Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn

Chia sẻ: Nguyễn Văn Mon | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết tập trung nghiên cứu về bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn. Bài viết trình bày kết quả về sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn

Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 114-119 DOI:10.22144/jvn.2016.608 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CẤP HAI TRONG HÌNH TRỤ ĐÁY KHÔNG TRƠN Phùng Kim Chức Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ Thông tin chung: Ngày nhận: 06/06/2016 Ngày chấp nhận: 22/12/2016 Title: The uniqueness and existence of solution of this seccond innitial boundary problem for second-order Schrödinger equation in cylinders with nonsmooth bases Từ khóa: Bài toán biên ban đầu thứ hai, phương trình Schrödinger, nghiệm suy rộng, hình trụ đáy không trơn Keywords: Second initial boundary value problem, Schrödinger equation, generalized solution, cylinders with nonsmooth bases ABSTRACT Cauchy-Dirichlet problem for the general Schrödinger systems in domains containing conical points has been investigated by Nguyen Manh Hung (1998). In this paper, we study the second initial boundary value problem for second-order Schrödinger equations in cylinders with nonsmooth bases QT , 0  T   . The purpose of this paper is to study the unique solvability of generalized solution of the problem. TÓM TẮT Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với hệ phương trình Schrödinger tổng quát trong miền chứa điểm nón đã được tác giả Nguyen Manh Hung (1998) nghiên cứu. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn QT , 0  T   . Bài báo trình bày kết quả về sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng. Trích dẫn: Phùng Kim Chức, 2016. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn. Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ. 47a: 114-119. phương trình Schrödinger tổng quát. 1 MỞ ĐẦU Trong bài báo này, chúng tôi xét bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong miền trụ với đáy không trơn. Các hệ số a pq ( x, t ) ở đây là những hàm phụ thuộc vào cả Bài toán giá trị biên đối với phương trình Schrödinger trong hình trụ hữu hạn biên trơn đã được xét trong công trình của Lions và Magenes (1972). Bài báo này đã công bố các kết quả đối với phương trình Schrödinger với các hệ số a pq là hai biến x và t . những hàm không phụ thuộc vào biến t . Cho  là một miền bị chặn trong  n , n 2 với biên của nó là  thỏa mãn điệu kiện  \{O} là mặt khả vi vô hạn và  trùng với Bài toán giá trị biên đối với hệ phương trình Schrödinger trong hình trụ vô hạn biên không trơn đã được xét trong công trình của Nguyễn Mạnh Hùng và Nguyễn Thị Kim Sơn (2008). Trong công trình này tác giả đã giải quyết bài toán với hệ x | x| nón K {x: G} trong lân cận của gốc tọa độ 114 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 114-119 O , ở đó G là một miền trơn trong mặt cầu đơn vị S n 1 của  n . 1 u H l (  )  (   | D p u|2 dx ) 2  .  | p|l Với mỗi số thực dương T , đặt T (0,T ) , ST (0,T ) ,  (0,  ) ,  (0,  ) H l ,0 ( e t , T )(  ) là không gian gồm các hàm u ( x ,t ), ( x ,t )T D p u ,| p| l với chuẩn .Với mỗi đa chỉ số   (1 ,..., n ) n , ta đặt | |1 ... n và kí hiệu D  | | 1 n x1 ...xn . có đạo hàm suy rộng u H l ,0 ( e t ,  )  T 1 (   | D p u|2 e2 t dxdt ) 2  T | p|l Với mỗi hàm véc tơ giá trị phức u  (u1 ,...,u s ) xác định trong  , ta kí hiệu Du  ( D ,..., D ) , u1 us 1 s  j u  j u1  j us ( ,..., ) , u  (  |u j |2 ) 2 . ut j  t j t j t j j 1 biệt, chúng 0,0  t L2 ( , T )  H ( e , T ). Giả sử l là một số nguyên không âm, trong bài báo này chúng tôi sử dụng các không gian hàm sau. hàm u ( x ,t ), ( x ,t )T Đặc ta đặt H l ,1 ( e t , T )(  ) là không gian gồm các có đạo hàm suy rộng D p u ,| p| l với chuẩn C l (  ) là không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp l  0 trên  . u H l ,1 ( e t , )  T C (  )  C 0 (  ) là không gian các hàm liên tục trên  . 1 (   (| D p u|2 |ut |2 ) e2 t dxdt ) 2 . T | p|l L (0,T ; L2 ()) là không gian gồm các hàm giá trị phức đo được u:(0,T )  L2 (  ),t  u (.,t ) thỏa mãn  C  ( )   C l ( ) là không gian các hàm l 0 khả vi vô hạn trên  . C0 () là không gian các hàm khả vi vô hạn ||u ||L (0,T ; L2 (  ))  ess sup ||u (.,t )||L2 (  ) . 0  t T có giá compact trong  . L2 (  ) là không gian các hàm bình phương khả tích trên  với chuẩn 1 ||u||L2 (  )  (  |u ( x )|2 dx ) 2 .  Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu toán tử vi phân sử dụng trong suốt bài báo L2 ( , T ) là không gian các hàm bình với chuẩn phương khả tích trên T 1 2 2 t   t  ||u||L ( e , )  (  |u ( x ,t )| e dxdt ) 2 . 2 T T ở đó aij  aij ( x ,t ), i,j1,..., n là các hàm giá trị n   L  L ( x ,t , D )   ( aij ) a , x xj   i , j 1 i (1.1) phức bị chặn khả vi vô hạn trong  và a  a ( x ,t ) là hàm giá trị thực bị chặn khả vi vô hạn trong  . Hơn nữa chúng ta giả sử aij ( x ,t )  a ji ( x ,t ) với mọi i,j1,...,n , điều này có H l (  ) là không gian gồm các hàm vec tơ u ( x) có đạo hàm suy rộng D p uL2 (  ),| p|l , với chuẩn nghĩa là toán tử L tự liên hợp hình thức. Giả sử rằng aij , i , j 1,..., n liên tục theo x đều với t[0,  ) và tồn tại một hằng số dương  0 sao cho 115 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 114-119 n u v B (u ,v ,t )   (  aij ( x ,t )  a ( x ,t )uv ) dx . xi x j   i , j 1 n 2 n  aij ( x ,t )i j  0 | | ,  \{0},( x ,t ) . (1.2) i , j 1 Trong hình trụ QT , 0  T   , chúng ta xét Bổ đề 2.1 Giả sử các hệ số aij  aij ( x ,t ), i , j 1,..., n, a  a ( x ,t ) của toán tử L(x,t,D) thỏa mãn điều kiện (1.2) và aij ( x ,t ) bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai: iL ( x ,t , D )u  ut  f ( x ,t ) , ( x ,t )QT , (1.3) liên tục theo x đều với t[0,). Khi đó tồn tại u t  0  0, x (1.4) hằng số 0  0 sao cho B(u, u, t )  0 || u || 1 Nu S  0, T (1.5) 1 u  H (  ), t  (0,  ) . ở đó f ( x ,t ) là vectơ hàm giá tri ̣ phức, L ( x ,t , D ) là toán tử (1.1) đã giới thiệu ở trên, (Xem Nguyen Manh Hung and Phung Kim Chuc (2012) để biết chi tiết về sự tồn tại của 0 n u Nu  N ( x ,t , D )u   aij ( x ,t ) cos( xi ,v ) , xj  i , j 1 Bổ đề 2.2 (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman) Giả sử u(t) và  (t ) là những hàm khả tích không âm trên đoạn [0,T] và  (t ) có đạo hàm  (t ) khả tích trên [0,T] sao cho v là vectơ pháp tuyến đơn vị ngoài đến ST . Hàm u ( x ,t ) đươ ̣c go ̣i là nghiê ̣m suy rô ̣ng trong không gian H1,0 (e t ,QT ) của bài toán (2.1) – (2.3) nế u u ( x ,t )H 1,0 ( e t ,QT ), 0  T , đẳng thức sau t u (t )  (t )  L  u ( ) d t0 và với mỗi  , n u   au ) dxdt  i  ut dxdt  (  aij Q i , j 1 x j xi Q , H () với mọi t[t0 ,T ], t0  0 , ở đó L là hằng số dương. Khi đó t u (t )  (t0 )   e L (t  ) ( ) d t0 (1.6)  i  f  dxdt Q với mọi t[t0 ,T ] . đúng với mọi hàm thử H1,1(e t ,QT ) , sao Bây giờ ta chứng minh định lí 2.1. cho  ( x,t )0 , t[ ,T ). Chứng minh. Giả sử tồn tại   0 bài toán (1.3) – (1.5) có hai nghiệm suy rộng 2 TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM u1 và u2 . Đặt u u1u2H1,0 (e t ,QT ) . Khi đó u thỏa mãn đồng nhất thức tích phân (1.6) với f = 0 và u(x,0) = 0. Định nghĩa hàm  ( x ,t ) như sau: Định lý 2.1 (Định lí về tính duy nhất nghiệm của bài toán). Giả sử các hệ số của toán tử L(x,t,D) thỏa mãn điều kiện (1.2) và  aij a  sup| |,| | ,i, j 1,...,n,( x,t )QT , const > 0 .  t t  0  t  ( x ,t )   u ( x , ) d b Thì bài toán (1.3)-(1.5) có không quá một nghiệm suy rộng trong không gian n! 1,0 t  với mọi   0 . H ( e ,QT ) r ! n  r ! bt T 0t b (2.1) Không khó khăn ta kiểm tra được  ( x,t )H1,1( e t ,QT ) ,  ( x,t )0 với t[b ,T ) và có t ( x ,t )  u ( x ,t ) với mọi ( x ,t )Qb . Để chứng minh Định lí 2.1 trước tiên ta giới thiệu các bổ đề sau cho có thể tìm thấy cách chứng minh nó trong Nguyễn Mạnh Hùng, Nguyễn Thị Kim Sơn (2008). Thay u t và chọn hàm thử lại chính hàm  đã chọn ở trên vào (1.6) với f = 0, ta nhận được. Kí hiệu 116 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 114-119 n   a ) dxdt i  t t dxdt  0 . (2.2)  (  aij t Qb i , j 1 x j xi Qb b ta nhận được (1  2Cb ) J (b )  2C  J (t )dt , 0 C  const  0 với hầu khắp b[0, 1 ] . Áp dụng 4C Bất đẳng thức Gronwall-Bellman ta được J (b )  0 với hầu khắp b[0, 1 ] , do đó u ( x ,b )  0 với hầu 4C 1 ] . Dùng lí luận tương tự như trên và khắp b[0, 4C sau hữu hạn bước ta được u ( x ,b )  0 với hầu khắp b[0,T ] . Mặt khác, vì T là số dương bất kỳ nên ta Cộng đẳng thức (2.2) với liên hợp phức của nó ta được n  t   )a ( ) dxdt 0 . (2.3)  (  aij ( t x x t     j i Qb i , j 1 Nhờ tích phân từng phần theo t và điều kiện u(x,0) = 0 , ta nhận được đẳng thức sau: có kết luận u1 ( x ,b )  u2 ( x ,b ) trong không gian n aij   a  dxdt .(2.4) B( , ,0)   dxdt   i , j 1Qb t xi x j Qb t H 1,0 ( e t ,QT ) . Định lí được chứng minh. Sử dụng giả thiết về aij , a và bất đẳng thức 3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Cauchy ta được Định lý 3.1 (Định lí về sự tồn tại của nghiệm suy rộng). Giả sử các hệ số của toán tử L(x,t,D) thỏa mãn điều kiện (1.2) và || (.,0)||2 ,(C ( n1)  / 0 0) (2.5) C||||2 H1(  ) H1,0 ( ) Bây giờ chúng ta đặt  aij a  |,| | ,i, j 1,...,n,( x,t )QT , const > 0  t t  i) sup| 0 u ( x , ) vi ( x , t )   d ,0 t  b,i 1,..., n, t xi 0 v0 ( x , t )   u ( x , )d t Với cách đặt như trên ta có ii) f , ft L (0, ; L2 (  )) , iii) f ( x ,0)  0 .  ( x ,t ) t  ( x , ) d  vi ( x , b )  vi ( x , t ), i   xi b xi   0 , bài toán (1.3)-(1.5) có duy nhất một nghiệm suy rộng u ( x,t ) trong không gian H 1,0 ( e t ,Q ) . Hơn nữa bất đẳng thức sau đúng Khi đó tồn tại một hằng số T  1,..., n,  ( x , t )  v0 ( x , b )  v0 ( x , t )  (.,0)  vi ( x , b ), i  1,..., n,  (., 0)  v0 ( x , b ) xi n || (.,0)||2   ||vi (.,b )||2 1 L2 (  ) H (  ) i 0  0 sao cho với mỗi 2  C (|| f (., 0) || L (  ) || u || 1,0  t 2 H ( e ,Q )  || f || 2 2  || ft ||  ) L (0, ; L2 (  )) L (0,  ; L2 (  )) ở đó C là hằng số dương không phụ thuộc vào u và f. (2.6) Chứng minh. Sự duy nhất nghiêm của bài toán được suy ra từ Định lí 2.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.3)-(1.5) được chứng minh nhờ phương pháp xấp xỉ Galerkin. Thay vào (2.5) ta được n n 2 2  ||vi (., b ) || L (  )  2Cb  ||vi (., t ) || L (  ) 2 2 i 0 i 0 (2.7) b n dt 2C   ||vi (.,t )||2 L2 (  ) 0 i 0 Giả sử {k ( x )} k 1 là một hệ hàm trong 1 H (  ) sao cho bao đóng tuyến tính của nó lại Bây giờ ta đặt chính là H 1 (  ) và một hệ trực chuẩn trong L2 (  ) . Với mỗi số nguyên dương N ta xét hàm n J (t )   ||vi ( x ,t )||2 L2 (  ) i 0 117 Tạp chı́ Khoa học Trường Đại học Cầ n Thơ Phần A: Khoa học Tự nhiên, Công nghệ và Môi trường: 47 (2016): 114-119 Áp dụng bổ đề (2.1) và bất đẳng thức Cauchy ta được N u N   CkN (t )k ( x ) k 1 || u N N ở đó (C1 (t),...,CN (t)) là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai:   i  f  dx l   CkN (0)0, k 1,..., N . (3.3) || u 1  ( 0  ) (3.7) 2 [ || f (., 0) || L (  ) 2 N 2 (.,  ) || 1  H ( ) 2 2 C1[ || f (., 0) || L (  )  || f ||  2 L (0,  ; L2 (  )) 2 ]e  || ft ||  L (0,  ; L2 (  )) (3.8) ( n 1)    0  ở đó (3.4) i  utN utN dxdt  i  f utN dxdt Q Q C1  max{ ( n 1)  1 , } 0. 0    ( 0   ) Đặt  0  Cộng (3.4) với liên hợp phức của nó ta có ( n 1)  ( n 1)    inf . 2 0  (0, 0 ) 2( 0  ) Với mỗi hằng số dương  sao cho   0 ta thấy tồn tại một hằng số dương  (0, 0 ) sao cho (3.5)  2 Im  f utN dxdt Q  Từ đây, tích phân từng phần (3.5) với điều kiện (3.2) ta nhận được  B (u N ,u N ,0)2 Im  f ( x,0)u N ( x,0) dx  ( n 1)    N ||u (., )||2 H 1 (  ) 0  Áp dụng bổ đề (2.2) ( bất đẳng thức GronwallBellman ) vào (3.7) ta được Giả sử  là một số dương,  T , tích phân hai vế của (3,3) theo t từ 0 đến  ta được n aij u N u N a N N N N B (u , u ,  )   (   u u )dxdt Q i , j 1 t x j xi t  ở đó 0  0 .  i  utN utN dx  i  f utN dx   n  u N utN  )a (u N utN )) dxdt  (  aij ( t Q i , j 1 t x j xi H 1 ( ) 2 ]  || ft ||  L (0,  ; L2 (  )) dClN (t ) và lấy tổng dt theo l từ 0 đến N , ta nhận được: Nhân đẳng thức (3.1) với n u N utN au N utN ) dxdt  (  aij x x   j i Q i , j 1 2 2  || f ||  L (0,  ; L2 (  )) (3.2) n u N utN  au N utN ) dx  (  aij  x  x j i  i , j 1 (.,  ) || ( n 1)     N 2  ||u (., t )|| H 1 (  ) dt 0  0 n u N l u N  au N l ) dx i  l dx  (  aij  i , j 1 x j xi  t (3.1) với điều kiện ban đầu là N (n1)  (n1) ( n 1)   0 . hay 2   0  0  2(0  ) 20 Nhân cả hai vế của (3.8) với e2 , sau đó lấy tích phân theo biến  từ 0 đến  ta được || u (3.6) N 2 2  C 2 [ || f (., 0) || L (  ) || 1,0  t 2 H ( e ,Q ) 2 2  || f ||   || ft ||  ] L (0, :L2 (  )) L (0, :L2 (  )) 2 Im[  f ( x, )u N ( x, ) dx   ft u N dxdt ] Q (3.9) 118