Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 12 thông qua dạy học chủ đề Ứng dụng phương trình mũ và logarit vào bài toán thực tiễn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 12 thông qua dạy học chủ đề Ứng dụng phương trình mũ và logarit vào bài toán thực tiễn" chỉ tập trung nghiên cứu các kỷ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề hàm số mũ và hàm số logarit qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 12 thông qua dạy học chủ đề Ứng dụng phương trình mũ và logarit vào bài toán thực tiễn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT LÊ LỢI -------- SÁNG KIẾN TÊN ĐỀ TÀI: GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT VÀO THỰC TIỄN. Thuộc chuyên môn: Toán Người thực hiện: Nguyễn Thị Hải Anh Tổ bộ môn: Toán - Tin Năm thực hiện: 2022 - 2023 Số điện thoại: 0969563776 Email: anhtoan17xacsuat@gmail.com Tân Kỳ, năm 2023
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết 88/2014/QH13 của Quốc hội "chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực". Ngày 26/12/2018 Bộ giáo dục và đào tạo đã ban hành thông tư số 32/ 2018/ TT - BGDĐT và chỉ rõ "Môn Toán ở trường trung học phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh, phát triển kiến thức và kỷ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn". Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng chỉ rõ mục tiêu của môn Toán giúp học sinh "Hình thành và phát triển năng lực toán bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học". Trong số những năng lực chung, giải quyết vấn đề là năng lực hết sức quan trọng cần được hình thành cho học sinh để giải quyết các bài toán bậc THPT. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng chỉ rõ: "Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí... thực hiện thành công một loạt hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kện cụ thể". Giáo dục toán học gắn với thực tiễn là một xu hướng hoạt động giáo dục toán trong trường phổ thông hiện nay của Việt Nam và nhiều nước trên thế giới. Xu hướng này gắn liền với quan điểm: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn liền với thực tiễn” thể hiện mức độ cao nhất về sự chiếm lĩnh tri thức của người học mà mọi quá trình giáo dục đều hướng tới. Thực tế hiện nay trong các trường THPT giáo viên bộ môn Toán nói chung và môn Toán 12 nói riêng vẫn chưa dành nhiều thời gian, sự quan tâm đến các bài toán thực tiễn và liên môn. Đặc biệt ở chủ đề "Hàm số mũ và hàm số logarit". Vì vậy việc nghiên cứu một cách hệ thống và sâu sắc về các bài toán “Ứng dụng phương trình mũ - logarit vào các bài toán thực tiễn" là một việc làm cần thiết. " Hàm số mũ và hàm số logarit" là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình môn Toán ở phổ thông. Dạy học ở chủ đề này không những trang bị cho học sinh những tri thức, kỷ năng cần thiết về hàm số mũ và hàm số logarit, mà còn nhiều cơ hội giúp các em vận dụng vào nghiên cứu các môn học khác và giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Vì vậy, một trong những mục tiêu quan trọng trong dạy học chủ đề " Hàm số mũ và hàm số logarit" là giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của chủ đề này, đồng thời rèn cho các em khả năng sử dụng kiến thức về " Hàm số mũ và hàm số logarit" để giải quyết vấn đề trong các môn học khác. 1
Trong chương trình sách giáo khoa và sách bài tập Toán 12 hiện nay đang sử dụng ở bậc THPT, lớp bài toán ứng dụng hàm mũ và logarit vào bài toán thực tiễn và liên môn còn rất ít khiến học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải. Vì vậy việc tìm ra các giải pháp giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và làm tốt các bài tập ở chủ đề này, góp phần phát triển phẩm chất và năng lực cho học sinh đặc biệt là năng lực giải quyết vấn đề toán học, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn Toán, hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh. Chương trình giáo dục phổ thông mới năm 2018 chủ đề " Hàm sỗ mũ hàm số logarit" sẽ được đưa về lớp 11 và được áp dụng cho năm học 2023- 2024. Là giáo viên dạy môn Toán để đáp ứng với yêu cầu đổi mới thì phải bắt nguồn từ sự thay đổi chính bản thân mình. Nhận thức về dạy học toán là một trong những giải pháp đầu tiên nhằm thực hiện hóa mục tiêu giáo dục trong giai đoạn đổi mới hiện nay. Với những lý do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài " Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 12 thông qua dạy học chủ đề Ứng dụng phương trình mũ và logarit vào bài toán thực tiễn". 1.2. Mục đích của đề tài - Phát triển năng lực giải quyết vấn cho học sinh THPT - Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh 1.3. Đối tƣợng nghiên cứu - Học sinh lớp 12; Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh khối 12. - Giáo viên giảng dạy môn Toán cấp THPT. 1.4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỷ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề hàm số mũ và hàm số logarit qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12. 1.5. Nghiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về năng lực giải quyết vấn đề. Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức và kỷ năng của chủ đề hàm số mũ và hàm số logarit chương trình môn Toán lớp 12. - Định hướng cho học sinh kỷ năng giải một số bài có nội dung thực tiễn và liên môn bằng cách vận dụng các kiến thức về hàm số mũ và hàm số logarit, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn bằng cách vận dụng các kiến thức về hàm số mũ và hàm số logarit, góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. 1.6. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
- Phương pháp nghiên cứu lý luận. - Phương pháp nghiên cứu quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 1.7. Bố cục của sáng kiến Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chƣơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chƣơng II. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 12 thông qua dạy học chủ đề " Ứng dụng hàm số mũ và hàm số logarit vào thực tiễn" Chƣơng III. Tổ chức thực nghiệm và kết quả nghiên cứu. Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chƣơng I. Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1. Khái niệm - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: "Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỷ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể". - Như vậy: + Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. + Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kỷ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... + Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn. 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực - Theo chương trình GDPT 2018 yêu cầu cần đạt về năng lực bao gồm: + Những năng lực chung được hình thành và phát triển thông qua các môn học và các hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. + Những năng lực đặc thù của học sinh phát triển thông qua một số môn học và các hoạt động giáo dục ngoại khóa nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất. - Theo chương trình GDPT môn toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành tố cốt lõi 3
sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiễn toán học. 1.3. Thực trạng của đề tài. Chúng ta đã biết Toán học là môn học xuất phát từ thực tiễn và nhu cầu giải quyết một số nội dung của các môn khoa học khác như: Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý,...Qua nghiên cứu tôi thấy rằng chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 rất quan tâm, chú trọng việc khai thác các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn. Tuy nhiên sách giáo khoa hiện hành còn một số hạn chế sau: - Các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn chưa xuất hiện nhiều trong sách giáo khoa, sách bài tập môn Toán bậc THPT nói chung và môn toán lớp 12 nói riêng đặc biệt là ở chủ đề “Hàm số mũ và hàm số logarit” thì một số bài toán có nội dung thực tiễn chỉ mới được đưa vào ở một số ví dụ mở đầu hoặc ở hoạt động ban đầu, phần bài tập luyện tập rất ít. - Khi giảng dạy chủ đề này giáo viên thường ít liên hệ toán học với thực tiễn và các môn học khác, hơn nữa giáo viên thường ít chú trọng hoạt động vận dụng các kiến thức về môn Toán vào giải và xây dựng một số bài toán thực tiễn và liên môn, dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo của học sinh bị hạn chế. 1.4. Cơ sở lý thuyết 1.4.1. Quy trình giải bài toán thực tiễn Dựa trên những gợi ý của Polya về cách thức giải một bài toán gồm 4 bước đã được kiểm nghiệm trong dạy học [5], việc giải một bài toán thực tiễn không nằm ngoài quy trình giải bài toán nói chung. Tuy nhiên, ở quy trình giải bài toán thực tiễn, ở mỗi bước thực hiện chúng ta cần chi tiết hơn: Cụ thể Bƣớc 1: Tìm hiểu bài toán. Ở bài toán thực tiễn chúng ta cần nghiên cứu ký đề bài để xác định được bài toán cho gì, yêu cầu gì? Bài toán có những đại lượng nào? Mối liên hệ giữa chúng ra sao? Toán học hóa các đại lượng và các mối quan hệ đó: chuyển bài toán với những ngôn ngữ, dữ kiện thực tiễn thành bài toán thuần túy toán học. Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn được chuyển thành các biểu thức, phương trình, hệ phương trình toán học,... Bước này là bước có ý nghĩa quan trọng đối với việc giải quyết một bài toán thực tiễn, đồng thời phản ánh được năng lực mô hình hóa, năng lực giải quyết vấn đề toán học của người học. Bƣớc 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán. Đây chình là bước tìm lời giải cho bài toán. Giải quyết được bước này giúp học sinh có cơ hội phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học. 4
Bƣớc 3: Trình bày lời giải: Sau khi tìm được cách giải ở bước 2 chúng ta cần phải biết chuyển đổi từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ thực tiễn và ngược lại để trình bày lời giải theo một trình tự logic. Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải: Đối với bài toán thực tế chúng ta cần nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của bài toán vào thực tiễn, nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề của bài toán thực tiễn. Đây là hoạt động nhằm góp phần phát triển năng lực tư duy, tìm tòi sáng tạo của học sinh. 4.1.2. Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12: Chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit. 4.1.3. Các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn. 1.5. Cơ sở thực tiễn Qua khảo sát thực tế của học sinh trường THPT Lê Lợi hầu hết các em còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo (nhiều em có điểm môn Toán tuyển sinh vào 10 chưa được 1,0 điểm). Các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để giải được lớp các bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và thông qua vài bước chuyển đổi. Qua thực tế giảng dạy trực tiếp ở các lớp tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Củ thể vào tháng 12 năm 2022, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau: Lớp Số Điểm 9- Điểm 8-9 Điểm 6-7 Điểm 5-6 Điểm < 5 HS 10 SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% 12A6 42 0 0 3 7.% 11 26.% 20 48% 8 19% 12A2 43 0 0 5 12% 13 30% 19 44% 6 14% Chương 2 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 12 thông qua dạy học chủ đề " Ứng dụng phƣơng trình mũ và logarit vào thực tiễn" 2.1. Một số kiến thức cơ bản. 2.1.1. Lũy thừa với số mũ thực. - Khái niệm: Cho a là số thực dương và α là số vô tỉ xét dãy số hữu tỉ  rn  mà lim rn   . Khi đó, dãy số (a n ) có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào r n   5
dãy số hữu tỉ  rn  đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với số mũ  , ký hiệu r là a . a  lim a n . n   - Tính chất lũy thừa với số mũ thực Cho a, b là những số thực dương;  ,  là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:  a   a a ;   a ;  a   a ;  ab   a b ;     ;          .  a .a  a a b b Nếu a  1 thì a  a  khi và chỉ khi    . Nếu a  1 thì a  a  khi và chỉ khi    . Ví dụ 1.1: Rút gọn biểu thức 5 1 a .a3 5 E  a  0. a  3 1 3 1 Giải. Với a  0, ta có 5 1 a .a3 5 a 5 13 5 a2 E = = =1.    a  3 1 3 1 3 1 3 1 a a2 2 3 3 3 1 1 Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng: a)     ; b) 46 5  43 2 . 2 2  1 2 3 3 3 0   1 1 1 Giải: a) Vì  2 nên theo tính chất thì     . 2 3  3 3 2 2  b) Vì  4 1 6 5 3 2 nên theo tính chất thì 46 5  43 2 . - Tính lũy thừa với số mũ thực bằng máy tính cầm tay Ta sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực. Cụ thể như sau: (fx-570VN PLUS) 6
2.1.2. Lôgarit 2.1.2.1. Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a  b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu là log a b. 2.1.2.2. Tính chất: Tính chất 1: Với và là số thực tùy ý, ta có:  1  Ví dụ 1.2: Tính: a) log3   ; b) log 2 8 .  27  1   6 Giải: a) log3  log3 33  3 ; b) log 2 2 6 27 Tính chất 2: Giả sử là số thực dương khác , và là các số thực dương, là số thực tùy ý. Khi đó: 2.1.3. Hàm số mũ – Hàm số Logarit Ví dụ: 1.3: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) log6 12  log6 3 ; b) log3 54  log3 2 . Giải: a) log6 12  log6 3  log6 12.3  log6 36  log6 62  2. 7
54 b) log3 54  log3 2  log3  log3 27  log3 33  3. 2 Tính chất 3: Với các cơ số lôgarit và bất kỳ là số thực dương tùy ý, ta luôn có: Ví dụ 1.4. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính log9 27 log3 27 log3 33 3 Giải: Ta có: log9 27    . log3 9 log3 32 2 Ví dụ 1.5. Chứng minh rằng: 1 a) Nếu a và b là hai số dương khác 1 thì log a b  ; logb a b) Nếu a là số thực dương khác 1 , M là số dương và   0 thì 1 log a M  log a M .  logb b 1 Giải: a) Theo tính chất 3, ta có: log a b   . logb a logb a log a M log a M 1 b) Theo tính chất 3, ta có: log a M     log a M . log a a  .log a a  2.1.2.3. Logarit thập phân và logarit tự nhiên. - Logarit thập phân. Logarit cơ số 10 của một số dương M gọi là logarit thập phân của M , kí hiệu là log M hoặc lg M ( đọc là lốc của M ). - Logarit Tự nhiên. Logarit cơ số e của một số dương M gọi là logarit tự nhiên của M , kí hiệu là ln M ( đọc là lôgarit Nêpe của M ). 2.1.2.4. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay. Có thể dùng máy tính cầm tay để tính lôgarit của một số dương. (máy f x  570VN PLUS ). 8
2.1.3. Hàm số mũ – Hàm số lôgarit. - Hàm số mũ: Cho số thực a  a  0, a  1. Hàm số y  a x được gọi là hàm số mũ cơ số a . - Hàm số lôgarit: Cho số thực a  a  0, a  1. Hàm số y  log a x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a . 2.1.4. Phƣơng trình và phƣơng trình Logarit. 2.1.4.1. Phƣơng trình mũ. Phƣơng trình mũ cơ bản có dạng (với - Nếu thì phương trình có nghiệm duy nhất - Nếu thì phương trình vô nghiệm. Nhận xét: 1. Với a  0, a  1, b  0 thì a f ( x )  b  f ( x)  log a b. 2. Với a  0, a  1 thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x). Ví dụ 1.6. Giải các phương trình sau: a) 32 x1  5. b) 10x1  3.10x  14. c) 25x2  53 x2 . Giải: Ta có: 1 a) 32 x1  5  2 x  1  log3 5  2 x  log3 5  1  x   log3 5  1 2 1 Vậy phương trình có nghiệm là: x   log3 5  1 2 b) x 1 10  3.10x  14  10.10x  3.10x  14  7.10x  14  10x  2  x  log 2.Vậy phương trình có nghiệm x  lg2. c) 25x2  53 x2  52 x2  53 x2  2 x  4  3x  2  x  6. Vậy phương trình có nghiệm x  6. 2.1.4.2. Phƣơng trình Lôgarit. 9
Phƣơng trình lôgarit cơ bản có dạng Phương trình lôgarit cơ bản có nghiệm duy nhất Nhận xét: 1. Với a  0, a  1 thì log a f ( x)  b  f ( x)  ab .  2. Với a  0, a  1 . Ta có ; log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  0 f ( x)  g ( x). Ví dụ 1.7. Giải các phương trình sau: a)log3 x  2. b)log5  2 x  1  1. c) log 2  3x  1   log 1 (2 x  1) 2 Giải: a) Ta có: log3 x  2  x  32  x  9. Vậy phương trình có nghiệm là x  9. b) Ta có: log5 (2 x  1)  1  2 x  1  5  2 x  6  x  3. Vậy phương trình có nghiệm là x  3. c) Ta có: log 2 (3x  1)   log 1 (2 x  1)  log 2 (3x  1)  log 2 (2 x  1) 2   x   1  3x  1  0  3x  1  2 x  1  3 . Vậy phương trình có nghiệm là x  2.  x  2.  2.1.5. Bất phƣơng trình mũ và bất phƣơng trình lôgarit 2.1.5.1. Bất phƣơng trình mũ. Bất phƣơng trình mũ cơ bản là bất phương trình có dạng (hoặc ), với a.b 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 Xét bất phương trình (1) - Nếu thì mọi 𝑥 ∈ ℝ đều là nghiệm của (1). - Nếu thì: Với nghiệm của (1) là Với nghiệm của (1) Nhận xét: a) Các bất phương trình mũ còn lại được giải tương tự. b) - Nếu a  1 thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x). - Nếu 0  a  1thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x). 10
Ví dụ 1.8. Giải các bất phương trình sau: 2 x 1 x 3 1 1 1 a) 9  ; b)   x   . 27 2 2 1 1 3 Giải: a) 9 x   (32 ) x  3  32 x  33  2 x  3  x   . 27 3 2 2 x 1 x 3 1 1 b)      x  3  2 x  1  4  x. 2  2 2.1.5.2. Bất phƣơng trình lôgarit Bất phƣơng trình lôgarit cơ bản là bất phương trình có dạng (Hoặc với Xét bất phương trình (2) . Điều kiện xác định của bất phương trình là - Với nghiệm của (2) là - Với nghiệm của (2) là: . Nhận xét: a) Các bất phương trình lôgarit còn lại được giải tương tự. b) - Nếu a  1 thì loga f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0. - Nếu 0  a  1thì loga f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x). Ví dụ 1.9. Giải các bất phương trình sau: a) log3 (2 x  1)  1; b) log 1 (1  x)  log 1 (3x  2). 3 3 1 Giải: a) Điều kiện 2 x  1  0  x  . 2 Khi đó, do cơ số 3  1 nên bất phương trình đã cho trở thành 2 x  1  31  2 x  4  x  2. x  1  3x  2  0  b) Điều kiện 1  x  0     x 3 2 2    x  1.() 3 1 Khi đó, do cơ số 0   1 nên bất phương trình (3) trở thành 2 11
1 1  x  3x  2  4 x  1  x   . 4 1 Kết hợp với điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình là   x  1. 4 2.2. Ứng dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit vào bài toán kinh tế. 2.2.1 Bài toán lãi kép a) Lãi kép: Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kỳ, tức là nếu đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. b) Xây dựng công thức tính lãi kép. Giả sử số tiền gốc là P0 với lãi suất r mỗi kỳ theo hình thức lãi kép trong thời gian n kỳ. Gọi Pn là số tiền có được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn, khi đó ta có: P  P  P r  P (1  r ) 1 0 0 0 P  P  P r  P (1  r )  P (1  r )(1  r )  P (1  r )2 2 1 1 1 0 0 .... Pn  P0 (1  r )n .(2.1) (Công thức lãi kép) (Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức trên). Từ công thức (2.1) ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là: A  Pn  P0 . (2.2) Hoạt động của người dân ở ngân hàng c) Bài tập : Ví dụ 2.1: (Sưu tầm có bổ sung) 12
Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kỳ hạn 12 tháng với lãi suất không đổi 7.4% / năm. Giả sử đến kỳ hạn bác Minh không rút tiền lãi ra thì số tiễn lãi sẽ được nhập vào tiền vốn ban đầu. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi bác Minh thu được sau 3 năm. Để giải bài toán này tôi sẽ hướng dẫn học thông qua các bước sau: Bước 1: (Tìm hiểu bài toán): Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích và nắm được vấn đề thực tiễn như sau: + Bác Minh Gửi số tiền ban đầu là 100 triệu đồng nên P0  100 ; Lãi suất 7.4% / năm nên r  0.074 . + Kỳ hạn 12 tháng nên sau 3 năm ta suy ra được n  3 . Bước 2:(Tìm cách giải) Đây là bài toán gửi tiết kiệm mà tiền lãi không rút ra nên sẽ được ngân hàng nhập vào tiền gốc cho kỳ sau vì vậy đây chính là bài toán lãi kép. Để giải bài toán này ta sử dụng công thức (2.1) ở trên. Bước 3:(Trình bày lời giải). Áp dụng công thức lãi kép với r  0.074 ; n  3 ; P0  100 Pn  P0 (1  r )n  P3  100(1  0.074)3  123.883 (triệu). Bước 4:(Nghiên cứu sâu lời giải). Bài toán gửi tiền tiết kiệm thường xuyên vận dụng trong cuộc sống. Đặc biệt trong xã hội hiện nay đối với nông thôn, người lao động đi lao động ở nước ngoài khá nhiều nên tiền lương của họ được gửi về cho người thân để gửi ngân hàng. Đây là bài toán mà giả thiết cho lãi suất và thời gian gửi có cùng đơn vị thời gian nên ta hoàn toàn sử dụng được công thức lãi kép. Nhưng khi gửi tiền vào ngân hàng nếu người gửi chỉ cần rút sớm trước kỳ hạn dù là một ngày thì ngân hàng sẽ tính tiền lãi theo mức không kỳ hạn( 0.5% / năm ). Do đó để thuận tiễn cho việc rút tiền khi họ có việc đột xuất họ đã chọn các kỳ gửi sao cho phù hợp với mình. Một năm được tính lãi 2, 3, 4 lần (gọi chung là N ) vậy thì lúc này tổng số tiền có được sau N kỳ hạn được tính như thế nào? Ta xem bài toán sau: Ví dụ 2.2:( Sưu tầm có bổ sung) Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền là 120 triệu đồng kỳ hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5.8% / năm thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau hai 18 tháng là bao nhiêu? Biết rằng, cứ sau mỗi kỳ số tiền lãi bác An không rút ra mà được nhập vào vốn ban đầu. Để giải bài toán này ta cũng thực hiện qua 4 bước sau: Bước 1 (Tìm hiểu bài toán): Giáo viên hướng dẫn các nhóm học sinh phân tích và nắm được các vấn đề thực tiễn sau. + Đây cũng là bài toán gửi tiết kiệm mà tiền lãi được cộng vào tiền gốc cho kỳ sau. Song kỳ hạn tính lãi và lãi suất được tính không cùng đơn vị thời gian nên khi giải dạng bài toán này chúng ta phải quy đổi lãi suất về cùng thời gian với kỳ hạn tính lãi 13
+ Vì kỳ hạn 6 tháng bằng nửa năm nên với lãi suất 5.8% / năm thì lãi suất một kỳ là 5.8% 2 . + Mỗi kỳ sáu tháng nên sau 18 tháng thì được 18: 6  3 kỳ và P0  120. Bước 2 (Tìm lời giải): Như vậy sau khi thực hiện chuyển đổi bài toán trên đã trở thành bài toán 1 (bài toán lãi kép). Để giải bài toán này ta áp dụng công thức (2.1). Bước 3 (Trình bày lời giải) Giải: - Do mỗi kỳ hạn là 6 tháng nên sau 18 tháng ta có n  18: 6  3 . - Với kỳ hạn 6 tháng nên một năm được hai kỳ hạn nên lãi suất mỗi kỳ là: 5.8% . 2 Áp dụng công thức (2.1) sau 18 tháng bác An nhận được số tiền là: 3  5.8%  P3  120 1    142.114 (triệu đồng).  2  Vậy sau 18 tháng bác An thu được 142.114 (triệu đồng) Bước 4 (Nghiên cứu sâu lời giải) Đây là bài toán được vận dụng nhiều trong thực tế. Vậy thì với bài toán cho biết lãi suất r % / năm mà mỗi năm có m kỳ hạn thì sau n kỳ hạn tổng số tiền nhận n  r%  được (cả vốn lẫn lãi) Pn được tính theo công thức: Pn  P0 1   (2.3) (Ta có  m  thể chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học). Ví dụ 2.3: (Sáng tác) Gia đình bác Lan gửi ngân hàng 250 triệu đồng với lãi suất không đổi 5% / năm theo hình thức lãi kép. Vì để phòng khi gia cần rút tiền đột xuất nên bác chỉ gửi với kỳ hạn 3 tháng. Hỏi sau 2 năm bác Lan thu được số tiền là bao nhiêu? (cả vốn lẫn lãi) Giả sử trong suốt thời gian gửi bác Lan không rút tiền ra. Giải: 5% - Do mỗi kỳ hạn là 3 tháng nên lãi suất mỗi kỳ hạn là: . 4 - Tính số tiền sau 2 năm nên số kỳ hạn n  2.4  8. 8  5%  - Áp dụng công thức (2.3) ta có: P8  250.1    276.122 (triệu đông).  4  Vậy sau 2 năm bác Lan thu được 276.122 (triệu đồng). 14
Ví dụ 2.4: (Sáng tác) Gia đình bạn Vinh gửi tiết kiệm ngân hàng 400 triệu đồng kỳ hạn 12 tháng với lãi suất không đổi 7.2% / năm ở ngân hàng Vietcombank. Biết rằng nếu không rút lãi ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì bạn Vinh nhận được số tiền không dưới 600 triệu đồng bao gồm cả gốc lẫn lãi? Giả sử trong suốt thời gian gửi bạn Vinh không rút tiền ra. Để giải bài toán này ta thực hiện qua 4 bước như sau: Bước 1: (Tìm hiểu bài toán) Bài toán này cho ta biết tiền gốc ban đầu P0  400 triệu đồng; kỳ hạn 12 tháng với lãi suất r  7.2% / năm ; số tiền cần thu được là không dưới Pn  600 triệu đồng; bài toán hỏi thời gian gửi ít nhất bao nhiêu năm? Bước 2: (Tìm lời giải) Đây là bài toán lãi kép nhưng tiền gốc, tiền cần thu về và lãi suất đã biết. Chúng ta cần tìm thời gian gửi tức là cần tìm n trong công thức (2.1). Để tìm n ta phải thực hiện giải phương trình : 400 1  7.2%  600 Vì ngân n hàng nếu ta rút tiền sớm dù chỉ một ngày theo kỳ hạn thì ngân hàng sẽ tính lãi suất không kỳ hạn với mức lãi 0.10% trong kỳ hạn đó. Nên khi lấy kết quả ta phải lấy n là số nguyên và làm tròn lên. Bước 3:(Trình bày lời giải) Ta có, tiền gốc ban đầu 400 triệu đồng nên P0  400 ; Tiền thu được là 600 nên Pn  600 triệu đồng; Lãi suất 7.2% nên r  0.072 Pn  P0 1  r   600  400 1  0.072  n n Theo công thức lãi kép (2.1) ta có 600 3  1.072n   n  log1.072  5.88 400 2 Vì gửi tiết kiệm kỳ hạn 12 tháng (tức là một năm) nên n phải là số nguyên. Do đó ta chọn n  6 . Vậy sau ít nhất 6 năm bạn Vinh nhận được số tiền ít nhất là 600 triệu đồng. Bước 4 (Nghiên cứu sâu lời giải) Khác với hai bài toán trước đây là bài toán biết tiền gốc, lãi suất và số tiền cần có. Yêu cầu đặt ra là tìm thời gian gửi. Vậy để giải bài toán này chúng ta cần xác định rõ các yếu tố ban đầu: Vốn P0 ; lãi suất r , tổng số tiền có được Pn sau n kỳ. Pn Để tìm n từ công thức (2.1) Pn  P0 1  r   1  r     n n P0 Để tìm n từ (*) ta có thể tìm theo hai cách sau: Cách 1: Ta coi (*) là một phương trình mũ, giải ra ta tìm n . 15
Pn P 1  r    n  log1r n . (2.4) n P0 P0 Ví dụ 2.5. (Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 mã 101). Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được cộng vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc lẫn lãi? Giả định trong suốt thời gian, lãi suốt không đổi và người đó không rút tiền ra. A. 13 năm B. 12 năm C. 14 năm D. 11 năm. Giải: (Giáo viên cho học sinh làm bài theo nhóm) Gọi ∈ là số năm để có hơn 100 triệu đồng. Áp dụng công thức (2.4). Suy ra 50(1  6%)  100 n  n  log1.06 2 .  n  11.89  n  12 Hoạt động của Giáo viên - Học sinh Chọn B. Ví dụ 2.6. (Sáng tác) Gia đình bạn Huyền có 300 triệu đồng gửi ngân hàng kì hạn 6 tháng với lãi suất 0.71% / tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi sau bao nhiêu kì hạn, bạn mới có đủ số tiền để mua một chiếc xe. Biết rằng khi nào tiền lãi lớn hơn nữa tiền gốc thì lúc đó bạn Huyền có đủ tiền mua xe. Giả sử bạn không rút tiền ra trong suốt thời gian gửi. Bước 1: (Tìm hiểu bài toán) - Bài toán cho tiền gốc 300 triệu đồng; lãi suất 0.71% / tháng nên chưa cùng thời gian với kì hạn vay nên ta cần đổi lãi về cùng với thời gian vay. r  6  0.71%  4.26% - Bài toán cho biết bạn Huyền đủ tiền mua xe khi mà tiền lãi phải lớn hơn nữa tiền gốc. Vì vậy ta cần tìm n thõa mãn yêu cầu đó. - Kết quả n nguyên và phải làm tròn lên. Bước 2: (Tìm lời giải) Đây là bài toán gửi tiền theo thể thức lãi kép nên để tính tổng tiền thu được ta sử dụng công thức lãi kép (2.1) Pn  P0 1  r  ; công n 1 thức Pn  P0 (2.2) để tính tiền lãi; rồi giải bất phương trình Pn  P0  P0 . Tìm n ta 2 dùng công thức (2.4). Bước 3: (Trình bày bài giải) 16
Ta có: Tổng tiền sau n kì hạn Pn  P0 1  r   A  Pn  P0 là tiền lãi . n P0  300 ; r  6  0.71%  4.26% . Để thu được tiền lãi lớn hơn tiền gốc thì 1 1 3 Pn  P0  P0  P0 1  4.26%   P0  P0  1  4.26%   n n 2 2 2 3  n  log14.26%  9.72 2 Vì ∈ nên ta lấy n  10 . Vậy sau 10 kì hạn (tức là 5 năm) thì bạn có đủ tiền để mua xe. Hoạt động của Học sinh Bước 4: (Ngiên cứu sâu lời giải) Đây là bài toán xuất phát từ bài toán lãi kép. Ta chỉ cần thay đổi các số liệu củ thể thì ta được các bài toán mới. Ở đây cũng là tìm số kì hạn nhưng ta không cho củ thể số tiền cần đạt bao nhiêu mà lại cho số tiền lãi cần đạt bao nhiêu để tạo ra cái mới nhằm phát huy năng lực sáng tạo và tạo hứng thú học tập cho học sinh. Cũng xuất phát từ công thức (2.1) ta yêu học sinh xác định tiền gốc ban đầu thì ta lại có một bài toán mới. Ví dụ 2.7: (Trích đề thi khảo sát lớp 12 THPT Hà Nội năm 2017) Ông Việt dự định gửi ngân hàng một số tiền với lãi suất 6.5% / năm . Biết rằng, cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ nhập vào vốn ban đầu. Tính số tiền tối thiệu x (triệu đồng, ∈ ℝ) ông Việt gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua một chiếc xe gán máy trị giá 30 triệu đồng. A.154 triệu đồng B.150 triệu đồng C.140 triệu đồng D.145 triệu đồng. Bước 1: (Tìm hiểu bài toán) Giáo viên hướng dẫn các nhóm tìm hiểu đề để nắm được các kết quả sau: - Lãi suất r  6.5% / năm ; thời gian gửi 3 năm nên n  3 ; cần thu được tiền lãi lớn hơn hoặc bằng 30 triệu đồng. - Bài toán yêu cầu tìm số tiền gốc. Bước 2: (Tìm lời giải) Từ giả thiết và yêu cầu của bài ta thấy đây thực chất là bài toán được xuất phát từ công thức lãi kép (2.1) Pn  P0 1  r  và công thức (2.2) n tiền lãi bằng Pn  P0 . Tiền lãi để mua xe trị giá 30 triệu nên ta phải giải bất phương trình Pn  P0  30. Bước 3:(Trình bày lời giải) - Áp dụng công thức (2.1) ta có tổng số tiền thu được sau 3 năm là: P3  x(1  6.5%)3 17
- Tiền lãi sau 3 năm đủ để mua xe 30 triệu đồng nên 30 P3  x  30  x(1  6.5%)3  x  30  x   144.2 (triệu đồng. Vậy 1  6.5%   1 3 ông Việt cần gửi ngân hàng 145 triệu đồng. Đáp án D. Bước 4: (Nghiên cứu sâu lời giải) Đây là một bài toán thức tế xuất phát từ bài toán lãi kép với công thức tính tổng số tiền sau n kì hạn (2.1) ta thay đổi một số giả thiết và yêu cầu ta được một bài toán mới tương tự. Như vậy ta đã nghiên cứu các bài toán khi gửi tiền. Nhưng thực tế chúng ta lại có hoạt động vay vốn ngân hàng rất nhiều? Vậy thì các bài toán vay vốn thì được giải quyết như thế nào có tương tự bài toán gửi không? Ví dụ 2.8. (Sưu tầm) Chủ của hàng C vay ngân hàng một số vốn, theo thể thức lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng một lần với lãi suất 9.6% một năm. Tổng số tiền mà chủ của hàng phải trả sau 4 năm 3 tháng là 536.258.000 đồng. Xác định số vốn chủ của hàng C đã vay. (Biết lãi suất hàng năm không thay đổi) Giải: - Lãi suất 9.6% / năm nên lãi suất một kỳ 6 tháng là nữa năm nên 9.6% r  4.8% . 2 - Pn  536.258.000 ; Chủ của hàng trả sau 4 năm 3 tháng nên số kỳ vay là n  4  2  (3: 6)  8.5 - Từ công thức lãi kép (2.1) ta có: Pn  P0 (1  r ) n  536.258.000  P0 1  4.8%  8.5 536.258.000  P0   360.000.000. 1  4.8%  8.5 Vậy số vốn mà của hàng vay ban đầu là: 360 triệu đồng. d) Một số bài tập tự luyện: Câu 1: (Sáng tác) Vào năm 01/3/2020 gia đình bạn Mai gửi vào ngân hàng 300 triệu đồng để góp tiền mua xe với lãi suất không đổi 6.8% / năm. Kỳ hạn 6 tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi kỳ, số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ tiếp theo. Hỏi đến ngày 01/9/2023 gia đình bạn Mai rút tiền đã gửi về (cả gốc lẫn lãi) để mua một chiếc xe trị giá 500 triệu thì gia đình bạn Mai phải góp thêm bao nhiêu tiền nữa là đủ? (làm tròn ở hàng triệu) A. 121 triệu đồng B. 120 triệu đồng C. 25 . triệu đồng D. 122 triệu đồng Câu 2: (Trích đề tham khảo của bộ GD&ĐT năm 2018) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0.4% / tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được 18
nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng 6 tháng người đó lĩnh được số tiền (cả vốn ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? A. 102.424.000 đồng B. 102.424.000 đồng C. 102.016.000 đồng D. 102.017.000 đồng. Câu 3: ( Trích đề thi THPT Quốc gia 2018 mã 101) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7.5% / năm . Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đâu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không đối và người gửi không rút tiền ra? A. 11 năm B. 9 năm C. 10 năm. D. 12 năm Câu 4: (Sưu tầm có bổ sung) Bạn Bình muốn thu khoảng 310 triệu đồng bằng cách đầu tư hiện tại là 170 triệu đồng, với lãi suất không đổi 13% / năm theo thể thức lãi kép. Xác định thời gian cần thiết để bạn Bình đầu tư. A. 3 năm. B. 5 năm. C. 4 năm. D. 6 năm. Câu 5: ( Sưu tầm) Cô giáo Thảo ra trường xa quê lập ngiệp, đến năm 2014 sau gần 5 năm làm việc tiết kiệm được x (triệu đồng) và định dùng số tiền đó để mua nhà nhưng trên thực tế cô giáo phải cần 1.55x (triệu đồng). Cô quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6.9% / năm với lãi suất hàng tháng nhập vào gốc và cô không rút trước kỳ hạn. Hỏi năm bao nhiêu cô mua được căn nhà đó, biết rằng chủ nhà đó vẫn bán với giá cũ. A. Năm 2019. B. Năm 2020. C. Năm 2021. D. Năm 2022. Câu 6: (Sưu tầm) Sau một thời gian làm việc, chị An có số vốn là 450 triệu đồng. Chị An chia số tiền thành hai phần để gửi ngân hàng Agribank và Sacombank với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 18 tháng. Số tiền ở phần thứ hai chị An gửi ngân hàng Sacombank với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 10 tháng. Tổng số tiền lãi thu ở hai ngân hàng là: 50,01059203. Mỗi ngân hàng là triệu đồng. Hỏi số tiền chị An đã gửi ở mỗi ngân hàng Agribank và Sacombank là bai nhiêu? A. 280 triệu và 170 triệu đồng B. 280 triệu và 170 triệu đồng C. 200 triệu và 250 triệu đồng D. 200 triệu và 250 triệu đồng. Câu 7: (Trích đề thi thử THPT quốc gia sở GD&ĐT Hà Nội trường THPT Chu Văn An năm 2019) Anh An mua một chiếc xe máy theo hình thức trả góp. Anh An sẽ trả tiền mua xe theo bốn đợt, mỗi đợt cách nhau một năm và thời điểm trả tiền đợt đầu là một năm sau ngày mua xe. Số tiền thanh toán mỗi đợt lần lượt là 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng, 20.000.000 đồng, Biết lãi suấ được áp dụng theo hình thức mua xe của anh An là 8% / năm. 19