Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao" nhằm hệ thống các bài toán tương giao của hàm số giúp học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề tương giao của hàm số qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán tương giao hàm hợp góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 3 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN “GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TƯƠNG GIAO” LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tác giả: Hoàng Đình Bằng Năm học: 2021 - 2022
MỤC LỤC Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ............................................................................. Trang 2 1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 2 1.2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 2 1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 2 1.4. Giới hạn của đề tài............................................................................. Trang 3 1.5. Nhiệm vụ của đề tài .......................................................................... Trang 3 1.6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... Trang 3 1.7. Bố cục của đề tài ............................................................................... Trang 3 Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.................................................... Trang 4 Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn.................................................... Trang 4 1.1. Khái niệm........................................................................................... Trang 4 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực............................................................... Trang 4 1.3. Thực trạng của đề tài.......................................................................... Trang 4 1.4. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 5 1.5. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 5 Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực Trang 6 sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao...... 2.1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 6 2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua bài toán tìm số nghiệm phương trình Trang 7 f  x   g ( x) khi g ( x) là hàm hằng………………………………. 2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo Trang 13 cho học sinh lớp 12 thông qua bài toán hàm hợp……………………….. 2.4. Bài tập tự luyện................................................................................... Trang 43 Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 45 Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 48 PHỤ LỤC.................................................................................................. Trang 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... Trang 53 1
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Mục tiêu đối với giáo dục phổ thông đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Trong quá trình dạy học, hoạt động dạy giải bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy học bộ môn Toán ở bậc THPT. Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải hình thành cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua đó góp phần phát triển năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. Chương trình lớp 12 chủ đề hàm số chiếm khối lượng lớn được chia ra nhiều phần như: Tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tiệm cận, tương giao. Trong sách giáo khoa hiện hành các bài toán về hàm số chỉ đề cập ở mức độ cơ bản. Thực tế trong các kỳ thi về chọn học sinh giỏi lớp 12, kỳ thi THPT quốc gia các năm vừa qua lại xuất hiện các bài toán về hàm hợp để phân loại học sinh. Do đó các em học sinh rất lúng túng và gặp không ít khó khăn trong việc tiếp cận và tìm tòi lời giải các bài toán trên. Vấn đề tương giao của hàm số, tìm số nghiệm của phương trình, số nghiệm bội của phương trình là một trong những vấn đề khó. Nhằm giúp học sinh trong việc tìm các giải pháp để các em với học lực môn Toán khác nhau được làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT, giúp các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải các bài toán tương giao, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn Toán, hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh. Từ những ý tưởng và những lý do đã nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: ‘‘Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao”. 1.2. Mục đích của đề tài - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. 1.3. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 12 . - Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi năng lực, thi HSG cấp tỉnh khối 12. - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 2
1.4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề tương giao của hàm hợp qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12. 1.5. Nhiệm vụ và tính mới của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo. - Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề tương giao hàm số thuộc chương trình giải tích lớp 12. - Ghép bảng biến thiên để giải các bài toán hàm hợp một cách nhanh chóng, hiệu quả. - Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ đề tương giao của hàm số thông qua việc khai thác các bài toán tương giao trong các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, các đề thi thử trên cả nước, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống các bài toán tương giao của hàm số giúp học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề tương giao của hàm số qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán tương giao hàm hợp góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. 1.6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp điều tra quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 1.7. Bố cục của đề tài Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề tương giao . Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu. 3
Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn 1.1. Khái niệm - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. - Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: + Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. + Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... + Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn. 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực - Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau: + Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. + Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất. - Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; Năng lực mô hình hoá toán học; Năng lực giải quyết vấn đề toán học; Năng lực giao tiếp toán học; Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 1.3. Thực trạng của đề tài Có thể nói rằng chủ đề hàm số là một chủ đề chiếm khối lượng lớn và khó trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường lựa chọn các bài toán hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12, các 4
bài toán hàm số trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi HSG để giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau: - Các bài toán tương giao trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12 vẫn còn khá dễ và chưa sát với các bài toán tương giao trong các đề thi THPTQG nay là đề thi TN THPT. - Khi giảng dạy các bài toán tương giao giáo viên thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế. - Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tòi, xây dựng các bài toán mới để từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về tương giao. 1.4. Cơ sở lý thuyết 1.4.1. Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 10,11: Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình. 1.4.2. Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12: Bảng biến thiên của hàm số; Đồ thị của hàm số và các bài toán liên quan. 1.4.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản. 1.5. Cơ sở thực tiễn Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Đô Lương 3 nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo . Các bài toán thuộc chủ đề hàm hợp trong các đề thi thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này đòi hỏi các em học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua một số bước biến đổi mới tìm được kết quả chính xác. Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối qua các năm ôn thi tốt nghiệp THPT QG. Tôi thấy rằng khi đề ra gặp những bài tập dạng hàm hợp thì học sinh thường lúng túng trong việc định hướng tìm lời giải. Cụ thể tháng 10 năm 2021, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi cho tiến hành kiểm tra học sinh làm bài khảo sát tại 3 lớp 12D1; 12D2; 12D3 học sinh trường THPT Đô Lương 3, kết quả thu được như sau: Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm < 5 Lớp Số HS SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 12D1 42 2 4,8% 20 47,6% 17 40,5% 3 7,1% 12D2 41 0 0% 13 31,7% 19 46,3% 9 22,0% 12D3 44 0 0% 14 31,8% 20 45,5% 10 22,7% 5
Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao. 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1. Đạo hàm của hàm hợp Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là ux , và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại u là yu thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là: yx  yu .ux . Một số hàm số thường gặp: Với u là một hàm số của x ta có: + u n   n.u n1.u ( n  N * , n  2 ).   +  u   2uu ( u  0 ).  u  2u.u u.u u  2 +  u   2    ( u  0 ). 2 u2 2u u 2.1.2. Cực trị của hàm số 2.1.2.1. Điều kiện cần đạt cực trị Định lý 1: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng  a; b  có đạo hàm tại x0   a; b  và đạt cực trị tại điểm đó thì f   x0   0 . 2.1.2.2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lý 2: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên K   x0  h; x0  h  và có đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0  , với h  0 . + Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  . + Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  . 2.1.3. Số nghiệm phương trình f  x   m bằng số giao điểm của đồ thị y  f  x  và đồ thị y  m (là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành đồng thời cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m). 2.1.4. Số nghiệm phương trình f  x   g ( x) bằng số giao điểm của đồ thị y  f  x  và đồ thị y  g ( x) . 6
2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua bài toán tìm số nghiệm phương trình f  x   g ( x) khi hàm số g ( x) là hàm hằng. Ví dụ 2.2.1. [Trích đề thi THPTQG 2020 ] Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f  x   1 là: A. 3 . B. 1 . C. 0 . D. 2 . Lời giải Ta có số nghiệm của phương trình f  x   1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  với đường thẳng y  1 . Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y  1 cắt đường cong tại 3 điểm nên phương trình đã cho có 3 nghiệm. Ví dụ 2.2.2. [Trích đề thi THPTQG 2020 ] Cho hàm số bậc bốn y  f ( x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. 1 Số nghiệm thực của phương trình f  x   là: 2 A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . Lời giải 7
1 Ta có số nghiệm thực của phương trình f  x   chính là số giao điểm của đồ 2 1 thị hàm số y  f ( x) với đường thẳng y  . 2 1 Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y  cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 2 điểm. 2 1 Vậy phương trình f  x   có hai nghiệm. 2 Ví dụ 2.2.3. [Trích đề thi thử Trường chuyên Phan Bội Châu năm 2020] Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình f  x   2 là: A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 Lời giải Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy ra đồ thị hàm số y  f  x  như sau: - Giữ lại phần đồ thị phía trên trục Ox. - Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox lên phía trên trục Ox. Ta thu được đồ thị hàm y  f  x  như sau: 8
Số nghiệm của phương trình f  x   2 là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y  2. Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy đường thẳng y  2 cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại 4 điểm. Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2.2.4. [Trích Đề thi thuận thành Bắc ninh năm 2019 – 2020] Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 8x  3.22 x1  9.2x  2m  6  0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt. A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Phương pháp: Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học. Đây là bài toán tìm số nghiệm của phương trình mũ chứa tham số m. Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. - Chuyển phương trình đã cho về dạng f  x   m - Đặt ẩn phụ t  2 x. Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  t  - Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  t  ta tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số y  f  t  và đường thẳng y  m . - Kết luận. Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.    6. 2 x   9.2 x  2m  6  0 1 . 3 2 - Phương trình đã cho  2 x - Đặt t  2 x , t  0 (với mỗi giá trị t dương chỉ có duy nhất một giá trị x) - Ta có phương trình: t 3  6t 2  9t  2m  6  0  t 3  6t 2  9t  6  2m  2  . - Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  2  có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng  0;   . Xét hàm số f  t   t 3  6t 2  9t  6 , t  0 . t  1 Ta có f   t   0   .  t  3 - Bảng biến thiên 9
- Ta có số nghiệm của phương trình  2  chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f  t   t 3  6t 2  9t  6, t  0 và đường thẳng y  2m . - Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt  6  2m  10  3  m  5 . Vì m  Z nên có 2 giá trị của m là m  4 và m  5 . Bước 4. Đánh giá giải pháp . - Để giải được bài toán trên học sinh cần giải quyết hai vấn đề quan trọng là: Thứ nhất: Đặt ẩn phụ và chuyển về bài toán quen thuộc tìm số nghiệm của phương trình f  t   m . Thứ hai: Tìm được mối liên hệ giữa x và ẩn phụ t. Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  t  suy ra số nghiệm f  t   m . Nhận xét: Bằng cách chuyển về bài toán đã cho về phương trình quen thuộc f  t   m chúng ta hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán chứa tham số sau: Ví dụ 2.2.5. Cho hàm số y  x3  x 2  mx  1 có đồ thị  C  . Tìm tham số m để  C  cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt . A. m  0 B. m  1 C. m  1 D. m  0 Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) và trục hoành là: x3  x2  mx  1  0  x3  x2  1  mx (1) +) Nhận thấy x  0 không là nghiệm của phương trình (1). 1 1 +) Với x  0 , Phương trình (1)  x 2  x   m . Đặt f ( x)  x 2  x  , x  0 . x x 1 ( x  1)(2 x 2  x  1) Khi đó f '( x)  2 x  1  2  , x  0 ; x x2 Ta có f '( x)  0  x  1 10
Bảng biến thiên x  0 1  f '( x) - - 0 + f ( x)    1  Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi m  1 . Ví dụ 2.2.6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 2022;2022 để 2 x  1 mx  2m  1 phương trình 2022 x    0 có đúng ba nghiệm thực phân biệt? x 1 x2 A. 4042. B. 2022. C. 2020. D. 4044. Lời giải: Tập xác định D  R \ {-1;2} . 2x  1 1 Khi đó phương trình đã cho  2022 x    m x 1 x  2 2x  1 1 Đặt f ( x)  2022 x   , x  D x 1 x  2 3 1  f '( x)  2022 x.ln 2022    0, x  D ( x  1) ( x  2)2 2 Bảng biến thiên x  -1 2  f '( x) + + + f ( x)    2   Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số y  f ( x) 11
Ta có: Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  m  2 . Kết hợp với điều kiện m nguyên và m 2022;2022 . Suy ra có 2020 giá trị m là: m  3;...;2022 . Ví dụ 2.2.7. [Trích đề thi THPT QG năm 2018 - 2019] x  3 x  2 x 1 x Cho hai hàm số y     và y  x  2  x  m ( m là tham x  2 x 1 x x 1 số thực) có đồ thị lần lượt là  C1  và  C2  . Tập hợp tất cả các giá trị của m để  C1  và  C2  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là: A.  ;2 . B.  2;  . C.  ;2  . D.  2;  . Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của  C1  và  C2  là: x  3 x  2 x 1 x     x2  xm x  2 x 1 x x 1 x  3 x  2 x 1 x      x  2  x  m (1). x  2 x 1 x x 1 x  3 x  2 x 1 x Đặt f  x       x  2  x. x  2 x 1 x x 1 Tập xác định D  R \ 1;0;1;2 . 1 1 1 1 x2  f  x       1  x  2  x  1 x  x  1 x2 2 2 2 2 1 1 1 1 x  2   x  2       0, x  D  x  2  x  1  x  1 x2 2 2 2 2 x Bảng biến thiên x  -2 -1 0 1 2  f '( x) + + + + + +     f ( x) 2      12
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số y  f ( x) ta thấy:  C1  và  C2  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt  Đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 4 nghiệm phân biệt  m  2 . 2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua bài toán hàm hợp. Ví dụ 2.3.1. Cho hàm số y  f  x  xác định trên R \ 0 có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm của phương trình 2 f  3x  1  5  0 là: A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Phương pháp: Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học. Đây là bài toán tìm số nghiệm của phương trình 2 f  3x  1  5  0 khi cho biết bảng biến thiên của hàm số f  x  . Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. + Đặt ẩn phụ t  3x  1. 5 + Tìm số nghiệm của phương trình f  t   . 2 + Kết luận số nghiệm của phương trình 2 f  3x  1  5  0 . Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết vấn đề đặt ra. 5 Ta có phương trình: 2 f  3x  1  5  0  f  3x  1  . 2 5 Đặt t  3x  1, phương trình đã cho trở thành f  t   . 2 t 1 Với mỗi nghiệm t thì chỉ có một nghiệm x  nên số nghiệm t của phương 3 5 trình f  t   bằng số nghiệm của phương trình 2 f  3x  1  5  0 . 2 13
5 Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  . Ta suy ra phương trình f  t   2 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình 2 f  3x  1  5  0 có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2.3.2. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ Phương trình 2. f 1  3x   13  0 có bao nhiêu nghiệm âm? A. 1 . B. 3 . C. 0 . D. 2 . Lời giải Hướng 1: Giải tương tự trên 13 Phương trình 2. f 1  3x   13  0  f 1  3x   2 13 Đặt t  1  3x . Phương trình đã cho trở thành f  t   2 13 Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  suy ra phương trình f  t   2 có một nghiệm t  3 . 2 Từ đó suy ra t  1  3x  3  x  0 3 Vậy phương trình 2. f 1  3x   13  0 có một nghiệm âm. Hướng 2 (lập bảng biến thiên) 13 Phương trình 2. f 1  3x   13  0  f 1  3x   2 Xét hàm số g ( x)  f 1  3x   g   x   3 f ' 1  3x   2 x  1  3x  1  3 Ta có g '( x)  0    . 1  3x  3 x   2  3 Bảng biến thiên của hàm số 14
13 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f 1  3x   có một nghiệm âm. 2 Nhận xét: Từ các ví dụ ở trên chúng ta có thể giúp học sinh giải và xây dựng các bài toán tìm số nghiệm của phương trình f  u ( x)   m bằng cách thay đổi giả thiết hàm u ( x) bởi hàm số lượng giác, hàm vô tỷ, hàm trị tuyệt đối, hàm bậc ba, bậc bốn, hàm mũ … ta có các bài toán sau: Ví dụ 2.3.3. [ Trích đề minh họa BGD năm 2020]: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn   ;2  của phương trình 2 f  sin x   3  0 là: A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. 8 . Lời giải Cách 1: Cách giải truyền thống. Đặt t  sin x . Do x    ;2  nên t   1;1 . 3 Khi đó ta có phương trình: 2 f  t   3  0  f  t    . 2 3 t  a   1;0  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình: f  t      2  t  b   0;1 Trường hợp 1: Với t  a   1;0  Ứng với mỗi giá trị t   1;0  thì phương trình có 4 nghiệm   x1  x2  0    x3  x4  2 . Trường hợp 2: Với t  b   0;1 Ứng với mỗi giá trị t   0;1 thì phương trình có 2 nghiệm 0  x5  x6   . 15
Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn   ;2  . Nhận xét: Việc ước lượng khoảng giá trị t  a   1;0  và t  b   0;1 và từ đó tìm số nghiệm của phương trình đã cho là công việc khó khăn đối với các em học sinh. Đặc biệt là bài toán tìm số nghiệm của phương trình lượng giác, tìm nghiệm của phương trình vô tỷ…Vấn đề đặt ra là chúng ta có thể quy bài toán về một bảng biến thiên để học sinh dễ dàng thao tác tìm được số nghiệm của phương trình đã cho hay không? Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên : Phương pháp này được nhiều tài liệu đề cập và thường gọi là phương pháp ghép trục hay phương pháp bảng biến thiên thu gọn. Nhằm mục đích giải các bài toán cực trị, bài toán về đồng biến nghịch biến, bài toán về tương giao…. Trong nội dung đề tài này ta ta gọi là phương pháp ghép bảng biến thiên. QUY TRÌNH GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN . Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g  f  u  x   , giả sử ta được tập xác định D   a1; a2    a3 ; a4   ...   an1; an  . Ở đây có thể là a1  ; an   . Bước 2: Xét sự biến thiên của u  u  x  và hàm y  f ( x) . Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa  x; u  u  x  và u; g  f (u) . Bảng có 3 dòng dạng Cụ thể các thành phần trong BBT như sau Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị (điểm biên của tập xác định D , các điểm cực trị của u  u  x  ) của hàm u  u  x  , sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: a1  a2  ....  an1  an .  Dòng 2: Điền các giá trị ui  u  ai  với i  1,..., n  16
Trên mỗi khoảng  ui ; ui 1  , i  1, n  1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b1; b2 ;...; bk của hàm y  f ( x) .(Điểm kỳ dị của y  f ( x) gồm: Các điểm tại đó f ( x) và f ( x) không xác định và các điểm cực trị hàm số y  f ( x) ). Trên mỗi khoảng  ui ; ui 1  , i  1, n  1 cần sắp xếp các điểm ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui  b1  b2  ...  bk  ui1 hoặc ui  b1  b2  ...  bk  ui1 . Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g  f  u  x   dựa vào BBT của hàm y  f ( x) bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x ; f  u  đóng vai trò của f  x  Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp g  f  u  x   ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này. Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g  f  u  x   giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận. Trở lại Ví dụ 2.3.3. Cách 2 (Phương pháp ghép bảng biến thiên).    x   2   Đặt t  sinx; x   ;2  . Ta có t '  cosx  0   x   2  3 x   2 Dòng 1: Trên   ;2  hàm số t  sinx có 5 điểm kỳ dị.  Dòng 2: Ngoài các giá trị ui  u  ai  với i  1,...,5  Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm y  f ( x) trên đoạn [-1;1] là 0. Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f  u  3 Ta có phương trình 2 f  sinx   3  0  f  sinx   f  u    . 2 17
Dựa vào bảng biến thiên. Ta có phương trình đã cho có 6 nghiệm. Nhận xét: Sau khi học sinh làm quen thao tác ghép bảng biến thiên thì học sinh dễ dàng tìm được số nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2.3.4. [Trích đề minh họa BGD năm 2020 ] Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:  5  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f  sin x   1 là:  2  A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Cách 1: Cách giải truyền thống.  5  Đặt t  sin x , x  0;   t   1;1  2  Khi đó phương trình f  sin x   1 trở thành f  t   1, t  1;1 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y  f  t  và đường thẳng y  1. t  a   1;0  Dựa vào bảng biến thiên, ta có f  t   1   .  t  b   0;1 Trường hợp 1: t  a   1;0 Ứng với mỗi giá trị t   1;0  thì phương trình sin x  t có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2  2 . Trường hợp 2: t  b   0;1 . Ứng với mỗi giá trị t   0;1 thì phương trình có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn 5 0  x3  x4   ; 2  x5  ; 2 Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau.  5  Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 0;  .  2  Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên. 18
   x  2   5  3 Đặt t  sin x , x  0;  . Ta có: t '  cosx  0   x   2   2  5 x   2  5  Dòng 1: Trên 0;  hàm số t  sinx có 4 điểm kỳ dị.  2   Dòng 2: Ngoài các giá trị ui  u  ai  với i  1,...,4  Ta bổ sung thêm điểm kỳ dị của hàm y  f ( x) trên đoạn [-1;1] là 0. Dòng 3: Chiều biến thiên của hàm số f  u  Dựa vào bảng biến thiên. Ta có số nghiệm của phương trình f  sin x   f  u   1 là 5. Ví dụ 2.3.5. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:  9  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  của phương trình f  2sin x  1  1 là:  2  A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Cách 1: Cách giải truyền thống. 19