Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết

MỤC LỤC Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ............................................................................. Trang 2 1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 2 1.2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 3 1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 3 1.4. Giới hạn của đề tài............................................................................. Trang 3 1.5. Nhiệm vụ của đề tài .......................................................................... Trang 3 1.6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... Trang 3 1.7. Bố cục của đề tài ............................................................................... Trang 4 Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.................................................... Trang 5 Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn.................................................... Trang 5 1.1. Khái niệm........................................................................................... Trang 5 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực............................................................... Trang 5 1.3. Thực trạng của đề tài.......................................................................... Trang 5 1.4. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 6 1.5. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 6 Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm Trang 7 hợp và hàm liên kết ................................................................................... 2.1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 7 2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo Trang 10 cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp 2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo Trang 23 cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm liên kết 2.4. Bài tập tự luyện................................................................................... Trang 39 Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 44 Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 46 PHỤ LỤC.................................................................................................. Trang 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... Trang 50 1
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ mục tiêu cụ thể về giáo dục phổ thông, trong đó có mục tiêu: Hình thành năng lực công dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học,…”. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Để góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THPT, hoạt động dạy giải bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy học bộ môn Toán ở bậc THPT. Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải hình thành cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. Bài toán cực trị của hàm hợp, hàm liên kết là một trong những dạng toán hay và khó, thường xuyên xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia và đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông những năm gần đây. Các bài toán này nhằm mục đích phân loại trình độ học sinh với độ khó ngày một tăng dần. Để giải được lớp bài toán này đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sử dụng tổng hợp một số kiến thức đã học trong chương trình môn Toán bậc THPT. Trong sách giáo khoa và sách bài tập môn Toán lớp 12 hiện nay đang sử dụng ở bậc THPT, lớp bài toán cực trị của hàm hợp, hàm liên kết lại không được đề cập. Do đó các em học sinh rất lúng túng và gặp không ít khó khăn trong việc tiếp cận và tìm tòi lời giải các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết. Là một giáo viên giảng dạy bộ môn Toán tôi luôn băn khoăn, trăn trở trong việc tìm các giải pháp để các em với học lực môn Toán khác nhau được làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT, giúp các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn Toán, hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh. 2
Để phát huy được tính sáng tạo giải toán cho học sinh đòi hỏi người thầy cần đầu tư xây dựng một hệ thống các bài toán cho riêng mình bám sát xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT thông qua việc trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp đặc biệt là các chuyên gia về bộ môn Toán bậc THPT. Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết ”. 1.2. Mục đích của đề tài - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. 1.3. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 12 (chú trọng học sinh khá giỏi). - Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp tỉnh khối 12. - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 1.4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12. 1.5. Nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo. - Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề cực trị hàm số thuộc chương trình giải tích lớp 12. - Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ đề cực trị của hàm hợp, hàm liên kết thông qua việc khai thác các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết trong các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, các đề thi thử trên cả nước, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết, giúp học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết, qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết, góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. 1.6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. 3
- Phương pháp điều tra quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 1.7. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết. Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu. 4
Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn 1.1. Khái niệm - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.” - Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: + Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. + Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... + Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn. 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực - Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau: + Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. + Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất. - Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 1.3. Thực trạng của đề tài Có thể nói rằng chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết là một chủ đề hay và khó trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường lựa chọn các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích 5
lớp 12, các bài toán cực trị trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi HSG để giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau: - Các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12 vẫn còn khá dễ và chưa sát với các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi THPTQG nay là đề thi TNTHPT và tuyển sinh đại học. - Khi giảng dạy các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết giáo viên thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế. - Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tòi, xây dựng các bài toán mới để từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị hàm hợp và hàm liên kết. 1.4. Cơ sở lý thuyết 1.4.1. Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 11: Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình. 1.4.2. Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12: Bảng biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Đồ thị của hàm số và các bài toán liên quan. 1.4.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản. 1.5. Cơ sở thực tiễn Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Lê Lợi nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo (nhiều em có điểm môn Toán tuyển sinh vào 10 chưa đ ạt 1,0 điểm). Các bài toán thuộc chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi thường ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước biến đổi. Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể tháng 9 năm 2020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau: Số Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1. Đạo hàm của hàm hợp Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là u x , và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại u là yu thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là: yx  yu .ux . Ví dụ 1.1. Với u là một hàm số của x ta có: +  u n   n.u n1.u ( n  * , n  2 ). +  u   2uu ( u  0 ).  u  2u.u u.u u  2 +  u   2    ( u  0 ). 2 u2 2u u 2.1.2. Cực trị của hàm số 2.1.2.1. Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  a; b  và điểm x0   a; b  . + Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực đại tại x0 . + Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x0 . 2.1.2.2. Điều kiện cần đạt cực trị Định lý 1: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng  a; b  có đạo hàm tại x0   a; b  và đạt cực trị tại điểm đó thì f   x0   0 . 2.1.2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lý 2: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên K   x0  h; x0  h  và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0  , với h  0 . + Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  . 7
+ Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  . Minh họa bằng bảng biến thiến x x0  h x0 x0  h x x0  h x0 x0  h f ( x)   f ( x)   fCÑ f ( x) f ( x) fCT Định lý 3: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp một trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f   x   0 và f  x  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0 . a) Nếu f   x0   0 thì hàm số y  f  x  đạt cực đại tại điểm x0 . b) Nếu f   x0   0 thì hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 . Chú ý: Trong định lý 3 nếu f   x0   0 thì ta chưa kết luận được hàm số đạt hay không đạt cực trị tại x0 . Ví dụ 1.2. (Trích đề thi THPTQG 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên , có bảng xét dấu f   x  như sau: Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là A. 1 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Ta có f  x  liên tục trên và đổi dấu từ  sang  khi qua các điểm x  1; x  1. Suy ra hàm số có hai điểm cực tiểu là x  1 và x  1 . Ví dụ 1.3. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên toàn và có đồ thị đạo hàm y  f '  x  như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Lời giải 8
Chọn A Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của f   x  : Vậy hàm số y  f  x  có 3 cực trị. Ví dụ 1.4. (Trích đề thi THPTQG 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x8   m  2  x5   m2  4  x 4  1 đạt cực tiểu tại x  0 ? A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. Vô số. Lời giải Chọn C Ta có y  x8   m  2  x5   m2  4  x 4  1  y  8x7  5  m  2  x 4  4  m2  4  x3 . y  0    x 3 8 x 4  5  m  2  x  4  m2  4   0 x  0   g  x   8 x  5  m  2  x  4  m  4   0 4 2 Xét hàm số g  x   8x 4  5  m  2  x  4  m2  4  . Xét giá trị g  0 :  m  2 TH1. Nếu g (0)  0  m2  4  0   . Do hàm số g  x  liên tục trên  m  2 , nên tồn tại số h  0 sao cho g ( x)  0 , x  (h; h)  y ' đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0  Hàm số đã cho không đạt cực tiểu tại x  0 . TH2. Nếu g (0)  0  m2  4  0  2  m  2 . Do hàm số g  x  liên tục trên , nên tồn tại số h  0 sao cho g ( x)  0 , x  (h; h)  y ' đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0  Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  0 . Vậy 2  m  2 thỏa đề bài. Do m nguyên nên m1;0;1 . 9
m  2 TH3. Nếu g (0)  0  m2  4  0   .  m  2 * Với m  2 . Khi đó y  8x7 suy ra y  đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x  0 nên x  0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m  2 thỏa mãn đề bài. x  0 * Với m  2 thì g  x   8 x  20 x  0   4 . x  3 5  2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có x  0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m  2 không thỏa mãn đề bài. Vậy cả ba trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa đề bài. 2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp Ví dụ 2.1. (Trích đề thi THPTQG 2019). Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f   x  như sau Số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  là A. 9 . B. 3 . C. 7 . D. 5 . Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học. Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm hợp y  f  x 2  2 x  khi cho biết bảng biến thiên của hàm số f   x  . Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. + Tính đạo hàm của hàm hợp y  f  x 2  2 x  . 10
+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình y  0 . + Kết luận số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  . Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. Ta có: x 1  2  x  2 x  a, a   ; 1  x  1  y   2 x  2  f   x 2  2 x   0     x 2  2 x  b, b   1;0   f   x  2 x   0  2 2 x  2 x  c,c   0;1   x 2  2 x  d , d  1;   Lập bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x : Ta có: u  x   2 x  2  0  x  1 Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x ta có mỗi phương trình x2  2 x  a , x2  2 x  b , x2  2 x  c , x2  2x  d đều có hai nghiệm phân biệt khác 1 và trong các nghiệm đó không có hai nghiệm nào trùng nhau. Do đó phương trình y  0 có 7 nghiệm đơn phân biệt. Từ đó hàm số y  f  x 2  2 x  có 7 điểm cực trị. Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. - Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là: Thứ nhất: Từ bảng biến thiên của hàm số f   x  suy ra nghiệm u của phương trình f   u   0 . 11
Thứ hai: Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x suy ra số nghiệm bội lẻ của các phương trình u  x   0 , u  x   a , u  x   b , u  x   c , u  x   d . - Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên của hàm số f   x  . Tính số điểm cực trị của hàm số y  f  u  x   . - Chúng ta có thể giúp học sinh giải và xây dựng các bài toán cực trị của hàm hợp tương tự, trước hết bằng cách thay đổi giả thiết ta có các bài toán sau: * Giả thiết cho bằng đồ thị của hàm số f  x  : Ví dụ 2.2. (Trích đề thi TK THPTQG 2020). Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x3  3x 2  là A. 5. B. 3. C. 7. D. 11. Lời giải Xét hàm số g  x   f  x3  3x 2  ta có: g   x    3x 2  6 x  f   x3  3x 2  3 x 2  6 x  0 g x   0    f   x  3x   0 3 2 Phương trình x  0 3x 2  6 x  0    x  2 Từ đồ thị của hàm số f  x   x3  3x 2  t1   ;0  1  Ta có: f   x3  3x 2   0   x3  3x 2  t2   0;4   2  3  x  3x  t3   4;    3 2 x  0 Xét hàm số u  x   x3  3x 2 ta có u  x   3x 2  6 x  0    x  2 Bảng biến thiên của hàm số u  x   x3  3x 2 12
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số u  x   x3  3x 2 ta thấy: 1 có 1 nghiệm duy nhất  2 có 3 nghiệm phân biệt  3 có 1 nghiệm duy nhất. Suy ra g  x   0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt và g   x  đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số g  x  có 7 điểm cực trị. * Giả thiết cho biểu thức của f   x  : Ví dụ 2.3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục và xác định trên và có biểu thức tương ứng là f   x   x  x  1 x  2021 . Gọi S là tập chứa các giá trị nguyên của tham số m để hàm số g  x   f  x3  3x  m  có nhiều điểm cực trị nhất. Số phần tử của tập S là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải x  0 Ta có: f   x   x  x  1 x  2021  0   x  1  x  2021 Xét hàm số g  x   f  x3  3x  m  ta có: 3 x 2  3  0 g   x    3 x  3 f   x  3 x  m  ; g   x   0   2 3  f   x  3x  m   0 3 . Ta có: 3x2  3  0  x  1  x3  3x  m  0 1  f   x3  3x  m   0   x3  3x  m  1  2  3  x  3x  m  2021  3 13
Yêu cầu bài toán tương đương với tổng số nghiệm bội lẻ khác 1 của các phương trình 1 ,  2 , 3 là nhiều nhất. Xét hàm số u  x   x3  3x  m ta có u  x   3x2  3  0  x  1 Bảng biến thiên của hàm số u  x   x3  3x  m : Do  m  2   m  2  4 nên từ bảng biến thiên ta có tổng số nghiệm đơn khác 1 của các phương trình 1 ,  2 , 3 nhiều nhất khi và chỉ khi m  2 m  2  0  1  m  2   m  1 Do m   m 1;0 . Vậy tập hợp S có 2 phần tử. * Giả thiết cho công thức của f   ax  b  , a  0 : Ví dụ 2.4. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên của hàm số y  f   2 x  3 như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x 4  2 x 2  1 . A. 11. B. 5. C. 7. D. 9. Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học. Đây là bài toán tìm số cực trị của hàm hợp g  x   f  x 4  2 x 2  1 khi cho biết bảng biến thiên của hàm số f   2 x  3 . Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. + Từ bảng biến thiên của hàm số f   2 x  3 truy về được bảng biến thiên của hàm số f   x  . 14
+ Tính đạo hàm của hàm hợp g  x   f  x 4  2 x 2  1 . + Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình g  x   0 . + Kết luận số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x 4  2 x 2  1 . Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. Trước hết ta tìm bảng biến thiên của hàm số f   x  :  4 x3  4 x  0 Ta có: g   x    4 x  4 x  f   x  2 x  1 ; g   x   0   3 4 2  f   x  2 x  1  0 4 2 x  0 Ta có: 4 x3  4 x  0  4 x  x 2  1  0    x  1 Từ bảng biến thiên của hàm số f   x  ta có  x 4  2 x 2  1  a   ; 2  1  f   x 4  2 x 2  1  0   x 4  2 x 2  1  b   2; 1  2  4  x  2 x  1  c   1;    3 2 x  0 Xét hàm số u  x   x 4  2 x 2  1 ta có u  x   4 x3  4 x  0    x  1 Bảng biến thiên của hàm số u  x   x 4  2 x 2  1 : 15
Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 4  2 x 2  1 , ta có tổng số các nghiệm đơn khác 1 và khác 0 của các phương trình 1 ,  2 , 3 là 6 nghiệm. Do đó phương trình g  x   0 có 9 nghiệm đơn phân biệt hay hàm số g  x   f  x 4  2 x 2  1 có 9 điểm cực trị. Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. - Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là: Thứ nhất: Từ bảng biến thiên của hàm số f   2 x  3 cần suy ra được bảng biến thiên của hàm số f   x  . Thứ hai: Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 4  2 x 2  1 suy ra số nghiệm bội lẻ của các phương trình u  x   0 , u  x   a , u  x   b , u  x   c . - Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên của hàm số f   ax  b  ( a, b  ; a  0 ). Tính số điểm cực trị của hàm số y  f u  x  . Tiếp theo bằng cách thay đổi biểu thức của hàm hợp, chúng ta hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị của hàm hợp Ví dụ 2.5. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên và có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  như hình vẽ (trong đó 1  p  2 )  Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f 2021 f  x   2020 .  A. 17. B. 15. C. 11. D. 19. Lời giải  Xét hàm số g  x   f 2021 f  x   2020 , ta có:   g  x   2021 f  x   2020  f  2021 f  x   2020  2021 f   x   2021 f  x   2020  2021 f  x   2020   f  2021 f  x   2020 . 16
2020 g   x  không xác định khi 2021 f  x   2020  0  f  x   1 . 2021 Ta có:  f  x   0 g x   0     f  2021 f  x   2020  0  x 1 x  2   x  1  f  x  1  2 x  2    f  x   2019  3 .   2021 f  x   2020  1 2021    2021 f  x   2020  2  f  x   2022  4   2021  2018  f  x   5  2021 Từ bảng biến thiên của hàm số f  x  , ta có tổng số nghiệm bội lẻ khác 1 và khác 2 của các phương trình 1 ,  2 , 3 ,  4 , 5 là 15 nghiệm. Do đó hàm số   g  x   f 2021 f  x   2020 có 17 điểm cực trị. Ví dụ 2.6. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên của hàm số y  f   x  như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x2  2x  2 .  A. 10. B. 8. C. 7. D. 9. Lời giải Xét hàm số g  x   f   x 2  2 x  2 , ta có:     x  1 f   x2  2x  2  g x    x  2x  2 2  f x  2x  2  2 x2  2 x  2 17
g   x  không xác định khi x2  2 x  2  2 1 x 1  0 x 1 g  x  0          f  x 2  2 x  2  0  f  x  2x  2  0 2   Từ bảng biến thiên của hàm số f   x  , ta có  x 2  2 x  2  a   ;1  2   x 2  2 x  2  b   2;3  3 f   x2  2x  2  0    x 2  2 x  2  c   3;4   4    x 2  2 x  2  d   4;    5   x 1 Xét hàm số u  x   x 2  2 x  2 , ta có u  x    0  x  1. x  2x  2 2 Bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x  2 : Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x  2 , ta có tổng số nghiệm bội lẻ khác 1 của các phương trình 1 ,  2 , 3 ,  4 , 5 là 8 nghiệm. Vậy hàm số g  x  f   x 2  2 x  2 có 9 điểm cực trị. Nhận xét: Khi giải bài toán trên, học sinh thường quyên xét trường hợp g   x  không xác định dẫn tới giải sai bài toán. Ví dụ 2.7. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f  sin 2 x  2  trên khoảng  0;2  . A. 8. B. 5. C. 7. D. 9. Lời giải 18
Xét hàm số g  x   f  sin 2 x  2  , ta có g   x    sin 2 x  2  f   sin 2 x  2   sin 2 xf   sin 2 x  2  . sin 2 x  0 1 sin 2 x  0  g  x   0    sin 2 x  2  0  2 .  f   sin 2 x  2   0  2 sin x  2  a   2;3  3 Xét hàm số u  x   sin 2 x  2 trên khoảng  0;2  ta có:  u  x   sin 2 x  0  2 x  k  x  k , k 2  k Cho 0  k  2  0  k  4  k  1;2;3 2 Vậy trên khoảng  0;2  , phương trình sin 2x  0 có các nghiệm là  3 x  ; x ; x  . 2 2 Bảng biến thiên của hàm số u  x   sin 2 x  2 trên khoảng  0;2  Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   sin 2 x  2 trên khoảng  0;2  , ta có tổng số nghiệm bội lẻ của các phương trình 1 ,  2 , 3 trên khoảng  0;2  là 7 nghiệm. Vậy trên khoảng  0;2  hàm số g  x   f  sin 2 x  2  có 7 điểm cực trị. Nhận xét: Để giải tốt bài toán trên, học sinh cần nắm vững kiến thức chủ đề hàm số lượng giác thuộc chương trình Đại số & giải tích lớp 11. Ví dụ 2.8. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  như hình vẽ 19
Tìm số điểm cực trị của hàm số g  x   f 2020  f  x   1 . A. 7. B. 8. C. 5. D. 6. Lời giải Xét hàm số g  x   f 2020  f  x   1 , ta có: g   x   2020 f 2019  f  x   1 f   f  x   1 f   x  .  f 2019  f  x   1  0  f  f  x   1  0   g   x   0   f   f  x   1  0   f   f  x   1  0 .    f   x   0  f   x   0 Từ bảng biến thiên của hàm số f  x  , ta có  x  2 f  x   0   . x  2  f  x   1  2  f  x   1 1 f   f  x   1  0    .    f x  1  2    f x  3   2  f  x   1  a   ; 2   f  x   1  a   ; 1  3   f  f  x   1  0   f  x   1  b   2;2    f  x   1  b   1;3  4  .  f x  1  c  2;   f x  1  c  3;             5 Từ bảng biến thiên của hàm số f  x  , ta có + Phương trình (1) có các nghiệm: x  a   ; 2 (nghiệm đơn), x  2 (bội chẵn). + Phương trình (2) có các nghiệm: x  b   2;   (nghiệm đơn), x  2 (bội chẵn). + Phương trình (3) và phương trình (5) vô nghiệm. + Phương trình (4) các nghiệm đơn là: x  c   a; 2 , x  d   2;2 , x  e   2; b  . Vậy phương trình g  x   0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt. Do đó hàm số g  x   f 2020  f  x   1 có 7 điểm cực trị. Ví dụ 2.9. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  như hình vẽ 20