SKKN: Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng

1<br /> <br /> THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN<br /> 1.Tên sáng kiến: “ Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng”<br /> 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học<br /> 3.Thời gian áp dụng sáng kiến:<br /> Từ ngày 10 tháng 10 năm 2014 đến ngày 10 tháng 05 năm 2016<br /> 4. Tác giả:<br /> Họ và tên: NGUYỄN ĐÌNH DÙNG<br /> Ngày sinh: 12/08/1975<br /> Nơi thƣờng trú: Trực Thanh, Trực Ninh, Nam Định<br /> Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học.<br /> Chức vụ công tác: Phó hiệu trƣởng.<br /> Nơi làm việc: Trƣờng THPT Trực Ninh.<br /> Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Đình Dùng xã Trực Thanh,Trực Ninh, Nam Định<br /> Điện thoại: 0917493236<br /> Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến 100%<br /> 5. Đồng tác giả (nếu có): không<br /> Họ và tên………………………………………………….<br /> Năm sinh: …………………………………………………<br /> Nơi thƣờng trú: …………………………………………...<br /> Trình độ chuyên môn: …………………………………….<br /> Chức vụ công tác: …………………………………………<br /> Nơi làm việc: ………………………………………………<br /> Địa chỉ liên hệ: …………………………………………….<br /> 6.Đơn vị áp dụng sáng kiến:<br /> Tên đơn vị: Trƣờng THPT Trực Ninh.<br /> Địa chỉ: TT Cát Thành – huyện Trực Ninh – tỉnh Nam Định.<br /> Điện thoại: 03503883099.<br /> <br /> 2<br /> <br /> BÁO CÁO SÁNG KIẾN<br /> I.<br /> <br /> Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến<br /> <br /> Trong chƣơng trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề<br /> thi chọn học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập liên quan đến dãy số rất phong<br /> phú, đa dạng. Hiện nay trong các trƣờng THPT nói chung nhiều giáo viên bộ<br /> môn Toán đã khai thác có hiệu quả các vấn đề liên quan đến dãy số, tuy nhiên<br /> việc đi sâu tìm hiểu để dạy, bồi dƣỡng, học sinh giỏi các cấp về dạng bài tập<br /> cho học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy số trong chƣơng trình Toán phổ<br /> thông còn hạn chế. Đặc biệt việc bổ sung nguồn tài liệu cho giáo viên tổ<br /> Toán của nhà trƣờng để tham khảo và ôn thi cho học sinh lớp 11,12 nhằm<br /> mục đích cho học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi tỉnh và kì thi học sinh<br /> giỏi quốc gia .<br /> Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục<br /> vụ ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trƣờng THPT , tôi chọn hƣớng<br /> nghiên cứu để viết báo cáo sáng kiến với đề tài: "Một số dạng toán về dãy số<br /> và ứng dụng" với mục đích: Hệ thống và đƣa ra lời giải một cách chi tiết cho<br /> một số dạng bài toán về dãy số và ứng dụng trong bồi dƣỡng học sinh giỏi<br /> Toán ở THPT.<br /> Nhiệm vụ chính của sáng kiến bao hàm:<br /> (1). Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về dãy số, một số tính chất về dãy số và<br /> một số ứng dụng của dãy số đƣợc giới thiệu trong chƣơng trình phổ thông.<br /> (2). Chọn lọc một số dạng bài tập liên quan đến dãy số thƣờng xuất hiện trong<br /> các đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia và cố gắng đƣa ra lời<br /> giải tƣờng minh cho những bài tập mà tài liệu tham khảo chƣa đƣa ra lời giải<br /> chi tiết.<br /> II. Mô tả giải pháp<br /> 1.Trước khi tạo ra sáng kiến<br /> <br /> 3<br /> <br /> Trong chƣơng trình toán THPT dạng toán dãy số là khá mới mẻ với học<br /> sinh, trong các kì thi chất lƣợng của nhà trƣờng rất ít đề cập đến dạng toán về<br /> dãy số ở dạng vận dụng và vận dụng cao, vì vậy nguồn tài liệu ôn tập thƣờng<br /> xuyên cho học sinh khá giỏi là không nhiều. Với học sinh khá giỏi niềm say<br /> mê toán học không chỉ dừng lại mức độ nhận biết, mà biết vận dụng, vận<br /> dụng cao. Đặc biệt hằng năm UBND tỉnh và Sở giáo dục tổ chức thi để tuyển<br /> chọn học sinh giỏi của tỉnh đi tham dự thi kì thi học sinh giỏi quốc gia, đối<br /> tƣợng học sinh THPT không chuyên thƣờng lúng túng về dạng toán về dãy số<br /> vì do học sinh ít đƣợc tiếp cận biết đƣợc cách làm. Trong quá trình giảng dạy<br /> đội tuyển học sinh giỏi , nhiều em học sinh có tâm lý lo sợ khi gặp bài toán<br /> này, mặc dù niềm say mê toán học của các em vẫn có song do tiếp cận ít nên<br /> các em không tự tin giải dạng toán này. Vì vậy việc phân chia một số dạng<br /> toán về dãy và ứng dụng giúp các em tự định ra phƣơng pháp, kinh nghiệm<br /> cho bản thân để tiếp tục nâng cao niềm say mê toán học của các em, các đồng<br /> nghiệp có nguồn tài liệu tham khảo để giảng dạy.<br /> 2. Sau khi có sáng kiến<br /> Sáng kiến này viết theo cấu trúc gồm 2 chƣơng bao hàm kiến thức chuẩn<br /> bị và phân ra các dạng toán về dãy số, đặc biệt nêu một số ứng dụng của dãy<br /> số giúp học sinh giải quyết đƣợc rất nhiều dạng bài trong các đề thi chọn học<br /> sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia nhƣ bất đẳng thức, các bài hình học…<br /> Dạng toán về dãy số và ứng dụng sẽ mang lại cho học sinh nhiều kinh<br /> nghiệm, định hƣớng giải về toán dãy số.Học sinh say mê toán học tìm thấy rất<br /> nhiều điều bổ ích, không ngại giải những dạng bài này.<br /> <br /> 4<br /> <br /> III.<br /> <br /> NỘI DUNG.<br /> Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> <br /> 1.1. Dãy số<br /> 1.1.1. Định nghĩa<br /> Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dƣơng ℕ∗ đƣợc gọi là<br /> một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:<br /> u: ℕ∗<br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> <br /> u(n)<br /> <br /> Dãy số thƣờng đƣợc viết dƣới dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un, … trong<br /> đó u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của<br /> dãy số.<br /> Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m <br /> <br /> *<br /> <br /> đƣợc gọi<br /> <br /> là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của của dãy số hữu hạn: u1, u2,<br /> u3,…,um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.<br /> Dãy số (un) đƣợc gọi là:<br /> - Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, …<br /> - Dãy đơn không giảm nếu un+1  un, với moi n = 1, 2, …<br /> - Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2, …<br /> - Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1  un, với mọi n = 1, 2, …<br /> Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M, với mọi<br /> n = 1, 2, …; đƣợc gọi là dãy số bị chặn dƣới nếu tồn tại số m sao cho un > m,<br /> với mọi n = 1, 2, …; Một dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn<br /> dƣới.<br /> Dãy số (un) gọi là tuần hoàn với chu kì k nếu un + k = un, với  n <br /> <br /> *<br /> <br /> .<br /> <br /> Dãy số (un) gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N0 sao cho un = C với<br /> mọi n  N0, (C là hằng số, gọi là hằng số dừng).<br /> 1.1.2. Cách xác định một dãy số<br /> i). Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát<br /> <br /> 5<br /> <br /> n<br /> <br /> 1  1 5 <br /> 1  1 5 <br /> Ví dụ: un  <br />  <br /> <br /> <br /> 5 2 <br /> 5 2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> <br /> ii). Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi<br /> Ví dụ: Dãy số (un) đƣợc xác định bởi:<br /> u1  1, u2  50<br /> <br /> un1  4un  5un1  1975 n  2,3, 4...<br /> <br /> iii). Dãy số cho bằng phương pháp mô tả<br /> Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98. Với mỗi số nguyên n  1, xác định an +2<br /> bằng số dƣ của phép chia an + an +1 cho 100.<br /> 1.1.3 Giới hạn của dãy số<br /> Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là hằng số thực a hữu<br /> hạn nếu với mọi số dƣơng  (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số<br /> <br /> n0 <br /> <br /> thể phụ thuộc vào  và vào dãy số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số<br /> <br /> (n0 có<br /> n<br /> <br /> ,<br /> <br /> n  n0 ta luôn có un  a   . Khi đó kí hiệu lim un  a hoặc limun = a và còn<br /> n <br /> <br /> nói rằng dãy số (un) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.<br /> Định lý 1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất<br /> Định lý 2 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass):<br /> a). Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.<br /> b). Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.<br /> c). Một dãy số giảm và bị chặn dƣới thì hội tụ.<br /> Định lý 3 : Nếu (un)  a và (vn)  (un), (vn)  C thì (vn)  a.<br /> Định lý 4 (Định lý kẹp giữa về giới hạn):<br /> Nếu với mọi n  n0 ta luôn có un  xn  vn và limun = limvn = a thì limxn<br /> = a.<br /> Định lý 5 (Định lý Lagrange):<br /> Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong<br /> khoảng (a; b) thì tồn tại c  (a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a).<br /> Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro):<br /> <br />