SKKN: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

97
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp bài toán tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với những nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến cấp cơ sở Tên tôi là: Nguyễn Thành Tiến Chức vụ (nếu có): Giáo viên Đơn vị/địa phương: Trường THPT Yên Lạc 2. Điện thoại: 0985.19.22.66 Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến cấp cơ sở xem xét và công nhận sáng kiến cấp cơ sở cho tôi đối với sáng kiến/các sáng kiến đã được Hội đồng Sáng kiến cơ sở công nhận sau đây: Tên sáng kiến: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật, không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu trách nhiệm về thông tin đã nêu trong đơn. Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị Yên lạc, ngày 10 tháng 03 năm 2020 (Ký tên, đóng dấu) Người nộp đơn (Ký tên, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thành Tiến
MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu: Trong chương trình toán THPT, số phức được đưa vào giảng dạy ở gần cuối chương trình lớp 12. Đây là một nội dung mới đối với học sinh 12 và thực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế: sách giáo khoa hay sách bài tập thì các bài tập về số phức đưa ra chủ yếu là các bài toán đơn giản như cộng hay trừ số phức, tìm phần thực phần ảo của số phức, tìm môđun của số phức, giải phương trình bậc hai …. Bên cạnh đó, các bài toán số phức xuất hiện trong các đề thi trong những năm gần đây ngày càng nhiều và chủ yếu ở mức độ VDVDC, không theo một khuân mẫu nào cả đặc biệt là các bài toán về cực trị số phức. Để giải được các bài toán này đòi hỏi các em phải có một kiến thức cơ bản thật vững về số phức như: phần thực, phần ảo, biểu diễn hình học của
số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp,… kết hợp với các kiến thức về điểm, đường thẳng, đường tròn và đường elip thì các em sẽ giải quyết tốt các bài toán ở dạng này Với mong muốn giúp các em giải được các bài toán về cực trị số phức tôi đã sưu tầm các bài toán số phức trong các đề thi THPTQG qua mấy năm gần đây và có chia dạng chúng nhằm giúp các em tiếp cận các bài toán cực trị về số phức đồng thời cũng giúp các em có cái nhìn tổng quát về dạng toán này. Vì vậy tôi đã chọn đề tài: Một số dạng toán cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học. Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân dạng có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để tài liệu này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cám ơn. 2. Tên sáng kiến: Một số dạng toán về cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học 3. Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thành Tiến 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 09/2019 7. Mô tả bản chất sáng kiến: Về nội dung của sáng kiến: Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một vấn đề là rất quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp bài toán tương tự nhau. Trong dạy học giáo viên có nhiệm vụ thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với những nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ, có hướng đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công. Do vậy việc trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của giáo viên. Sáng kiến trình bày một số dạng toán số phức về tìm cực trị hay gặp trong các đề thi THPTQG bằng phương pháp hình học.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Một số khái niệm: Sô ph ́ ức được biêu diên trên măt phăng toa đô b ̉ ̃ ̣ ̉ ̣ ̣ ởi điêm ̉
y Q(a;b)→ z=a+bi M(a;b)→ z=a+bi z φ=arg(z) x O P(a;b) → z=abi N(a;b) → z=abi ̉ ̉ ̃ ́ ức liên hợp là đôi x Điêm biêu diên sô ph ́ ứng với qua . ̉ ̉ ̃ ́ ức đôi la đôi x Điêm biêu diên sô ph ́ ̀ ́ ứng với qua . ̉ ̉ ̃ ́ ức la đôi x Điêm biêu diên sô ph ̀ ́ ứng với qua . ̉ ́ ức la . Mô đun cua sô ph ̀ 2. Nêu biêu diên cho sô ph ́ ̉ ̃ ́ ức , thì ̉ ̀ ̉ ̃ ́ ức . Trung điêm la biêu diên sô ph . 2. Công thức trung tuyến: 3. Công thức trọng tâm tam giác: Nêu biêu diên cac sô ph ́ ̉ ̃ ́ ́ ức thi trong tâm cua tam giac ̀ ̣ ̉ ́ ̉ ̃ ́ ức. biêu diên sô ph 4. Môđun của số phức: Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu Tính chất  Chú ý: . Lưu ý:  dấu bằng xảy ra  dấu bằng xảy ra .  dấu bằng xảy ra
 dấu bằng xảy ra   5. Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ Quỹ tích điểm M (1) (1)Đường thẳng (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với hoặc Đường tròn tâm , bán kính hoặc Hình tròn tâm , bán kính hoặc Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm , bán kính lần lượt là Parabol hoặc Elip Elip nếu Đoạn AB nếu Hypebol B. NỘI DUNG Dạng 1. Điểm và đường thẳng Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. . B. . C. . D. .  Lời giải Giả sử , số phức có điểm biểu diễn là điểm Ta có: Ta thấy điểm di chuyển trên đường thẳng nên nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu của điểm lên đường thẳng .
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với là . Do đó, tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình Suy ra Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn và nhỏ nhất. Môđun của số phức bằng A. B. C. D.  Lời giải Đặt và là điểm biểu diễn của số phức . Gọi . Ta có . Theo giả thiết Suy ra thuộc đoạn kéo dài ( nằm giữa và ). Lại có nên nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất (với ). Ta có: và hoặc Do đó Ví dụ 3. Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của bằng A. B. C. D.  Lời giải Đặt và là điểm biểu diễn số phức Từ suy ra tập hợp điểm là đường thẳng
Ta có với Dựa vào hình vẽ ta thấy . Ví dụ 4. Xét các số phức thỏa mãn Môđun lớn nhất của số phức là A. B. C. D.  Lời giải Đặt và là điểm biểu diễn số phức Từ ta suy ra . Do đó tập hợp điểm là đường thẳng Ta có với Dựa vào hình vẽ ta thấy suy ra . Ví dụ 5: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. B. C. D.  Lời giải Ta có  TH 1. Với Khi đó  TH 2. Với z. Đặt và là điểm biểu diễn số phức Từ ta suy ra tập hợp điểm là đường thẳng
Ta có với Dựa vào hình vẽ ta thấy suy ra . So sánh hai trường hợp ta thấy Ví dụ 6: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A. B. C. D.  Lời giải Gọi và .  . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên .  . Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là phần gạch chéo như trên đồ thị có tính biên . Dựa vào hình vẽ ta thấy . Dấu xảy ra khi và chỉ khi , và Dạng 2. Điểm và đường tròn Ví dụ 1: Xét các số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Tính A. B. C. D.
 Lời giải Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính . Khi đó Ví dụ 2: Xét các số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức lần lượt là A. và . B. và . C. và . D. và .  Lời giải Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính Ta có với Vậy Ví dụ 3: Xét các số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Tính A. B. C. D.  Lời giải Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính .
Khi đó Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A. B. C. D.  Lời giải Từ tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính Theo giả thiết với Dựa vào hình vẽ ta thấy Ví dụ 5: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. B. C. D.  Lời giải Từ suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính
Theo giả thiết ta có với Dựa vào hình vẽ ta thấy Ví dụ 6: Xét các số phức thỏa mãn Trong các số phức thỏa mãn gọi và lần lượt là số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất. Khi đó bằng A. B. C. D.  Lời giải Từ tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính Ta có với Dựa vào hình vẽ ta thấy  Dấu xảy ra  Dấu xảy ra Vậy Ví dụ 7: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là A.. B.. C.. D..  Lời giải
Gọi ta có . Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm trên đường tròn tâm bán kính . Ta có . Gọi và thì . Do chạy trên đường tròn, cố định nên lớn nhất khi là giao của với đường tròn. Phương trình , giao của và đường tròn ứng với thỏa mãn: nên . Tính độ dài ta lấy kết quả . Lưu ý: Cho số phức thỏa mãn , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số phức là đường tròn ) và Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi Dạng 3. Điểm và elip Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần lượt là A. và B. và C. và . D. và .  Lời giải Gọi , . Theo giả thiết, ta có Gọi , và . Khi đó nên tập hợp các điểm là đường elip .
Ta có ; và . Do đó, phương trình chính tắc của là . Vậy và . Ví dụ 2. Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Khi đó bằng A. B. C. D.  Lời giải Gọi với và là điểm biểu diễn số phức . Gọi . Khi đó Suy ra điểm thuộc vào elip Do đó: Ví dụ 3: Cho số phức thay đổi thỏa mãn . Trong mặt phẳng tọa độ, gọi là điểm biểu diễn và . Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác . A. . B. . C. . D. .  Lời giải
Gọi là điểm biểu diễn số phức và là điểm biểu diễn số phức thì đối xứng nhau qua . Diện tích tam giác là . Do nên tập hợp biểu diễn là Elip . Do đó: Câu 4. Cho số phức thỏa mãn . Tìm khi đạt giá trị lớn nhất. A. B. C. D.  Lời giải Ta có Suy ra điểm di chuyển trên đường tròn tâm có tâm . Gọi , Dạng 4. Đường thẳng và đường tròn Ví dụ 1: Xét các số phức thỏa mãn và các số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của bằng A. B. C. D.  Lời giải Gọi . Ta có tập hợp các số phức là đường thẳng  tập hợp các số phức là đường tròn có tâm bán kính
Khi đó biểu thức là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc . Từ đó suy ra Ví dụ 2: Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. . B. . C. . D. .  Lời giải Đặt Ta có  tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như hình vẽ). Gọi miền này là  tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn có tâm bán kính Khi đó biểu thức là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc . Từ đó suy ra Ví dụ 3: Xét các số thức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng A. B. C. D.  Lời giải Gọi . Ta có
 tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ , kể cả bờ (miền tô đậm). Gọi miền này là  tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm bán kính Như vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là giao của và . Đó chính là phần cung tròn nét liền như trên hình vẽ (có tính 2 điểm đầu mút của cung). Khi đó với và là khoảng cách từ điểm đến một điểm thuộc cung tròn . Từ đó suy ra Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. B. C. D.  Lời giải Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức  tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như hình vẽ).  suy ra thuộc phần chung của hai hình tròn và (phần gạch sọc như hình vẽ). Ta có nên nhỏ nhất khi ngắn nhất. Dựa vào hình vẽ ta thấy ngắn nhất khi và Ví dụ 5: Cho là số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Giá trị bằng A. B. C. D.
 Lời giải Ta có Suy ra tập hợp các điểm thỏa yêu cầu bài toán nằm trên miền tô đậm được giới hạn bởi đường thẳng và đường tròn có tâm bán kính (kể cả biên) như hình vẽ. Ta có với Gọi giao điểm của và là là giao điểm của đoạn với Dựa vào hình vẽ ta thấy   Vậy Ví dụ 6: Xét các số phức thoả mãn và là số thực. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tính . A. B. C. D.  Lời giải Đặt Gọi lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức Suy ra Do đó từ Suy ra đường thẳng có VTPT  tập hợp các điểm là đường tròn có tâm bán kính  tập hợp các điểm là đường thẳng
Gọi là góc giữa và , ta có Theo yêu cầu bài toán ta cần tìm GTLN và GTNN của Do nên suy ra không cắt Gọi là hình chiếu của trên , ta có Bài tập tổng hợp Câu 1: Xét các số phức thỏa mãn . Tính , biết rằng đạt giá trị nhỏ nhất A. B. C. D.  Lời giải Cách 1. Ta có Gọi và . Khi đó
Lấy điểm suy ra Vì đồng dạng với nhau nên . Do đó Dấu “=” xảy ra Câu 2: Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. B. C. D.  Lời giải Từ giả thiết, ta có Điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn tâm , bán kính Điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn tâm , bán kính Từ và suy ra Câu 3. Xét các số phức thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất. A. B. C. D.  Lời giải Giả sử có điểm biểu diễn là .