Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản

Chia sẻ: Ganuongmuoiot | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên của đề tài là nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán. Nghiên cứu kỹ năng giải một số dạng bài tập toán Hình học không gian lớp 11. Bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện một số kỹ năng giải toán Hình học không gian chương trình hình học 11 THPT cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ VIẾT THUẬT -------------o0o------------ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Môn: TOÁN 818 173 Người thực hiện: Mai Thị Khánh Xuân Năm học 2019 - 2020
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ Lí do chọn đề tài Đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Luyện tập cho học sinh giải được bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy logic, năng lực giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Để học sinh giải được bài tập Toán trước tiên phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, giúp người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập. Thực tiễn dạy học cho thấy khi học Hình học không gian (HHKG) rất nhiều học sinh e ngại nhất là đối với đa số các học sinh nữ và các em có học lực dưới mức trung bình khá. Nhưng nếu các em được rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng giải các bài toán hình học không gian một cách có hệ thống, giáo viên xây dựng được một số dạng bài tập toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán thì học sinh có khả năng tốt hơn để giải bài toán trong không gian, các em sẽ thấy hứng thú và yêu thích môn học hơn và sẽ dần dần bớt ngại khó khi làm bài tập, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông. Những kỹ năng cơ bản cần rèn luyện cho học sinh như kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng các định lý, quy tắc, phương pháp, kỹ năng sử dụng ngôn ngữ toán học,…hình thành cho các em một số các kỹ năng và phương pháp giải bài tập, thông qua việc lựa chọn các dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Thực tế đã có một số đề tài nghiên cứu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh theo các vấn đề khác nhau của chương trình Toán Trung học phổ thông, nhưng chưa có đề tài nào đề cập đến vấn đề cụ thể về việc tập hợp một cách có hệ thống các kỹ năng và các dạng bài tập cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy học Hình không gian lớp 11. Với những lí do như trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản”. 1
1. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài +) Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán. +) Nghiên cứu kỹ năng giải một số dạng bài tập toán Hình học không gian lớp 11. +) Bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện một số kỹ năng giải toán Hình học không gian chương trình hình học 11 THPT cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông. 2. Đối tượng, phạm vị nghiên cứu Quá trình dạy học các tiết luyện tập và ôn tập chương trình Hình Học không gian cho học sinh lớp 11 . 3. Phương pháp nghiên cứu 3.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận - Khái niệm + “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”. + “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. + “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”. + “Trong Toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”. Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đến kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động. 3.2. Phương pháp điều tra quan sát - Dạy Hình học không gian trong chương trình Toán THPT có hai quyển SGK: SGK Hình học 11 nâng cao và SGK Hình học 11. Ở trường THPT Lê Viết Thuật: dạy học sinh theo SGK Hình học 11 dành cho học sinh học ban cơ bản . 2
Trong chương trình lớp 11, học sinh được học đầy đủ và có hệ thống về bộ môn HHKG. Đây là phần nội dung khó, phong phú và đa dạng về loại bài tập đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, khả năng suy đoán, trí tưởng tượng không gian, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán có nhiều bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng khiếu toán mới giải được. Cũng chính vì thế mà khi dạy học đòi hỏi GV có khả năng rèn luyện kỷ năng giải các dạng bài tập cũng như các phương pháp giải tương ứng từng dạng bài tập toán cho học sinh. - Khi dạy và học toán HHKG nói chung các GV và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là: +) Học sinh có trí tưởng tượng không gian chưa tốt. +) Do đặc thù môn học nên việc tiếp thu và sử dụng các kiến thức HHKG là vấn đề khó đối với học sinh. +) Học sinh quen với HHP nên dễ nhầm lẫn khi sử dụng các tính chất trong hình học phẳng mà không đúng trong HHKG để giải Toán HHKG. +) Vẫn còn một số học sinh chưa xác định đúng động cơ học tập nên chưa chăm học và chưa chú ý khi học bài và làm bài tập. +) Vẫn còn nhiều GV chưa chịu đổi mới phương pháp dạy học, dạy học còn mang tính chất đối phó, truyền thụ một chiều. 3.3. Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng bài tập cơ Hình không gian chương trình hình học 11 THPT * Về kiến thức: Vận dụng các kiến thức được học của chương trình. * Về phương pháp: Gv cần phải tổ chức cho học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động sáng tạo. Chú trọng cho học sinh biết các phương pháp khác nhau, và biết lựa chọn phương pháp để giải các bài toán. GV lựa chọn các ưu điểm của các phương pháp dạy học đàm thoại, phương pháp dạy học vấn đáp, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề…để hướng dẫn, rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh. * Về phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho học sinh: Rèn luyện trí tưởng tượng không gian, khả năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ, tư duy logic chặt chẽ. 3
* Về kỹ năng: Đề tài có ý tưởng thông qua một số dạng bài tập cơ bản nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cơ bản sau: - Kỹ năng vẽ hình, dựng thiết diện. - Kỹ năng chứng minh các quan hệ giữa các đối tượng hình học được học. - Kỹ năng tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng. - Kỹ năng chuyển đổi từ hình học tổng hợp sang công cụ véc tơ. 4
PHẦN II. NỘI DUNG I. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình, dựng thiết diện và tính diện tích thiết diện 1. Kỹ năng vẽ hình Để giải được các bài tập Hình học không gian, trước hết phải rèn cho học sinh đọc đề và hiểu được đề bài từ đó vẽ được hình biểu diễn. 1.1. Hình biểu diễn là hình được vẽ qua phép chiếu song song từ không gian lên mặt phẳng, do vậy hình biểu diễn cần thỏa mãn các tính chất của phép chiếu song song + Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó. + Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng. + Biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau. + Không làm thay đổi tỷ số độ dài hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoạc hai đường thẳng song song. 1.2. Hình biểu diễn Do những tính chất đã nêu của phép chiếu song song nên hình biểu diễn được vẽ như sau: - Hình tam giác => Hình tam giác có dạng tùy ý (tam giác thường, tam giác cân, tam giác vuông). - Hình bình hành => Hình bình hành tùy ý (Hình bình hành , hình chữ nhật, hnh vuông, hình thoi). - Thường dùng e líp để biểu diễn đường tròn. Do hình biểu diễn của bài tập hình không gian phải thỏa mãn các tính chất đã nêu nên việc vẽ hình biểu diễn khó hơn rất nhiều so với hình học phẳng, 5
đòi hỏi học sinh phải hiểu đề bài và biết cách vẽ hình biểu diễn khi học hình học không gian. Người dạy qua các bài tập hướng dẫn học sinh vẽ hình biểu diễn qua đó hình thành kỹ năng vẽ hình cho học sinh, thao tác đầu tiên để đi đến bước tiếp theo hoàn thành lời giải của bài tập toán Hình học không gian. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD - Bước 1: Vẽ tam giác bất kỳ BCD (một cạnh khuất) - Bước 2: Lấy điểm A ngoài tam giác BCD - Bước 3: Nối A với điểm B: B; D. Ví dụ 2: Vẽ hình biểu diễn hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao SH. Vì hình chóp tam giác đều nên học sinh phải hiểu các tính chất của hình chóp tam giác đều mới vẽ được hình biểu diễn. - Vẽ đáy là tam giác ABC bất kỳ có nét khuất AB (mặc dầu đáy là tam giác đều). - Do đường cao SH của hình chóp tam giác đều có H trùng với tâm của tam giác ABC, nên vẽ H là giao của ba đường trung tuyến tam giác ABC (do tam giác ABC đều). - Vẽ SH (nhìn như vuông góc với AB). - Nối SA; SB; SC. Ví dụ 3. Vẽ hì hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ - Vẽ đáy ABCD là hình bình hành. - Vẽ hình chữ nhật AA’B’B - Từ các đỉnh C, D kẻ các đoạn thẳng CC’, DD’, song song và bằng AA’. - Nối A’B’, B’D’, D’B’. Qua quá trình luyện tập ra thêm các bài tập cho học sinh luyện tập từ đó hình thành kỹ năng vẽ hình, lưu ý học sinh cố gắng vẽ hình biểu diễn phần khuất càng ít thì hình vẽ cáng trực quan hơn trong quá trình sử dụng để tìm lời giải bài tập toán. 6
2. Kỹ năng xác định thiết diện Để xác định được thiết diện giữa một mặt phẳng với một khối đa diện quy về xác định giao tuyến của đôi một hai mặt phẳng thiết diện cắt khối đa diện. 2.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Để xác định được giáo tuyến của hai mặt phẳng cần phải xác định cho học sinh cách xác định giao tuyến - Hướng 1: Xác định được 2 giao điểm - thường là kéo dài hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng. - Hướng 2: Xác định một điểm và phương của đường thẳng giao tuyến. 2.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nằm trong mp (P) và a là mộtđường thẳng nằm trong mp ( P) và không song song với AB và Ac và không cắt các cạnh của tam giá ABC. S là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( P) và A’ là một điểm thuộc SA . Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng mp (A’,a) và tứ diện SABC. Phân tích: Để xác định được thiết diền ta phải xác định được giao tuyến của các cặp mặt phẳng: mp (A’,a) và (SAB); mp (A’,a) và (SAC) và mp (A’,a) và (SBC). Lời giải - Xác định giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB) Ta có: A’  SA mà SA  ( SAB)  A’ ( SAB) A’  ( A’,a)  A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAB ) Trong ( P) , ta có a không song song với AB Gọi E = a  AB => E  AB mà AB  (SAB )  E  (SAB ) => E  ( A’,a)  E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB ) Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB ) - Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC) 7
Ta có: A’  SA mà SA  ( SAC) => A’ ( SAC) A’  ( A’,a) => A’ là điểm chung của (A’,a) và (SAC) Trong (P), ta có a không song song với AC Gọi F = a  AC F AC mà AC  (SAC )  F  (SAC ) E  ( A’,a) => F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC ) Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC ) - Xác giao tuyến của (A’,a) và (SBC) Trong (SAB) , gọi M = SB  A’E M  SB mà SB  ( SBC) => M ( SBC) M  A’E mà A’E  ( A’,a) => M ( A’,a) => M là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F N  SC mà SC  ( SBC) => N ( SBC) N  A’F mà A’F  ( A’,a) => N ( A’,a)  N là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC ) Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) và (SBC ). Ta có thiết diện cần xác định là: A’MN Ví dụ 2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Xác định thiết diện giao của mặt phẳng ( MNP) với tứ diện ABCD. Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến của mp MNP với các mặt của tứ diện. Dể thấy MN, MP là giao tuyến của (MNP) với (ABC) và (ABD). Chỉ cần xác định hai giao tuyến của (MNP) với (BCD) và (ACD). 8
Lời giải: - Kéo dài MN cắt BC kéo dài tại E => E là điểm chung của (BCD) và (MNP)  ME là giao tuyến của (ABC) và (MNP) . - Nối E với P cắt CD tại Q => EQ là giao tuyến (BCD) với (MNP). Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Trên AC và AD lấy hai điểm M, N sao cho MN không song song với CD, gọi O là điểm bên trong tam giác BCD. Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng (OMN) với tứ diện ABCD. Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến của mp(OMN) với các mặt của tứ diện.Xác định giao tuyến các cặp mặt phẳng: (OMN) với (BCD); (OMN) với(ABC) và (OMN) với (ABD). Lời giải: - Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD) Ta có: O là điểm chung của (OMN) và (BCD) Trong (ACD), MN không song song CD Gọi I = MN  CD => I là điểm chung của (OMN ) và (BCD) Vậy : OI  (OMN )  (BCD ) - Tìm giao điểm của BC với (OMN) Trong (BCD), gọi P = BC  OI Vậy : P = BC  ( OMN) - Tìm giao điểm của BD với (OMN) Trong (BCD), gọi Q = BD  OI Vậy : Q = BD  ( OMN ) Nối QN; MP ta có thiết diện là: MNQP. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB, SD. Xác định giao tuyến giữa mặt phẳng (MNP) với hình chóp S.ABCD. 9
Phân tích: Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với SC. Lời giải: - Nối BD và AC cắt nhau tại O. - Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP) Nối MN, SO tao có giao điểm SO và BD chính là điểm I. - Trong mặt phẳng (SAC) nối MI kéo dài cắt SC tại Q. - Nối PQ, NQ ta có: thiết diện MNQP cần xác định. ** Xác định thiết diện qua các giao tuyến khi biết một điểm và phương của đường thẳng, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức về quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Ví dụ 5. Cho hình vuông cạnh a, tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x, mặt phẳng () qua M song song với SA và BD. a. Xác đinh thiết diện giao giữa mặt phẳng () với hình chóp SABO. b. Cho SA = a . Tính diện tích thiết diện theo a và x, tìm giá trị x để diện tích lớn nhất. Phân tích: Để xác định được thiết diện cần tìm, ta phải xác định được giao tuyến của mặt phẳng () với các mặt phẳng (ABO); (SAB); (SBO) và (SAO). Giả thiết đã cho xác định điểm M và trực quan từ hình vẽ. Do đó cần hướng dẫn học sinh xác định được phương các phương của giao tuyến nhờ kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng song song. Lời giải: a. Ta có mp() // BD mà BD  mp(ABO), M là điểm chung => Giao tuyến của mp() và mp(ABO) là đường thẳng đi qua M nằm trong mp(ABO) và song song với BD. 10
=> Từ M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại Q. mp() // SA chứa MQ suy ra mp() giao với mp(SAB) và mp(SAO) theo hai đường thẳng song song với SA. => Từ M và Q kẻ hai đường thẳng song song với SA cắt SO tại N; cắt SB tại P. Nối PN ta có thiết diện cần xác định là: MNPQ. b. Ta có : mp() //BD => giao của mp() với mp(SAD) là NP thì NP//AD, mà AD//QM => NP//QM. kết hợp với câu a, ta có: MNPQ là hình bình hành (1). SB = SD =>  SBC =  SDC (c-c-c) Gọi I là trung điểm SC, xét  IBC và  IDC => IB = ID =>  IBD cân tại I => IO  BD Mà OI // SA  SA  BD (2) Từ (1) và (2) suy ra : MNPQ là hình chữ nhật - Tính diện tích MNPQ theo a và x Ta có : S MNPQ  MQ.MN Tính MQ : Xét tam giác AQM :  ˆ  45 0  Ta có : Qˆ  450  AQM cân tại M  ˆ 0 M  90 => MQ = AM = x Xét tam giác SAO, ta có : a 2 x MN OM OM MN//SA    MN  AS .  a. 2  a  x. 2 AS OA OA a. 2 2 1 => S MNPQ  MQ.MN  x.(a  x. 2 )  x. 2 (a  x. 2 ) 2 11
Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 2 số dương x. 2 và a  x. 2 x. 2  a  x. 2 ) 2 a² x. 2 ( a  x. 2 )  ( )  2 4 1 a² a² a² => S MNPQ  .   S MNPQmã  2 4 4. 2 4. 2 a a. 2 Đẳng thức xảy ra khi x. 2  a  x. 2  x  2. 2 4 M là trung điểm AO. a. 2 Vậy : x  thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 4 Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD. Giả sử AB  CD , mặt phẳng () qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD. a. Tìm giao tuyến của () với ( ICD ) và (JAB) . b. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng () Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật . 1 Tính diện tích thiết diện biết IM = IJ . 3 Phân tích: Áp dụng tính kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng để xác định các giao tuyến của hai mặt phẳng theo yêu cầu của bài toán, từ đó xác định dược thiết diện. Lời giải: a. Tìm giao tuyến của () với mặt phẳng (ICD ): ( ) // CD Ta có : CD  ( ICD) M  ( )  ( ICD)  => Giao tuyến là đt qua M và song song với CD cắt IC tại L và ID tại N ( ) // AB  Tương tự :  AB  ( JAB ) M  ( )  ( JAB)  => Giao tuyến là đt qua M và song song với AB cắt JA tại P và JB tại Q 12
b. Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (): ( ) // AB  Ta có :  AB  ( ABC ) => EF // AB (1)  L  ( )  ( ABC )  ( ) // AB Tương tự :  AB  ( ABD) => HG // AB (2)  N  ( )  ( ABD)  Từ (1) và (2), suy ra EF // HG // AB (3) ( ) // CD  Ta có : CD  ( ACD ) => FG // CD (4)  P  ( )  ( ACD )  ( ) // CD Tương tự : CD  ( BCD ) => EH // CD (5) Q  ( )  ( BCD )  Từ (4) và (5) , suy ra FG // EH // CD (6) Từ (3) và (6) , suy ra EFGH là hình bình hành. Mà AB  CD , suy ra EFGH là hình chữ nhật 1 - Tính diện tích thiết diện khi IM = IJ 3 Ta có : S EFGH  EF .FG  PQ.LN Tính LN : LN IN Xét tam giác ICD, ta có : LN // CD =>  (7) CD ID IN IM Xét tam giác IJD, ta có : MN // JD =>  (8) ID IJ LN IM 1 CD b Từ (7) và (8), suy ra    LN   CD IJ 3 3 3 PQ JM 2 2 2 Tương tự :   => PQ  . AB  .a AB JI 3 3 3 2ab Vậy : S EFGH  9 Ví dụ 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Trên AB lấy một điểm M với AM = x. 13
Gọi () là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB, SC , và CD lần lượt tại N, P, Q a. Tìm thiết diện của () với mặt phẳng hình chóp. Thiết diện là hình gì?  = 1v và SA = a. Tính diện b. Cho SAD 3a 2 tích của thiết diện theo a và x .Tìm giá trị x để diện tích thiết diện bằng 8 Lời giải: a. Tìm thiết diện của () với mặt phẳng h́ nh chóp ( ) // SD  Ta có : ( ) //( SAD)  ( ) // SA ( ) // AD  0 Với ( ) // SD ( ) // SD  Có SD  (SAD)  PQ // SD ( )  (SAD)  PQ  - Với ( ) // SA ( ) // SA  Có SA  ( SAB)  MN // SA ( )  (SAB)  MN  - Với ( ) // AD ( ) // AD  Có  AD  ( ABCD)  MQ // AD (1) ( )  ( ABCD)  MQ   BC // MQ Vì   ( ) // BC  BC  ( ) ( ) // BC  Có  BC  (SBC )  PN // BC (2) ( )  (SBC )  PN  Từ (1) và (2) , suy ra : MQ // PN  MNPQ là hình thang. Vậy : MNPQ là hình thang 14
b. Tính diện tích của thiết diện theo a và x Ta có: S MNPQ  S IMQ  S INP  S SAD  S INP Tính diện tích tam giác SAD: 1 2 Ta có:  SAD vuông cân tại A, do đó : S SAD  .a 2 Tính INP: S INP Xét tam giác SBC, tam giác SBS 0 và tam giác SAB NI SN Ta có : NI // S0 B =>  (1) S 0 B SB PN SN PN // BC =>  (2) BC SB AM SN MN // SA =>  (3) AB SB NI PN AM Từ (1) , (2) và (3) , ta được   => NI  PN  AM  x S 0 B BC AB 1 =>  INP vuông cân tại N , suya ra: S INP  .x 2 2 1 2 1 2 1 2 => S MNPQ  .a  .x  ( a  x 2 ) 2 2 2 3.a 2 1 3.a 2 Để S MNPQ  (a 2  x 2 )  8 2 8 3.a 2 a2 a x 2  a 2   x 2  x  4 4 2 ˆ = 60 0 , Ví dụ 8. Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông tại A , B AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng () sao cho SB = a và SB  OA. Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB, mặt phẳng () qua M song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q . Đặt x = BM (0
Lời giải: a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông: (  ) // OA Ta có : OA  ( ABC )  MN // OA MN  (  )  ( ABC )  (1) (  ) // SB SB  (SAB)  MQ // SB MQ  (  )  ( SAB)  (2) (  ) // SB   SB  ( SBC )  NP // SB  NP  (  )  ( SBC )  (3) Từ (2) và (3), suy ra MQ // NP // SB (4)  MNPQ là hình thang OA  SB MN  MQ Từ (1) và (4), ta có: MN // OA   MQ // NP // SB MN  NP  Vậy: MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN. b. Tính diện tích của hình thang theo a và x . 1 Ta có : S MNPQ  (MQ  NP ).MN 2 Tính MN: Xét tam giác ABC AB AB Ta có : cos B  => BC  BC cos B  BC  2a => BO = a  Bˆ  60 0 Do   ABO đều  BA  BO Có MN // AO => MN BM BN    MN  MB  BN  x AO AB BO Tính MQ: Xét tam giác SAB, ta có: MQ // SB 16
MQ AM SB a =>  => MQ  AM .  ( a  x).  a  x SB AB AB a Tính NP: Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB NP CN SB a 2a  x =>  => NP  CN .  ( 2a  x ).  SB CB CB 2a 2 x (4 a  3 x ) 1 Do đó : S MNPQ   .3 x.(4 a  3 x ) 4 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 3x và 4a  3x 3 x  4a  3 x 2 1 a² 3x.( 4a  3x)  ( )  4a² => S MNPQ  .4a ²  . 2 12 3 2a => Đẳng thức xảy ra khi 3x = 4a – 3x x = 3 2a Vậy : x = thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất. 3 * Bài tập tự giải 1. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a. (AMN) và (BCD) b. (DMN) và (ABC ) 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên AD và DC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE) 3. Cho bốn điểm A, B, C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng (IHK) và hình chóp S.ABC. 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC và BC. K là điểm trên BD và không trùng với trung điểm BD. Xác định thiết diện giao giữa mặt phẳng (MNK) với tứ diện ABCD. 5. Cho tứ diện SABC. Gọi D là điểm trên SA, E là điểm trên SB và F là điểm trên AC (DE và AB không song song) . a. Xác định giao tuyến của hai mp (DEF) và (ABC) b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (DEF) 17
c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (DEF) 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J 2 lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN = SB . 3 a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK) b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J 2 lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN = SB . 3 Xác định thiết diện giao của mp(IJK) với hình chóp S.ABCD 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD a. Chứng minh: PQ // SA. b. Gọi K = MN  PQ . 9. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC. Giả sử AD và BC không song song. a. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC) b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD 10. Cho hình chóp S.ABCD, trong tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giác SCD lấy một điểm N. a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD. *Kết luận: Với các ví dụ minh họa cùng các bài tập tự giải, qua trình dạy luyện tập cho học sinh, người dạy có những hướng dẫn cụ thể, học sinh hình thành kỹ năng vẽ hình, kỹ năng vận dụng các định lí, tính chất về đường thẳng và mặ phẳng song song giải quết được các dạng bài tập đã nêu. 18
II. Kỹ năng chứng minh các quan hệ giữa các đối tượng hình học được học Quan hệ vuông góc giữa các đối tượng đường thẳng, mặt phẳng nội dung quan trọng của hình học không gian lớp 11, do đó cũng cần rèn luyện kỹ năng giải quyết các dạng bài tập liên quan đế quan hệ vuông góc. 2.1. Rèn luyện kỹ năng chứng minh các quan hệ vuông góc 2.2.1. Rèn luyện kỹ năng chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc trong không gian GV có thể định hướng và cho học sinh rèn luyện chứng minh theo các định hướng sau: - Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, chứng minh  a, b  900 .   - Xác định được ua , ub lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và   b, chứng minh ua .ub  0 , đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ   khi AB.CD  0 . - Xác định được đường thẳng c//b, chứng minh được a  c . - Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng b hoặc ngược lại. - Có thể áp dụng định lí ba đường vuông góc. Một số ví dụ giúp học sinh rèn luyện các định hướng đã nêu Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD. a. Chứng minh rằng AB  CD . b. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng: MN  AB, MN  CD . Lời giải.      a. Hướng 1. Chứng minh AB.CD  0 .Ta có CD  AD  AC             AB.CD  AB. AD  AC  AB.AD  AB.AC  a.a.cos600  a.a.cos600  0  AB  CD . Hướng 2. Chứng minh CD vuông góc với mặt phẳng chứa AB. Lấy N là trung điểm của CD, ta có ACD và là các tam giác cân chung đáy CD  AN  CD, BN  CD 19