duy, phân tich ́ bai toan va ren ky năng tinh khoang cach cho hoc sinh qua bai toan ̀ ́ ̀ ̀ ̃ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ́ khoảng cách trong không gian” nhằm cai thiên chât l ̉ ̣ ́ ượng day hoc tai tr ̣ ̣ ̣ ương THPT noi ̀ ́ ̀ ́ ượng day hoc tai tr chung va chât l ̣ ̣ ̣ ương THPT Quy H ̀ ̀ ợp 3 noi riêng. ́ II. MUC TIÊU CUA ĐÊ TAI. ̣ ̉ ̀ ̀ 1. Mục tiêu chung Rèn luyện cho học sinh cach t ́ ư duy, cach phân tich va kĩ năng gi ́ ́ ̀ ải toán 5
và tạo ra các bài toán mới. Rèn luyện cho các em đức tính cần cù, chịu khó tìm tòi, sáng tạo và đồng thời hình thành cho các em một thói quen tự học, tự nghiên cứu. Hình thành cho các em một thói quen biết khai thác các vấn đề đơn giản của Toán học. 2. Mục tiêu cụ thể Xây dựng, sắp xếp các bài tập khoảng cách có tính hệ thống, thông qua đó để phát huy tính tích cực, đinh h ̣ ương t ́ ư duy, cach phân tich bai toan, ren ky năng ́ ́ ̀ ́ ̀ ̃ ̉ tinh khong cach cho h ́ ́ ọc sinh. III. GIƠI HAN CUA ĐÊ TAI ́ ̣ ̉ ̀ ̀ 1. Về đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm trong giảng dạy, trao đôi v ̉ ơi đông ́ ̀ ̣ ̀ ̉ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ nghiêp, tim hiêu tai liêu, cac đê thi hoc sinh gioi, đê thi đai hoc, tôt nghiêpTHPT trong cac năm qua.Th ́ ực hành thông qua các tiết dạy trên lơp, day ôn hoc sinh ́ ̣ ̣ ̉ ̣ gioi, ôn thi tôt nghiêpTHPT môn Toán c ́ ủa nhà trường. 2. Về không gian ́ ̣ ́ ượng hoc sinh l Đang ap dung cho đôi t ̣ ơp 11 va l ́ ̀ ơp 12 cua tr ́ ̉ ương THPT ̀ ̀ ợp 3. Quy H 6
PHÂN II. N ̀ ỘI DUNG NGHIÊN CƯU ́ I. CƠ SỞ CUA ĐÊ TAI ̉ ̀ ̀ 1. Cơ sở ly luân ́ ̣ Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế. Vì vậy việc dạy học môn Toán là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúp học sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vào cuộc sống. Dạy học môn Toán người thầy không chỉ dạy cho học sinh kiến thức toán học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy còn phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra trong học tập và sau này. Với phương pháp dạy học hiện đại như hiện nay ngoài việc giup hoć ̣ ̃ ̣ ến thức, hinh thanh va phat triên k sinh linh hôi ki ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ỹ năng cơ bản cần thiết cho học sinh, thầy giáo cần phải quan tâm đến việc rèn luyện kỹ năng suy luận logic, biết tổng hợp, khái quát hóa các kiến thức đã học một cách hệ thống để học sinh có khả năng vận dụng các kiến thức đã học để tự giải quyết vấn đề một cách năng động sáng tạo. 2. Cơ sở thực tiên ̃ ̉ Bài toán tinh khoang cach trong môn hình h ́ ́ ọc không gian là bài toán khó đối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng. Dạng toán liên quan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi ̣ ̉ ̣ hoc sinh gioi, đê thi tôt nghiêp THPT hàng năm. ̀ ́ Việc giải quyết một bài toán tinh khoang cach không h ́ ̉ ́ ề đơn giản, yêu cầu người giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều. Mặt khác, sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập nhật tri thức. Trong những năm gần đây, ngành giáo dục đã liên tục có những thay đổi nhằm để phù hợp với xu thế của thời đại, điều đó được thể hiện trong cac năm hoc thông qua hình th ́ ̣ ức thi trắc nghiệm và liên môn. Đối với hình thức thi này, người học phải nỗ lực và không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liên tục rèn luyện thì mới đạt được những kết quả cao 7
II. THỰC TRANG CUA ĐÊ TAI ̣ ̉ ̀ ̀ Hình học không gian là sự nối tiếp của hình học phẳng, khoảng cách trong không gian cũng nằm trong cái chung đó. Do vậy, trước khi học khoảng cách trong không gian học sinh phải nắm vững các khái niệm, định lí liên quan với nó trong hình học phẳng.Ngoài ra còn phải nắm vững các kiến thức về quan hệ song song,quan hệ vuông góc và mối quan hệ giữa chúng trong không gian. Một vấn đề hết sức quan trọng trong việc gi ải bài tập khoảng cách là học sinh phải biết vẽ các hình biểu diễn, xác định hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng, hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng…Đây là vấn đề gây ra nhiều khó khăn cho hoc sinh. Khoảng cách trong không gian và trong hình học phẳng có mối liên hệ khăng khít nhau. Ví dụ như khoảng cách từ một điểm đến một đương thăng, ̀ ̉ khoảng cách giữa hai đường thẳng song song vẫn được giữ nguyên khi chuyển sang hình học không gian. Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộng trong không gian như khoảng cách từ một điểm đến một măt phăng, kho ̣ ̉ ảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau làm học sinh rất khó hình dung,hầu hết các em cảm thấy mơ hồ không xác định được hướng làm cho bài toán,dẫn đến tâm lý chán nán khi làm bài tập về vấn đề này. ́ ̀ ̀ ̉ Tiên hanh cho cac em lam bai kiêm tra 45 phut cho 2 l ́ ̀ ́ ơp thi kêt qua thu ́ ̀ ́ ̉ được là: Lớp ̉
cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình. III. NÔI DUNG CHINH CUA ĐÊ TAI ̣ ́ ̉ ̀ ̀ A. CƠ SỞ LY THUYÊT ́ ́ 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng + Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng a d (M, ) = MH,, trong đó H là hình chiếu của M trên 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng + Khoảng cách từ một điểm đến đến một mặt phẳng ( ) d(O, (α)) = OH , trong đó H là hình chiếu của O trên ( ) Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của O trên ( ) và tính OH Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ( ) Tìm giao tuyến của (P) và ( ) Kẻ OH ( H �∆ ). Khi đó d(O, (α)) = OH . Cách 2. Sử dụng công thức thể tích 1 3V Thể tích của khối chóp V = S.h � h = . Theo cách này, để tính khoảng 3 S cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh Kết quả 1. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng ( ) và M, N thì d(M;(α)) = d(N;(α)) Kết quả 2. Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng ( ) tại điểm I và M, N (M, N không trùng với I) thì d(M;(α)) MI = d(N;(α)) NI 1 Đặc biệt: + nếu M là trung điểm của NI thì d(M;(α)) = d(N;(α)) 2 + nếu I là trung điểm của MN thì d(M; (α)) = d(N;(α)) Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông 9
tại O ( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). 1 1 1 1 2 = + + OH OA OB OC2 2 2 Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau: Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D + d(M; (α)) = với M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) , (α) : Ax + By + Cz + D = 0 A 2 + B2 + C 2 uuuur r MA u + d(M, ∆) = r với là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u r u r uur uuuur u u '.AA ' uur + d( ∆, ∆ ') = r uur với ∆ ' là đường thẳng đi qua A ' và có vtcp u ' u u' Chu y ́ ́: Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp sử dụng tọa độ Đê các trong không gian Oxyz, ta thường thực hiện các bước sau: Bước 1: Từ giả thiết cả bài toán, lập hệ tọa độ thích hợp rồi từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết. Bước 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian bằng cách: + Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định. + Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh. + Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị, quỹ tích… Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ “véc tơ”. Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc. Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các kết quả hình học tương ứng. 3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó 10
+ d ( , ( )) = d (M, ( )), trong đó M là điểm bất kì nằm trên . + Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng ( ) được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song + d ( ( ), (β) ) = d (M, (β) ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ( ) + Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau + Đường thẳng cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b. + Nếu cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b. + Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b. + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó. + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó. * Đặc biệt + Nếu a ⊥ b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp (P), hạ đường cao IH. Khi đó d(a, b) = IH + Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD. B. MÔT SÔ DANG BAI TÂP VÂN DUNG ̣ ́ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ 1. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đương thăng ̀ ̉ Bai 1 ̀ : Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2,BC = a. Tinh kho ́ ảng cách từ S đến BC. Nhân xet ̣ ̉ ́ ơ ban nên hoc sinh co kha ́: Đây la bai toan tinh khoang cach c ̀ ̀ ́ ́ ̉ ̣ ́ ̉ ̉ ́ ược. năng giai quyêt đ 11
Hướng dẫn giải: Kẻ AH vuông góc với BC: INCLUDEPICTURE 2 1 2S 4a "C:\\Users\\admin\\A S∆ABC = AH .BC � AH = ∆ABC = = 4a 2 BC a ppData\\Local\\Temp \\FineReader11.00\\m Khoảng cách từ S đến BC chính là SH edia\\image1.jpeg" \* Dựa vào tam giác vuông ASAH ta có MERGEFORMATIN SH = SA2 + AH 2 = (3a)2 + (4a)2 = 5a ET Baì 2: Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, sc vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a, SB = a,sc = 2a. Tinh kho ́ ảng cách từ A đến đường thẳng BC Hướng dẫn giải: + Dựng AH ⊥ BC � d( A; BC) = AH INCLUDEPICTURE AS ⊥ ( SBC) �� BC AS ⊥ BC "C:\\Users\\admin\\AppData\\Loc + al\\Temp\\FineReader11.00\\medi AH ⊥ BC a\\image5.jpeg" \* Va AH căt AS ̀ ́ nằm trong (SAH). MERGEFORMATINET � BC ⊥ ( SAH ) �SH � BC ⊥ SH Xét trong ASBC vuông tại s có SH là đường cao có: 1 1 1 1 1 1 = + � = + SH 2 SB2 SC2 SH 2 a2 4a2 2a 5 � SH = 5 ̣ ́ a dễ chứng minh được + Măt khac t AS ⊥ ( SBC) �� SH AS ⊥ SH � ∆ASH vuông tại S. Áp dụng hệ thức lượng trong AASH vuông tại S ta có: 4a2 7a 5 AH = SA + SH � AH = 9a + 2 2 2 � AH = 2 2 5 5 12
2. Một số bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Bai 3 ̀ : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN). S Phân tích, đinh h ̣ ương: ́ Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy M N việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của D P C các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P O đến (AMN) có thể thay bằng khoảng A B cách từ C đến (SAB). Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên 1 1 a2 7 S AMN = S ANS = S ABS = 2 4 16 PC / /( AMN ) . � d ( ( P,( AMN )) ) = d ( (C ,( AMN )) ) Vậy: 1 1 1 VP. AMN = S AMN .d ( ( P,( AMN )) ) = . S ABS .d ( (C ,( AMN )) ) 3 3 4 1 1 1 1 = VC . ABS = VS . ABC = . S ABC .SO . S ABC = 1 a 2 , SO = SA2 − AO 2 = a 6 . 4 4 4 3 2 2 1 1 2 a 6 a3 6 3V 6 Vậy VAMNP = . a . = � d ( ( P,( AMN )) ) = PAMN = a 12 2 2 48 S AMN 7 Bai 4 ̀ : . (KD 2007). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang. ﾷABC = BAD ﾷ = 900 , BA = BC = a , AD = 2a . 13
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD) . ̣ Phân tích, đinh h ương: ́ Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) là khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD) S N H E K D A Q P B C M 14
Hướng dẫn giải: Cách1: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông. Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM. Ta có: BH 1 = . BS 3 Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM. Từ đó ta có: d ( H , ( SCD ) ) KH 1 = = d ( A, ( SCD ) ) KA 3 Do tứ diện ASDM vuông tại A nên: 1 1 1 1 1 = + + = � d ( A, ( SCD ) ) = a d 2 ( A, ( SCD ) ) AS 2 AD 2 AM 2 a 2 a Vậy d ( H , ( SCD ) ) = 3 Cách 2: Sử dung ph ̣ ương phap tông h ́ ̉ ợp Gọi d1 , d 2 lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp (SCD), ta có: d1 SH 2 2 2 3V 2V = = � d1 = d 2 = � BSCD = BSCD d 2 SB 3 3 3 S∆SCD S ∆SCD 1 1 1 1 a3 Trong đó VBSCD = SA � S∆BCD = SA � S ∆BID = SA ��AB ID = 3 3 3 2 3 2 CD ⊥ AC Ta có: � CD ⊥ SC CD ⊥ SA 1 1 a � S ∆SCD = SC � CD = SA2 + AB 2 + BC 2 �CE 2 + ED 2 = a 2 2 � d1 = 2 2 3 Cách3: Sử dụng phương phap vec t ́ ́ ơ. uuur r uuur r uuur r Đặt AB = a; AD = b; AS = c r r r r r r Ta có: a� c = 0; b � c = 0; a � b=0 15
uur r r uuur r 1 r r uuur r r SB = a − c; SC = a + b − c; SD = b − c 2 Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD) SH 2 � d ( H ;( SCD)) = HN Dễ dàng tính được = SB 3 uuur uuur uuur 2 uur uuur uuur Khi đó: HN = HS + SN = − SB + xSC + ySD 3 � 2 �r �x �r �2 r � = �x − � a+� + b +� − x − y� y� c � 3 � �2 � �3 � Ta có: � 2 �r2 1 �x �r2 �2 r2 � 5 uuur uuur � x − a � + � + y �b − � − x − y c � =0 x= �HN � SC = 0 � � 3 � 2 �2 � �3 � � 6 �uuur uuur �� r2 �2 r2 HN � �x SD = 0 � + y � b − − x − y � c = 0 �y = − 1 � � � � 3 �2 � �3 � 2 uuur 1 r 1 r 1 r 1 �r 1 r r � a � HN = a + b + c � HN = �a + b + c �= 6 12 6 6 � 2 � 3 * Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương pháp véc tơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải là ba véc tơ không đồng phẳng. + Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc tơ một cách đơn giản nhất. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn AO. Biết rằng SC = 3a và a OH = .Tính theo a khoảng cách từ 2 điểm A đến mặt phẳng (SBD). Phân tích, đinh h ̣ ương: ́ Ta cần xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD), do đó phải chọn mặt 16
phẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (SBD). 17
Hướng dẫn giải: Cách1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Dễ thấy mặt phẳng (SAO) vuông góc và cắt mặt phẳng (SBD) theo giao tuyến SO. Khi đó trong mặt phẳng (SAO), kẻ AE SO (E SO) thì AE (SBD) hay d (A, (SBD)) = AE.Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a ∆SCH vuông tại H, nên ta có SH = SC 2 − HC 2 = 3a 3 2 Tam giác SHO vuông tại H nên SO = SH 2 + OH 2 = a 7 . Ta có AE.SO = SH.AO, suy ra d (A , (SBD )) = A E = SH .A O = 3a 21 SO 14 Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a, suy ra đáy có độ dài cạnh bằng a 2 Tam giác SHO vuông tại H nên SO = SH 2 + OH 2 = a 7 . 1 a3 3 1 Ta có VS.ABD = SH.S∆ABD = và S∆SBD = SO. BD = a2 7 3 2 2 3VS. ABD 3a 21 Vậy d (A, (SBD)) = = S∆SBD 14 Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Oxyz với O (0; 0; 0), A (0; a; 0), � a 3a 3 � 0; − ; B (a; 0; 0), C (0; a; 0), D (a; 0; 0), S � �. � 2 2 � Ta có phương trình mặt phẳng (SBD): 3 3 y + z = 0, do đó d (A, (SBD)) = 3a 21 . 14 Bai 6 ̀ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB tạo với đáy một góc 18
bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (AMN). Phân tích, đinh ̣ hương: ́ Ta cần tìm hình chiếu của S lên mặt phẳng (AMN), việc xác định là không khó nhưng khi tính khoảng cách từ điểm S đến hình chiếu thì gặp khó khăn.Do đó ta không thực hiện tính trực tiếp từ S mà thực hiện chuyển đổi khoảng cách để việc tính toán thuận lợi hơn. Ta thực hiện tính từ điểm O. Tuy vậy,việc xác định hình chiếu của O lên mặt phẳng (AMN) là đơn giản nhưng khi tính khoảng cách từ O đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng (AMN) cũng không đơn giản, do đó ta chuyển đến việc tính khoảng từ trung điểm E của AO đến mặt phẳng (AMN). Hướng dẫn giải: Cách 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp Ta có SO cắt (AMN) tại trung điểm I của MN, khi đó I cũng là trung điểm của SO. d ( S, ( AMN ) ) SI Vậy = =1 d ( S, ( AMN ) ) = d ( O, ( AMN ) ) d ( O, ( AMN ) ) OI Gọi E là trung điểm của AO thì IE // SA nên IE (ABCD). Kẻ EF AI (F AI) và do MN (SAC) nên MN EF a 21 Vậy EF (AMN) và d (E, (AMN)) = EF = 14 d ( O, ( AMN ) ) OA a 21 Mà = = 2 � d ( O, ( AMN ) ) = 2d ( E, ( AMN ) ) = d ( E, ( AMN ) ) EA 7 Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức 19
thể tích Từ giả thiết ta tìm được 1 1 ; MN = AM = AN = SB = SD = a; SA = a 3 2 2 1 a 2 7 BD = Trong tam giác SAO ta có SO = a ; AI = 1 SO = a 14 2 2 2 2 4 1 a 7 Diện tích của tam giác AMN là SAMN = AI.MN = 2 8 1 a3 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = SA.SABCD = 3 3 1 1 a3 3 Thể tích khối chóp S.AMN là VS.AMN = VS.ABD = VS.ABCD = 4 8 24 3VS.AMN a 21 Do đó d (S, (AMN)) = = . S∆AMN 7 Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz với � a a 3 � �a a 3 � 0; ; A (0; 0; 0), D (a; 0; 0), B (0; a; 0), S (0; 0; a 3 ), M � , N � ;0; � . � � 2 2 � �2 2 � Ta có phương trình mặt phẳng (AMN): 3 x + 3 y z = 0. a 3 a 21 Do đó d (S, (AMN)) = = . 7 7 Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC a 5 = a, SA = . Gọi I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S trên 2 (ABC) là trung điểm H của BC. Tính theo a khoảng cách từ I đến (SAB). Phân tích, đinh ̣ hương: ́ Ta cần tìm hình chiếu của I lên mặt phẳng (SAB), việc xác định là khó vì phải chọn mặt phẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (SAB). Tuy nhiên nếu ta chú ý đến giải thiết của bài toán thì dễ thấy do IH // (SAB)đó thay vì tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB) ta thực hiện tính khoảng cách từ điểm H đến 20