intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sự ổn định của sơ đồ sai phân theo phương pháp đặc trưng đối với dòng chảy một chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST
Báo xấu
3
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp đặc trưng là một trong các phương pháp kinh điển để tìm nghiệm địa phương cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Bài viết này trình bày kết quả về sự ổn định của sơ đồ sai phân theo phương pháp đặc trưng đối với dòng chảy một chiều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự ổn định của sơ đồ sai phân theo phương pháp đặc trưng đối với dòng chảy một chiều

  1. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN THEO PHƯƠNG PHÁP ĐẶC TRƯNG ĐỐI VỚI DÒNG CHẢY MỘT CHIỀU Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Chezy. Hệ phương trình (1) có thể viết dưới dạng đặc trưng với các ẩn hàm u (x , t ) và Phương pháp đặc trưng (xem [3]) là một trong các phương pháp kinh điển để tìm z (x , t )  2 gH sao cho mỗi phương trình nghiệm địa phương cho phương trình đạo chứa các đạo hàm theo một hướng duy nhất. hàm riêng phi tuyến. Báo cáo này trình bày Một trong các dạng đó là kết quả về sự ổn định của sơ đồ sai phân theo  u u   z z  phương pháp đặc trưng đối với dòng chảy  t  C1 x    t  C1 x   gS   u     một chiều.  (2)  u  C u    z  C z   gS   u 2. NỘI DUNG BÁO CÁO  t  2   x   t 1  x  Hệ phương trình nước nông một chiều trong đó C1  u  gH và C2  u  gH là (xem [2]) mô phỏng dòng chảy không dừng các độ dốc của các đăc trưng. Với ký hiệu hai trong kênh hình chữ nhật, được suy ra từ định hướng đặc trưng là  1 và  2 thì hệ (2) được luật bảo toàn có dạng: rút gọn thành:  u u H   u  u g  gS   u z   t x x  1     gS   u  H H u (1)    1  1     u H 0  (3)  t  x x    u z   2      gS   u trong đó:   2  2   + u ( x, t ) là vận tốc trung bình của dòng     2 2 chảy. trong đó  1  1  C 12,  2  1 C2 . 2 + H (x , t )  h(x )  (x , t ) là độ sâu của Để giải số hệ phương trình (3), ta vẽ hai nước tính từ đường chuẩn.  đường đặc trưng đi qua điểm x i , t k 1 với độ  + h( x) là phương trình đáy. dốc là các giá trị C1 và C2 tại thời điểm t k . + (x , t ) là cao trình mặt nước tính từ Ký hiệu x i a và x i b là hai giao điểm của hai đường chuẩn. + g là gia tốc trọng trường. đường đặc trưng  1 và  2 tương ứng qua +  là hệ số ma sát.  điểm x i , t k 1  với đường thẳng t  t k . Khi dh đó a và b được xác định như sau: +S  là độ dốc đáy.  t  k t   dx Thông thường hệ số ma sát đáy được cho a  C 1 i a   u i a  gH ika   x   x  (4) t  k k  t u bởi:   g 2 , trong đó CZ là hệ số ma sát b  C     12 i b  u  gH i b x  i b   x  CZH 94
  2. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5 Các phương trình (3) được rời rạc hóa dọc và S  0 . Với giả thiết này, hệ phương trình theo các đường đặc trưng, khi đó ta nhận (5) được rút gọn thành: được các phương trình sai phân: (u ik 1  u ika )  (z ik 1  z ika )  ì (u k + 1 - u k ) + (z k + 1 - z k ) = ï i  ï ï i- a i i- a   t . (1   )u ika   u ik 1    (10) ï é - g k (1 - a )u k + a u k + 1 ï ï ï = Dt. ê i ë gS ( )ù (5) ú û  k 1 (u i  u ikb )  (z ik 1  z ikb )   i- a i- a i í k+ 1 ï (u i - u i - b ) - (z ik + 1 - z ik- b ) = ï k  ï  t . (1   )u ikb   u ik 1    ï = D t . é i - gik- b (1 - a )u ik- b + a u ik + 1  ï ï ï î ê ë gS ( )ù ú û trong đó a và b là các hằng số. Từ (10) ta có: trong đó 0    1 . u ik 1  1  (1   )t   Với:    (u i a  u i b )  (z i a  z i b ) k k k k + a = 0 sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân   hiện.  2(1  t )  k 1 (11) + a = 1 sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân ẩn. z i  1  (1   )t     +a = 1 sơ đồ sai phân là sơ đồ sai phân.  (u i a  u i b )  (z i a  z i b ) k k k k 2   Crank – Nicolson (xem [1]).  2 Nói chung a và b không phải là số nguyên Sử dụng phương pháp Fourier để chứng nên i  a và i  b không thể là các điểm mắt minh sự ổn định của sơ đồ sai phân, cụ thể lưới. Do đó ta phải sử dụng công thức nội suy như sau. Các hàm u ik , z ik trong (11) được đặt để xấp xỉ u ika , z ika , u ikb và zikb , Hika , Hikb . Để bằng U ke Ii và Z ke Ii tương ứng, trong đó xác định a , ta tìm số nguyên n sao cho: I 2  1 và 0 £ q < 2p . Thế vào (11) sẽ được   x i n 1  C 1 t  x i  i n 1 hệ sau:   (6) ì U k + 1e Iiq = é - (1 - a ) gD t ù´  x i n  C 1 t ï ï 1 ë û i n ï ï I (i - a )q I (i - b)q k I (i - a )q ï (e +e )U + (e - e I (i - b)q )Z k Đặt a  n  p, 0  p  1 với p được xác ï ´ ï ï 2(1 + a gD t ) định từ phương trình í k + 1 Iiq (12) ï Z e = é - (1 - a ) gD t ù´ ï 1 ï ë û ù. D t ï n + p = é - p) ( 1 ) + p ( 1 ) ï I (i - a )q (1 C C (7) ï ´ (e - e I (i - b)q )U k + (e I (i - a )q + e I (i - b)q )Z k ê ë i- n i- n - 1 ú D x û ï ï î 2 Với n và p đã biết, khi đó u ika và z ika Các phương trình (12) có thể đơn giản hóa được xác định bởi nội suy tuyến tính thành: u ika  (1  p)u ikn  pu ikn 1   k 1 1  k (8) U  1  t  z i a  (1  p)z ikn  pz ikn 1      e Ia  e Ib k e Ia  e Ib k      1  (1   )t    U  Z  Cách xác định b, u ikb và z ikb hoàn toàn    2 2    k 1 e  Ia e  Ib e  Ia e  Ib Z  1  (1   )t  U  k tương tự, chỉ cần thay thế C1 bởi C2 . Như k    2 2 Z vậy bằng cách đặt b  m  q, 0  q  1 thì U k 1  U k  Hoặc dưới dạng véc tơ:  k 1  G k  , u ikb, z ikb được xác định bởi: Z  Z  trong đó G là ma trận bước có dạng: u ikb  (1  q)u ikm  qu ikm 1  G  PQR với  k (9) z i b  (1  q)z i m  qz i m 1 k k   1   P  1  t 0 Ta sẽ chứng minh sự ổn định của sơ đồ sai   phân với giả thiết  ,C1 và C2 là các hằng số   0 1  95
  3. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5 e Ia  e Ib e Ia  e Ib  Ta luôn có e I  1 với mọi  , và vì   0  p, q  1 nên Q   Ia 2 Ib 2  e e e Ia  e Ib    max (1  p)  p,(1  q)  q  1 .   2 2   Như vậy ta có Q 2  1 với mọi  và t . 1  (1   )t 0  R  . Cuối cùng, để R  1 ta cần có t phải  0 1 2   thỏa mãn điều kiện: 1  (1   )t  1. Điều kiện cần và đủ để (12) có nghiệm là G  1 . Do đó, nếu các chuẩn của các ma 3. KẾT LUẬN 2 trận P ,Q, R không vượt quá 1 thì phương Bằng cách xét các đường đặc trưng cho pháp sẽ ổn định. phương trình nước nông một chiều mô phỏng Vì  và  không âm nên P  1 . Ma dòng chảy không dừng trong kênh hình chữ 2 trận Q là normal nên chuẩn của nó bằng bán nhật bài báo cáo trình bày kết quả về sự ổn định của sơ đồ sai phân theo phương pháp kính phổ  , nghĩa là Q 2   trong đó đặc trưng đối với dòng chảy này. e Ia  e Ib e Ia  e Ib   max  hay 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 2     max e Ia , e Ib . Giả sử các giá trị [1] Phạm Kỳ Anh, (1996), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia. uika , z ika , uikb , z ikb được xác định nội suy [2] Yao-Hsin Hwang, (2013), A characteristic particle method for the Saint Venant tuyến tính bởi (8) và (9), khi đó equations, Computers & Fluids Volume 76, e Ia  (1  p)e In  pe I (n 1)  pp. 58–72.  Ib [3] Tran Duc Van, Mikio Tsuji and Nguyen e  (1  q)e Im   qe I (m 1) .  Duy Thai Son, (2000), The characteristics  (1  p)e In  pe I ( n1) method and its generalizations for first order  ,  Do vậy:   max   Im . nonlinear PDEs, ChapmanHall/CRC.  (1  q)e   qe  I ( m1)   96
  4. Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5 97
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
7=>1