SKKN: Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> MỤC LỤC<br /> <br /> <br /> I. Phần mở đầu. 2<br /> 1.  Lí do chọn đề tài 2<br /> 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài 2<br /> 3. Đối tượng nghiên cứu                          2 <br /> 4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu 2<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu 2<br /> II. Phần nội dung 3<br /> 1. Cơ sở lí luận 3<br /> 2. Thực trạng   3<br /> 3. Giải Pháp, biện pháp.     18<br /> 4. Kết quả 19<br /> III. Phần kết luận, kiến nghị 19<br /> 1. Kết luận. 19<br /> 2. Kiến nghị 19<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO 21<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 1<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> ĐỀ TÀI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI <br /> TOÁN CỰC TRỊ (PHẦN ĐẠI SỐ)<br /> <br /> <br /> I. PHẦN MỞ ĐẦU:<br /> 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:<br /> Môn toán là môn khoa học tự nhiên, đây là môn học khó dạy, khó học, <br /> mà toán cực trị là một dạng bài tập khó mà học sinh khi gặp thường e ngại,  <br /> hay bỏ  bài tập dạng này. Vì thế  tôi viết đề  tài này nhằm giúp học sinh hệ <br /> thống kiến thức và phương pháp giải bài toán cực trị, giúp cho học sinh biết <br /> phân loại và vận dụng phương pháp giải bài toán cực trị  một cách nhanh  <br /> chóng và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và <br /> tinh thần sáng tạo trong học tập.<br /> 2. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:<br /> Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh <br /> giỏi toán 9 và luyện cho học sinh thi vào lớp 10. Tôi nhận thấy cần phải  <br /> viết đề tài phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số.<br /> Thông qua đề  tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về <br /> phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời <br /> giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư  duy lô­gic, phương pháp suy <br /> luận và khả năng sáng tạo cho học sinh.<br /> Trong đề  tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ <br /> hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư  phạm. Học sinh tự  đọc có thể  giải <br /> được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học <br /> phong phú để học tốt môn toán và các môn khoa học khác.<br /> 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:<br /> Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số).<br /> 4. GIỚI HẠN PHẠM VI NGHIÊN CỨU:<br /> ­ Khuôn khổ nghiên cứu:Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị  <br /> (phần đại số) chương trình THCS.<br /> ­Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 7; 8; 9 trường THCS Lê Qúy Đôn.<br /> ­Thời gian: năm học 2013­2014; 2014­2015.<br /> <br /> <br /> 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:<br /> ­ Trao đổi với đồng nghiệp về phương pháp giải toán cực trị.<br /> ­ Nghiên cứu và trao đổi với học sinh giỏi toán khối 7; 8; 9.<br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 2<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> ­ Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.<br /> <br /> <br /> II. PHẦN NỘI DUNG<br /> 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN:<br /> Làm cho học sinh hiểu được giá trị lớn nhất của một biểu thức ( GTLN  <br /> hay Max ), và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (GTNN hay Min). Những bài toán  <br /> như vậy gọi là bài toán cực trị. Trong hình học hay trong đại số đều có những  <br /> dạng toán cực trị. Vì nội dung về  bài toán cực trị  vô cùng phong phú và đa <br /> dạng nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến dạng toán cực trị (phần đại số).<br /> 2. TH<br />   ỰC TRẠNG    : <br /> 2.1. Thu<br />   ận lợi    ­khó khăn :<br /> ­Thuận lợi: Toán cực trị  rất đa dạng và phong phú ngay từ  khi học lớp  <br /> 6;7 đã có các bài tập dạng này, lên lớp 8; 9 bài tập về cực trị lại mở rộng hơn  <br /> làm cho học sinh càng hứng thú khi giải bài tập. Do đó tôi khá tâm đắc với đề <br /> tài .<br /> ­Khó khăn: Bài toán cực trị  là bài tập khó, loại bài tập này rất đa dạng <br /> và phong phú. Đây là loại bài tập đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao. Do đó  <br /> học sinh thường lúng túng chưa biết giải như  thế  nào. Trong sách giáo khoa <br /> hay sách bài tập cũng ít đề cập đến dạng bài bài tập về cực trị...<br /> 2.2. Thành công ­ h<br />   ạn chế   :<br /> ­Thành công: Khi chưa có đề tài này học sinh rất khó khăn khi giải dạng  <br /> toán cực trị, sau khi tham khảo đề tài các em đã vận dụng giải toán cực trị tốt <br /> hơn rất nhiều. Đó chính là sự thành công mà đề tài mang lại.<br /> ­Hạn chế: Đề  tài tôi chỉ  bồi dưỡng học sinh giỏi chưa dạy đại trà cho  <br /> học sinh yếu kém.<br /> 2.3 Mặt mạnh ­ mặt yếu:<br /> ­Mặt mạnh: Đề  tài tôi sắp xếp từ  các dạng bài tập từ  dể  đến khó,từ <br /> đơn giản đến phức tạp, từ  lớp dưới đến lớp trên một cách khoa học, giúp <br /> người đọc dễ hiểu.<br /> ­Mặt yếu: Dùng từ  trong đề  tài hơi khô khan,hơn nữa vốn tin học của <br /> tôi còn hạn chế nên viết đề tài khá lâu.<br /> 2.4 Các nguyên nhân,các yếu tố . <br /> Với loại bài tập tìm GTNN ,GTLN tuy khó song một khi đã giải   được <br /> học sinh thích thú, tích cực xây dựng bài học giải được nhiều bài tập hơn, <br /> từng bước giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn. <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 3<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> ­Giúp học sinh phát triển tư  duy toán học,tạo điều kiện thuận lợi cho <br /> việc học tốt môn toán cũng như các môn học khác.<br /> ­Ngoài ra khi giải các dạng bài tập về  cực trị  học sinh dễ  mắc sai lầm  <br /> khi giải. Do đó tôi thấy sự cần thiết viết đề tài này.<br /> 2.5 Phân tích ,đánh giá các vấn đề:<br /> Qua đề tài này để giúp học sinh tìm ra được cách giải và có lời giải hoàn <br /> hảo về dạng toán cực trị. Học sinh giải các dạng toán từ dễ đến khó vì thế tôi <br /> sắp xếp cách giải các dạng toán từ lớp 7, lớp 8 sau đó đến lớp 9.<br /> Trứớc hết ta cần hiểu rõ toán cực trị là gì ? Ta hiểu khái niệm là:<br /> Cho biểu thức  P( x); P( x; y;...)  ta nói m là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu <br /> thức  P( x); P( x; y;...)  được kí hiệu  maxP=m . Nếu thõa mãn hai điều kiện sau: <br /> +  Với mọi  x  hay  x; y  để  P( x); P( x; y...) được xác định thì <br /> P( x) m; P( x; y;...) m    (m là hằng số)       (1)<br /> + Tồn tại  ( xο );( xο ; yο ; ...)  sao cho  P( x) = m; P( x; y;...) = m         (2)<br /> 2. Cho biểu thức  Q( x); Q( x; y;...)  ta nói n là giá trị nhỏ nhất (GTNN) <br /> của biểu thức Q( x); Q( x; y;...)  được kí hiệu  minQ=n . Nếu thõa mãn hai điều <br /> kiện sau : <br /> + Với mọi  x  hay  x; y  để  Q( x); Q( x; y;...) được xác định thì <br /> Q( x) n; Q( x; y;...) n    ( n là hằng số )       (3)1.<br /> + Tồn tại  ( xο );( xο ; yο ; ...)  sao cho  Q( x) = n; Q( x; y;...) = n          (4)<br /> Lưu ý : Trong tiếng latinh : Minimus (min) là nhỏ nhất<br />                                             Maximus (Max) là lớn nhất.<br /> Nội dung của đề tài chia ra 5 phần chính như sau :<br /> Phần 1. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP <br /> 7.<br /> Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT DẤU GIÁ <br /> TRỊ TUYỆT ĐỐI  <br /> Giáo viên cho học sinh nắm vững về khái niệm giá trị tuyệt đối.<br /> x khi x 0<br /> Ta có :  x = {­x khi x 1)<br /> x −1<br /> Giải<br /> 180 180<br /> Ta có  P = 5 x + = 5 ( x − 1) + + 5  ( do x > 1 ) <br /> x −1 x −1<br /> 180<br /> Hai số  5 ( x − 1) và   là hai số dương có tích không đổi (bằng 900) nên tổng <br /> x −1<br /> của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi<br /> 180<br /> 5 ( x − 1) = � x 2 − 2 x − 35 = 0<br /> x −1<br />   x = 7(TM )<br /> � ( x − 7 ) ( x + 5) = 0 �<br /> x = −5( KTM )<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 12<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> Khi đó  PMin = 65 � x = 7<br /> <br /> Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức R =<br /> ( x + 4 ) ( x + 9 )  (với x > 0)<br /> x<br /> Giải<br /> Biến đổi biểu thức R <br /> <br /> Ta có  R =<br /> ( x + 4) ( x + 9) = x+<br /> 36<br /> + 13  (do x > 0) <br /> x x<br /> 36<br /> Hai số  x và   là hai số dương có tích không đổi (bằng 36) nên tổng của <br /> x<br /> chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi<br /> 36<br />  x= � x=6<br /> x<br /> <br /> <br /> Do đó  RMIN = 25 � x = 6<br /> * Bài tập áp dụng : <br /> 1 + 4 x + 16 x 2<br /> Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức A =  (với x > 0)<br /> 2x<br /> <br /> Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức B = ( x + 100 )  (với x > 0)<br /> 2<br /> <br /> <br /> x<br /> 9<br /> Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức  C = x + −3<br /> x −1<br /> x<br /> Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức  D =<br /> ( x + 100 )<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 3 x 2 + 6 x + 10<br /> Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức  E =<br /> x2 + 2 x + 3<br /> Trên đây là một số dạng toán tìm GTLN, GTNN thường gặp ở học sinh lớp 8. <br /> Phần 3. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP <br /> 9<br /> Việc giải bài toán tìm GTLN, GTNN là một bài toán khó cần nhiều <br /> phương pháp tùy thuộc vào dạng của bài toán, đặc trưng của đề  bài, mà  <br /> người giải phải năng động phối hợp nhịp nhàng các giải pháp để giải quyết <br /> bài toán. Sau đây là một số phương pháp dành cho học sinh lớp 9.<br /> Dạng 1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÓ SẴN ĐỂ TÌM GTLN, GTNN <br /> CỦA BIỂU THỨC<br /> 1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối<br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 13<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> Ta luôn có :  a a ; ∀a R<br /> <br />                       x �a � −a �x �a  (với a > 0)<br /> x < −a<br />                       x a       ( với a > 0 )<br /> x>a<br /> 2. Bất đẳng thức cô ­si ( cauchy ) cho các số không âm<br /> a +b<br /> Nếu a, b là các số không âm thì  ab . Dấu  " = " khi a = b<br /> 2<br /> a +b+c<br /> Nếu a, b, c là các số không âm thì  3<br /> abc . Dấu  " = " khi a = b = c<br /> 3<br /> 2<br /> Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A = x +  (với x > 1)<br /> x −1<br /> Giải<br /> 2<br /> Vì x > 1 nên x – 1 và   là 2 số dương. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 <br /> x −1<br /> số không âm<br /> 2 2 2<br /> A= x+ = 1+ x −1 + 1+ 2 ( x − 1) = 1+ 2 2<br /> x −1 x −1 x −1<br /> 2<br /> Dấu‘ =’ xảy ra khi x – 1 =  � x = 1 + 2 ( TM )<br /> x −1<br /> Vậy  AMIN = 1 + 2 2 � x = 1 + 2<br /> 1<br /> Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức B = 3x 2 + ( với x > 0)<br /> x<br /> Giải<br /> Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dương.<br /> 1 1 1 1 1 3<br /> Biến đổi biểu thức  B = 3x 2 + = 3x 2 + + 3 3 3x2 . . = 33<br /> x 2x 2x 2x 2x 4<br /> 1 1 1<br /> Dấu‘ =’ xảy ra khi  3x 2 =  � x3 = � x = 3<br /> 2x 6 6<br /> <br /> 3 1<br /> Vậy  BMIN = 3. 3 �x= 3<br /> 4 6<br /> xy z − 1 + yz x − 2 + zx y − 3<br /> Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức  P = ( với <br /> xyz<br /> x 2, y 3, z 1  )<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 14<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> Giải<br /> z −1 x−2 y −3<br /> Rút gọn  P = + +<br /> z x y<br /> Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho từng cặp số  z − 1 và 1;<br /> x − 2  và 2;  y − 3  và 3<br /> <br /> 1 + ( z − 1) z z −1 1<br /> Ta có  z =1 �− 1=−( z 1)  <br /> 2 2 z 2<br /> <br />            x =2� =−2<br /> ( x − 2) 2 + ( x − 2) x x−2 1<br /> 2 2 2 2 2 x 2 2<br /> <br />            y =3� =−3<br /> ( y − 3) 3 + ( y − 3) y y −3 1<br /> 3 2 3 2 3 y 2 3<br /> <br /> 1� 1 1 �<br /> Vậy  PMax = �<br /> 1+ + �� x = 4, y = 6, z = 2<br /> 2� 2 3�<br /> <br /> Ví dụ 4. Tìm GTNN của biểu thức Q = 1 + 4 x + 4 x 2 + 4 x 2 − 12 x + 9  <br /> Giải<br /> Các biểu thức dưới dấu căn là hằng đẳng thức, do đó <br /> <br /> ( 1+ 2x) ( 3 − 2x)<br /> 2 2<br /> Q= + = 1+ 2x + 3 − 2x<br /> <br /> Mà  1 + 2 x + 3 − 2 x 1+ 2x + 3 − 2x = 4<br /> 1+ 2x 0 −1 3<br /> Dấu ‘ = ’ xảy ra khi  � x<br /> 3 − 2x 0 2 2<br /> −1 3<br /> Vậy  QMIN = 4 x<br /> 2 2<br /> * Bài tập áp dụng : <br /> Bài 1. Cho biết x + y = 4. Tìm GTLN của biểu thức E = x − 1 + y − 2  <br /> x −1 y−2<br /> Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức F = +  <br /> x y<br /> 1 1<br /> Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức  M = + (với x, y > 0 và x + y 1 )<br /> x +y<br /> 2 2<br /> xy<br /> 1 2<br /> Bài 4. Cho x, y >0 và x + y 1 . Tìm GTNN của biểu thức  N = + + 4 xy<br /> x +y<br /> 2 2<br /> xy<br /> x y z<br /> Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức  H = + +<br /> x +1 y +1 z +1<br /> <br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 15<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> Dạng 2. ĐỔI BIẾN VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐỐI VỚI BIẾN MỚI<br /> Đổi biến để tìm cực trị là một trong những cách giải hay để chúng ta tìm <br /> cực trị mới nhanh, dễ dàng cho học sinh tiếp cận, sau đây là một số ví dụ.<br /> Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức A = ( x 4 + 1) ( y 4 + 1)<br /> Biết  x; y 0 , x + y = 10<br /> Giải<br /> Để giải bài toán cần biến đổi biểu thức  A = ( x 4 + 1) ( y 4 + 1) = x 4 + y 4 + x 4 y 4 + 1<br /> Và ta có: <br /> x + y = 10 � x 2 + y 2 = 10 − 2 xy<br /> � x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 = 100 − 40 xy + 4 x 2 y 2<br /> � x 4 + y 4 = 100 − 40 xy + 2 x 2 y 2<br /> <br /> Đặt t = xy do đó  A = t 4 + 2t 2 − 40t + 101<br /> * Tìm GTNN của A<br /> A = t 4 + 2t 2 − 40t + 101 = ( t 2 − 4 ) + 10 ( t − 2 ) + 45 45<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Vậy  AMIN = 45 � t = 2 khi đó xy = 2 và  x + y = 10<br /> Nên x và y là nghiệm của phương trình <br /> 10 − 2 10 + 2<br /> x 2 − 10 x + 2 = 0 � x = �y=<br /> 2 2<br /> * Tìm GTLN của A<br /> 2 2<br /> �x + y � � 10 � 5 5<br /> Ta có  0 �xy= =��� � �<br /> �2 � � 0 t              ( 1)<br /> �2 � � � 2 2<br /> <br /> 125<br /> Ta có  A = t ( t 3 + 2t − 40 ) + 101  do  ( 1)  nên  t 3  và  2t 5<br /> 8<br /> 125<br /> t 3 + 2t − 40 + 5 − 40 < 0<br /> 8<br /> Còn  t 0  nên  A 101<br /> x=0<br /> y = 10<br /> Vậy  AMax = 101 � t = 0 tức là <br /> x = 10<br /> y=0<br /> <br /> a2 b2<br /> Ví dụ 2. Với a>1, b>1. Tìm GTNN của biểu thức B = +  <br /> a −1 b −1<br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 16<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> Giải<br /> Đặt  a − 1 = x > 0; b − 1 = y > 0<br /> ( x + 1) ( y + 1)<br /> 2 2<br /> x2 + 2x + 1 y2 + 2 y + 1 � 1 � � 1 �<br /> Ta có :  B = + = + = �x + �+ �y + �+ 4<br /> x y x y � x�� y�<br /> <br /> 1 1<br /> Với x>0, y>0 theo bất đẳng thức cô­si:  x + 2  ;  y + 2<br /> x y<br /> Nên  B 8 .Vậy BMIN = 8 � x = y = 1 � a = b = 2<br /> 5 − 3x<br /> Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức C =  <br /> 1 − x2<br /> Giải<br /> Đặt  1 + x = a; 1 − x = b  ta có a>0 ; b>0<br /> 5 − 3x 1+ x + 4 ( 1− x) a 2 + 4b 2 a 2 .4b 2 2.2ab<br /> Ta có :  C = = = 2 = =4<br /> 1 − x2 1 + x. 1 − x ab ab ab<br /> 3<br /> Vậy CMIN = 4 � a 2 = 4b 2  khi đó  x =<br /> 5<br /> * Bài tập áp dụng : <br /> Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức D = x x + y y  biết  x + y = 1<br /> x2 + y2<br /> Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức E =  với x > y > 0<br /> x− y<br /> 1 1<br /> Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức  F = +  với  x, y 0 <br /> x3 y 3<br /> 3<br /> Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức  G = x3 +  với  x R<br /> x2<br /> Dạng 3.  PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM <br /> SỐ<br /> x2<br /> Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y =              (1) <br /> x2 − 5x + 7<br /> Giải<br /> Để giải bài toán này ta xét điều kiện xác định của y<br /> 2<br /> 5� 3 3<br /> Ta có :  x − 5 x + 7 = �<br /> 2<br /> �x − �+  do đó TXĐ là  ∀x R<br /> � 2� 4 4<br /> Phương trình ( 1) biến đổi về dạng( có ẩn là x)<br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 17<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> ( 1) � yx 2 − 5 xy + 7 y = x 2 � ( y − 1) x 2 − 5 xy + 7 y = 0                     (2)<br /> 7<br /> * Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2)  � −5 x + 7 = 0 � x =<br /> 5<br /> * Trường hợp 2 : Với  y 1  khi đó phương trình (2) có ngiệm khi và chỉ khi<br /> y 1<br /> y 1 �y 1 �<br /> � �� 2 �� 28<br /> V 0 25 y − 28 y ( y − 1) 0 0 y<br /> 3<br /> <br /> Đến đây ta thấy  y = 0 � x = 0  vậy  yMIN = 0 � x = 0<br /> 28 14 28 14<br />               Ta có    y = � x =  vậy  yMax = � x =           <br /> 3 5 3 5<br /> Giải bài toán này học sinh cần nắm vững cống thức ngiệm của phương <br /> trình bậc hai. Coi y là tham số, x là ẩn số.<br /> Nhận xét : Phương pháp giải trên gọi là phương pháp miền giá trị của <br /> � 28 �<br /> hàm số. Đoạn  �<br /> 0; là tập giá trị của hàm số.<br /> � 3� �<br /> x2 − x + 1<br /> Ví dụ 2. Cho hàm số y =  (1). Tìm GTNN, GTLN của y<br /> x2 + x + 1<br /> Giải<br /> 3 3<br /> Vì  x 2 + x + 1 = ( x + 1) +<br /> 2<br />  nên TXĐ là  ∀x R<br /> 4 4<br /> Do đó y có nghiệm khi phương trình (1) theo ẩn x có nghiệm<br /> ( 1) � yx 2 + xy + y = x 2 − x + 1 � ( y − 1) x 2 + ( y + 1) x + ( y − 1) = 0                     (2)<br /> * Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2) có nghiệm x = 0<br /> * Trường hợp 2 : Với  y 1  khi đó phương trình (2) có ngiệm, điều kiện cần <br /> 1<br /> và đủ  V 0  tức là   ( y + 1−−<br /> ) ��<br /> 4 ( −−<br /> y �1) � 0 ( 3 y 1) ( y 3)<br /> 2 2<br /> 0 y 3<br /> 3<br /> 1 1<br /> Với  y = � x = 1  vậy  yMIN = � x = 1<br /> 3 3<br />         y = 3 � x = −1 vậy  yMax = 3 � x = −1           <br /> Tóm lại tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay <br /> và giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị.<br /> * Bài tập áp dụng : <br /> x2 − 8x + 7<br /> Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số  y =  <br /> x2 + 1<br /> <br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 18<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> 20 x 2 + 10 x + 3<br /> Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số  y =<br /> 3x 2 + 2 x + 1<br /> 2x −1<br /> Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số  y =<br /> x +x+4<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số  y = x + 42 2 x + 3<br /> 2<br /> <br /> <br /> x +1<br /> Phần 4. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ<br /> Sai lầm khi không chú ý đến điều kiện<br /> Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức  A = x + x + 1<br /> Cách giải sai :<br /> 2<br /> 1� 3 3<br /> Biến đổi biểu thức  A = x + x + 1 = �<br /> � x + �+<br /> � 2� 4 4<br /> 3 1 1<br /> Vậy GTNN của A là   khi  x + = 0 � x = −  (vô lí)<br /> 4 2 2<br /> Cách giải đúng : Vì  x 0  và  x 0  nên  A = x + x + 1 0 + 0 + 1 = 1  với ∀x 0<br /> Vậy GTNN của A là 1 khi x = 0<br /> 1<br /> Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức  B =<br /> x − 6 x + 11<br /> 2<br /> <br /> <br /> Lời giải sai :<br /> Phân thức B có tử không đổi nên B có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị <br /> nhỏ nhất.<br /> Ta có  x 2 − 6 x + 11 = x 2 − 6 x + 9 + 2 = ( x − 3) + 2 2<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> Do đó GTNN của  x 2 − 6 x + 11  là 2 khi  x = 3 . Vậy  BMax = � x = 3<br /> 2<br /> Phân tích sai lầm : Tuy đáp số  bài toán không sai nhưng lập luận sai khi  <br /> khẳng định phân thức B có tử không đổi nên B đạt GTLN khi mẫu nhỏ nhất.  <br /> Mà phải đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương.<br /> 1<br /> Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức  C =<br /> x − 25<br /> 2<br /> <br /> <br /> Lời giải sai :<br /> Phân thức C có tử không đổi nên C có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị <br /> nhỏ nhất.<br /> 1<br /> Mà  x 2 − 25 −25  nên  BMax = − � x=0<br /> 25<br /> <br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 19<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> 1<br /> Điều này không đúng vì  −  không phải là giá trị lớn nhất. Chẳng hạn x = 6 <br /> 25<br /> 1 1<br /> thì  B = > −<br /> 11 25<br /> Những sai lầm trong phương pháp giải bài toán cực trị khi sử dụng bất <br /> đẳng thức cô­si<br /> <br /> Ví dụ 4. Cho a>0 ; b> 0 và x>0. Tìm GTLN của biểu thức  D =<br /> ( x + a) ( x + b)<br /> x<br /> Lời giải sai :<br /> Áp dụng bất đẳng thức cô­si cho hai số không âm, ta có :<br /> x+a 2 ax        ( 1)<br /> <br /> x+b 2 bx        ( 2)<br /> <br /> Do đó <br /> ( x + a) ( x + b) 2 ax.2 bx<br /> = 4 ab<br /> x x<br /> Vậy  DMIN = 4 ab � x = a = b<br /> Phân tích sai lầm : Ở ( 1), ( 2) dấu đẳng thức ra khi x = a và x = b như vậy <br /> bài toán đòi hỏi a = b nếu  a b thì không có được  D = 4 ab<br /> Lời giải đúng : Ta thực hiện phép tính và tính các hằng số <br /> D=<br /> ( x + a) ( x + b) =<br /> x 2 + ax + bx + ab � ab �<br /> = �x + �+ ( a + b )<br /> x x � x �<br /> ab ab<br /> Áp dụng bất đẳng thức cô­si cho 2 số  x  và  . Ta có  x + 2 ab<br /> x x<br /> <br /> Nên  D 2 ab + a + b = ( a + b )<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ab<br /> x=<br /> Vậy  DMIN = ( a + b )<br /> 2<br /> �� x x = ab<br /> x>0<br /> <br /> Khi giải bài toán cực trị thường mắc những sai sót, sai lầm không đáng <br /> có. Nên tôi xin nhấn mạnh một số  sai lầm trên mong đồng nghiệp góp ý <br /> thêm. <br /> Ngoài ra để bổ sung việc dạy và học tốt vấn để giải toán cực trị thì tôi <br /> xin đưa ra phương pháp giải toán cực trị bằng máy tính bỏ túi.<br /> Phần 5. GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI<br /> Giáo viên nên sử dụng máy tính fx­570VN PLUS, máy tính này có nhiều <br /> chức năng mới. Ta có thể vận dụng để giải bài toán cực trị.<br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 20<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> 1, 4 x − 5,3<br /> Ví dụ 1. Cho hàm số A =  ( 1). Tìm GTNN, GTLN của biểu <br /> 3, 7 x 2 + 0, 2 x + 3<br /> thức A( làm tròn 4 chữ số thập phân)<br /> Giải<br /> 1, 4 x − 5,3<br /> Đặt  y = ( 2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai <br /> 3, 7 x 2 + 0, 2 x + 3<br /> có ẩn x, còn y là tham số<br /> ( 2 ) � 3, 7 yx 2 + ( 0, 2 y − 1, 4 ) x + ( )<br /> 3 y + 5,3 = 0                     ( 3)<br /> <br /> 53<br /> * Trường hợp 1 : Với y = 0 khi đó phương trình ( 3) có nghiệm  x =<br /> 14<br /> * Trường hợp 2 : Với  y 0  khi đó phương trình ( 3) có ngiệm, điều kiện <br /> ( 0, 2 y − 1, 4 )<br /> 2<br /> − 4.3, 7 y ( 3 y + 5,3 ) 0<br /> cần và đủ  V 0  tức là   �<br /> ( 0, 2 2<br /> )<br /> − 4.3, 7. 3 y 2 − ( 2.0, 2.1, 4 + 4.3, 7.5,3 ) y + 1, 4 2 �0<br /> <br /> Ấn trên máy      (INEQ)   <br /> 0, 22 − 4.3, 7. 3 = − ( 2.0, 2.1, 4 + 4.3, 7.5,3 ) = 1, 4 2 =<br /> <br /> Kết quả  −3,1112 y 0,0246<br /> Vậy  AMIN = −3,1112<br />         AMax = 0, 0246           <br /> x2 + 2<br /> Ví dụ 2. Cho hàm số B =  (1). Tìm GTNN, GTLN của biểu thức B<br /> x2 + x + 2<br /> Giải<br /> x2 + 2<br /> Đặt  y = (2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai có ẩn x, <br /> x2 + x + 2<br /> y là tham số<br /> ( 2 ) � ( y − 1) x 2 + yx + ( 2 y − 2 ) = 0                          (3)<br /> * Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (3) có nghiệm  x = 0<br /> * Trường hợp 2 : Với  y 1  khi đó phương trình (3) có ngiệm, điều kiện cần <br /> y 2 − 4. ( y − 1) ( 2 y − 2 )<br /> và đủ  V 0  tức là   � −7 y + 6 y − 8 �02<br /> 0<br /> <br /> <br /> Ấn trên máy      (INEQ)   <br /> −7 = 16 = −8 =<br /> 8−2 2 8+2 2<br /> Kết quả  y<br /> 7 7<br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 21<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> 8−2 2<br /> Vậy  BMIN =<br /> 7<br /> 8+2 2<br /> BMax =           <br /> 7<br /> * Bài tập áp dụng : <br /> x−3<br /> Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức  C =  <br /> x + 2x + 3<br /> 2<br /> <br /> <br /> 2014, 2015 x 2 − 2 x + 2016, 2017<br /> Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức  D =<br /> 2018, 2019 x 2<br /> 2x −1<br /> Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số  y =<br /> x +x+4<br /> 2<br /> <br /> <br /> Tóm lại để giải được các bài tập trên, học sinh phải nắm chắc công thức  <br /> nghiệm phương trình bậc hai và giải bất phương trình bậc hai bằng máy tính <br /> thành thạo. <br /> 3. Giải pháp, biện pháp :<br /> 3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :<br /> Học sinh nhận thức được giải toán cực trị  không hề  khó nếu chúng ta <br /> biết sử dụng đúng phương pháp và suy luận tốt thì sẽ gặt hái thành công nhất  <br /> định.<br /> 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp :<br /> ­Nội dung các dạng toán cực trị.<br /> ­Phương pháp giải mỗi dạng toán.<br /> ­Các bài tập mẫu cho từng dạng.<br /> ­Bài tập tự rèn cho học sinh.<br /> 3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp.<br /> Giúp học sinh phân loại và vận dụng tốt các phương pháp giải toán cực  <br /> trị  (phần đại số) một cách nhanh chóng có hiệu quả  .Pháp huy tính tích cực  <br /> học tập trong mỗi học sinh.<br /> 3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:<br /> Giữa giải pháp và biện pháp có mối quan hệ chặc chẻ với nhau, các bài  <br /> toán cực trị đòi hỏi học sinh nắm vững chắc các kiến thức về cực trị từ thấp  <br /> đến cao ,từ đơn giản đến phức tạp,vận dụng thành thạo các kỹ năng biến đổi <br /> ,từ lý thuyết đến thực hành.<br /> 3.5. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học :<br /> <br /> <br />  Phạm Thị Nga ­Trường THCS Lê Quý Đôn ­ DraySap ­ Krông Ana ­ Đăklăk 22<br /> Sáng kiến kinh nghiệm                    Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại <br /> số)<br /> Bằng cách kiểm tra trên phiếu học tập của học sinh, qua các lần  kiểm  <br /> tra chất lượng bài làm có nhiều khã quan hơn.<br /> 4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học.<br /> Qua nhiều năm giảng dạy và trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi chất  <br /> lượng   học   tập   của   học   sinh   càng   ngày   nâng   cao   hơn   qua   kết   quả   khảo  <br /> nghiệm.<br /> Năm học 2013­2014: kiểm tra 20 HS trên trung bình 12 em đạt 60%<br /> Năm học 2014­2015: kiểm tra 20 HS trên trung bình 15 em đạt 75%<br /> III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:<br /> 1. Kết luận:<br /> Trong thực tế  giảng dạy, khi áp dụng phương pháp giải dạng toán cực  <br /> trị, học sinh nắm vững kiến thức và học sinh rất hứng thú với dạng bài tập  <br /> này.<br /> Dựa vào kết quả  trên ta có thể  thấy học sinh nắm vững kiến thức về <br /> giải toán cực trị ngày càng khả quan hơn.<br /> Qua nhiều