Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn" nhằm tìm hiểu những khó khăn, thuận lợi về mặt tƣ duy của học trò khi tiếp cận chủ đề tích phân hàm ẩn. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng trình bày một bài toán theo hình thức tự luận và cách để giải nhanh một bài toán theo hình thức trắc nghiệm. Phát triển tư duy suy luận, tư duy thuật toán và phát huy tính tích cực, sáng tạo khi giải toán góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn

ĐỀ TÀI GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN MÔN: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH _____________________________________________ ĐỀ TÀI GÓP PHẦN HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN TÁC GIẢ: NGUYỄN ĐÌNH TÂM TỔ: TOÁN - TIN SỐ ĐTDĐ: 0976.559.628 Tháng 4 năm 2022
MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU................................................................................................................ 1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ............................................................................................ 1 1. Sự đổi mới phƣơng pháp dạy và học ở trƣờng trung học phổ thông.......................... 1 2. Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn............................................................ 1 3. Đổi mới kiểm tra đánh giá, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh vào các trƣờng Đại học ....................................................................................................... 2 4. Chọn đề tài nghiên cứu ............................................................................................ 2 II. PHẠM VI ĐỀ TÀI .................................................................................................. 2 III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .................................................................................. 2 IV. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ........................................................ 3 V. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU................................................................................... 3 VI. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .......................................................................... 3 B. NỘI DUNG ............................................................................................................ 4 I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................................................... 4 1. Công thức tính tích phân .......................................................................................... 4 2. Tính chất của tích phân ............................................................................................ 4 3. Phƣơng pháp tính tích phân...................................................................................... 4 II. ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ........................ 6 II.1. QUY TẮC 1: ........................................................................................................ 6 II.2. QUY TẮC 2: ....................................................................................................... 8 II.3. QUY TẮC 3: ...................................................................................................... 10 II.4. QUY TẮC 4: ...................................................................................................... 12 II.5. QUY TẮC 5: ...................................................................................................... 14 III. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ............................................................................... 15 III.1. TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1:................................................... 15 III.2. TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2:................................................... 18 III.3. TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3:................................................... 20 III.4. TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4:................................................... 23 III.5. TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5: CÓ HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, CÓ CẬN ĐỐI XỨNG. ........................................................................................ 24 III.6. TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 :.................................................. 27 IV. PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN .......................................................................... 28 V. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ............................................ 35 VI. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................. 39 C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................................. 45 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................. 46
A. MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Sự đổi mới phƣơng pháp dạy và học ở trƣờng trung học phổ thông Đổi mới phƣơng pháp dạy học đang thực hiện bƣớc chuyển từ chƣơng trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của ngƣời học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học đƣợc cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng đƣợc cái gì qua việc học. Để đảm bảo đƣợc điều đó, phải thực hiện chuyển từ phƣơng pháp dạy học theo lối "truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất. Tăng cƣờng việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên - học sinh theo hƣớng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập những tri thức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp. Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của ngƣời học, hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông tin...), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tƣ duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phƣơng pháp chung và phƣơng pháp đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phƣơng pháp nào cũng phải đảm bảo đƣợc nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức(tự chiếm lĩnh kiến thức) với sự tổ chức, hƣớng dẫn của giáo viên”. Việc sử dụng phƣơng pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy học. Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tƣợng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ chức thích hợp nhƣ: học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài lớp... Cần chuẩn bị tốt về phƣơng pháp đối với các giờ thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú cho ngƣời học. Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị dạy học môn học tối thiểu đã qui định. Có thể sử dụng các đồ dùng dạy học tự làm nếu xét thấy cần thiết với nội dung học và phù hợp với đối tƣợng học sinh. Tích cực vận dụng công nghệ thông tin trong dạy học. 2. Thực trạng dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi. Tức là hàm số không đƣợc cho dƣới dạng tƣờng minh là một công thức. Thông qua quan sát, nghiên cứu, thăm dò một số ý kiến tôi nhận thấy thực trạng dạy và học chủ đề tích phân hàm ẩn của giáo viên và học sinh bên cạnh những thuận lợi cũng còn những khó khăn tồn tại nhƣ: - Học sinh có cảm giác “sợ” nên không quyết tâm học và rèn luyện mảng kiến thức này. 1
- Học sinh không biết bắt đầu từ đâu, thực hiện những hoạt động nào để giải quyết bài toán. Trong các đề thi đánh giá năng lực, thi tốt nghiệp THPT học sinh thƣờng gặp một số câu về tính tích phân của hàm ẩn và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao. Hƣớng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo đƣợc cho các em có năng lực, linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tƣ duy trong giải toán nhằm lấy đƣợc điểm cao hơn trong bài thi. Trƣớc khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lƣợng học tập của học sinh trƣờng THPT Nguyễn Duy Trinh (các lớp tôi trực tiếp giảng dạy) về các bài toán tính tích phân của hàm ẩn, đã thu đƣợc kết quả nhƣ sau: Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12A 45 5 11,1 15 33,3 25 55,6 0 0 0 0 12A1 45 1 2,2 10 22,2 30 66,7 4 8,9 0 0 12A6 44 0 0 5 11,4 30 68,2 8 18,2 1 2.2 Nhƣ vậy số lƣợng học sinh nắm bắt dạng này không nhiều, có rất nhiều em chƣa định hình đƣợc lời giải do chƣa có đƣợc nguồn kiến thức và năng lực cần thiết. 3. Đổi mới kiểm tra đánh giá, thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh vào các trƣờng Đại học Hiện nay không chỉ kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, học sinh còn trải qua các kỳ thi đáng giá năng lực để đƣợc tuyển sinh vào các trƣờng Đại học. Điều này đòi hỏi học sinh phải thay đổi cách học, cách tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách chủ động, sáng tạo đáp ứng yêu cầu trong thời đại mới. 4. Chọn đề tài nghiên cứu Tích phân hàm ẩn là chủ đề mới, thƣờng xuất hiện trong các kỳ thi đánh giá năng lực, kỳ thi chọn học sinh giỏi, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, … Hiện nay rất ít tài liệu viết về chủ đề tích phân hàm ẩn thể hiện đầy đủ, phù hợp với đa số học sinh trung học phổ thông. Từ tầm quan trọng, thực trạng, qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu tài liệu tôi đã chọn đề tài: “Góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tích phân hàm ẩn” để nghiên cứu. II. PHẠM VI ĐỀ TÀI - Chƣơng 3 giải tích 12. III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu những khó khăn, thuận lợi về mặt tƣ duy của học trò khi tiếp cận chủ đề tích phân hàm ẩn. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng trình bày một bài toán theo hình thức 2
tự luận và cách để giải nhanh một bài toán theo hình thức trắc nghiệm. Phát triển tƣ duy suy luận, tƣ duy thuật toán và phát huy tính tích cực, sáng tạo khi giải toán góp phần hình thành và phát triển năng lực Toán học cho học sinh. IV. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Học sinh lớp 12 - Học sinh ôn thi đánh giá năng lực, ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông trƣờng THPT Nguyễn Duy Trinh. - Giáo viên dạy môn toán bậc THPT. V. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU TT Thời gian Nội dung công việc Sản phẩm Từ 20 tháng 10 năm 2021 Chọn đề tài, viết đề cƣơng Bản đề cƣơng chi 1 đến 10 tháng 12 năm 2021 nghiên cứu tiết Từ 11 tháng 12năm 2021 Đọc tài liệu lí thuyết viết Tập hợp tài liệu lý 2 đến 01 tháng 1 năm 2022 cơ sở lý luận thuyết Từ 02 tháng 1 năm 2022 Trao đổi với đồng nghiệp Tập hợp ý kiến đóng 3 đến 01 tháng 2 năm 2022 và đề xuất sáng kiến góp của đồng nghiệp Từ 02 tháng 2 Năm 2022 Dạy thử nghiệm ở các lớp Thống kê các kết 4 đến 15 tháng 2 năm 2022 12A, 12A1,12A6 quả thử nghiệm Từ 16 tháng 2 năm 2022 5 Hoàn thiện đề tài Đề tài chính thức đến 15 tháng 4 năm 2022 VI. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Trao đổi với đồng nghiệp, với học trò, dự giờ thăm lớp để tìm hiểu thực trạng về việc học tập chủ đề tích phân hàm ẩn. - Tìm hiểu các tài liệu về bài toán liên quan đến tích phân hàm ẩn, các sáng kiến kinh nghiệm về phƣơng pháp dạy học, tìm các đề thi thử tốt nghiệp trung học phổ thông của các trƣờng, các Sở, đề thi đánh giá năng lực, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông của Bộ để hình thành cơ sở lý thuyết. - Trao đổi với đồng nghiệp về những giải pháp sẽ thực hiện trong đề tài. - Trực tiếp dạy thực nghiệm các lớp 12A, 12A1,12A6. 3
B. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Công thức tính tích phân b  b f ( x)dx  F( x) a  F( b)  F( a) . a b b * Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi  f ( x)dx hay  f (t)dt. a a Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số. 2. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f  x  và g  x  liên tục trên K , a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có : a 1.  f ( x)dx  0 a b a 2.  f ( x)dx    f ( x)dx . a b b c b 3.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a a c b b b 4.   f ( x)  g( x) dx   f ( x)dx   g( x)dx . a a a b b 5.  kf ( x)dx  k. f ( x)dx . a a b 6. Nếu f ( x)  0, x  a; b thì :  f ( x)dx  0x  a; b a b b 7. Nếu x   a; b  : f ( x)  g( x)   f ( x)dx   g( x)dx . a a b 8. Nếu x   a; b Nếu M  f ( x)  N thì M  b  a    f ( x)dx  N  b  a  . a 3. Phƣơng pháp tính tích phân 3.1. Phương pháp đổi biến 3.1.1. Phương pháp đổi biến dạng 1 *Định lí Nếu hàm số u  u( x) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn  a; b  sao cho 4
b u( b ) f ( x)dx  g  u( x)  u '( x)dx  g(u)du thì: I   f ( x)dx   g(u)du . a u( a ) *Phƣơng pháp chung  Bước 1: Đặt u  u( x)  du  u' ( x)dx xb u  u(b)  Bước 2: Đổi cận :  xa u  u( a)  Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u b b u( b ) Vậy: I   f ( x)dx   g u( x) .u '( x)dx   g(u)du a a u( a ) 3.1.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 *Định lí Nếu 1) Hàm x  u(t ) có đạo hàm liên tục trên  ;   2) Hàm hợp f (u(t)) đƣợc xác định trên  ;   3) u( )  a, u(  )  b b  Khi đó: I   f ( x)dx   f (u(t ))u' (t )dt . a  *Phƣơng pháp chung  Bước 1: Đặt x  u  t   Bước 2: Tính vi phân hai vế : x  u(t)  dx  u'(t)dt xb t Đổi cận:  xa t   Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t   b  Vậy: I   f ( x)dx   f u(t ) u '(t )dt   g(t )dt  G(t )  G(  )  G( ) a    3.2. Phương pháp tích phân từng phần *Định lí Nếu u  x  và v  x  là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì: b b b b b b a u( x ) v ' ( x )dx   u( x ) v( x )  a   v( x)u' ( x)dx Hay  udv  uv a   vdu a a a 5
*Phƣơng pháp chung  Bước 1: Viết f  x  dx dƣới dạng udv  uv'dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f  x  làm u  x  và phần còn lại dv  v '( x)dx  Bước 2: Tính du  u' dx và v   dv   v '( x)dx b b  Bước 3: Tính  vu '( x)dx và uv a a * Cách đặt u và dv trong phƣơng pháp tích phân từng phần. Đặt u theo thứ tự ƣu b b b b  P( x)e dx  P( x)ln xdx  P( x)cos xdx  e x x tiên: cos xdx a a a a Lốc-đa-mũ-lượng u P(x) ln x P(x) ex dv e xdx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Nên chọn u là phần của f  x  mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv  v'dx là phần của f  x  dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. II. ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP II.1. QUY TẮC 1: - Nếu u  u  x  và v  v  x  thì  uv   uv  uv . - Nếu  f  x  .g  x    h  x  thì f  x  .g  x    h  x  dx. Ví dụ 1. Cho f ( x) có đạo hàm trên 0;1 thỏa mãn f ( x)   x  1 . f ( x)  1 với 1 7 x  0;1 . Biết f (5)  , tính tích phân I   f ( x)dx 6 0 Hướng dẫn : Ta có  f ( x)   x  1 . f ( x)  1   x  1 f ( x)   x  1 . f ( x)  1   x  1 f ( x)   1   x  1 f ( x)   dx   x  1 f ( x)  x  c , vì f (5)  7 7  6.  5  c  c  2 6 6 x2   x  1 f ( x)  x  2  f ( x)  . Khi đó x1 6
1 x2  1  1 1 1 I   f ( x)dx   x1 .dx    1  x  1   .dx  x  ln x  1   1  ln 2 0 0 0 0 Nhận xét: Nếu u( x) là biểu thức cho trước thì ta có u( x). f ( x)  u( x). f ( x)  u( x). f ( x) Đặt v( x)  u( x) ta được u( x). f ( x)  v( x). f ( x)  u( x). f ( x) (*). Như vậy nếu biểu thức có dạng v( x). f ( x)  u( x). f ( x) ta có thể biến đổi đưa về dạng u( x). f ( x) .Khi đó ta có bài toán tổng quát như sau: Cho A( x); B( x) ; g( x) là các biểu thức đã biết. Tìm hàm số f ( x) thỏa mãn A( x) f ( x)  B( x) f ( x)  g( x) (**) Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**)  u( x). f ( x)  g( x) Trong đó u( x) được chọn sao cho : u( x)  A( x) u( x) A( x) u( x) A( x)     .dx   .dx u( x)  B( x) u( x) B( x) u( x) B( x) A( x)  ln u( x)  G( x)  c (với G( x) là một nguyên hàm của )  từ đây ta sẽ chọn đƣợc B( x) biểu thức u( x) . 1 Ví dụ 2. Cho f ( x) có đạo hàm trên 0;1 thỏa mãn f (1)  và 2022 1 2022 f ( x)  x. f ( x)  2x 2022 với x  0;1 .Tính tích phân I   f ( x)dx 0 Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u( x) . Ta có 2022  ln u( x)   dx  ln u( x)  2022ln x  c  ln u( x)  ln x 2022  c x nên ta chọn u( x)  x2022 , khi đó ta có lời giải như sau:  x 2022 . f ( x)  2022 x 2021 f ( x)  x 2022 f ( x)     x  2022 f ( x)  xf ( x)   x 2021 .  2 x 2022   2 x 4043 . 2021 x4044 Khi đó x2022 f ( x)   2 x 4043dx x 2022 f ( x)   c , do 2022 1 1 1 f (1)    c 2022 2022 2022 7
x4044 x2022  c  0  x2022 f ( x)   f ( x)  . 2022 2022 1 1 1 x 2022  x2023  1 khi đó I   f ( x)dx   dx     . 0 0 2022  2023.2022  0 2022.2023 Ví dụ 3. Cho f ( x) có đạo hàm trên 1; 2  thỏa mãn ( x  1) f ( x)  x. f ( x)  2e x với 2 x  1;2  . Biết f (1)  e , tính tích phân I   x. f ( x)dx 1 Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u( x) . Ta có x1  ln u( x)   dx  ln u( x)  x  ln x  c  ln u( x)  ln e x  ln x  c x  ln u( x)  ln xe x  c nên ta chọn u( x)  xe x , khi đó ta có lời giải như sau:       Ta có  xe x . f ( x)  xe x f ( x)  xe x . f ( x)  e x  xe x f ( x)  xe x . f ( x)   e x  x  1 f ( x)  xf ( x)   xe x . f ( x)  e x . 2e x   xe x . f ( x)   2e 2 xdx ex  xe x . f ( x)  e 2 x  c do f (1)  e  e.e  e 2  c  c  0  xe x . f ( x)  e 2 x  f ( x)  . x 2 2 2 Khi đó I   x. f ( x)dx   e xdx  e x  e 2  e. 1 1 1 Bài tập tƣơng tự. 1. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  0;   thỏa mãn điều kiện   f 1  3 và x 4  f   x   f  x   1, x  0. Tính f  2  . 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng  1;   và thỏa mãn đẳng thức x3  2x2  x   2 f  x  x  1 f  x  2 với mọi x   1;   . Tính f  0  . x2  3 II.2. QUY TẮC 2:  u  uv  uv - Nếu u  u  x  và v  v  x  thì    với v  0. v v2  f  x   f  x - Nếu    h  x  thì   h  x  dx.  g  x  g  x    8
 1  u Hệ quả: Nếu u  u  x  thì    2 với u  0 . u u  1    g  x  dx 1 - Nếu    g  x  thì  f  x    f  x  Ví dụ 1. Cho hàm số f  x   0 , liên tục trên đoạn 1; 2  và thỏa mãn f (1)  1 3 2 2  2  x . f ( x)  1  2 x . f ( x) với x  1; 2  . Tính tích phân I   f ( x)dx. 2 1   f ( x) 1  2 x 2 1  2   Hướng dẫn : Ta có x . f ( x)  1  2 x 2 . f 2 ( x)  f 2 ( x)  x2      1 2 2  f ( x)  x 1  1  1 1 1     2  2 .dx      2 x  c , do f (1)   c  0 f ( x) x  f ( x) x 3 1 2 x2  1 x Nên ta có    f ( x)  2 f ( x) x 2x  1 Khi đó 2 1 d(1  2 x 2 ) 1 2 2 2 I   f ( x)dx   x dx    ln 1  2 x 2  1  2 ln 3  ln 3   ln 3. 1 1 1  2x 1 2 4 1 1  2x 2 4 1 4 4 Ví dụ 2. (ĐỀ THPT QG NĂM 2018-BGD ) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2    2 và 9 f   x   2x  f  x  , x  . Giá trị của f  1 bằng 2 35 2 19 2 A.  . B.  . C.  . D.  . 36 3 36 15 Hướng dẫn: Chọn B f  x  1  +)Ta có f   x   2 x  f  x    2 1  2x     2 x     2 xdx  f  x    2  f  x   f  x  1   x2  C . f  x +) Lại có f  2     C      x2   f 1   . 2 1 1 1 2 9 2 f  x 2 3 9
Ví dụ 3. Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện f   x    2x  3  f 2  x  và f  0    . Tính tổng S  f 1  f  2   f  3   ...  f  2021  f  2022  . 1 2 f  x Hướng dẫn: Ta có f   x    2x  3  f 2  x    2x  3 f 2  x f  x 1  x2  3x  C . Vì f  0     C  2 . 1  dx    2 x  3  dx   f 2  x f  x 2 Vậy f  x    1 1 1   .  x  1 x  2  x 2 x1 Do đó f 1  f  2   f  3   ...  f  2021  f  2022   1 1 1011   . 2024 2 2024 Bài tập tƣơng tự. 1. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  và thỏa mãn f  1   và 1 2 2  f  x   xf   x   2x  x 3 2  f  x  ,x  1; 2 . Tính tích phân  xf  x dx . 2 1 2. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn f   0   9 và 9 f   x    f   x   x   9 . Tính T  f 1  f  0  . 2 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn f 1  2 và 2 f  x    x  1 f   x   2xf 2  x  , x  1; 2 . Giá trị của  f  x  dx bằng 1 1 1 A. 1  ln 2. B. 1  ln 2. C.  ln 2. D.  ln 2. 2 2 4. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0   và 1 3 f  x   f   x    f  x   với mọi x  0;1 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đƣờng thẳng x  0; x  1. II.3. QUY TẮC 3: - Nếu u  u  x  thì  u   2uu với u  0.  - Nếu  f  x    h  x  thì f  x    h  x  dx.   10
Ví dụ 1. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 f   x   2 f  x  , x  0;1 và f  0   1. Tính tích phân  f  x  dx. 0 Hướng dẫn: +) Từ giả thiết, ta có f  x f  x  2 f  x  2 f  x  1   f  x  1   f  x    dx  f  x  x  C +) Lại có 1 1 3 1 f  0   1  C  1  f  x    x  1   f  x  dx    x  1 dx   x  1  . 2 2 1 7 0 0 3 0 3 Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x) liên tục, không âm trên R và thỏa mãn 1 f ( x). f ( x)  2 x. f 2 ( x)  1  0 với x  R và f (0)  0 . Tính I   f ( x)dx. 0 Hướng dẫn: Ta có f ( x). f ( x)  2 x. f 2 ( x)  1  0  f ( x). f ( x) f 2 ( x)  1  2x    f 2 ( x)  1  2 x  f 2 ( x)  1   2xdx  f 2 ( x)  1  x2  c . Do f (0)  0  c  1 nên ta có     2 f 2 ( x)  1  x 2  1  f 2 ( x)  1  x 2  1  f 2 ( x)  x 2 x 2  2  f ( x)  x x2  2 1 1 1 (vì f ( x) không âm trên R ). Khi đó I   f ( x)dx   x x 2  2dx   x x 2  2dx 0 0 0 1   1 1 1 2   x2  2d( x 2  2)  .  x 2  2 20 2 3   1 x  2   3 3  2 2 . 2 0 3 Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x) đồng biến, có đạo hàm trên đoạn 1; 4  và thoản mãn 4 2 3 x  2 x. f ( x)   f ( x) với x  1; 4  . Biết f (1)  , tính I   f ( x)dx . 2 1 Hướng dẫn: Do f ( x) đồng biến trên đoạn 1; 4   f ( x)  0, x  1; 4  Ta có x  2x. f ( x)   f ( x)  x 1  2. f ( x)    f ( x) , do x  1; 4  và 2 2 f ( x)  0, x  1; 4   f ( x)  1 2 và f ( x)  x . 1  2 f ( x)  f ( x) 1  2 f ( x)  x    1  2 f ( x)  x 11
2  1  2 f ( x)   xdx  1  2 f ( x)  x x  c . Vì 3 3 3 2 4 f (1)   1  2.   c  c  2 2 3 3 2 2 4 2 4 2 8 3 7  1  2 f ( x)  x x   1  2 f ( x )   x x    f ( x )  x 3  x 2  3 3 3 3 9 9 18 4 4  2 3 8 23 7  4  1 4 16 25 7  1186 Khi đó I   f ( x)dx    x  x  dx   x  x  x   . 1 1 9 9 18   18 45 18  45 1 Bài tập tƣơng tự. 1. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0   1 1 và  f   x   16 x2 . f  x   0 với mọi x  0;1 . Tính tích phân I   f  x  dx . 2 0 2. Cho hàm số y  f  x   0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn:     x 1 g  x   1  2018  f  t  dt , g x  f x . Tính  g  x dx . 2 0 0 3. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn 1; 4  thỏa mãn f 1  1 và  f  x   xf   x   4 f  x  , x  1; 4  . Tính diện tích S của hình phẳng 2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đƣờng thẳng x  1, x  4. 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4  , đồng biến trên đoạn 1; 4  và thỏa mãn đẳng thức x  2 x. f  x    f   x   , x  1; 4  . Biết rằng f  1  , tính 2 3 2 4 I   f  x  dx . 1 II.4. QUY TẮC 4:    - Nếu u  u  x  thì e u  u.e u ;   f x  - Nếu e    g  x  thì e   g  x  dx. f  x Ví dụ 1. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f  0   1 và 1 f   x  .e    f  x  dx. f x  x2 1  2x , x  0;1 . Tính 0 Hướng dẫn: +) f   x  .e   f x  x2 1 f x 2 f x     2 x  f   x  .e    2xe x 1  e    2xe x 1 2 12
 e     2xe x 1dx  e    e x 1  C. f x 2 f x 2 +) Lại có f  0   1  C  0  e    e x 1  f  x   x2  1. f x 2 1 1 4 1 1 +) Do vậy   3  f  x  dx   x 2  1 dx   x 3  x   . 0 3 0 0 Ví dụ 2. Cho f  x  có đạo hàm trên và thỏa mãn 3 f   x  .e   f 3 x  x2 1 2x  2  0 với f  x 7 mọi x . Biết f  0   1 , tính tích phân I   x. f  x  dx . 0 f 3  x  0  3 f   x  . x 2 1  2 e 2x Hướng dẫn: Ta có 3 f   x  .e f 3  x  x2 1 2x  2 f  x e f  x f3 x 2 f3 x  2  f3 x 2      3 f 2  x  . f   x  .e    2x.e x 1  e    e x 1  e    e x 1  C  *  . Thế x  0 vào  *  ta đƣợc e  e  C  C  0 .  f 3  x   x2  1  f  x   3 x2  1 . f 3  x 2 1 Do đó e  ex 7 4 1 x 1 2   3 7   7 7 1     1 3 I  x x  1 dx  x 1 d x 1  .  x2  1 x 1 3 2 2 3 2 3 2 0 2 0 2 4 8 0 3 0  .  16  1  3 45 . 8 8 Ví dụ 3. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f  0   0 và   f   x  1  e    1  e x , x  . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x y  f  x  , trục hoành và hai đƣờng thẳng x  1, x  3. Hướng dẫn: +) Ta có  f x  f x  f x  f  x 1  e    1  ex  f  x  f  x e    1  ex   f  x  e     1  ex   f  x   e    x  e x  C. f x +) Lại có f  0   0  C  0  f  x   e    x  e x . f x Xét hàm số g  t   t  e với t  . g  t   1  e  0, t  nên g  t  đồng biến trên t t . 3 1 23 Suy ra f  x   e  x  e  f  x   x. Do đó S   xdx  f  x x  4. x 1 2 1 13
II.5. QUY TẮC 5: u - Nếu u  u  x  nhận giá trị dƣơng trên K thì ln u  trên K. u        - Nếu ln f  x    g  x  thì ln f  x    g  x  dx. Ví dụ 1. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 f  0   0 và f   x   2x 1  f  x  , x  . Tính  2 xf  x  dx. 0 Hướng dẫn: +) Từ giải thiết, ta có f  x 1  f  x     2 x  ln 1  f x   2 x 1  f  x  2x   1  f  x       ln 1  f  x    2xdx  ln 1  f  x   x2  C. +) Lại có f  0   0  C  0  ln 1  f  x   x2  1  f  x   e x  f  x   e x  1. 2 2   1 1 1 1 +) Vậy  2 xf  x  dx   2 x e x  1 dx  e x 2 2  x2  e  2. 0 0 0 0 Ví dụ 2. Cho hàm số f  x  nhận giá trị dƣơng và có đạo hàm liên tục trên 0;   thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f  x   f   x  3x  1, x  0. Mệnh đề nào dƣới đây đúng ? A. 1  f  5   2. B. 2  f  5   3. C. 4  f  5   5. D. 3  f  5   4. Hướng dẫn: Chọn D f  x  +) Từ giải thiết, ta có f  x   f   x  3x  1   ln f  x    1 1  f  x 3x  1 3x  1  ln f  x    dx  ln f  x   1 2 3 x  1  C. 3x  1 3 2 3x  1  4 4 +) Lại có f 1  1  C    ln f  x    f  5   e 3  3,79. 4 3 3 Ví dụ 3. Cho hàm số f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2  thỏa mãn điều kiện f 1  1 và f   x   f  x  , x  1; 2  . Tính thể tích khối tròn xoay khi cho 1 x hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đƣờng thẳng x  1, x  2 quay quanh trục hoành. 7 5 A. 7 . B. . C. . D. 3 . 3 3 14
Hướng dẫn: Chọn B f  x 1  1 +) Từ giả thiết, ta có f   x   f  x    ln f  x    1 x f  x x x  ln f  x    dx  ln f  x   ln x  C. 1 x 2 2  x3 2 7 +) Lại có f 1  1  C  0  f  x   x  V    f 2  x  dx    x 2dx   . 1 1 3 1 3 III. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN III.1. TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: b b b b Cho  u '( x). f u( x) .dx , tính  f ( x).dx . Hoặc cho  f ( x).dx , tính  u '( x). f u( x) .dx . a a a a Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t  u( x) và lƣu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số. 6 2 Ví dụ 1. Cho  f  x  dx  12 . Tính 0  f  3x  dx. 0 Hướng dẫn: 2  f  3x  dx . Đặt 3x  t  dx  3 dt . Khi x  0 thì t  0 ; khi x  2 thì 1 Xét tích phân 0 t  6. 2 6 6 f  3x  dx      1 1 1 Do đó  0 3 0 f t dt  3 0 f x dx  3 .12  4 . 2 5  f x   1 xdx  2 . Tính  f  x  dx. 2 Ví dụ 2. Cho 1 2 Hướng dẫn: Đặt t  x2  1  dt  2xdx Đổi cận: x  1  t  2 ; x  2  t  5 . 5 5 5 Khi đó: 2   f  t  dt   f  x  dx   f  x  dx  4. 1 1 22 22 2 f  3 Ví dụ 3. Cho hàm số f  x  liên tục trên 1;   và x  1 dx  8 . 0 2 Tính tích phân  xf  x  dx. 1   3 Hướng dẫn: Xét I   f x  1 dx  8. Đặt t  x  1  t  x  1  2tdt  dx ; 2 0 đổi cận: x  0  t  1 ; x  3  t  2 . 2 2 2 Khi đó I   2tf  t  dt  8   tf  t  dt  4 . Vậy  xf  x  dx  4 . 1 1 1 15
  dx bằng  2 2 sin x. f 3cos x  1 Ví dụ 4. Cho I   f  x  dx  2 . Giá trị của J   1 0 3cos x  1 4 4 A. 2. B.  . C. . D. 2 . 3 3 Hướng dẫn: Chọn C 3sin x Đặt t  3cos x  1  dt  dx . 2 3cos x  1  Đổi cận: x  0  t  2 ; x   t  1 . 2 1 2 2 Khi đó: J    f  t  dt   f  t  dt   f  x  dx  .2  . 2 2 2 2 4 2 3 1 3 31 3 3 Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên và thỏa mãn f  4  x   f  x  . Biết 3 3  xf  x  dx  5 . Tính I   f  x  dx . 1 1 5 7 9 11 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  . 2 2 2 2 Hướng dẫn: Chọn A Đặt t  4  x , với x  1; 3 . 3 3 3 3 3 Ta có  xf  x  dx   xf  4  x  dx    4  t  f  t  dt  4  f  t  dt   t. f  t  dt 1 1 1 1 1 3 3  5  4  f  t  dt  5   f  t  dt  5 . 1 1 2  Ví dụ 6. Cho hàm số f  x  liên tục trên  tan x. f  cos x  dx  2 và 4 2 và thỏa mãn 0 e 2  2 f ln x  dx  2 . Tính f  2x  dx . 2  e x ln x  1 x 4 A. 0 . B. 1 . C. 4 . D. 8 . Hướng dẫn: Chọn D   1 4 f cos x 2     4 * I1   tan x. f cos x dx   2 2 .sin2xdx . 0 2 0 cos x Đặt cos2 x  t  sin 2xdx  dt . 1  1 1 f t  2 Đổi cận: x  0  t  1; x t  . Khi đó I1    dt 4 2 21 t 16
. e2  f ln 2 x  dx  1 f  ln x  . 2ln x dx . e2 2 * I2   e x ln x 2 e ln 2 x x 2 ln x Đặt ln 2 x  t  dx  dt . x Đổi cận x e e2 t 1 4 1 f t  4 2 1 t Khi đó I 2  dt . 2 f  2x  1 * Tính I   dx . Đặt 2x  t  dx  dt . 1 x 2 4 Đổi cận 1 x 2 4 1 t 4 2 4 f t  1 f t  4 f t  Khi đó I   dt   dt   dt  4  4  8 . 1 t 1 t 1 t 2 2  1 x2 f  x  Ví dụ 7. Cho hàm số f  x  liên tục trên R và 4  f  tan x  dx  4;  0 0 x2  1 dx  2 . Tính 1 I   f  x  dx . 0 A. I  6 . B. I  2 . C. I  3 . D. I  1 . Hướng dẫn: Chọn A  4 1 f t  Từ  f  t anx  dx  4 ; Ta đặt t  tan x ta đƣợc t dt  4 0 0 2 1 1 x f  x 2 1 x 2   1  1 f  x 1 dx  2   f  x  dx   1 f  x Từ  0 x2  1 dx  2   0 x2  1 0 0 x 1 2 dx  2 1 1 f  x   f  x  dx  2   dx  2  4  6 . 0 x 1 2 0 17