Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua việc định hướng giải quyết bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên tính chất đặc trưng của điểm và đường

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là cung cấp thêm cho các em học sinh lớp 10 THPT và đồng nghiệp một số cách nhìn trong việc giải quyết các bài toán về tọa độ của hình học phẳng khó, dựa trên kiến thức đã được tìm hiểu ở bậc THCS thiết lập mối quan hệ của điểm và đường để từ đó giải quyết nhanh các bài toán tọa độ hình học phẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua việc định hướng giải quyết bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên tính chất đặc trưng của điểm và đường

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA VIỆC ĐỊNH HƯỚNG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG DỰA TRÊN TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG Người thực hiện: Đậu Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên Năm học: 2020 – 2021 Tháng 3 năm 2021 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Trong xu hướng phát triển nên kinh t ̀ ế tri thức, Việt Nam càng coi trọng giáo dục, khẳng định giáo dục là quốc sách hàng đầu để sáng tạo ra hệ thống giá trị hiện đại, đổi mới, làm nguồn lực thúc đẩy phát triển kinh tế xã hội. Nhưng năm qua, v ̃ ơi nhiêu giai phap thiêt th ́ ̀ ̉ ́ ́ ực được triên khai va th ̉ ̀ ực hiên co ̣ ́ ̣ ̉ ền giáo dục Việt Nam đã đat đ hiêu qua, n ̣ ược nhiều thành tựu to lơn trên linh ́ ̃ vực giao duc, đào t ́ ̣ ạo nguồn nhân lực cho đất nước va xa hôi. ̀ ̃ ̣
2 Tuy nhiên, trước yêu cầu cấp bách của sự phát triển kinh tế xã hội trong bối cảnh toàn cầu hóa, đã nảy sinh môt sô b ̣ ́ ất cập đòi hỏi chúng ta phải có sự đôi m ̉ ơi căn ban trong ch ́ ̉ ương trinh giao duc noi chung va giao duc phô ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ̉ thông noi riêng. Trên c ́ ơ sở kế thừa và phát triển những ưu điểm của các chương trình giáo dục phổ thông đã có của Việt Nam; đồng thời, tiếp thu thành tựu nghiên cứu về khoa học giáo dục và kinh nghiệm xây dựng chương trình theo mô hình phát triển năng lực của những nền giáo dục tiên tiến trên thế giới va qua trinh nghiên c ̀ ́ ̀ ứu, sang tao, đôi m ́ ̣ ̉ ới phương phap cua môi nha ́ ̉ ̃ ̀ ̣ khoa hoc va môi giao viên g ̀ ̃ ́ ắn với nhu cầu phát triển của đất nước, những tiến bộ của thời đại khoa học công nghệ đê sang tao ra nh ̉ ́ ̣ ưng san phâm tri ̃ ̉ ̉ ́ ̣ tuê, gop phân th ́ ̀ ực hiên co hiêu qua chu tr ̣ ́ ̣ ̉ ̉ ương đôi m ̉ ới va phat triên nên giao ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ̉ duc cua đât n ́ ươc. ́ Trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo cũng đã chỉ rõ một thực trạng hiện nay là “…công việc giảng dạy, học tập, thi cử, kiểm tra và đánh giá kết quả còn lạc hậu, thiếu thực chất…’’. Để đáp ứng được các yêu cầu của cuộc sống, của xã hội hiện đại buộc chúng ta phải tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện hệ thống giáo dục quốc gia. Đó là thay đổi tất cả những yếu tố, những chủ thể của quá trình đào tạo: Thầy phải thay đổi, trò phải thay đổi, cán bộ quản lý phải thay đổi; tư duy phải thay đổi, hành động phải thay đổi; chương trình phải thay đổi, sách giáo khoa phải thay đổi, cách dạy, cách học, cách thi cử càng phải thay đổi. Trong đó, đổi mới giáo dục phổ thông giữ vai trò then chốt, bởi vì “giáo dục phổ thông là nền tảng của cả hệ thống giáo dục quốc gia”. Trong những năm gần đây thì nội dung, phương pháp đào tạo, chương trình môn Toán học ở bậc THPT đã có rất nhiều thay đổi về yêu cầu giáo dục, nội dung kiến thức và kỹ năng. Cụ thể: Về chương trình: đã có những quy định về Chuẩn kiến thức và người giáo viên phải dạy như thế nào để học sinh đạt được chuẩn kiến thức đó. Về kỹ năng, hình thức và phương pháp dạy học: chuyển từ nền giáo dục THPT nặng về truyền thụ kiến thức một chiều sang nền giáo dục THPT chú trọng phát triển năng lực và phẩm chất của học sinh, được tiến hành bằng cách đổi mới dạy học theo hướng phát triển năng lực cá nhân người học, người giáo viên phải lấy học sinh làm trung tâm; áp dụng các phương pháp , kỹ thuật dạy học tích cực, chấm dứt hoàn toàn hiện tượng dạy học theo kiểu áp đặt, truyền thụ kiến thức một chiều, thầy đọc trò chép; chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự nghiên cứu, giúp những học sinh có năng lực hoạt động trí tuệ, phát huy được tính tích cực trong học tập nói
3 chung và học tập môn Toán nói riêng; tăng cường các hoạt động phát triển tư duy và tính sáng tạo; biết vận dụng kiến thức đã được học để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực tế … ̣ ́ ̣ ơi cac bai toan hinh hoc toa đô phăng, Trong qua trinh hoc sinh tiêp cân v ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ̣ ̣ hoc sinh găp kho khăn trong viêc đinh h ́ ̣ ̣ ương cach giai, hoc sinh không biêt ́ ́ ̉ ̣ ́ ́ ử dung gia thiêt cung nh cach s ̣ ̉ ́ ̃ ư môi liên hê cua gia thiêt v ́ ̣ ̉ ̉ ́ ới yêu câu bai toan ̀ ̀ ́ ̣ ̀ ươc can l đăt ra lam b ́ ̉ ơn trong viêc giai toan. Chinh vi vây, tac gia viêt đê tai ́ ̣ ̉ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̉ ́ ̀ ̀ ̣ nay nhăm môt phân nao đo đinh h ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̣ ướng cung nh ̃ ư chi ra môi liên hê cua cac ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ́ ường trong bai toan, t điêm, cac đ ̀ ́ ừ đo vân dung tinh chât đăc tr ́ ̣ ̣ ́ ́ ̣ ưng cua điêm va ̉ ̉ ̀ đường vao viêc tim ra l ̀ ̣ ̀ ơi giai ma bai toan yêu câu. ̀ ̉ ̀ ̀ ́ ̀ Nhằm khắc phục phần nào những khó khăn, hạn chế đã nêu trên, tać gia l ̀ ̣ ư duy ̉ ựa chọn và viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Ren luyên t sang tao cho hoc sinh trung h ́ ̣ ̣ ọc phổ thông thông qua viêc đinh h ̣ ̣ ương giai ́ ̉ quyêt bai toan hinh hoc toa đô phăng d ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ựa trên tinh chât đăc tr ́ ́ ̣ ưng cua điêm ̉ ̉ va đ ̀ ường”. 2. Mục đích nghiên cứu Giới thiệu, cung cấp thêm cho các em học sinh lớp 10 THPT và đồng nghiệp một số cach nhin trong viêc giai quyêt cac bai toan vê toa đô cua hinh ́ ̀ ̣ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ̉ ́ ựa trên kiên th hoc phăng kho, d ́ ưc đa đ ́ ̃ ược tim hiêu ̀ ̉ ở bâc THCS thiêt lâp môi ̣ ́ ̣ ́ ̣ ̉ ̉ quan hê cua điêm va đ̀ ường đê t ̉ ừ đo giai quyêt nhanh cac bai toan toa đô hinh ́ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ hoc phăng. Rèn luyện cho các em học sinh THPT nói chung, học sinh các lớp 10 THPT chuẩn bị tham gia kỳ thi THPTQG hàng năm, ky thi HSG nói riêng kh ̀ ả năng thông hiểu, vận dụng , vận dụng cao các kiến thức cơ bản của Hinh hoc ̀ ̣ 10 vào giải quyết các bài toán Hinh hoc toa đô phăng. ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ Hình thành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em phương pháp tìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung, chương trình môn Toán bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoa và thực tiễn cuộc sống. Phát triển tư duy sáng tạo cho các em học sinh, đáp ứng các yêu cầu trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp 10 , hoc sinh chuân bi tham d ̣ ̉ ̣ ự kỳ thi THPTQG hàng năm.
4 Giáo viên giảng dạy môn Toán THPT. 4. Phương pháp nghiên cứu Trên cơ sở kiến thức Sách giáo khoa Hinh hoc 10 (c ̀ ̣ ơ bản), tac gia xây ́ ̉ dựng, khai thác, phát triển, sắp sếp các vấn đề, lồng ghép vào các ví dụ (được tham khảo từ đề thi HSG tinh l̉ ơp 11 hang năm cua cac tinh, thanh phô, đê thi ́ ̀ ̉ ́ ̉ ̀ ́ ̀ thử THPTQG hang năm cua môt sô tr ̀ ̉ ̣ ́ ương và m ̀ ột số tài liệu tham khảo khác) để phân hoạch thành các dạng toán cụ thể theo từng mức độ để phù hợp với từng nhu cầu, năng lực của các em học sinh. Tham khảo bài viết của các đồng nghiệp ở các tạp chí có nội dung liên quan đến đề tài. Trao đổi với các đồng nghiệp ở Tổ Toán Tin ở Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) và một số đơn vị bạn trong tỉnh có quan tâm đến vấn đề này để đề xuất biện pháp tiếp cận lời giải các bài toán, triển khai đề tài. Trao đổi, thảo luận và phối hợp trực tiếp với các em học sinh được tać ̉ ực tiếp giảng dạy ở Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) gia tr để kiểm nghiệm và rút kinh nghiệm. 5. Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo, học tập cho các em học sinh lớp 10 THPT trong và ngoài trường. Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy bộ môn Toán THPT. Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo trong lĩnh vực này để phục vụ công tác giảng dạy của giáo viên, công việc học tập cho học sinh và công tác nghiên cứu của các nhà giáo dục. Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song se không tránh kh ̃ ỏi nhưng thi ̃ ếu sót, tac gia r ́ ̉ ất mong muôn nhân đ ́ ̣ ược sự đóng góp ý kiến của các ̣ ́ ộc giả để tiêp tuc hoàn thi đông nghiêp, cac đ ̀ ́ ̣ ện hơn và đạt được nhiều kết quả tốt hơn nữa trong việc giảng dạy môn Toán THPT nói chung và giảng dạy phần Toa đô Hinh hoc phăng THPT nói riêng. Tac gia xin chân thành c ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ̉ ảm ơn. B. NỘI DUNG 1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của toa đô hinh hoc phăng ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và tính chât c ́ ơ
5 ̉ ̉ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ ban cua toa đô hinh hoc phăng. 1.1. Định nghĩa truc toa đô ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ ̣ ̀ ̣ ường thăng trên đo đa xac đinh Truc toa đô la ( con goi la truc) la môt đ ̉ ́ ̃ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ ̀ ̉ ́ ̀ ̣ môt điêm O goi la điêm gôc va môt vect ơ đơn vi . ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̀ Ta ký hiêu truc toa đô la ̀ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ́ ́ ̣ ́ Cho M la điêm tuy y trên truc . Khi đo co duy nhât môt sô k sao cho . Ta ̣ ́ goi sô k đo ̀ ̣ ̣ ̉ ̉ ́la toa đô cua điêm M vơi truc đa cho ́ ̣ ̃ . 1.2. Đinh nghia hê truc toa đô ̣ ̃ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ Hê truc toa đô ̣ gôm hai truc va vuông goc v ̀ ̣ ̀ ́ ơi nhau. Điêm gôc O chung ́ ̉ ́ ̉ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ cua hai truc goi la gôc tao đô. Truc đ ược goi la truc hoanh va ki hiêu Ox, truc ̣ ̀ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̣ được goi la truc tung va ki hiêu la Oy. Cac vect ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ơ va la cac vect ̀ ̀ ́ ơ đơn vi trên ̣ ̣ ̣ ̣ ̀ ược ki hiêu la Oxy. Ox va Oy va . Hê truc tao đô con đ ̀ ̀ ́ ̣ ̀ 1.3. Toa đô vect ̣ ̣ ơ ̣ ̉ Trong măt phăng Oxy, cho vect ơ tuy y. Ve va goi lân l ̀ ́ ̃ ̀ ̣ ̀ ượt la hinh chiêu ̀ ̀ ́ ́ ̉ ́ ̀ ̣ ́ ̉ vuông goc cua A lên Ox va Oy. Ta co va căp sô duy nhât đê . Nh ̀ ́ ư vây . ̣ ̣ ́ ́ ược goi la tao đô cua vect Căp sô (x;y) duy nhât đo đ ́ ̣ ̀ ̣ ̣ ̉ ơ đôi v ́ ơi hê toa đô Oxy ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ứ nhât x goi la hoanh đô, sô th va viêt hoăc . Sô th ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ́ ứ hai y goi la tung đô cua ̣ ̀ ̣ ̉ vectơ Như vây ̣ 1.4. Nhân xet ̣ ́ Từ đinh nghia toa đô vect ̣ ̃ ̣ ̣ ơ , ta thây hai vect ́ ơ băng nhau khi va chi khi ̀ ̀ ̉ ́ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣ ̀ chung co hoanh đô băng nhau va tung đô băng nhau. Nêu va thi ́ ̀ ̀. Như vây, môt vect ̣ ̣ ơ hoan toan đ ̀ ̀ ược xac đinh khi biêt tao đô cua no. ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̉ ́ 1.5. Biêu th ̉ ưc toa đô cua tich vô h ́ ̣ ̣ ̉ ́ ướng ̣ ̉ ̣ ̣ , cho hai vectơ . Khi đo tich vô h Trên măt phăng toa đô ́ ́ ướng la ̀ 1.6. Vectơ chi ph ̉ ương cua đ ̉ ường thẳng Vectơ được goi la vect ̣ ̀ ơ chi ph ̉ ương cua đ ̉ ường thăng nêu va gia cua ̉ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ̀ ơi song song hoăc trung v ́ 1.7. Đinh nghia ph ̣ ̃ ương trinh tham sô cua đ ̀ ́ ̉ ường thăng ̉ ̣ ̉ Trong măt phăng Oxy cho đương thăng đi qua điêm va nhân lam vect ̀ ̉ ̉ ̀ ̣ ̀ ơ ̉ ương. Vơi môi điêm M bât ki trong măt phăng, ta co . Khi đo chi ph ́ ̃ ̉ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ́ cung ̀
6 phương vơi ́ ̣ ương trinh (1) đ Hê ph ̀ ược goi la ph ̣ ̀ ương trinh tham sô cua đ ̀ ́ ̉ ương thăng , ̀ ̉ trong đo t la tham sô. ́ ̀ ́ 1.8. Vectơ phap tuyên cua đ ́ ́ ̉ ường thăng ̉ Vectơ được goi la vect ̣ ̀ ơ phap tuyên cua đ ́ ́ ̉ ường thăng nêu va vuông ̉ ́ ̀ ́ ới vectơ chi ph goc v ̉ ương cua ̉ 1.9. Phương trinh tông quat cua đ ̀ ̉ ́ ̉ ường thăng ̉ ̣ ̉ Trong măt phăng Oxy cho đường thăng đi qua va nhân lam vect ̉ ̀ ̣ ̀ ơ phaṕ ́ ơi môi điêm M(x;y) bât ki thuôc măt phăng, ta co: tuyên. V ́ ̃ ̉ ́ ̀ ̣ ̣ ̉ ́ Khi đo ́ (2) ̣ Đinh nghia: Ph ̃ ương trinh v ̀ ơi a, b không đông th ́ ̀ ời băng 0, đ ̀ ược goi la ̣ ̀ phương trinh tông quat cua đ ̀ ̉ ́ ̉ ường thăng.̉ 1.10. Vi tri t ̣ ́ ương đôi cua hai đ ́ ̉ ường thăng ̉ Xet hai đ ́ ường thăng va co ph ̉ ̀ ́ ương trinh tông quat lân l ̀ ̉ ́ ̀ ượt la va . ̀ ̀ ̣ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉ ̣ ương trinh: Toa đô giao điêm cua va la nghiêm cua hê ph ̀ ̀ ̀ (I) ́ ́ ường hợp sau: Ta co cac tr ̣ ́ ̣ ̣ ́ ́ ̣ a) Hê (I) co môt nghiêm , khi đo căt tai ̣ ̣ ́ ̀ ới b) Hê (I) vô sô nghiêm, khi đo trung v ́ ̣ ̣ ́ ̉ c) Hê (I) vô nghiêm, khi đo không co điêm chung v ́ ơi , hay song song ́ vơi ́ 1.11. Goc gi ́ ưa hai đ ̃ ường thăng ̉ Cho hai đương thăng ̀ ̉ và :. ̣ ̀ ́ ̀ ̣ Đăt thi ta thây băng hoăc bu v̀ ơi goc gi ́ ́ ưa va trong đo , lân l ̃ ̀ ́ ̀ ượt là vectơ phap tuyên cua . Vi nên ta suy ra ́ ́ ̉ ̀
7 Do đó ta có 1.12. Công thưc tinh khoang canh t ́ ́ ̉ ̉ ư môt điêm đên môt đ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ường thăng ̉ ̣ ̉ Trong măt phăng Oxy cho đ ường thăng ̉ ́ ương trinh co ph ̉ ̀ va ̀ điêm . ̉ ́ ư điêm đên đ Khoang cach t ̀ ̉ ́ ường thăng , ki hiêu la , đ ̉ ́ ̣ ̀ ược tinh b ́ ởi công thức 2. Sử dung môi quan hê gi ̣ ́ ̣ ưa điêm đ ̃ ̉ ược cho vơi điêm cân tim đê xac ́ ̉ ̀ ̀ ̉ ́ đinh toa đô điêm ̣ ̣ ̣ ̉ Trong mục này thông qua các bài toán, tác giả trình bày một số dấu hiệu vê môi qua hê gi ̀ ́ ̣ ưa điêm đa cho v ̃ ̉ ̃ ơi điêm cân tim, đê t ́ ̉ ̀ ̀ ̉ ừ đo xây d ́ ựng cać công thưc, phương trinh cân thiêt nhăm tim ra toa đô điêm ma bai toan yêu ̀ ̀ ́ ̀ ̀ ̣ ̣ ̉ ̀ ̀ ́ câu. Chúng ta l ̀ ần lượt xét các bài toán sau: Bài toán 1.1. Trong măt phăng v ̣ ̉ ơi hê truc toa đô Oxy, cho tam giac ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ABC co ́A(0;2), B(2;2) va ̀C(4;2). Goi ̣ M, N lân l ̀ ượt la trung điêm canh ̀ ̉ ̣ AB va ̀BC, H la chân đ ̀ ường cao ha ṭ ừ B lên AC. Xac đinh trong tâm ́ ̣ ̣ ̉ G cua tam giac ́ MNH. A. B. C. D. Nhận xét và định hướng: Trong bai toan nay ro rang chung ta thây ̀ ́ ̀ ̃ ̀ ́ ́ được nếu có tọa độ của M, N, H thì tìm được tọa độ trọng tâm. Mà M, N là trung điểm của AB, BC nên ta dễ dàng tìm được tọa độ hai điểm đó. Còn H là chân đường cao, ta dựa vào điều kiện tọa độ chân đường cao thì việc tìm tọa độ H dễ dàng thực hiện được. Cụ thể ta có lời giải bài toán như sau : Lời giải : Ta co M(1,0) va N(1;2),. Gia s ́ ̀ ̉ ử . Ta co:́ ̀ ̣ Do G la trong tâm tham giac MNH nên ta co: . ́ ́ ̣ ́ ́ ̉ Vây đap an cua chung ta la A. ́ ̀ Qua bài Bài toán 1.1 ta thấy viêc tim ra môi quan hê gi ̣ ̀ ́ ̣ ưa điêm đ ̃ ̉ ược cho ̀ ̉ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ̀ ̣ va điêm cân tim la chia khoa giai quyêt bai toan nay. Ngoai yêu câu la tim trong ̉ ́ ̉ ử dung gia thiêt đo nh tâm G cua tam giac NMH, chung ta cung co thê s ́ ́ ̃ ̣ ̉ ́ ́ ưng v ̃ ơí nhưng yêu câu t ̃ ương tu ṿ ơi nh ́ ưng điêm đăc biêt kh ̃ ̉ ̣ ̣ ác. Ví dụ sau đậy là minh chứng. Bai toan 1.2. ̀ ́ ̣ ̉ Trong măt phăng v ơi hê truc toa đô Oxy, cho tam giac ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ABC ̣ M, N lân l co ́A(0;2), B(2;2) va ̀C(4;2). Goi ̀ ượt la trung điêm canh ̀ ̉ ̣ AB va ̀BC,
8 H la chân đ ̀ ường cao ha t ̣ ừ B lên AC. Xac đinh tâm đ ́ ̣ ường tron ngoai tiêp ̀ ̣ ́ I cuả tam giac ́ MNH. A. B. C. D. Hướng dân ̉ ử . Ta co:́ ̃ Gia s Vậy đap an la B. ́ ́ ̀ ́ ơi nh Đôi v ́ ưng bai toan cho điêm đăc biêt cua tam giac va yêu câu tim ̃ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ̀ ̀ ̉ ̉ ́ sử dụng công thức biểu diễn về mối qua hệ điểm đó với đinh cua tam giac ta điểm cần tìm mà học sinh đã được học nhiều ở bậc THCS . Vi du nh ́ ̣ ư cac bai ́ ̀ toan sau: ́ Oxy Bài toán 1.3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác ABC AC có trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trung điểm của là. Tìm toạ độ các điểm biết rằng có hoành độ âm. A. B. ̣ C. D. hoăc Bài giải: Gọi là điểm đối xứng qua, ta có là hình bình hành. Theo giả M thiết là trung điểm , suy ra cũng là trung điểm, do đó ta có hay . Kết hợp với , suy ra. Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, phương trình của . Mặt khác, do nên. Toạ độ của là nghiệm của hệ: hoặc. Kết hợp giả thiết bài toán ta có. Bài toán 1.4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nhọn, không cân có trực tâm, nội tiếp đương tròn tâm, bán kính và. Tìm toạ độ các điểm biết rằng cac điêm có hoành đ ́ ̉ ộ âm. A. B. ̣ C. D. hoăc
9 Bài giải: Gọi là điểm đối xứng qua, ta có là hình bình hành. Theo giả thiết là trung điểm, suy ra cũng là trung điểm . Do nên, suy ra hệ hay. Lại có nên, suy ra phương trình của, tọa độ của là nghiệm của hệ: . Giải ra ta được . Vây đap an la A. ̣ ́ ́ ̀ Bài toán 1.5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nhọn có trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, thuộc trung tuyến và. Tìm toạ độ điểm biết có tung độ nhỏ hơn 2. A. B. C. D. Bài giải. Do nên ; phương trình , suy ra . Ta có ; suy ra hay. W Mà nên. Lại có phương trình , kết hợp với ta được. Bài toán 1.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nhọn có và là trung điểm của. Gọi lần lượt là chân đường cao hạ từ và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là. Tìm toạ độ điểm . A. B. C. D. Bài giải: Gọi là trực tâm tam giác, suy ra đối xứng qua, là tâm đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác và là điểm đối xứng của qua . Ta có là hình bình hành nên trung điểm của cũng là trung điểm . Ta có và nên , suy ra phương trình của (C):, phương trình của đường thẳng . Do đó tọa độ của là nghiệm của hệ: hoặc, suy ra : hoặc. ̣ Vây đap an la D . ́ ́ ̀ Tương tự vơi viêc s ́ ̣ ử dung kiên th ̣ ́ ưc hinh hoc THCS vao giai hinh hoc ́ ̀ ̣ ̀ ̉ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ̣ ̉ ơn la bai toan tim điêm toa đô phăng, cu thê h ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ở bai toan trên. Bai toan sau đây ̀ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ược cung cân huy đông kiên th hoc sinh muôn lam đ ̃ ̀ ̣ ́ ức hinh hoc đa đ ̀ ̣ ̃ ược hoc ̣ ở ̣ bâc THCS. Bài toán 1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác nhọn có các
10 điểm lần lượt là chân đường cao hạ từ lên cạnh đối diện. Tìm tọa đỉnh A của tam giác. A. B. C. D. Hướng dân. ́ ̀ ược cân thiêt lâp đ ̃ Bai toan nay muôn lam đ ̀ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ược môi liên hê ́ ̣ giưa cac điêm M, N, P la chân đ ̃ ́ ̉ ̀ ường cao vơi cac điêm A, B, C thông qua biêu ́ ́ ̉ ̉ thưc vect ́ ơ va cac kiêm th ̀ ́ ́ ức cua cac điêm đa đ ̉ ́ ̉ ̃ ược hoc ̣ ở bâc hoc THCS ̣ ̣ H ABC B, P , N , C Bài giải. Gọi là trực tâm tam giác , do thuộc đường BC ﾷ PNB ﾷ = PCB H , N , C, M tròn đường kính nên và thuộc đường tròn đường HC ﾷ HNM ﾷ = HCM ﾷ PNB ﾷ = BNM ﾷ MPH ﾷ = NPH kính nên , suy ra . Tương tự ta có , ﾷ PMH ﾷ = NMH H MNP NP = 3 hay là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Do , uuuur uuur uuur HM = ( 1 − xH ; −2 − yH ) MP = 4 HN = ( −2 − xH ; 2 − yH ) MN = 5 HP = ( 1 − xH ; 2 − yH ) ; , ; , . uuuur uuur uuur r NP.HM + MP.HN + MN .HP = 0 Kết hợp với ta có hệ phương trình: 3(1 − xH ) + 4(−2 − xH ) + 5(1 − xH ) = 0 xH = 0 uuuur 3(−2 − yH ) + 4(2 − yH ) + 5(2 − yH ) = 0 yH = 1 H (0;1) HM = ( 1; −3) hay . Ta có uuur BC :1( x − 1) − 3( y + 2) = 0 � x − 3 y − 7 = 0 HN = ( −2;1) phương trình đường thẳng ; , uuur AC : −2( x + 2) + 1( y − 2) = 0 � 2x − y + 6 = 0 HP = ( 1;1) phương trình đường thẳng ; , AB :1( x − 1) + 1( y − 2) = 0 � x + y − 3 = 0 phương trình đường thẳng . Suy ra tọa độ A(−1; 4) B(4; −1) C (−5; −4) các đỉnh tam giác là , và . ̣ Vây đap an bai nay la: A ́ ́ ̀ ̀ ̀ Ta găp môt sô bai toan t ̣ ̣ ́ ̀ ́ ương tự như sau: Bài tập 1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác có đỉnh, trực tâm và trọng tâm. Xác định tọa độ các đỉnh biêt . ́ A. B. C. D.
11 Đap an la A. ́ ́ ̀ Bài tập 1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác có đỉnh, trực tâm và trọng tâm. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. Bài tập 1.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho có đỉnh, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp. Xác định tọa độ các đỉnh biêt . ́ A. B. C. D. Đáp an ́ la C. ̀ Bài tập 1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho có đỉnh, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp. Xác định tọa độ các đỉnh biêt . ́ A. B. C. D. Đáp an la B. ́ ̀ Bài tập 1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác nội tiếp đường tròn có tâm và, là hình chiếu vuông góc của lên, đường thẳng đi qua. Tìm tọa độ đỉnh biết có hoành độ dương. A. B. C. D. Đáp an la C. ́ ̀ Bài tập 1.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có, và trọng tâm thuộc trục. Tìm tọa độ đỉnh biết tam giác có diện tích bằng . A. B. C. D. Đáp an ́ la A. ̀ Bài tập 1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có các điểm, là trung điểm, và là trực tâm tam giác. Tìm tông v ̉ ơi la hoanh đô ba đinh c ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ủa tam giác. A. B. C. D. Đáp an ́ la A. ̀ Bài tập 1.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác nhọn có các
12 điểm , và lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B, C lên cạnh đối diện. Tìm tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC. A. B. C. D. Đap an la B. ́ ́ ̀ Bài tập1.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có các điểm , lần lượt là trung điểm AB, AC và là chân đường cao hạ từ A lên BC. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác. A. B. C. D. Đáp an la B. ́ ̀ Bài tập 1.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có các đỉnh . Gọi là trực tâm tam giác, là giao điểm () của đường tròn đường kính với, N là giao điểm ( khac B) c ́ ủa đường tròn đường kính BH với BC. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp (C) của tam giác. Bài tập 1.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có trung điểm của BC là , tâm đường tròn ngoại tiếp là I(5 ;3) và H(4 ;2) là chân đường cao hạ từ C lên AB. Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. A. B. C. D. Đáp an la A. ́ ̀ Bài tập1.12. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác có trực tâm là trung điểm của và là trung điểm BC. Tinh v ́ ơi la hoanh đ ́ ̀ ̀ ộ các đỉnh A, B và C. A. B. C. D. Đáp an la A. ́ ̀ Bài tập 1.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có trực tâm , trung điểm là và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là . Xác định toạ độ đỉnh của tam giác. A. B. C. D.
13 Đáp án A Bài tập 1.14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là , là trung điểm AC. Tìm tọa độ điểm B A. B. C. D. Đáp an la A. ́ ̀ Bài toán 1.15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn. Các cạnh lần lượt tiếp xúc với tại . Tìm tọa độ đỉnh C . A. B. C. D. Đáp an la ́ ̀A. 3. Sử dung m ̣ ối liên hệ giữa các điểm và đường đặc biệt trong tam giác đê tim điêm va đ ̉ ̀ ̉ ̀ ường ́ ́ ̀ ̃ ̉ Chung ta biêt răng môi điêm va đ ̀ ường được cho trong gia thiêt đêu ̉ ́ ̀ mang nhưng tinh chât đăc biêt. Viêc phat hiên tinh chât đo cua chung se giup ̃ ́ ́ ̣ ̣ ̣ ́ ̣ ́ ́ ́ ̉ ́ ̃ ́ ́ ̉ ́ ́ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ́ ́ ̣ chung ta giai quyêt tôt bai toan đăt ra. Cac bai toan sau la môt sô vi du minh ̣ ̣ ̣ hoa cho nhân đinh đo. ́ Bài toán 2.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nhọn có trung tuyến , đường thẳng và đường cao cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại ( khac ́ A). Tìm toạ độ đỉnh B biết điểm B có tung độ âm. A. B. C. D. Nhân xet va đinh h ̣ ́ ̀ ̣ ương: ́ Bai toan cho ph ̀ ́ ương trinh trung tuyên AM, nêu ta xac đinh thêm môt ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ đường thăng đi qua A thi ta se tim đ ̉ ̀ ̃ ̀ ược toa đô điêm A. Nhân thây v ̣ ̣ ̉ ̣ ́ ới toa đô ̣ ̣ ̉ điêm D va ph ̀ ương trinh đ ̀ ường thăng BC ta se viêt đ ̉ ̃ ́ ược phương trinh đ ̀ ường ̉ thăng AH va t ̀ ừ đo xac đinh toa đô điêm A cung nh ́ ́ ̣ ̣ ̣ ̉ ̃ ư viêt đ ́ ược phương trinh ̀ đương tron ngoai tiêp tam giac ABC thông qua viêc thiêt lâp cac môi quan hê ̀ ̣ ̣ ́ ́ ̣ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ̉ cua gia thiêt bai toan. Viêc tim ra ph ́ ̀ ́ ̣ ̀ ương trinh đ ̀ ường tron ngoai tiêp tam giac ̀ ̣ ́ ́ ABC la ta đa co 2 đ ̀ ̃ ́ ường phân biêt đi qua điêm B, C đo la ph ̣ ̉ ́ ̀ ương trinh đ̀ ường ̀ ̣ tron ngoai tiêp tam giac ABC va ph ́ ́ ̀ ương trinh canh BC. Nh ̀ ̣ ư vây, bai toan đa ̣ ̀ ́ ̃ được giai quyêt. ̉ ́
14 Bài giải: Do nên , phương trình của , tọa độ A là nghiệm của hệ: hay A(1;1). Lại có, từ nên tọa độ của M là nghiệm của hệ: .Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác và I là tâm của (C). Phương trình của , suy ra . Kết hợp với ta được , phương trình của . Tọa độ của B là nghiệm của hệ: hoặc. Vậy Đap an la A. ́ ́ ̀ Tương tự bai toan 2.1. ta co bai toan sau đây ̀ ́ ́ ̀ ́ Bài toán 2.1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác nhọn có , trung tuyến . Đường thẳng đi qua A, vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ hai là . Viết phương trình đường thẳng biết rằng hoành độ của đỉnh B không lớn hơn 3. A. B. C. D. Đap an la A. ́ ́ ̀ ﾷ BHK ﾷ = KCE Hương ́ dân. ̃ Tứ giác HKCE nội tiếp nên , kết hợp với ﾷ BDA ﾷ = KCE ﾷ BHK ﾷ = BDK ta có hay K là trung điểm của DH và phương trình . Bài toán 2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho có , tâm đường tròn ngoại tiếp và đường phân giác trong . Tìm tọa độ của B, C biết và nhọn. A. B. C. D. Nhân xet va đinh h ̣ ́ ̀ ̣ ương: ́ Vơi gia thiêt cho toa đô điêm A va I ta viêt đ ́ ̉ ́ ̣ ̣ ̉ ̀ ́ ược phương trinh đ ̀ ường ̀ ̣ ́ ́ ̣ tron ngoai tiêp tam giac ABC. Viêc cho ph ương trinh đ ̀ ường phân giac AD giup ́ ́ ̀ ược giao điêm D cua đ ta tim đ ̉ ̉ ường tron ngoai tiêp tam giac ABC v ̀ ̣ ́ ́ ơi AD. Nh ́ ờ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ́ ̣ co đô dai canh BC va thiêt lâp công th ưc ty lê ta xac đinh đ ́ ̉ ̣ ́ ̣ ược giao điêm cua ̉ ̉ ID vơi BC va t ́ ̀ ư đo ta tim đ ̀ ́ ̀ ược toa đô điêm B, C. Cu thê: ̣ ̣ ̉ ̣ ̉ Bài giải. Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác , phương trình của . Tọa độ của là nghiệm của hệ : hay . Giả sử là trung điểm của , ta có , . Từ giả thiết nhọn, ta có . Phương trình thẳng . Tọa độ của là nghiệm của hệ: hoặc . Do đó ta có đường hoặc .
15 ̣ Vây đap an la: A. ́ ́ ̀ Bài toán 2.3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác có chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh là , trung điểm của là và phương trình tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tại tiếp điểm A là . Tìm tọa độ của A biết A,C có tung độ dương. A. B. C. D. Bài giải. Phương trình đường thẳng . Gọi , tọa độ E là nghiệm của hệ:. ﾷ EAB = ﾷACB ﾷ DAC ﾷ = BAD ﾷ EAD ﾷ = EAB ﾷ + BAD = ﾷACB + DCA ﾷﾷ = EDA Do và nên , suy ra . Lại có, nên (a>0) . Suy ra . Do là trung điểm của nên , phương trì trình đường thẳng trung trực của là: . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, phương trình , tọa độ là nghiệm của hệ . Phương trình của , tọa độ là nghiệm của hệ: ̣ Vây đap an la: A. ́ ́ ̀ Tương tự bai toan 2.3. ta co bai toan sau ̀ ́ ́ ̀ ́ Bài toán 2.3.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho tam giác có, phương trình tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tại tiếp điểm là và chân đường phân giác ngoài hạ từ đỉnh là . Tìm tọa độ của biết có tung độ dương. A. B. C. D. Đáp an la: A ́ ̀ Bài toán 2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có , tiếp D tuyến tại tiếp điểm của đường tròn ngoại tiếp cắt tại điểm , phân giác ﾷADB trong của góc là . Viết phương trình của biết đi qua .
16 A. B. C. D. Bài giải: Ta có . Giả sử thuộc tia đối của tia , . ﾷAFE = FDC ﾷﾷ + BCA ﾷ = FDA ﾷ + DAE = ﾷAEF Do nên . Mà hay ta có (loại) hoặc . Do đó ta có phương trình Đap an la : A. ́ ́ ̀ Bài toán 2.5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nhọn và nội tiếp đường tròn , đường thẳng đi qua . Gọi lần lượt là chân đường cao hạ từ và . Tìm toạ độ đỉnh B biết A có hoành độ âm. A. B. C. D. Bài giải: Gọi là đường thẳng tiếp xúc với tại A, suy ra . Do tứ giác ﾷACB + MNB ﾷ = 1800 ﾷANM + MNB ﾷ = 1800 ﾷACB = ﾷANM nội tiếp nên . Mà nên . Lại ﾷACB = xAB ﾷﾷ xAB = ﾷANM có nên , suy ra , phương trình . Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình: . Phương trình , tọa độ của C là nghiệm của hệ và tọa độ của M là nghiệm của hệ . Đường thẳng tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình hoặc .Vậy Đap an la: D. ́ ́ ̀ Tương tự vơi bai toan 2.5 trên ta co bai toan t ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ương tự Bài toán 2.5.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là chân đường cao hạ từ .Tìm toạ độ các đỉnh biết A có tung độ âm. A. B. C. D. Đáp an la A. ́ ̀ Bài toán 2.5.2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nhọn
17 có lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên và . Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác là , là trung điểm của và đường thẳng đi qua điểm . Tìm tọa độ của biết điểm D có hoành độ lớn hơn 3. A. B. C. D. Bài giải. ﾷADC = ﾷAKC = 900 Ta có nên có đường kính AC . Gọi I là trung điểm của ﾷ BDH ﾷ = BKH = 900 �� B, D, H , K (T ) BH , ta có hay . Do ﾷﾷﾷ DAM = ﾷADM , IBD ﾷﾷ = IDB BH ⊥ AC � IBD + DAM = 900 . Kết hợp với ta có ﾷ IDB + ﾷADM = 900 � IDM ﾷ = 900 � MD = IM 2 − IK 2 = 3 5 , suy ra phương trình , tọa độ của là nghiệm của hệ: hay . Phương trình , tọa độ B là nghiệm của hệ và tọa độ C là nghiệm của hệ . Vậy . Đap an la: A. ́ ́ ̀ Bài toán 2.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác có và . Gọi M là một điểm trên cạnh và hai điểm lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên ; phương trình đường thẳng và trung điểm là . Tìm tọa độ của A biết F có tung độ âm. A. B. C. D. Bài giải. Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính có tâm . Gọi H là trung điểm của , ta có , , suy ra Phương trình đường tròn . Tọa độ của E, F là nghiệm của hệ: . Đường thẳng . Vì nên ta có: hay . Đap an la: B. ́ ́ ̀ Bài toán 2.7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác có ,
18 trực tâm và . Gọi D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C và đi qua , trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng BC. A. B. C. D. Bài giải: Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính nên nhận trung điểm của làm tâm nên phương trình của . Lại có nên và tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính có tâm , phương trình . Phương trình đường thẳng . Mà nên hoặc . Phương trình đường thẳng hoặc Đap an la: C. ́ ́ ̀ Bài toán 2.8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm , hình chiếu vuông góc của A lên đoạn BC là , phân giác trong . Tìm tọa độ của B, C biết B có hoành độ âm. A. B. C. D. Bài giải: Gọi M là giao điểm thứ hai của AK với đường tròn (C) ngoại tiếp tam ﾷ HAM giác ABC, ta có AD là phân giác góc . Gọi I là điểm đối xứng của H qua AD và , ta có , suy ra và ta có . Phương trình đường thẳng , suy ra , và . Tọa độ B, C là nghiệm của hệ: . Đap an la: A. ́ ́ ̀ Bài toán 2.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác có và . Gọi D là chân đường phân giác trong của và M là trung điểm của AD , đường thẳng CM cắt phân giác ngoài tại . Viết phương trình đường thẳng AC. A. B. C. D.
19 Bài giải: Qua M kẻ đường thẳng song song với AN cắt AC tại H, ta có . Mà nên tam giác AHD cân tại , suy ra: , do đó hay . Do phương trình nên phương trình và do nên phương trình . Gọi là điểm đối xứng của B qua AD , ta có và , phương trình . Đap an la: A. ́ ́ ̀ Bài toán 2.10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác có , ngoại tiếp đường tròn có tâm , tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và . Tìm tọa độ của biết có tung độ dương. A. B. C. D. Bài giải: Do nên và . Suy ra hoặc . * Với thì , phương trình , do nên và nên . Tọa độ là nghiệm của hệ: . Lại có nên , suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ: . * Với , hoàn toàn tương tự ta được. Đap an la: D. ́ ́ ̀ ̣ ́ ự kiên cua M, N, P ta cung đ Trong bai toan 2.10 nêu thay môt chut d ̀ ́ ́ ̣ ̉ ̃ ược ̣ môt bai toan hay nh ̀ ́ ư sau. Bài toán 2.11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác có , và ngoại tiếp đường tròn có tâm , tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và. Tìm tọa độ của . A. B. C. D. Bài giải: Do nên . Mà nên tứ giác nội tiếp, do đó ta có hay , suy ra phương trình . Tọa độ của là nghiệm của hệ . Gọi là điểm đối xứng của qua , suy ra là trung điểm của , do đó ta có và , phương trình . Tọa độ của là nghiệm của hệ: . Vậy ta có . Đap an la: A. ́ ́ ̀
20 Bài toan 2.12. ́ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác không cân có , nội tiếp đường tròn tâm , điểm . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và là hình chiếu vuông góc của lên . Tìm tọa độ biết . A. B. C. D. Bài giải: Ta có Tọa độ của B là nghiệm của hệ: . Gọi đối xứng với qua , do tứ giác nội tiếp nên , suy ra . Tọa độ là nghiệm của hệ . Đap an la: C. ́ ́ ̀ Bài toan 2.13. ́ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác nội tiếp đường tròn có tâm , trung điểm của là và hình chiếu vuông góc của lên là . Tìm tọa độ của , biết rằng . A. B. C. D. Bài giải: Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , do nên và là trung điểm của , suy ra . Mà tứ giác nội tiếp nên , do đó ta có là trung trực của và . Giả sử ; phương trình . Lại có . Đap an la: A. ́ ́ ̀ Bài toán 2.14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác nhọn có và nội tiếp đường tròn có tâm . Đường thẳng đi qua , gọi là hình chiếu vuông góc của lên và là hình chiếu vuông góc của lên , đường thẳng có phương trình và có hoành độ âm. Tìm tọa độ của . A. B. C. D. Bài giải: Gọi là hình chiếu vuông góc của lên , suy ra là tứ giác nội tiếp hay . Mà là tứ giác nội tiếp hay . Kết hợp