Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chia sẻ: Caphesuadathemhanh | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu đề tài là nhằm giúp các em học sinh nắm vững phương pháp xác định và tính cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vận dụng kiến thức đó vào giải bài toán. Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy thuật giải.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GD &ĐT VINH PHUC ̃ ́ TRƯƠNG THPT NGUYÊN THAI HOC ̀ ̃ ́ ̣ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Bai toan c ̀ ́ ực tri cua ham sô ch ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́ Tac gia: ́ ̉ Hoang Thi Hiên ̀ ̣ ̀ Ma môn: ̃ 52 Năm học 2019 2020 SỞ GD &ĐT VINH PHUC ̃ ́ 1
TRƯƠNG THPT NGUYÊN THAI HOC ̀ ̃ ́ ̣ BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Bai toan c ̀ ́ ực tri cua ham sô ch ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́ Tac gia: ́ ̉ Hoang Thi Hiên ̀ ̣ ̀ Ma môn: ̃ 52 Năm học 2019 2020 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu 2
Trong chương trinh toan phô thông, d ̀ ́ ̉ ạng bài toán: Bai toan c ̀ ́ ực tri cua ham sô ch ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu ́ ́ ̣ ̣ gia tri tuyêt đôi là m ́ ột trong các dạng bài toán đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học. Nhằm giúp các em học sinh năm v ́ ưng ph ̃ ương phap xac đinh va tính ́ ́ ̣ ̀ cực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ chưa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ưc đo vao giai bai toan. Giup hoc sinh phát tri ́ vân dung kiên th ́ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy thuật giải. Đông th ̀ ơi gop phân nâng cao hiêu qua ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ giao duc va gop phân nâng ̀ ́ ̀ ́ ượng giang day môn toan cao chât l ̉ ̣ ́ ở trương trung hoc phô thông ̀ ̣ ̉ ̣ tôi chon đê tai: ̀ ̀ ̀ ́ ực tri cua ham sô ch “Bai toan c ̣ ̉ ̀ ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi ́ ́ ̣ ̣ ́”. 2. Tên sáng kiến: ̀ ́ ực tri cua ham sô ch “Bai toan c ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̣ ̣ ́”. ́ ứa dâu gia tri tuyêt đôi 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên tac gia: Hoang Thi Hiên ́ ̉ ̀ ̣ ̀ Địa chỉ tác giả: Trương THPT Nguyên Thai Hoc ̀ ̃ ́ ̣ Số điện thoại:01668804899 E_mail:Hien7376@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sang kiên co thê ap dung vao giang day cho hoc sinh l ́ ́ ́ ̉ ́ ̣ ̀ ̉ ̣ ̣ ơṕ 12 THPT 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Thang 10 năm 2019 ́ 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung của sáng kiến: CHƯƠNG I: CƠ SỞ LY LUÂN VA TH ́ ̣ ̀ ỰC TIÊN ̃ BAI TOAN C ̀ ́ ỰC TRI CUA HAM SÔ CH ̣ ̉ ̀ ́ ƯA DÂU GIA TRI TUYÊT ĐÔI ́ ́ ́ ̣ ̣ ́ Phân I. C ̀ Ơ SỞ LY THUYÊT. ́ ́ 1.Cac phép bi ́ ến đổi đô thi ̀ ̣ a.Cac phép tinh tiên đô thi ́ ̣ ́ ̀ ̣ Cho hàm số có đồ thị (C). Khi đó, với số thực a > 0 ta có: Hàm sốcó đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy lên trên a đơn vị. Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy xuống dưới a đơn vị. 3
Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua trái a đơn vị. Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua phaỉ a đơn vị. b. Cac phep bi ́ ́ ến đổi đô thi khác ̀ ̣ Cho hàm số có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có: Hàm số có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox. Hàm số có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy. Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải truc Oy (ca nh ̣ ̉ ưng điêm năm ̃ ̉ ̀ ̣ trên truc Oy) Bỏ phần đô thi cua ̀ ̣ ̉ nằm bên trái truc ̣ Oy. Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua truc Oy ̣ . Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên truc Ox (ca nh ̣ ̉ ưng điêm năm ̃ ̉ ̀ trên Ox) Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phia d ́ ưới truc Ox qua tr ̣ ục Ox Bỏ phần đồ thị của (C) nằm dưới trục Ox. 2. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D và x0 D + x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0 sao cho (a;b) D và + x0 là điểm cực đai c ̣ ủa hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0 sao cho (a;b) D và PHÂN II : NÔI DUNG ̀ ̣ DANG 1: CAC BAI TOAN C ̣ ́ ̀ ́ ỰC TRI CUA HAM SÔ ̣ ̉ ̀ ́ Đê giai quyêt cac bai toan c ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ ực tri cua ham sô ta co dung môt trong ba cach sau: ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ Cach 1: ́ ̣ ̉ ̉ Lâp bang biên thiên cua ham sô ́ ̀ ́ Cach 2: ́ Sử dung phep biên đôi đô thi ̣ ́ ́ ̉ ̀ ̣ Ta có Tư đô thi suy ra đô thi băng cach: ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ + Giư nguyên phân đô thi cua (C) ̃ ̀ ̀ ̣ ̉ ở phia trên truc hoanh (kê ca nh ́ ̣ ̀ ̉ ̉ ững ̉ ̀ ́ ̣ điêm năm phia trên truc hoanh). ̀ ́ ́ ứng phân đô thi cua (C) + Lây đôi x ̀ ̀ ̣ ̉ ở phia d ́ ưới truc hoanh qua truc ̣ ̀ ̣ hoanh.̀ ̉ ̀ ̀ ̣ ̉ ́ ươi truc hoanh. + Bo phân đô thi cua (C) phia d ́ ̣ ̀ Cach 3: S ́ ử dụng kết quả của nhân xet sau: ̣ ́ Nhân xet 1: ̣ ́ 4
Goi k la sô điêm c ̣ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô y = f(x); h la sô nghiêm đ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ơn cua ph ̉ ương trinh ̀ f(x) = 0; e la sô nghiêm bôi le cua ph ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ương trinh f(x) = 0, ̀ thi sô điêm c ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng k + h + e ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh bổ đề: + Ta có + Theo giả thiết, là điểm tới hạn của hàm số nên xác định và không xác định. +) Ta có . Vì xác định nên xác định. Vậy xác định. (*) + Ta có . Vì không xác định nênkhông xác định. Vậy không xác định.(**) Từ (*), (**) suy ra cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)| Chứng minh nhận xét 1 Thât vây ̣ ̣ + Theo giả thiết, y = f(x) co k điêm c ́ ̉ ực tri co m nghiêm đ ̣ ́ ̣ ơn, n nghiêm bôi le và t đi ̣ ̣ ̉ ểm tới hạn ma m + n + t = k. (*) ̀ + Theo giả thiết, h la sô nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn cua ph ̉ ương trinh ; e la sô nghiêm bôi le cua ph ̀ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ương trinh (**) ̀ + ; Theo (*), (**) ta co sô điêm c ́ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng k + h + e ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Nhân xet 2: Sô điêm c ̣ ́ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô y = f(x). ̣ ̉ ̀ ́ Thật vậy +) Theo giả thiết y = f(x) co k điêm c ́ ̉ ực tri co m nghiêm đ ̣ ́ ̣ ơn, n nghiêm bôi le và t đi ̣ ̣ ̉ ểm tới hạn ma m + n + t = k. Gia s ̀ ̉ ử cac nghiêm đo la ́ ̣ ́ ̀ +) co;co k giá tr ́ ́ ị (gồm nghiêm đ ̣ ơn, nghiệm bôi le, đi ̣ ̉ ểm tới hạn). Vây co k điêm c ̣ ́ ̉ ực tri.̣ Hay sô điêm c ́ ̉ ực tri cua ham sô băng sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô y = f(x). ̣ ̉ ̀ ́ 1.1.Bai toan c ̀ ́ ơ ban: “ ̉ Cho hàm số . Hỏi sô đi ́ ểm cực trị của hàm số ” Bai 1:̀ ̀ ́ ́ ̀ ̣ Cho ham sô co đô thi (C) nh ư hinh ve. Tim sô ̀ ̃ ̀ ́ điểm cực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ Lơi giaì ̉ Cach 1: ́ Từ đô thi (C) ta suy ra đô thi (C’) cua ̀ ̣ ̀ ̣ ̉ ham sô (theo phep suy ra đô thi ) ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣ Nhin đô thi (C’), ta thây ham sô co 5 điêm c ́ ̀ ́ ́ ̉ ực trị Cach 2: ́ + Ham sô y = f(x) co 2 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri ̣ + Phương trinh f(x) = 0 co 3 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn + Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm bôi le ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ Vây sô điêm c ́ ̉ ực tri cua ham sô băng 2 + 3 + 0 ̣ ̉ ̀ ́ ̀ = 5 5
Bai 2 ́ ́ ̀ ̣ ̀ : Cho ham sô co đô thi (C) nh ̀ ư hinh ve. ̀ ̃ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô Tim sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ Lơi giai ̀ ̉ Cach 1 ́ : Tư đô thi (C) ta suy ra đô thi (C’) cua ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ Nhin đô thi (C’) , ta thây ham sô ́ ̀ ́ co 5 điêm ́ ̉ cực tri.̣ Cach 2 ́ : ̀ ́ ́ ̉ ực tri. + Ham sô y = f(x) co 3 điêm c ̣ Phương trinh f(x) = 0 co 2 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm bôi le . ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng 3 + 2 + 0 Vây sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ = 5. Bai 3: ̀ x 1 3 Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? y’ + 0 0 + y 5 1 Lơi giai ̀ ̉ + Đô thi ham sô y = f(x) co 2 điêm c ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh f(x) = 0 co 1 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô 2 + 1 + 0 = 3. Vây sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ Bai 4:̀ Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? x 1 0 1 y’ 0 + 0 0 + y 3 0 0 Lơi giai ̀ ̉ ̀ ̣ ̀ + Đô thi ham sô y = f(x) co 3 điêm c ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn (Phương trinh f(x) = 0 co 2 nghiêm bôi chăn) ̀ ́ ̣ ̣ ̃ 6
+ Phương trinh f(x) = 0 co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô la 3 + 0 + 0 = 3. Vây sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Bai 5: ̀ Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? Lơi giai ̀ ̉ Xet co ́ ́ + x 0 y’ 0 + 0 0 y 3 1 1 ̉ ực tri.̣ + Ham sô co 3 điêm c ̀ ́ ́ + Phương trinh co 4 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Suy ra số điểm cực trị của hàm số la 3 + 4 + 0 = 7. ̀ Bai 6: ́ ổng các giá trị cực đại của hàm số ̀ Tinh t Lơi giai ̀ ̉ Xet co ́ ́ x 0 y’ 0 + 0 0 y 2 6 6 ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Ham sô co 3 điêm c + Phương trinh co 2 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Suy ra, số điểm cực trị của hàm số la 5.̀ ̉ ực đai cua đô thi ham sô la A(;6), B(;6). Cac điêm c ́ ̣ ̉ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ Tổng các giá trị cực đại của hàm số la 12. ̀ Bai 7: ̀ Biết đồ thị hàm số căt truc hoanh tai đung 2 điêm. ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ Ham sô co bao nhiêu điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri?̣ Lơi giai ̀ ̉ + Vi ̀đồ thị hàm số căt truc hoanh tai đung 2 điêm ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ nên căn cứ vào hình dáng đồ thị ta thấy hàm số có hai điểm cực trị . + Mặt khác . Do đó phương trình có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép. Vậy số điểm cực trị của hàm số bằng 2 + 1 = 3. Bai 8: ̀ Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành. Số điểm cực trị của hàm sô ́ 7
Lơi giai ̀ ̉ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành nên co 3 nghiêm ́ ̣ đơn. Vây ṣ ố điểm cực trị của hàm sô la 3 + 2 =5. ́ ̀ Bai 9:̀ Cho hàm số vơi ́ . Hàm sốcó bao nhiêu điểm cực trị? Lời giải Theo giả thiết ta có đê ̉ Điều đó chứng tỏ rằng, phương trình co 4 nghiêm phân biêt. Do đó, hàm s ́ ̣ ̣ ố phải có 3 điểm cực trị. Vì vậy, hàm số co 4 + 3 = 7 điêm c ́ ̉ ực trị m y = x3 − 3x 2 − 9 x − 5 + 2 Bai 10: ̀ ́ ổng các giá trị của tham số m để hàm số Tinh t có 5 điểm cực trị. Lời giải f ( x ) = x3 − 3x 2 − 9 x − 5 Vẽ đồ thị hàm số Ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị nên cũng có 2 điểm cực trị. ￛ Yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là 3. Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là 3 ta cần tịnh tiến đồ thị theo phương Oy lên ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ỏ hơn 32 đơn vị Vi nên . Vây t trên môt đoan co đô dai nh ̀ ̣ ổng các giá trị của tham số m là 2016. Bai 11: (HSG Vinh Phuc 20182019). ̀ ̃ ́ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có đúng năm điểm cực trị. Lơi giai ̀ ̉ Xét hàm số Bảng biến thiên hàm số 0 2 x 0 0 y’ y m2 m6 8
Hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt . Vậy với thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị. Bai 12: (Câu 43 đê minh hoa 2018 cua Bô GD&ĐT). ̀ ̀ ̣ ̉ ̣ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 7 điểm cực trị? Lời giải Xét hàm số có Lập BBT của đồ thị hàm số ta có x 1 0 2 y’ 0 + 0 0 + y m m5 m32 Để đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị phương trình f(x) = 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt: Vì Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bai 13: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm sốcó đúng 3 điểm cực trị. Lời giải Xét ́ ược Tinh đ Bảng biến thiên của hàm số g(x) x a 1 3 g’ 0 + 0 0 + 9
g g(1) g(a) m g( x ) 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số có điểm cực trị. Suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi Cách 2: Xét Bảng biến thiên của hàm số g(x) x a 1 3 g’ 0 + 0 0 + g g(1) g(a) m g( x ) 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số có điểm cực trị. Suy ra đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp xúc) 1.2.Bai toan m ̀ ́ ở rông 1: “ ̣ Cho hàm số . Hỏi sô đi ́ ểm cực trị của hàm số ” Bai 1: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số co bao nhiêu điêm ́ ̉ cực tri?̣ Lơi giai ̀ ̉ Cach 1 ́ : Tư đô thi ham sô suy ra đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ Tư đô thi ham sô suy ra đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ Nhin đô thi ham sô ta thây,hàm s ́ ́ ố co 7 điêm c ́ ̉ ực tri?̣ 10
Cach 2: ́ ̀ ̀ ̣ ̀ Nhin đô thi ham sô ta thây ́ ́ ̀ ̣ ̀ + Đô thi ham sô co 3 điêm c ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh co 4 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ Suy ra, ham sôco 3 + 4 = 7 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri. ̣ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng sô điêm c + Vi sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ̉ ực ́nên ham sô co 7 điêm c ̀ ́ ́ tri.̣ Bai 2:̀ Cho hàm số có đạo hàm . Ham sô có nhi ̀ ́ ều nhất bao nhiêu điểm cực trị? Lơi giai ̀ ̉ + ; Suy ra hàm số có 3 điêm c ̉ ực tri. ̣ ́ ̉ ̉ ̀ ̣ ̀ ̣ + Sô giao điêm cua đô thi va truc hoanh nhiêu nhât la 4 hay ph ̀ ̀ ́ ̀ ương trinh co nhiêu nhât 4 ̀ ́ ̀ ́ nghiêm. ̣ ̣ Vây ham sô có nhi ̀ ́ ều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị. ̣ Vây ham sô có nhi ̀ ́ ều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị. Bai 3 ̀ : Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ? Lời giải Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số có điểm cực trị dương. Ham sôcó 2.2 + 1 = đi ̀ ́ ểm cực trị. Ham sô có đi ̀ ́ ểm cực trị với mọi m. Vậy có vô số giá trị m để hàm số có điểm cực trị. 1.3. Bai toan m ̀ ́ ở rông 2: “ ̣ Cho hàm số . Hỏi sô đi ́ ểm cực trị của hàm số ” Bai 1: ̀ Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ. ́ ểm cực trị của đồ thị hàm số : Tim sô đi ̀ Lời giải Cach 1 ́ : Tư ̀đồ thị của hàm số suy ra đồ thị hàm số Tư ̀đồ thị của hàm số suy ra đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị hàm số suy ra co 5 ́ điểm cực trị Cach 2: ́ ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Ham sô y = f(x) + 2 co 3 điêm c + Phương trinh f(x) + 2 = 0 co 2 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh f(x) + 2 = 0 co 0 nghiêm bôi l ̀ ́ ̣ ̣ ẻ. ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng 3 + 2 + 0 = 5. Vây sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Bai 2̀ : Cho hàm sô có đ ́ ồ thị như hình bên dưới. Tinh tông cac ́ ̉ ́ ̣ ̉ ̉ ực tri cua đô thi hàm s tung đô cua cac điêm c ́ ̣ ̉ ̀ ̣ ố Lời giải Đồ thị hàm số có được bằng cách 11
Tịnh tiến đô th ̀ ị hàm số theo phương Oy lên 4 đơn vị ta được Lấy đối xứng phần phía dưới truc Ox c ̣ ủa đồ thị hàm số qua truc Ox ta đ ̣ ược Dựa vào đồ thị hàm số suy ra t ọa độ các điểm cực trị là (1 ;0), (0 ;4), (2 ;0). Vây t ̣ ổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4 ￛ Bai 3: ̀ Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hinh ve. H ̀ ̃ ỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? x 1 3 y’ + 0 0 + y 2018 2018 Lời giải f ( x) Đồ thị hàm số có được từ đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của 12
x 2016 2020 u’ + 0 0 + u 4036 0 ̀ ́ ́ ̉ ực tri.̣ + Ham sô y = u(x) co 2 điêm c + Phương trinh co 1 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng 2 + 1 + 0 = 3. Vây sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Bai 4: ̀ Cho hàm số xác định trên và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Tinh ́ tổng tung độ các điểm cực trị cua đô thi ̉ ̀ ̣ ham sô ̀ ́ x 1 3 y’ || 0 + y || 1 Lơi giai ̀ ̉ Bảng biến thiên cua ham sô ̉ ̀ ́ như hình vẽ 13
x 1 3 g’ || 0 + g || 4 ̀ ̣ ̀ ̉ ực tri A(3;4) nên đô thi ham sô co 1 điêm c + Đô thi ham sô co 1 điêm c ́ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri la A’(3;4) ̣ ̀ Phương trinh co 3 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn nên đô thi ham sô co 3 điêm c ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri đêu co tung đô la 0. ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng 1+ 3 + 0 = 4 Vây sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ ̀ Suy ra tung độ các điểm cực trị là 4 + 0 + 0 + 0 = 4 Bai 5: ̀ Cho hàm số thỏa mãn và có đạo hàm . Hàm số co bao nhiêu điêm c ́ ̉ ực tri?̣ Lơi giai ̀ ̉ + ;. x 2 0 2 y’ + 0 0 + 0 y 0 0 y(0) ̉ + Bang biên thiên ́ 14
+ Hàm số co 3 điêm c ́ ̉ ực tri.̣ + Phương trinh co 0 nghiêm đ ̀ ́ ̣ ơn. + Phương trinh co 0 nghiêm bôi le. ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ Vây hàm s ố co 3 + 0 + 0 = 3 đi ́ ểm cực trị. Bai 6: ̀ Cho hàm số biết va . Tim s ̀ ̀ ố điểm cực trị của đồ thị hàm số . Lời giải Cach 1: ́ Đặt + Từ giả thiết đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị. + Ta có phương trinh có nghi ̀ ệm thuộc khoảng có 4 nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng phương). Vây hàm s ̣ ố có 7 điểm cực trị. Cách 2: Với bài tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau: Chọn Vẽ phác họa đồ thị ham sô, ta th ̀ ́ ấy đô thi hàm s ̀ ̣ ố có 7 điểm cực trị. m Bai 7 ̀ : Cho hàm số với là tham số thực. Tim sô điêm c ̀ ́ ̉ ực trị của đồ thị hàm số Lời giải Cách 1: Ta có: Suy ra ; + có 3 nghiệm đơn phân biệt vì với mọi m (hay ham sô co 3 điêm c ̀ ́ ́ ̉ ực tri)̣ + . 3 vô nghiệm. Vậy hàm số có cực trị. Cách 2: (Trong bai trăc nghiêm đê tim nhanh kêt qua ta nên đăc biêt hoa bai toan) ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ ́ ̀ ́ Ta cho m = 0, ta được hàm sô . Ta đi tim sô đi ́ ̀ ́ ểm cực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ x=0 � x= 2 f ( x ) − 1 = x 4 − 4 x 2 + 16 � g ( x ) = 4 x3 − 8 x g ( x ) = 0 � 4 x3 − 8x = 0 x=− 2 Đặt ; . ̉ Bang biên thiên ́ x 0 g’ 0 + 0 0 + 15
g 16 12 12 Do đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàm số cũng chính là đồ 3 thị của hàm số . Khi đó số điểm cực trị của hàm số là . y = f ( x) Bai 8: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tim t ̀ ất cả các m giá trị thực của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị Lơi giai ̀ ̉ Vi hàm đã cho có 2 đi ̀ ểm cực trị nên cũng có 2 điểm cực trị. ̉ Đê hàm s ố có 5 điểm cực trị số giao điểm của đô th ̀ ị với trục hoành là 3. Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là 3, co 2 tr ́ ương h ̀ ợp xay ra ̉ Tịnh tiến đồ thị theo phương Oy xuống phia d ́ ưới môt đoan co đô dai nh ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ỏ hơn 1 đơn vị Tịnh tiến đồ thị theo phương Oy lên trên môt đoan co đô dai nh ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ỏ hơn 3 đơn vị Vây ̣ Bai 9: ̀ Cho hàm số thoả mãn . Tìm số điểm cực trị của hàm số Lời giải Xet , ta co ́ ́ Do đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và suy ra hàm số có hai điểm cực trị Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 + 3 = 5 BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUYÊN DANG 1 ̣ ̣ Câu 1: Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số là: A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Câu 3: Cho hàm số xác định trên và liên tục trên từng khoảng xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. 16
Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Câu 4: Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ. Số cực trị của đồ thị hàm số là: A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 5: Cho đồ thị của hàm số như hình vẽ. Số cực trị của đồ thị hàm số là: A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 Câu6: Cho hàm số bậc ba với , biết , và . Tim s ̀ ố điểm cực trị của đồ thị hàm số A. 1 B. 5 C. 3 D. 7 Câu 7: Cho hàm số với, và. Số cực trị của hàm số là: A. 1 B. 5 C. 3 D. 7 Câu 8: Cho hàm số , với m là tham số. Tim s ̀ ố cực trị của hàm số A. 2 B. 5 C. 4 D. 7 Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên đê ham sô co đung 5 điêm c ̉ ̀ ́ ́ ́ ̉ ực trị A. 12 B. 15 C.16 D. 17 DANG 2: CAC BAI TOAN C ̣ ́ ̀ ́ ỰC TRI CUA HAM SÔ ̣ ̉ ̀ ́ Đê giai quyêt cac bai toan ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ cực tri cua ham sô ̣ ̉ ̀ ́ ta dung môt trong ba cach sau: ̀ ̣ ́ Cach 1: ́ ̣ ̉ ̉ Lâp bang biên thiên cua ham sô ́ ̀ ́ ́ : Sử dung phep biên đôi đô thi Cach 2 ̣ ́ ́ ̉ ̀ ̣: Tư đô thi suy ra đô thi ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ́ : Đê giai quyêt cac bai toan trên ta vân dung nhân xet sau Cach 3 ̉ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ ́ : Nhân xet: Goi k la sô điêm c ̣ ́ ̣ ̀ ́ ̉ ực tri d ̣ ương cua ham sô thi sô điêm c ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ực tri cua ham sô băng ̣ ̉ ̀ ́ ̀ 2k + 1 17
Thât vây ̣ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ực tri d + Theo gia thiêt k la sô điêm c ́ ̣ ương cua ham sô co k nghiêm d ̉ ̀ ́ ́ ̣ ương ̀ ̀ ̣ ̀ đô thi đôi x + Vi đô thi va ̀ ̣ ́ ứng nhau qua Oy co k nghiêm âm ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ + Vi đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́va đô thi ham sô ́ ưng nhau qua truc Oy nên f’(x) đôi dâu khi qua ́ đôi x ́ ̣ ̉ ́ ̉ điêm x = 0 ̣ ́ ̉ ực tri cua ham sô Vây sô điêm c ̣ ̉ ̀ ́ băng 2k + 1 ̀ 2.1 Bai toan c ̀ ̉ “Cho đồ thị của hàm số . Hỏi sô đi ́ ơ ban. ́ ểm cực trị của hàm số Bai 1: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Ham s ̀ ố có bao nhiêu điểm cực trị? Lời giải Cach 1: ́ + Tư đô thi hàm s ̀ ̀ ̣ ố ta suy ra đồ thị ham s ̀ ố Dựa vào đồ thị hàm số có 7 cực trị. Cach 2: ́ + Hàm số co 3 điêm c ́ ̉ ực tri d ̣ ương + Vậy hàm số có 3.2 + 1 = 7 điêm ̉ cực trị Bai 2: ̀ Cho hàm số xác định và liên tục trên , có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số x 2 1 4 18
y’ + 0 0 + 0 y f(2) f(4) f(1) Lơi giai ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ực tri d Ham sô co hai điêm c ̣ ương, suy ra sô ́điểm cực trị của hàm số la 2.2 + 1 = 5 ̀ Bai 3 ̀ : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm với Tìm số điểm cực trị của hàm số Lơi giai ̀ ̉ Ta có ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ̀ ́ ́ ̉ ực tri. Vi co 2 nghiêm bôi le (x = 3 va x = 2) nên ham sô y = f(x) co 2 điêm c ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri d Ham sô y = f(x) co 1 điêm c ̣ ương nên co 2.1 + 1 = 3 điêm c ́ ̉ ực tri.̣ Bai 4 ̀ : Có bao nhiêu số nguyên đê ham sô có đúng 5 đi ̉ ̀ ́ ểm cực trị. Lời giải Ham sô có đúng 5 đi ̀ ́ ểm cực trị. có hai điểm cực trị dương có hai nghiệm dương. có hai nghiệm dương. (vì ) 2.2 Bai toan m ̀ ́ ở rông 1. ̣ “Cho đồ thị của hàm số . Hỏi sô đi ́ ểm cực trị của hàm số Bai 1: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số co bao nhiêu đi ́ ểm cực trị? Lơi giai ̀ ̉ Cach 1: ́ + Tư ̀đồ thị của hàm số suy ra đô thi hàm s ̀ ̣ ố . ̀ ̀ ̣ Nhin đô thi ta thây,hàm s ́ ố co 7 đi ́ ểm cực trị. Cách 2: Bảng xét dấu g’(x) 19
x a+1 1 0 1 2 3 a+1 y’ 0 + 0 + || 0 + 0 + Vậy đồ thị hàm số đã cho có 7 điểm cực trị . Bai 4: ̀ Cho hàm số đa thức bậc bốn co 3 điêm c ́ ̉ ực tri . Có bao nhiêu s ̣ ố nguyên để hàm số có 7 điểm cực trị. Lời giải Hàm số có 7 cực trịco 3 đi ́ ểm cực trị lớn hơn m Các điểm cực trị của hàm số là Vậy ta có điều kiện là 2.3 Bai toan m ̀ ́ ở rông 2. ̣ “Cho đồ thị của hàm số . Hỏi sô đi ́ ểm cực trị của hàm số Bai 1: ̀ Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? Lời giải Cach 1: ́ + Tư đô thi ham sô suy ra đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ + Từ đô thi ham sô suy ra đô thi ham sô ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̀ ́ ồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Nhin đô thi ham sô ta thây: Đ ́ Cach 2 ́ : Dựa vao nhân xet 2: T ̀ ̣ ́ ừ đồ thị ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị dương nên hàm số có 5 điểm cực trị. Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm thay đổi cực trị). 20