Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12" nhằm phân loại các dạng toán về “hàm hợp” để làm mềm các lớp bài toán, từ đó giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết các bài toán phân loại sâu ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT ĐÔ LƢƠNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: “GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHỦ ĐỀ HÀM SỐ HỢP TRONG CHƢƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH THPT LỚP 12” Bộ môn : Toán Nhóm tác giả: 1. Lê Minh Hạnh 2. Lê Văn Lộc Năm học : 2021 - 2022 1
MỤC LỤC Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ............................................................................. Trang 1 1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 1 2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 2 3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 2 4. Giới hạn của đề tài............................................................................. Trang 2 5. Nhiệm vụ của đề tài .......................................................................... Trang 2 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... Trang 2 7. Bố cục của đề tài ............................................................................... Trang 2 Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.................................................... Trang 3 Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn.................................................... Trang 3 1. Cơ sở lý luận.......................................................................................... Trang 3 2. Thực trạng đề tài.................................................................................... Trang 3 3. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 3 4. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 3 Chương 2: Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp Trang 5 12……………………………………………………………………….. 1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 5 2. Các hình thức cho bài toán………………………………………….. Trang 8 3. Phương pháp giải…………………………………………………….. Trang 11 3.1. Tình huống 1……………………………………………………….. Trang 12 3.2. Tình huống 2………………………………………………………. Trang 39 Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 46 Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 49 Phụ lục và tài liệu tham khảo..................................................................... 2
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong chương trình Toán học phổ thông hiện nay, phần Hàm số được đưa vào giảng dạy ở phần Chương I, chương trình môn Toán học lớp 12. Đây là một chương nhằm trang bị đầy đủ kiến thức về hàm số cho học sinh THPT sau khi đã tiếp cận các khái niêm về hàm số và các tính chất của hàm số ở các lớp dưới. vì vậy ở chương này sách giáo khoa đã trình bày một cách đầy đủ và sâu sắc về các khái niêm, các tính chất, phong phú và đa dạng về các dạng bài tập. Chuyên đề “hàm hợp” là một vấn đề mới trong các đề thi TNTHPT trong giai đoạn hiện nay, đặc biệt từ khi Bộ Giáo dục và đào tạo tổ chức thi bằng hình thức trắc nghiệm, thì hàm hợp được khai thác sâu ở các mức độ khác nhau, đặc biệt chiếm tỷ lệ lớn ở phần vận dụng cao trong cấu trúc của đề thi nói chung cung như phần hàm số nói riêng.Từ đó cần phải thấy được vai trò của chuyên đề “hàm hợp” và đặt đúng vị trí của nó cũng như phải dành một thời lượng đáng kể để giúp học sinh nắm vững chuyên đề này. Với đối tượng học sinh ở mức năng lực và tư duy hàm còn chưa tốt thì đây là chuyên đề khó, vì nó liên hệ đến nhiều kiến thức của chương, thậm chí liên chương. Mặt khác công thức hàm không cho tường minh nên phương pháp tư duy giải toán và tiếp cận bài toán cũng khác so với các dạng toán quen thuộc tường minh trước đó. Mặt khác; nếu không giúp học sinh chiếm lĩnh chuyên đề này thì đã bỏ mất đi một lớp các bài toán quan trọng với số lượng câu rất đáng kể trong đề thi, từ đó dẫn đến các em học sinh sẽ khó khăn trong việc giải quyết các phần còn lại và ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập cũng như kết quả trong các kỳ thi. Với mục tiêu đặt ra là giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết tốt vẫn đề này, tôi lựa chon đề tài: “Góp phần phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chƣơng trình giải tích THPT lớp 12.” Tính mới của đề tài là phân loại các dạng toán về “hàm hợp” để làm mềm các lớp bài toán, từ đó giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết các bài toán phân loại sâu ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi. 2. Mục đích của đề tài - Phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 3. Đối tƣợng nghiên cứu - Học sinh lớp 12 (chú trọng học sinh khá giỏi). - Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp tỉnh khối 12. - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 3
4. Giới hạn của đề tài Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề hàm hợp qua đó góp phần phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12. 5. Nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy và năng lực giải quyết vấn đề. - Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề hàm số thuộc chương trình giải tích lớp 12. - Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ đề hàm số của hàm hợp thông qua việc khai thác các bài toán hàm hợp trong các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, các đề thi thử trên cả nước, từ đó góp phần phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. -Từng bước tiếp cận các bài toán ở các mức độ vận dụng khác nhau nhằm hình thành kỹ năng, rèn luyện tư duy thuật toán cho lớp các dạng toán đó, giúp học sinh làm quyen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề hàm hợp qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán hàm hợp. . 6. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp điều tra quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 7. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chƣơng 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chƣơng 2. Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình giải tích THPT lớp 12. Chƣơng 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu. 4
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: Chƣơng 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. 1. Cơ sở lý luận. Đối với học sinh có năng lực và tư duy chưa tốt sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm hợp ỏ mức vận dụng, vận dụng cao. Bên cạnh tâm lý e ngại, sợ khó còn là vấn đề năng lực hiện có để giải quyết. Do đó cần phải trang bị đủ kiến thức cho các em và biết cách làm “mềm” các dạng toán để giúp các em có năng lực và tư duy để tự tin tiếp cận. 2. Thực trạng của đề tài Có thể nói rằng chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết là một chủ đề hay và khó trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường lựa chọn các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12, các bài toán cực trị trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi HSG để giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau: - Các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12 vẫn còn khá dễ và chưa sát với các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi THPTQG nay là đề thi TNTHPT và tuyển sinh đại học. - Khi giảng dạy các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết giáo viên thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế. - Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tòi, xây dựng các bài toán mới để từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị hàm hợp và hàm liên kết. 3. Cơ sở lý thuyết 3.1. Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 11: Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình. 3.2. Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12: Bảng biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Đồ thị của hàm số và các bài toán liên quan. 4. Cơ sở thực tiễn Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Đô Lương 3 nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về tư duy và năng lực giải quyết vấn đề . Các bài toán thuộc chủ đề hàm hợp trong các đề thi thường ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước biến đổi. 5
Bằng phương pháp kiểm tra, đánh giá, khảo sát trên các đối tượng học sinh thông qua các bài kiểm tra, các đề thi THPT quốc gia các năm trước cho thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn, không có hướng tiếp cận để giải quyết, thậm chí có tâm lý “bỏ qua” lớp các bài toán này. Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể: khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau: Năm học 2020 - 2021 Số Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm
Chƣơng 2: Góp phần phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chƣơng trình giải tích THPT lớp 12. 1. Một số kiến thức cơ bản 1.1. Đạo hàm của hàm hợp Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là u x , và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại u là yu thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là: yx  yu .ux . 1.2. Sự đơn điệu của hàm số 1.2.1. Định nghĩa 1. Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y  f  x  là một hàm số xác định trên K. Ta nói: + Hàm số y  f  x  được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số y  f  x  được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. 1.2.2. Nhận xét. a. Nhận xét 1. Nếu hàm số f  x  và g  x  cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f  x   g  x  cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu f  x   g  x  . b. Nhận xét 2. Nếu hàm số f  x  và g  x  là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số f  x  .g  x  cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f  x  , g  x  không là các hàm số dương trên D. c. Nhận xét 3. Cho hàm số u  u  x  , xác định với x   a; b  và u  x    c; d  . Hàm số f u  x  cũng xác định với x   a; b  . Ta có nhận xét sau: i. Giả sử hàm số u  u  x  đồng biến với x   a; b  . Khi đó, hàm số f u  x  đồng biến với x   a; b   f u  đồng biến với u   c; d  . ii. Giả sử hàm số u  u  x  nghịch biến với x   a; b  . Khi đó, hàm số f u  x  nghịch biến với x   a; b   f u  nghịch biến với u   c; d  . 1.2.3. Định lí 1. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '  x   0, x  K . 7
b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '  x   0, x  K . 1.2.4. Định lí 2. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f đồng biến trên K. b) Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f nghịch biến trên K. c) Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f không đổi trên K. Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó’. Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  a; b và f '  x   0, x   a; b  thì hàm số f đồng biến trên đoạn  a; b . Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên như sau: 1.2.5. Định lí 3.(mở rộng của định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x  K và f '  x   0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K. b) Nếu f '  x   0, x  K và f '  x   0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K. 1.3. Cực trị của hàm số 1.3.1. Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  a; b  và điểm x0   a;b  . +) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực đại tại x0 . +) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x0 . 1.3.2. Điều kiện cần đạt cực trị Định lý 1: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng  a; b  có đạo hàm tại x0   a;b  và đạt cực trị tại điểm đó thì f   x0   0 . 1.3.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 8
Định lý 2: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên K   x0  h; x0  h  và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0 , với h  0 . +) Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  . +) Nếu f   x   0 trên khoảng K   x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  . Minh họa bằng bảng biến thiến Định lý 3: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp một trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f   x   0 và f  x  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0 . a) Nếu f   x0   0 thì hàm số y  f  x  đạt cực đại tại điểm x0 . b) Nếu f   x0   0 thì hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 . Chú ý: Trong định lý 3 nếu f   x0   0 thì ta chưa kết luận được hàm số đạt hay không đạt cực trị tại x0 . 1.4. GTLN, GTNN của hàm số. 1.4.1. Định nghĩa. Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D. +) Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu:  f ( x)  M , x  D  . Kí hiệu: M  max f ( x) . x0  D, f ( x0 )  M xD +) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu:  f ( x)  m, x  D  . Kí hiệu: m  min f ( x) . x0  D, f ( x0 )  m xD 1.4.2. Phƣơng pháp tìm GTLN,GTNN 1.4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp Bước 1: Tính f   x  và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn  D mà tại đó f   x   0 hoặc hàm số không có đạo hàm. Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 1.4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn Bước 1: 9
 Hàm số đã cho y  f  x  xác định và liên tục trên đoạn  a; b.  Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng  a; b  , tại đó f   x   0 hoặc f   x  không xác định. Bước 2: Tính f  a  , f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f b . Bước 3: Khi đó:  max f  x   max  f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b .  a ,b   min f  x   min  f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b .  a ,b  1.4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng Bước 1: Tính đạo hàm f ( x) . Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm xi  (a; b) của phương trình f ( x)  0 và tất cả các điểm  i  (a; b) làm cho f ( x) không xác định. Bước 3. Tính A  lim f ( x) , B  lim f (x ) , f ( xi ) , f ( i ) . x a  x b Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M  max f ( x) , m  min f ( x ) . ( a ;b ) ( a;b) 1.5. Bài toán giao điểm và số nghiệm của phƣơng trình. 1.5.1. Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: Phƣơng pháp: Cho 2 hàm số y  f  x  , y  g  x  có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). +) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f  x   g  x  +) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm. +) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’). 2. Các hình thức cho bài toán: 2.1. Cho bởi hàm số y  f ( x) Ví dụ 1. Khoảng đồng biến của hàm số y   x3  3x 2  9 x  1 là A.  3;1 . B.  ; 1  3;  . C.  1;3. D.  ; 1 Lời giải: TXĐ: D  . y  3x 2  6 x  9 . x  3  y  8 y  0  3x 2  6 x  9  0   .  x  1  y  12 Bảng biến thiên 10
Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên khoảng  1;3 . Ví dụ 2. Điểm cực tiểu của hàm số y  x 4  x2 là A. x  2 3 . B. x  2 . C. x   2 . D. x  2 .Lời giải: Tập xác định của hàm số là D  2;2 . x2 4  2 x2 x  2 y  4  x 2   . Ta có y  0   . 4  x2 4  x2  x   2 Bảng biến thiên Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x   2 . 2.2. Cho bởi BBT hoặc đồ thị của hàm số y  f ( x) . Ví dụ 1(VTED - ĐỀ 13 - 2021) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: Hàm số g  x   1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? f  x A.  2 ; 0  . B.  3;    . C. 1; 2  . D.   ;  1 Lời giải:  x  1 x  2 Ta có : g  x    f   x  f   x  0    0   1  x  3   2 x  1 .  f  x  2   f  x   0  x  2 ; 0 ; 3 1  x  3  Vậy hàm số g  x   đồng biến trên các khoảng   ;  2  ,  2 ;  1 và 1; 3  . 1 f  x 11
 hàm số g  x   đồng biến trên khoảng 1; 2  . 1 f  x Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên dưới đây Hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . 2.3. Cho bởi BBT hoặc BXD hoặc đồ thị của hàm số y  f ' ( x) . Ví dụ 1. Hàm số f ( x) có đạo hàm trên là hàm số f '( x) . Biết đồ thị hàm số f '( x) được cho như hình vẽ. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng A.  ;1 . C.  ;  . 1 1 B.  0;   . D.  ; 0 . 3   3 Lời giải: Ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x) : Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  ; 0 . Ví dụ 2. Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm f   x  như sau: 12
Hàm số f  x  có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: Bảng biến thiên của hàm số f  x  là: Vậy hàm số f  x  có 2 điểm cực tiểu. Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên đoạn  0;  có đồ thị hàm số 7  2 y  f   x  như hình vẽ. Hỏi hàm số y  f  x  đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0;  tại điểm 7  2 x0 nào dưới đây A. x0  2 . B. x0  1 . C. x0  0 . D. x0  3 . Lời giải: Dựa vào đồ thị của hàm số y  f   x  , ta có bảng biến thiên: Suy ra min y  f  3 . Vậy x0  3 .  7 0; 2    3. Phƣơng pháp giải. Thông thường, để giải các bài toán trên ta thực hiện các bước sau: +) Tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn +) Lập bảng biến thiên và kết luận Việc tìm các điểm tới hạn dẫn đến việc tìm nghiệm của phương trình. Thông thường có 2 tính huống xảy ra 13
3.1. Tình huống 1: Dựa vào BBT, BXD, ĐT ta tìm nghiệm dựa và giao điểm của hai đồ thị. Khi dẫn tới phương trình f ( x)  g ( x) , trong đó đã biết đồ thị của hàm số y  f ( x) thì để tìm số nghiệm của phương trình ta có thể chuyển về số giao điểm của đồ thị của hàm số y  g ( x) và đồ thị hàm số y  f ( x) . 3.1.1. Hàm số có dạng y  f (u ( x)) . Ví dụ 1. (Câu 34 - MĐ 104 - BGD&ĐT - Năm 2019) Cho hàm số f  x  , có bảng xét dấu f   x  như sau: Hàm số y  f 5  2x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.   ;  3 . B.  4;5 . C.  3;4 . D. 1;3 . Bƣớc 1: Phát hiện vẫn đề cần giải quyết. Đây là bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số y  f 5  2x  khi biết bảng xét dấu của hàm số f   x  . Bước 2: Đề xuất giải pháp giải quyết vẫn đề. +) Tính đạo hàm của hàm số cần giải quyết y  f 5  2x  . +) Xét dấu đạo hàm vừa tính. +) Dựa vào dấu vừa xét để kết luận Bước 3. Giải quyết vẫn đề. Ta có y  2 f  5  2x  Hàm số y  f 5  2x  đồng biến  2 f  5  2x   0  f  5  2x   0 5  2 x  3 x  4   .  1  5  2 x  1  2  x  3 Vậy chọn đáp án B. Bước 4. Phân tích giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. - Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai vẫn đề quan trọng là: +) Từ bảng xét dấu của y  f   x hãy tìm nghiệm của phương trình 2 f  5  2x   0 +) Từ bảng xét dấu của y  f   x  hãy lập bảng xét dấu của y  2 f  5  2x  14
- Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số f   x  . Tính khoảng đơn điệu của hàm số y  f  u  x   . Ví dụ 2. (ĐH Sƣ Phạm-ĐGNL-2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục, có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ sau: Hàm số y  f 3  x  nghịch biến trên khoảng  2;b  . Giá trị lớn nhất của b bằng bao nhiêu? Lời giải: Đặt g  x   f 3  x   g '  x    f ' 3  x  3  x  0 x  3 Ta có: g   x   0  f   3  x   0  3  x  1   x  2  3  x  2  x  1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y  g  x   f 3  x  nghịch biến trên khoảng  2;3 , suy ra b  3 . Vậy giá trị lớn nhất của b là 3 Ví dụ 3. Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f   x  như sau Số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  là A. 9 . B. 3 . C. 7 . D. 5 . Bước 1. Phát hiện vấn đề cần giải quyết. Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm hợp y  f  x 2  2 x  khi cho biết bảng biến thiên của hàm số f   x  . Bước 2. Đề xuất giải pháp giải quyết vẫn đề. 15
+ Tính đạo hàm của hàm hợp y  f  x 2  2 x  . + Tính số nghiệm đơn (bội lẻ) của phương trình y  0 . + Kết luận số điểm cực trị của hàm số y  f  x 2  2 x  . Bước 3. Giải quyết vẫn đề. Ta có: x 1  2  x  2 x  a, a   ; 1  x 1  y   2 x  2  f   x 2  2 x   0     x 2  2 x  b, b   1;0   f   x  2 x   0 2  x 2  2 x  c,c   0;1   x 2  2 x  d , d  1;    Lập bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x : Ta có: u  x   2x  2  0  x  1 Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x ta có mỗi phương trình x 2  2 x  b , x 2  2 x  c , x 2  2 x  d đều có hai nghiệm phân biệt khác 1 và trong các nghiệm đó không có hai nghiệm nào trùng nhau và phương trình x 2  2 x  a vô nghiệm. Do đó phương trình y  0 có 7 nghiệm đơn phân biệt. Từ đó hàm số y  f  x 2  2 x  có 7 điểm cực trị. Nhận xét: Ngoài cách lập bảng biến thiên của hàm số u ( x) thì chúng ta có thể dùng phương pháp ước lượng nghiệm như sau: +) Phương trình x2  2x  a, a  (; 1) nên ta có thể chon a  2 để thử và thấy phương trình vô nghiệm. 16
1 +) Phương trình x2  2 x  b, b  (1;0) nên ta có thể chọn b  để thử và cho 2 kết quả coa 2 nghiệm phân biệt. +) Tương tự cho phương trình x 2  2 x  c và x 2  2 x  d bằng cách làm trên ta cũng cho mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Bước 4. Phân tích giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. - Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai vẫn đề quan trọng là: +) Từ bảng biến thiên của hàm số f   x  suy ra nghiệm u của phương trình f u   0 . +) Từ bảng biến thiên của hàm số u  x   x 2  2 x suy ra số nghiệm bội lẻ của các phương trình u  x   0 , u  x   a , u  x   b , u  x   c , u  x   d . - Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên của hàm số f   x  . Tính số điểm cực trị của hàm số y  f  u  x   . Ví dụ 4. (THPT Ngọc Tảo - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên và có bảng xét dấu của f   x  như sau Hỏi hàm số g  x   f  x2  2x  có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 4 . B. 1 . C. 3 . D. 2 Lời giải: Ta có g   x    2 x  2 f   x2  2x  .Suy ra x  1 x  1 2 x  2  0  x  3 x  2x  3 2   g  x   0   2x  2 f  x  2x  0   2  2      2        x  1 .  f x 2 x 0  x 2 x 2   x 2  2 x  1  x  1  2  x  1  2 x  2  0    2  x 2  2 x  3   f  x  2 x  0 2     Xét g  x   0   2 x  2 f  x2  2 x  0       x  1  2 x  2  0    x 2  2 x  3    f  x  2x  0   2   2    x  2 x  2 17
 x  1  2  x  1  x  2 x  2  0   x2  2 x  3  0   1  x  3  1  x  3    x  1  .  x  1   x  1  2  x  3  x  2 x  3  0   2    x  1     x  2 x  2  0 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g  x   f  x2  2x  có 1 điểm cực tiểu. Cách khác: Từ BBT hàm f  x 2  2 x  được mô tả ở dưới ta suy ra hàm có 1 điểm cực tiểu. Từ 2 ví dụ trên, chúng ta có thể giúp học sinh giải và xây dựng các bài toán liên quan đến chủ đề hàm hợp tương tự: Hƣớng thứ nhất: Thay đổi giả thiết của các bài toán bằng BBT hoặc đồ thị của hàm số y  f ( x) ta có các bài toán sau: Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  có bảng biên thiên như hình vẽ 18
Hàm số g  x   f  2 x 2  x   nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 5 3  2 2 A.  1;  . B.  ;1 . C.  ;   . D.  1;  . 1 1 9 5  4 4  4   4 Ta có g   x    4 x   f   2 x 2  x   . 5 5 3  2  2 2  5  x  5 8 4 x  2  0   1 5 9   2 x 2  x   2  x  1; ; ;1;  . 5 3 Xét g   x   0    f   2x2  5 x  3   0  2 2  4 8 4     2 2 2 x2  5 x  3  3  2 2 Bảng biến thiên: ( g   0    f      0  g   x   0, x   1;  ) 5 3 1 2  2  4 Đối chiếu các đáp án ta Chọn D Ví dụ 6. (ĐTK - BGD&ĐT - L1 - Năm 2020) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị như hình dưới đây Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x3  3x2  là A. 5. B. 3. C. 7. D. 11. Lời giải:  x  2 Xét hàm số u  x3  3x 2 ta có u  3x2  6 x  0   .  x  0 Bảng biến thiên Xét hàm số g  x   f  x3  3x2  , ta có g   x    3x2  6 x  f   x3  3x2  19
3 x 2  6 x  0 g  x   0    f   x  3x   0 3 2 Phương trình 3x2  6 x  0 có hai nghiệm phân biệt x  2, x  0. Từ đồ thị hàm số y  f  x   x3  3x 2  t1   ;0  1  Suy ra: phương trình f   x3  3x 2   0   x3  3x 2  t2   0; 4   2  3  x  3x  t3   4;    3 2 Dựa vào bảng biến thiên của hàm số u  x3  3x 2 ta thấy: 1 có 1 nghiệm duy nhất  2 có 3 nghiệm phân biệt 3 có 1 nghiệm duy nhất. Suy ra g  x   0 có 7 nghiệm phân biệt và g   x  đổi dấu qua các nghiệm này nên hàm số g  x  có 7 điểm cực trị. Ví dụ 7. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên dưới. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  f  2x  trên đoạn  1  1; 2  . Giá trị của 2m  3M là 35 A. 0. B. . C. 4. D. 8 . 4 Lời giải: Xét g  x   f  2x  trên đoạn  1;  1  2 20