Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải bài toán khoảng cách trong không gian

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản về khoảng cách, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải bài toán khoảng cách trong không gian

MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I. Đặt vấn đề ...........................................................................................2 PHẦN II. Nội dung nghiên cứu...........................................................................4 I. Cơ sở khoa học của đề tài.............................................................................4 I.1. Cơ sở lý luận của đề tài..........................................................................4 I.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài.......................................................................5 II. Các sáng kiến và giải pháp để giải quyết vấn đề......................................6 II.1. Sử dụng bài toán gốc để tính khoảng cách trong không gian...............6 II.2. Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách trong không gian..................19 II.3. Sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách trong không gian 24 II.4. Sử dụng sơ đồ tư duy để tính nhanh khoảng cách trong không gian. 39 II.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm...........................................................46 PHẦN III. Kết luận và kiến nghị.....................................................................48 Tài liệu tham khảo..............................................................................................50 1
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ. I. Lí do chọn đề tài: Sự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm đã và đang được chứng minh từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới, bởi những ưu điểm như: Tính khách quan, tính bao quát và tính kinh tế. Theo chủ trương của Bộ Giáo dục & Đào tạo, kì thi THPT quốc gia môn Toán sẽ chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ môn toán. Khi thi trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trả lời trong vòng 1,8 phút nhanh hơn gấp 10 lần so với yêu cầu kiểm tra đánh giá cũ. Trong chương trình toán THPT, "Hình học không gian" được giới thiệu trong SGK lớp 9 và được giải quyết hoàn thiện trong chương trình SGK hình học lớp 11. Môn học này là một trong những môn học khó nhất đối với học sinh THPT bởi tính trừu tượng của nó. Các bài toán về khoảng cách trong hình học lớp 11 là một trong những bài toán định lượng quan trọng nhất của bộ môn hình học không gian và hay được sử dụng trong thi THPT Quốc gia. Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản về khoảng cách, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài: " Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc giải bài toán khoảng cách trong không gian." II. Mục đính nghiên cứu: "Các bài toán về khoảng cách" là một bài tập định lượng quan trọng và khó của bộ môn hình học không gian lớp 11. Khi chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, học sinh không đơn giản chỉ là "tô" vào một trong 4 đáp án, để có được câu trả lời, bắt buộc học sinh vẫn phải thực hiện các khâu và các bước làm bài giống một bài tự luận bình thường. Vậy để đảm bảo được thời gian của một bài thi trắc nghiệm, yêu cầu học sinh phải nắm vững các lớp bài toán về khoảng cách để có hướng giải quyết vấn đề một cách nhanh nhất. Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh các bài toán gốc, bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài toán khó và phức tạp hơn. Qua đó, phát triển cho các em năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học 2
toán. Qua đây cũng rèn luyện thêm cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống mới. Phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua việc sử dụng nhiều hướng giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian. Sơ đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy, là con đường dễ nhất để chuyển tải thông tin vào bộ não rồi đưa thông tin ra ngoài bộ não. Đồng thời là một phương tiện ghi chép đầy sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó: "sắp xếp" ý nghĩ. Sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học mang lại hiệu quả cao, phát triển tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, học sinh hiểu bài, nhớ lâu, thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lòng, học vẹt, phù hợp với tâm sinh lí học sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ lí thuyết bằng ghi nhớ dưới dạng sơ đồ chuyển hóa kiến thức. III. Đối tượng nghiên cứu: Để giải quyết các vấn đề nêu trên, trong đề tài này tôi đề xuất các ý tưởng nghiên cứu sau: Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinh nghiệm giải toán. Qua đó tự tìm ra thuật giải cho bài toán khoảng cách. Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm của bài toán khoảng cách dưới dạng sơ đồ tư duy để từ đó khắc sâu được kiến thức. Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thực tiễn cuộc sống. IV. Phương pháp nghiên cứu: Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra các khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản. Thống kê số liệu để phân loại được các bài toán về khoảng cách trong không gian và rút ra được hệ thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập về khoảng cách. Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy và học ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu và dễ nhớ nhất. Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ với các khối, các hình và đồ vật trong thực tiễn. V. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: Trong sáng kiến kinh nghiệm này tác giả sẽ giới thiệu cách sử dụng sơ đồ tư duy trong bài toán định lượng tính khoảng cách. Lược bỏ hết các phần chứng minh rườm rà (vì phần chứng minh hầu như không thay đổi đối với một lớp bài toán cố định, và đã được tác giả hướng dẫn học sinh chứng minh trong bài toán tổng quát.) Như vậy, học sinh chỉ cần nhận dạng bài toán, lựa chọn phương án thích hợp 3
và áp dụng luôn công thức tính cuối cùng của dạng toán đó. Đây là bí quyết để học sinh rút ngắn thời gian làm bài. Sử dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách Sự dụng tọa độ hóa để tìm khoảng cách Phân loại rõ các bài toán khoảng cách và có hướng giải cụ thể, ngắn gọn, logic dễ học và dễ nhớ. Bước đầu hướng dẫn học sinh cách làm toán trắc nghiệm. Đây là các điểm mới so với sáng kiến kinh nghiệm cũ. 4
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU. I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI. I.1. Cơ sở lý luận của đề tài. I.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: M ( H là hình chiếu của M lên (P) ) H P I.1.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: M H P I.1.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: P M Q H I.1.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: +) Định nghĩa: ( chéo nhau; là đoạn vuông góc chung) M a +) Nhận xét 1: 5 b P
+) Nhận xét 2: M Q b a P Nhận xét tổng quát: Từ hệ thống kiến thức đã nêu ở trên ta đi đến kết luận quan trọng sau “ Về mặt lý thuyết có thể quy mọi loại khoảng cách trong không gian về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng” I.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài. Dưới sự lãnh đạo của Ban giám hiệu nhà trường, đội ngũ giáo viên chúng tôi luôn trăn trở tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh . Nhà trường không chỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển năng lực, tư duy cho học sinh thông qua các bài học, làm hành trang vững chắc cho các em bước vào tương lai. Tuy nhiên trong các môn học thì hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng trong không gian cách nói riêng vẫn là môn học khó đối với đại đa số học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình và yếu. Khi giải các bài toán về khoảng trong không gian, nếu tiến hành theo các bước cơ bản không được thì tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua. Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở hai lớp tôi trực tiếp áp dụng năm học 20202021 kết quả như sau: Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề Năm học Lớp Sĩ số tài 20202021 12A1 45 10 6
12A2 47 8 Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong sách giáo khoa. Song song với việc cung cấp tri thức tôi chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán, nâng cao năng lực, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác. II. CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. Khi giải một bài toán hình học không gian, học sinh cần thực hiện qua các bước cần thiết sau: đọc kĩ đề bài, phân tích giả thiết của bài toán, vẽ hình đúng, đặc biệt cần xác định thêm các yêu cầu khác: điểm phụ, đường phụ (nếu cần) để phục vụ cho quá trình giải toán. Trong hệ thống bài tập cũng như trong thực tiễn cuộc sống ta có thể chia "Bài toán về khoảng cách" thành các bài toán nhỏ sau: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Khi chuyển sang hình thức "thi trắc nghiệm" thì bài tập khó nhất của đề có thể nói là các bài tập về hình không gian bởi thời gian để thực hiện làm bài đã bị hạn chế hơn chỉ bằng 1/10 so với thời gian cũ, trong lúc đó việc dùng máy tính để bổ trợ hoặc các thủ thuật loại trừ các đáp án nhiễu hầu như không đáng kể. Thực chất, học sinh vẫn phải thực hiện việc giải gần giống một bài tự luận. Vậy để đáp ứng được hình thức kiểm tra đánh giá mới thì vấn đề đặt ra là giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh nắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài toán mấu chốt để các bài toán nhỏ khác có thể đưa về nó. Và việc sử dụng sơ đồ tư duy tỏ ra có hiệu quả khi đảm bảo một lời giải ngắn gọn nhất, logic nhất và nhanh nhất. II.1. SỬ DỤNG BÀI TOÁN GỐC ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN. Trong bài toán tính khoảng cách thì bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là mấu chốt cơ bản nhất. Các bài toán tính khoảng cách khác đều đưa về được bài toán cơ bản này. II.1.1. Phương pháp giải toán: 7
Để giải quyết một bài toán về khoảng cách trong không gian nói chung theo định hướng này ta cần giải quyết được 3 bước sau: a) Bước 1: (Đối với các bài toán yêu cầu tính các loại khoảng cách) “Chuyển đổi” khoảng cách cần tính về theo khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Trong bước này nhất thiết phải đạt được hai yêu cầu sau: Thứ nhất là chọn “điểm” nào? “mặt phẳng” nào? để có thể chuyển đổi được, để làm được điều này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững lý thuyết và phải có tư duy ứng biến một cách linh hoạt, trong một số trường hợp có thể phải tạo ra những cái chưa có trong giả thuyết của bài toán như vẽ thêm đường, mặt... Thứ hai là “điểm” và “mặt phẳng” được chọn phải thuận lợi cho việc thực hiện các bước 2 và 3, đây cũng là yêu cầu rất quan trọng vì nó quyết định cho việc có thể đi đến lời giải trọn vẹn của bài toán hay không. Đến đây yêu cầu bài toán trở thành “Tìm khoảng cách từ điểm (chẳng hạn là M) đến mặt phẳng (chẳng hạn là (P))”, ta tạm gọi là bài toán cơ bản. b) Bước 2: Xác định điểm H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P), từ đó đi đến kết luận: Trong bước này khó khăn lớn nhất là xác định vị trí điểm H, khi đó giáo viên cần lưu ý cho học sinh một số kiến thức sau: 1. (Hệ quả 1 Định lí 1Bài: Hai mặt phẳng vuông gócTrang 109SGK HH11) Q a P 2. (Định lí 2Bài trên) P Q a R 8
c) Bước 3: Sử dụng các giả thiết của bài toán, các kiến thức hình học phẳng đã biết (đặc biệt là các hệ thức trong tam giác)... để tính độ dài đoạn MH, từ đó đi đến kết luận. Lưu ý: Nhiều khi việc tính khoảng cách từ M đến (P) khó có thể thực hiện được trực tiếp (có thể gặp khó khăn ở một trong hai bước 2 hoặc 3), khi đó ta có thể xem xét đến khả năng gián tiếp thông qua việc tính khoảng cách từ điểm N nào đó đến (P). Việc làm này có thể thu được kết quả mong muốn nếu hội đủ các điều kiện sau: Có thể xác định được tỉ lệ giữa khoảng cách từ M và N đến (P), nghĩa là xác định được số , sao cho: Việc tính là có thể thực hiện được. II.1.2. Các bài tập minh họa. Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh các bài toán gốc, bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những bài toán khó và phức tạp hơn đồng thời rèn luyện cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống mới. Quan điểm này cũng giúp cho người học tiếp cận được kiến thức một cách nhẹ nhàng và tự nhiên nhất, từ đó sẽ làm tăng hứng thú học tập cho các em. Qua thực tiễn giảng dạy và áp dụng đề tài, tôi đã thu thập và mạnh dạn sắp xếp theo suy nghĩ bản thân, hệ thống bài tập thành 2 dạng như sau: +) Dạng 1: Gồm các bài tập “cơ bản” (chỉ cần thực hiện hai bước 2 và 3) +) Dạng 2: Gồm các bài tập cần cả 3 bước như đã nêu. Các bài toán dạng 1: Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm là O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Tính khoảng cách: a. Từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). 9
b. Từ điểm O đến mặt phẳng (SCD). Lời giải: S K a. Từ giả thiết của bài toán ta có , gọi là hình chiếu của Lên SO ta có: (1) H A D Xét tam giác SAO (vuông tại A), ta có: O B C Từ (1) và (2), suy ra: b. (Sử dụng phương pháp gián tiếp) Ta có: Gọi K là hình chiếu của A lên SD, tương tự trên ta có: Q Xét tam giác SAD (vuông tại A), ta có: A H P Nhận xét: Qua bài toán 1 ta có thể rút ra một số nhận xét sau: NX1) Để tìm hình chiếu của điểm A lên (P), ta cần xác định mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với (P). Giả sử là giao tuyến của (P) và (Q), H là hình chiếu của A A lên . Khi đó H là hình chiếu của A lên (P). B NX2) Giả sử và . Khi đó, O P 10
nếu thì ( NX3) Nếu có đường thẳng , thỏa mãn: khi đó ta có cách xác định hình chiếu A của điểm A lên (P) như sau: a +) Dựng B là hình chiếu của A lên b. +) Dựng H là hình chiếu của A lên SB. S B H Suy ra: H là hình chiếu của A lên (P). P b ( Giáo viên cần nhấn mạnh và giúp học sinh nhận ra “dấu hiệu” của NX3 vì đây là một công cụ khá mạnh, được sử dụng thường xuyên trong các bài toán khoảng cách, đặc biệt là trong các đề thi THQG những năm gần đây) Bài 2. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’, có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a. a A. a 6 B. C. a 6 D. a 6 2 2 4 Lời giải: Chọn A. Theo giả thiết, ta có: D' C' mà , gọi H là hình chiếu A' B' của A lên A’B thì . Vậy: H Mặt khác tam giác A’AC vuông cân, A’C = a, nên D C A B Xét tam giác A’AB (vuông tại A), ta có: 11
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, , M là trung điểm của BC và . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) theo a. a A. a 6 B. a 3 C. a 6 D. 2 4 3 Lời giải: Chọn C. S Ta có ⇒ Từ giả thiết, suy ra là tam giác đều, H do M là trung điểm của BC ⇒ . D Gọi H là hình chiếu của A lên SM thì: C M A B Dễ thấy, vuông cân tại A, nên: Nhận xét: Trong bài này ta chọn khoảng cách cần tính từ A đến (SBC) là để “lợi dụng” giả thiết , đây là dấu hiệu của NX3 ở trên. Bài 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) theo a. A. 10a B. a 13 C. 3 10a D. 3 13a 13 13 13 33 Lời giải: Chọn D Gọi M là trung điểm của AB, N là hình chiếu cA' ủa M lên AC, H là hình chiếu của M C' lên A’N. Ta có: B' Mặt khác, theo giả thiết: H 12 N A C M B
Xét tam giác A’MN (vuông tại M), ta có: Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). S A. 10a B. a 3 2 2 a C. D. a 5 2 2 H Lời giải: Chọn C. B I C Gọi M là trung điểm của AB, I là hình M chiếu của M lên BD, H là hình chiếu của A D M lên SI. Ta có: . Theo giả thiết ta có: Vậy ta có: Bài 5. (Mã 102 BGD 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD) bằng 21a A. . B. 21a . C. 2a . D. 21a . 28 14 2 7 13
Lời giải: Chọn D. Gọi H là trung điểm của AB � SH ⊥ AB � SH ⊥ ( ABCD ). Từ H kẻ HM ⊥ BD , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông. BD ⊥ HM Ta có: � BD ⊥ (SHM) BD ⊥ SH Từ H kẻ HK ⊥ SM � HK ⊥ BD ( Vì BD ⊥ (SHM) ) � HK ⊥ ( SBD) � d(H;(SBD)) = HK . Ta có: HM = AI = AC = 2a . SH = 3a . 2 4 4 2 2a 3a . HM .HS 4 2 21a HK = = = . HM 2 + HS 2 2 � 2a � � 3a � 2 14 � �+ � � �4 � �2 � 21a 21a d (C;( SBD )) = d ( A;( SBD )) = 2d ( H ;( SBD )) = 2 HK = 2. = . 14 7 Vậy: d (C ;(SBD )) = 21a . 7 Bài 6. (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hải Dương.) 14
Cho khối chóp S . ABC có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, , . Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn SB và SC sao cho . Chứng minh tam giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB) theo a. Lời giải: S +) Sử dụng định lí cosin trong A H Xét (vuông tại S) ; N J Xét (vuông tại A) . I Từ đó, ta có: M vuông tại A (đfcm). C +) Gọi I là trung điểm của MN I là tâm B của đường tròn ngoại tiếp . Mặt khác hình chóp có các cạnh ⇒ I là hình chiếu của S lên mặt phẳng (AMN), hay: Gọi J là trung điểm của AM, H là hình chiếu của I lên SJ. Khi đó: Từ đó ta có: Mặt khác: ⇒ vuông cân tại I ⇒ H là trung điểm của SJ , vậy 15
Nhận xét: +) Cách giải của đáp án chính thức là sử dụng công thức tính thể tích, cách này theo tôi không thực sự tự nhiên và hơi dài. +) Trong cách giải trên tôi đã đưa khoảng cách về theo khoảng cách . Tại sao lại có suy nghĩ này? Thứ nhất đó là vị trí “đặc biệt” của các điểm N, I (trung điểm); thứ hai là có (dấu hiệu để sử dụng NX3). +) Khi đưa bài toán này vào giảng dạy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh cách nhận ra những đặc điểm riêng của bài toán như vị trí của các điểm I, J, H. Việc làm này sẽ giúp các bước tính toán trở nên đơn giản hơn. Các bài toán dạng 2: Bài 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , , . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. A. a 10 B. a 33 C. a 10 D. 3a 11 6 11 3 11 Lời giải: Chọn B. A' C' +) Gọi N là trung điểm của BB’, khi đó . Từ đó: B' +) Xét (vuông tại B), ta có: N A Gọi h là khoảng cách từ B đến (AMN), do C M BA, BM, BN đôi một vuông góc nên: B Nhận xét: 16
Trong bài toán trên việc lựa chọn đưa khoảng cách cần tính về theo khoảng cách từ B đến (AMN) là để lợi dụng tính chất sau của tứ diện vuông: A Nếu tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, H là hình chiếu của O lên (ABC), thì: H C Trong một vài trường hợp, nếu có thể áp dụng O được tính chất này ta sẽ tính được khoảngcách mà không cần xác định hình chiếu của nó. B Bài 8. Cho hình hộp ABCD A B C D có hình chóp A'ABD là hình chóp đều, AB = AA' = a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A C . A. 2a 11 . B. a 22 . C. a 22 . D. a 11 . 11 22 11 11 Lời giải:Chọn C. Do A / ABD là hình chóp đều nên với G là tâm ABD A/G (ABD) A'G là chiều cao của lăng trụ. 2 2 Gọi O là giao điểm của BD và AC.Ta có: AG = .AO= a 3 . = a 3 3 2 3 3 2 a a 6 Trong tam giác vuông A / AG ta có A / G = A A 2 AG 2 a2 3 3 B' O' C' A' D' H B G E C O A D Gọi H là giao điểm của A'C' và B'D'. Do A'C'// AC nên: d ( AB , A C ) = d ( A C , ( ACB )) = d ( H , ( ACB )) Từ H kẻ HE // A G , khi đó: / A G ( ABCD ) HE ( A B C D ) HE A'C' (1) ( A B C D ) //( ABCD) 17
Do A B C D là hình thoi nên A C B D (2) Từ (1) (2) A C (E B D ) AC (E B D ) (3) Từ H kẻ HK B E HK ( ACB ) � HK = d ( H ; ( ACB )) ) Từ (3) HK AC 1 1 1 4 9 11 a 2 Ta có : 2 = 2 + 2 = 2 + 2 = HK = HK BH HE a 6a 2a 2 11 Bài 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy A’B’C’ là tam giác vuông tại C’, , . Biết hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) là . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BB’ theo a. A. 2a 15 B. a 10 C. a 10 D. a 15 5 2 6 15 Lời giải: Chọn A. +) Tam giác ABC vuông tại C nên H là trung điểm của AB. B' A' C' +) Gọi I là trung điểm của AC B Gọi K là hình chiếu của H lên A’I, khi đó: K H A C I +) Góc giữa AA’ và (ABC) là Bài 10. (THPT Chuyên Lam Sơn lần 2 Năm 2018 – 2019) Cho hình lăng trụ 18
ABC. A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a, AC = 2a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng ( ABC ) là điểm I thuộc cạnh BC . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng ( A BC ) . 2 1 A. a . B. 3 a . C. 2 5 a . D. a . 3 2 5 3 Lời giải: Chọn C. A' C' Xét tam giác ABC có AB = a, AC = 2a � BC = a 5 . B' Trong mp ( ABC ) kẻ AH ⊥ BC , H BC . ( ABC ) ⊥ ( A ' BC ) A 2a C Ta có: ( ABC ) �( A ' BC ) = BC � AH ⊥ ( A BC ) a I H B AH ⊥ BC AB. AC 2 5 2 5 � d ( A, ( A BC ) ) = AH = = a � d ( A, ( A BC ) ) = a. BC 5 5 Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. A. a 42 B. a 42 C. a 10 D. a 10 4 8 6 3 Lời giải: Chọn B. Từ A kẻ ⇒ (1) Gọi N, K lần lượt là hình chiếu của H lên Ax và SN. Ta có: � d ( H, ( S , Ax ) ) = HK Gọi D là trung điểm của AB, dễ thấy: S Mặt khác, xét ta có: K A C N x D H B 19
Nhận xét: Qua bài toán trên ta nhận thấy, nếu không chủ động có thể học sinh sẽ thấy lúng túng trong việc tìm hướng đi cho lời giải vì “mặt phẳng chứa một trong hai đường và song song với đường kia” là chưa có sẵn vì vậy ta phải “tạo ra” nó. Việc tạo ra mặt phẳng đó cũng đòi hỏi người học phải “khéo léo và tinh tế”, bởi vừa phải thỏa mãn yêu cầu đặt ra vừa phải thuận lợi cho việc tính toán, mặt phẳng (S,Ax) ở trên là một ví dụ. Trong quá trình giảng dạy tôi hay nói với học sinh của mình rằng “Toán học cũng như cuộc sống, phải luôn vận động và sáng tạo, không bao giờ được bằng lòng với những gì mình đang có. Những gì chưa có phải tìm cách để tạo ra nó”. Dạy cho học sinh điều đó chính là dạy cho các em tư duy sáng tạo, đồng thời giúp các em có thêm hứng thú trong hoc tập. Bài 12. (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hà Tĩnh) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc uur uuur của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thoả mãn BI = 3IH và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SI theo a. Lời giải: +) Gọi E là trung điểm của BC . Vậy: S J +) Gọi F, P lần lượt là hình chiếu của H lên EI và SF, ta chứng minh được: ⇒ K +) Gọi K là hình chiếu của I lên SB, E B J là điểm thuộc SB sao cho . P C Khi đó: I H F A Nhận thấy ⇒ góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng hoặc bù với góc . Mặt khác vuông tại I, có IK là đường cao; cân tại K, từ đó kết hợp các điều kiện: 20