Tài liệu giảng dạy Giải tích 12

Chia sẻ: Võ Thanh Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

156
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu giảng dạy Giải tích 12 trình bày 3 vấn đề. Vấn đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan, lũy thừa, căn bậc n và lôgarit, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. Đây là tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu giảng dạy Giải tích 12

VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 1. Sự biến thiên và cực trị của hàm số: 1.1. Sự biến thiên của hàm số:  Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng K = (a; b). i) Nếu f'(x)  0 x  K thì y = f(x) đồng biến (tăng) trên K. ii) Nếu f'(x)  0 x  K thì y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K.  Bảng biến thiên: i) y' > 0, x  (a; b) x a b y' + lim y xb  y lim y x a  Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) ii) y'  0, x  (a; b) và y' = 0 tại một số hữu hạn điểm x0, x1, ..., xn x a x0 x1 ..... xn b y' + + 0 + 0 + 0 + + lim y xb  y lim y x a  Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) iii) y' < 0, x  (a; b) x a b y' - lim y x a  y lim y xb  Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b). iv) y'  0, x  (a; b) và y' = 0 tại một số hữu hạn điểm x0, x1, ..., xn x a x0 x1 ..... xn b y' - - 0 - 0 - 0 - - lim y x a  y lim y xb  Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b). Trang 1
1.2. Cực trị: a) Dấu hiệu I: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a; b) i) Đạo hàm đổi dấu từ (-) sang (+) khi đi qua x0 x a x0 b y' - 0 + lim y lim y x a  x b  y yCT Hàm số đạt cực tiểu tại x0 và yCT = f(x0). ii) Đạo hàm đổi dấu từ (+) sang (-) khi đi qua x0 x a x0 b y' + 0 - yCĐ y lim y lim y x a  xb  Hàm số đạt cực đại tại x0 và yCĐ = f(x0). b) Dấu hiệu II: Cho hàm số số y = f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp 2 trên (a; b)  f ' ( x0 )  0 i) Nếu  thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x0.  f ' ' ( x0 )  0  f ' ( x0 )  0 ii) Nếu  thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x0.  f ' ' ( x0 )  0 * Chú ý: Nếu f''(x0) = 0 thì ta dùng dấu hiệu I để xác định điểm cực trị. 2. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: y Đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận ngang x O Trang 2
2.1. Đường tiệm cận ngang: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +), (-; b) hoặc (-; +)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) = y0 (hoặc lim f(x) = y0). x   x   2.1. Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) = + (hoặc lim f(x) = - hoặc lim f(x) = - hoặc lim f(x) = +)     x x0 x x0 x x0 x x0 BÀI TẬP Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của của mỗi hàm số sau: 1 a) y = x3 – x2 - 2x + 2; b) y = x3 + 3x2 + 3x – 5; 2 c) y = x3 – 3x; d) y = x3– 3x + 2; e) y = –x3 + 6x2 – 9x + 4; f) y = –x3 + 3x2; 3 2 g) y = x – 3x + 3x – 2; h) y = x3 – 1; i) y = x3 + x – 1; j) y = -x3 - x + 2; k) y = –x3 – 3x2 – 4x + 2; l) y = –x3 + 3x2 – 5x + 2. Bài 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến và tìm cực trị của các hàm số sau: 1 a) y = x4 - 2x2; b) y = x4 – 2x2 + 1; c) y = x4 - 4x2 + 1; 2 x4 4 d) y = -x + 2x ; 2 4 2 e) y = –2x + 4x + 2; f) y =  + 2x2 + 1; 4 4 2 4 2 g) y = x + x - 2; h) y = x - 2x + 2; i) y = x – 2x2 + 3. 4 Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau đây: x 1 2x 1 x 1 x2 a) y = ; b) y = ; c) y = ; d) y = ; x 1 x 1 x3 2 x x2 2x 1 x 1 1 e) y = ; f) y = ; g) y = ; h) y = 1  . 2x 1 x 1 x 1 x2 Bài 4: Áp dụng dấu hiệu 2 để tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = x5 - x3 - 2x + 1; 1 4 d) f(x) = x - 2x2 + 6; e) f(x) = sin2x; f) y = sinx + cosx. 4 3 2 2 1 Bài 5: Xác định m để hàm số y = f(x) = x3 - m x + m có cực trị là tại x = 1. 2 2 Bài 6: Với giá trị m nào thì y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x - 5 đạt cực đại tại x = 1. x 2  mx  m  1 Bài 7: Tìm các giá trị của m để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số y = . x 1 Trang 3
3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3.1. Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)  Tập xác định: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giải phương trình y’ = 0  Giới hạn: lim y = lim y = x   x  Bảng biến thiên: Vẽ bảng biến thiên. Kết luận sự đồng biến, nghịch biến của hm số. Kết luận các điểm cực trị của đồ thị hàm số.  Điểm đặc biệt: Điểm uốn: I(x0; f(x0)) {với x0 là nghiệm phương trình y'' = 0). Giao điểm với trục Ox: x = 0 tìm y. Giao điểm với trục Oy: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x (nếu có).  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng. HÌNH DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3  y '  0 coù 2 nghieäm x - x1 x2 +  y' + 0 - 0 +  a0 fCĐ + (x1, x2 là 2 nghiệm của y y'= 0) - fCT x - x1 x2 +  y '  0 coù 2 nghieäm y' - 0 + 0 -  + fCĐ  a0 y (x1, x2 là 2 nghiệm của fCT - y'= 0) x - x0 + y' + 0 +  y '  0 coù1 nghieäm  +  a0 y (x0 là nghiệm của y'= 0) - x - x0 +  y '  0 coù1 nghieäm y' - 0 -  +  a0 y (x0 là nghiệm của y'= 0) - Trang 4
x - + y' +  y '  0 voâ nghieäm y +   a0 - x - + y' - +  y '  0 voâ nghieäm y   a0 - 3.2. Hàm số bậc bốn trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a  0)  Tập xác định: D = R  y' = f'(x) y' = 0: giải phương trình y’ = 0  Giới hạn: lim y = lim y = x   x   Bảng biến thiên. Vẽ bảng biến thiên. Kết luận sự đồng biến, nghịch biến của hm số. Kết luận các điểm cực trị của đồ thị hàm số.  Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục Oy: x = 0 tìm y. Giao điểm với trục Ox: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x (nếu có). {Lấy y = c giải phương trình ax4 + bx2 = 0 để tìm thêm điểm đặc biệt}  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. HÌNH DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a  0)  y '  0 coù 3 nghieäm   a0 (x1, x2, x3 là 3 nghiệm của y'= 0)  y '  0 coù 3 nghieäm   a0 (x1, x2, x3 là 3 nghiệm của y'= 0) Trang 5
 y'  0 coù 1 nghieäm x - x0 +  y' - 0 +  a0 + + (x0 là nghiệm của y'= 0) y yCT  y '  0 coù 1 nghieäm x - x0 +  y' - 0 +  a0 yCĐ (x0 là nghiệm của y'= 0) y - - ax  b 3.3. Hàm số phân thức hữu tỷ: y = (ad - cb  0) cx  d d  Tập xác định: D = R\{  } c d  y' = f'(x) {kết luận: y' < 0 hay y' > 0, x   } c Kết luận sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. a a  Giới hạn: lim y  , lim y  x c x c a  Đường tiệm cận ngang: y = c lim y = , lim y = x  x0 x x0  Đường tiệm cận đứng: x = x0  Bảng biến thiên: Vẽ bảng biến thiên. Kết luận hàm số không có cực trị.  Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y. Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.  Đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. HÌNH DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỶ x d -  + c y' + + ad  cb  0 a y + c a - Hai ñöôøng tieäm caän c Trang 6
x d -  + c y' - - a ad  cb  0 y + c a - c Hai ñöôøng tieäm caän BÀI TẬP Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = -x3 + 3x + 1; b) y = x3 - 6x2 + 9x; c) y = x3 - 3x; d) y = x3 + 1; e) y = -x3 + 3x2 - 3x - 1; f) y = 2x3 - 3x2 - 2; g) y = x3 - x2 + x; h) y = 2x3 - 3x2 - 2; i) y = x3 - x2 + x; j) y = -x3 - x + 2; k) y = -x3 + 3x2 - 3x + 2; l) y = x3 - 3x2 + 3x - 2. Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: 1 4 2 a) y = x - x + 1; b) y = 2x2 - x4; c) y = x4 + x2 - 2; 2 x4 3 4 2 d) y = -x - x + 3; e) y =  ; f) y = -x4. 4 2 Bài 3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: x2 2 x 4x  1 a) y = ; b) y = ; c) y = ; x 1 2x  1 2x  3 3  2x x2 2 d) y = ; e) y = ; f) y = 2  ; x7 x 1 x3 x 1 x 1 g) y = ; h) y = ; i) y = . x 1 x x II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ ĐƠN GIẢN: 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1.1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]:  Tìm xi  (a; b) (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó f'(xi) = 0 hoặc f'(xi) không xác định.  Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1, 2, ..., n).  Kết luận: max f ( x) = max{f(a), f(xi), f(b)} (i = 1, 2, ..., n) ( a ;b ) min f ( x) = min{f(a), f(xi), f(b)} (i = 1, 2, ..., n). ( a ;b ) 1.2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b): Cho hàm số y = f(x) liên tục và có cực trị trên (a; b) (a, b có thể là -, +), ta có các trường hợp: i) Hàm số đạt cực tiểu tại x0: Trang 7
x a x0 b y' - 0 + lim y lim y x a  xb  y yCT min f ( x) = yCT tại x = x0. ( a ;b ) ii) Hàm số đạt cực đại tại x0: x a x0 b y' + 0 - yCĐ y lim y lim y x a  xb  max f ( x) = yCĐ tại x = x0. ( a ;b ) iii) Hàm số chỉ có một yCĐ , một yCT và yCT < lim y , lim y < yCĐ x a xb  x a x1 x2 b y' + 0 - 0 + yCĐ lim y y yCT xb  lim y x a  max f ( x) = yCĐ tại x = x1, min f ( x) = yCT tại x = x2. ( a ;b ) ( a ;b ) BÀI TẬP Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số: a) f(x) = x3 + 3x2 - 9x + 1 trên [-4; 4]; b) f(x) = x4 - 8x2 + 16 trên [-1; 3]; x2 2 x c) y = trên [-1; 0]; d) y = trên [1; 3]. x 1 x 1 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) f(x) = 5  4 x trên [-1; 1]; b) y = 25  x 2 trên đoạn [-4; 4]; c) y = (3 - x) x 2  1 với x  [0; 2]; d) f(x) = 1 + 9  x 2 trên [-3; 3]. Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = 3x + 10  x 2 ; b) y = (x + 2) 4  x 2 ; c) f(x) = 3 + x 2  2 x  5 ; d) f(x) = x + 2  x 2 . Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các hàm số: 4 x a) y = x + với x > 0; b) y = trên (-; +). x 4  x2 x 1 c) y = trên (-; +); d) y = x + 2 + trên (1; +). 4 x 2 x 1 Trang 8
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các hàm số: x2  3 8x  3 a) y = 1 + 5x - 3x2; b) y = 3x2 - 4x + 7; c) y = ; d) y  . x2  x  2 x  x 1 2 Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số: a) y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5; b) f(x) = cos2x - sinx + 3; 3 c) y = sin x - cos2x + sinx + 2; d) f(x) = sin4x - 4sin2x + 5. Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:    a) y = 2 cos2x + 4sinx trên [0; ]; b) f(x) = sin2x - x trên [- ; ]; 2 2 2 1  5 3 c) f(x) = trên [ ; ]; d) f(x) = 2sinx + sin2x trên [0; ]. sin x 3 6 2 m2 x  1 Bài 8: Tìm m để trên [0; 1] hàm số y = đạt giá trị lớn nhất là 2. x 1 2. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị: 2.1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x): Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) tìm x, thay x vào một trong hai phương trình của đường cong để tìm y. 2.2. Biện luận số nghiệm phương trình f(x) = g(m)(*) với g(m) là đường thẳng cùng phương Ox: Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đường: (C): y = f(x) và d: y = g(m). 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0)  (C):  Hệ số góc của tiếp tuyến: k = f'(x0)  Phương trình tiếp tuyến: y – y0 = k(x – x0) * Dạng 1: Biết tiếp điểm  Cho hoành độ tiếp điểm x0:  tính tung độ tiếp điểm y0 = f(x0).  Cho tung độ tiếp điểm y0:  giải phương trình f(x) = y0, tìm hoành độ tiếp điểm.  Tại giao điểm của (C) với d: y = kx + m:  giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = kx + m tìm tọa độ giao điểm, tọa độ giao điểm là tiếp điểm. * Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm  hệ số góc tiếp tuyến là f’(x0).  Cho hệ số góc tiếp tuyến là số k:  giải phương trình f’(x0) = k, tìm x0.  Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = k1x + m1:  giải phương trình k1.f’(x0) = -1, tìm x0.  Biết tiếp tuyến song song với : y = k2x + m2:  giải phương trình f’(x0) = k2, tìm x0. Trang 9
BÀI TẬP 2x  3 Bài 1: Cho hàm số y = (1) x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm có hoành độ x0 = -3. 2x  1 Bài 2: Cho hàm số y = có đồ thị (C). x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc . 3 Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số biết rằng tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = -3x + 1. Bài 4: Cho hàm số y = -x3 - 3x2 (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng x - 9y - 4 = 0. x 1 Bài 5: Cho hàm số y = , gọi đồ thị của hàm số là (C). x2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với các trục tọa độ. Bài 6: Cho hàm số y = -x4 + 2x2 - 2 (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 - 2x2 + 2 + m = 0. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại các điểm có hoành độ x0 thỏa mãn điều kiện y''(x0) = 0. 3x  2 Bài 7: Cho hàm số y = (1). x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y = -2. x2 Bài 8: Cho hàm số y  có đồ thị (C) x 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của nó và d: y = -3x + 2. 1 Bài 9: Cho hàm số y = x 3  x 2  2 . 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm đối xứng của nó. Bài 10: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1, gọi đồ thị của hàm số là (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Trang 10
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C). Bài 11: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 - 1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tùy theo giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm phương trình -x3 + 3x2 - 1 = m. Bài 12: Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 - 1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2x3 + 3x2 - 2 - m = 0. Bài 13: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 - 1 (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Biện luận theo m số nghiệm các phương trình 2x3 - 6x2 + 2 = m. Bài 14: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 3 (1). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 1 4 2 3 b) Biện luận theo m số nghiệm các phương trình x -x + = m. 2 2 1 4 Bài 15: Cho hàm số y  x  2 x 2 (1) 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Tìm m để phương trình -x4 + 8x2 -m = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 16: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 (1). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Với giá trị nào của m thì phương trình -x3 + 3x2 + m = 0 có 2 nghiệm. Bài 17. Cho hàm số y = x4 + 2x2 – 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để phương trình x4 + 2x2 + 3 + 2m = 0 có ít hơn 2 nghiệm. Bài 18: Cho hàm số y = -x4 + 2x2 + 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Chứng minh rằng m < 2, phương trình -x4 + 2x2 + 2 - m = 0 có hai nghiệm. Bài 19: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Với giá trị nào của m, đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt? Bài 20: Cho hàm số y = -x3 + mx + n. a) Tìm các hệ số m, n sao cho hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và đồ thị của nó đi qua điểm M(1; 4). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m, n vừa tìm được. Bài 21: Cho hàm số y = (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2). a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = -1. Bài 22: Cho hàm số y = x3 - 2m(x + 1) + 1. a) Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2. x2 Bài 23: Cho hàm số y = . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. Trang 11
b) Chứng minh rằng với mọi m  0, đường thẳng y = mx - 3m cắt đường cong (H) tại hai điểm phân biệt. ax  b Bài 24: Cho hàm số y = (c  0). cx  2 a) Xác định hàm số biết rằng đồ thị hàm số đối xứng nhau qua điểm I(2; 2) và đi qua 1 điểm A(0; ). 2 b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số vừa tìm được.  2x 1 Bài 25: Cho hàm số y = (1) và đường thẳng dm: y = -5x + m. 2 x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) b) Xác định m để đường thẳng dm cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. c) Vẽ đồ thị đường thẳng d với m vừa tìm được trên cùng một hệ trục với (C). BỔ SUNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU 1. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định K.  y  f ( x) taê ng treâ n K  y  f ( x) taê ng (hoaë c giaû m) treâ n K Nếu  hoặc  thì đồ thị của  y  g ( x) giaû m treâ n K  y  g ( x) laø haø m haè ng treâ n K chúng cắt nhau tại tối đa một điểm. Một hàm tăng, Một hàm tăng, Một hàm giảm, một hàm giảm một hàm hằng một hàm hằng 2. Cho hàm số y = f(x) đơn điệu (duy nhất tăng hoặc giảm) trên K thì: Với mọi a, b  K thì f(a) = f(b)  a = b y y f(v) f(a)=f(b) f(u) f(u) f(a)=f(b) f(v) x x O u a=b v O u a=b v u, v  K: f(u) < f(v)  u < v. u, v  K: f(u) > f(v)  u < v. Trang 12
VẤN ĐỀ 2: LŨY THỪA, CĂN BẬC n VÀ LÔGARIT 1. Lũy thừa: 1.1. Định nghĩa: an = a. a... a (n  Z+, n  1, a  R). n thừa số 1  a = a, a  R; 1  a0 = 1;  a-n = . an m m  1 1 a  a n n m (a > 0, m, n  N); a n  m  ;  1  1,   R. n m n a a 1.2. Các tính chất:  a, b  R, a  0, b  0 và m, n  R. Ta có: a) Các tính chất biểu thị bằng hằng đẳng thức: am  am.an = am + n ;  n = am – n ; (am)n = am.n ; a a n an a b  (ab) = a b ; n n n ( )  n ;  ( ) m  ( ) m . b b b a b) Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức: i) Nếu 0 < a < b thì an < bn, n > 0 và an > bn, n < 0. ii) Nếu a > 1 thì am > an với m > n. iii) Nếu 0 < a < 1 thì am < an với m > n. 2. Căn bậc n: 2.1. Khái niệm: Cho số thực b và số nguyên dương n (n  2). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b. Ta có:  Với n lẻ và b  R: Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là n b .  Với n chẵn: Với b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b. Với b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0. Với b > 0: Có hai căn bậc n trái dấu: giá trị dương kí hiệu là n b giá trị âm kí hiệu là - n b 2.2. Tính chất: n a a  a, khi n leû n a . b  a.b n n n n an    a , khi n chaü n n b b (n a ) m  n a m n k a  nk a Trang 13
3. Lôgarít: 3.1. Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a  1. Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab. logab = a  a = b. * Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0. 3.2. Tính chất: Cho a, b > 0, a  1. Ta có: loga1 = 0, logaa = 1, alog b  b ; loga(a) = . a 3.3. Quy tắc tính lôgarit: a) Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1, b2 , a  1, ta có: loga(b1.b2) = logab1 + logab2 * Mở rộng: cho n số dương b1, b2, ....,bn và a  1, ta có: loga(b1.b2...bn) = logab1 + logab2+...+logabn b) Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1, b2 , a  1, ta có: b log a 1  log a b1  log a b2 b2 c) Lôgarit của một lũy thừa: Cho 2 số dương a, b, a  1. Với mọi  ta có: logab = logab 1 * Đăc biệt: log a n b  log a b n 3.4. Công thức đổi cơ số: log c b Cho 3 số dương a, b, c, a  1, c  1, ta có: log a b   logca.logab = logcb log c a 1 * Đặc biệt: log a b  (b  1)  logab.logba = 1 log b a 1 log a b  log a b (  0)  3.5. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên: a) Lôgarit thập phân: Lôgarít thập phân là lôgarít cơ số 10, log10b kí hiệu lgb hoặc logb. log10 b  log b  lg b 1 b) Lôgarit tự nhiên: Lôgarít tự nhiên là lôgarít cơ số e với e = lim (1  ) n , logeb kí n n hiệu lnb. log e b  ln b ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... Trang 14
4. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit: 4.1. Hàm số lũy thừa: Hàm số y = x, với   R, được gọi là hàm số lũy thừa Tập xác định của hàm số lũy thừa:  Với  nguyên dương, tập xác định: D = R;  Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định: D = R\{0};  Với  không nguyên, tập xác định: D = (0; +). 4.2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa: Hàm số y = x (  R) có đạo hàm với mọi x > 0: (x)' = x - 1 Đối với hàm số hợp y = u (với u = u(x)): (u)' = u - 1.u' 4.3. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x: Các tính chất của hàm số lũy thừa y = x trên khoảng (0; +) >0 1 α=1 0
5.3. Khảo sát hàm số mũ y = ax (a > 0, a  1): y y a 1 1 a x O 1 O 1 x a>1 0
Tập xác định D = (0; +). 1 Đạo hàm y' = . x ln a a > 1: hàm số luôn đồng biến; Chiều biến thiên 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến. Tiệm cận trục Oy là tiệm cận đứng. Đồ thị đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1), nằm phía bên phải trục tung. * Nhận xét:  Hàm số y = logax liên tục trên R * .   Nếu logax1 = logax2 thì x1 = x2 (x1 > 0, x2 >0).  Nếu a > 1 thì logax > 0 khi x > 1, logax < 0 khi 0 < x < 1. Nếu 0 < a < 1 thì logax > 0 khi 0 < x < 1, logax < 0 khi x >1. Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x)) (ex)' = ex (eu)' = eu.u' (x)' = x - 1 (u)' = u - 1.u' (ax)' = axlna (au)' = aulna.u' 1 1 1 u' ( )'   2 ( )'   2 1 u' x x u u (ln x )'  (ln u )'  x u 1 u' ( x )'  ( u )'  1 u' 2 x 2 u (log a x )'  (log a u )'  x ln a u ln a BÀI TẬP Bài 1: Tính: 1 a) log327; b) log 1 3 ; c) log 1 ; d)16 log 2 5 ; 9 3 2 81 3 1 log5 3 1 e) ( ) ; f) log a2 4 a; g) log 1 a 2 ; h) log 1 ; 25 a3 3 a a2 log 1 2 log 5 1 1 i) a a ; j) ( ) a ; k) e 2 ln 3 ; l) ln ; a 3 e 1 m) lg1000; n) lg0,01; p) log 2 e 3 ln 2 q) log 1 . 2 16 Bài 2: Tính: 1 3 243 128 a) log 3 3 ; b) log 1 25 ; c) log 3 ; d) log 2 ; 27 5 5 3 2 2 1 1 log 5 3 3 5 log 5 3 3 4 log16 3 1 2log 5 e) 5 5 ; f) ( 9 ) ; g) ( 3 ) ; h) ( ) 3 . 3 Bài 3: Tính: Trang 17
log 6 13 1 4 1 2 2 log 6 9 a) ( ) ; b) 81 log5 3  27 log3 6 3 3 log8 9 ; 27 1 1 log 2 2 27 1 4 log 3 c) 16 4  (3 3 ) log 27 4 5 log 2 5 ; d) 16 log5 4 8 log 4 9 5 3 log8 5 ; 1 1 1 1 log 1 3 3 log 1 16 log 1 3 5 e) 9  121 log 6 3 ; log8 11 f) 27 2  (4 2 ) 3 5 2 . Bài 4: Rút gọn biểu thức: 1 a) A = log812 - log815 + log820; b) B = log736 - log 7 14 - 3 log 7 3 21 ; 2 1 1 27 c) C = lg  lg 4  4 lg 2 ; d) D = lg 72  2 lg  lg 128 ; 8 2 256 1 e) E = log24. log 1 2 ; f) F = log 5 . log 27 9 ; 4 25 h) H = 27 log9 2  4log8 27 . log 2 g) G = 4 9 3 ; log 2 3 Bài 5: Rút gọn biểu thức: 1 1 a) A = log 2 12  log 4 9  ; b) B = 2 log 1 6  log 1 400  3 log 1 3 45 ; log 6 2 3 2 3 3 1 c) C = log 2 6  log 4 81  log 2 27 ; d) D = log 5 36  log 5 10  3 log 5 3 15 . 2 Bài 6: Rút gọn biểu thức: 1 1 log 3 2log 3 log 27 4 log 5 4 2 log 5 3 log 2008 1 3 2 16 a) A = 81 ; b) B = ( 5 ) ; 1 log a 2log 1 3 log a 42 1 16 c) C = ( ) a ; d) D = 31log9 4  42log2 3  532 log5 4 ; a2 27 6 log 1 5 36 log 6 5  101lg 2  3log9 36 9 e) E = ; f) F = log 2 2 8  9 log 8 2  2 3 5 ; log 2 log 2 4 2 log 1 2 2 2 25  49 log 5 6 3 log 7 8 4 2log 2 3 g) G = 1log 9 4 ; h) H = 2 log 1 27 3 3  . 3  4 2log 2 3  5log125 27 3 log 9 2  log 1 5 3 Bài 7: Tính giá trị các biểu thức sau theo a, b: a) A = log245, với a = log25, b = log23; b) B = log3100, với a = log35, b = log23; c) C = log 2 0,3 , với a = log 1 3 , b = log25; 2 d) D = log308, với a = log303, b = log305; e) E = log54168, với a = log712, b = log1224. Bài 8: a) Biết log214 = a, tính log5632; b) Biết log35 = a, tính log7545; Trang 18
1 c) Biết log = a, tính log1, 2 30 ; d) Tính log21x, biết log3x = a và log7x = b. 5 6 Bài 9: So sánh các số sau: 1 a) log34 và log35; b) log34 và log 4 ; c) log0,3 2 và log53; 3 d) log38 và log965; e) log23 và log310; f) log 1 11 và log 1 120 5 ; 2 32 1 g) log432 và log 2 ; h) log35 và log74; i) log210 và log530. 2 8 Bài 10: Tìm x, biết: a) log 3 x  3 ; b) log 3 x  4; c) log 3 x  3; 1 1 d) log x 5  2 ; e) log x  3 ; f) log x 5   . 3 3 4 Bài 11: Tìm x, biết: 1 a) log 6 x  2 log 6 3  log 6 5  3 log 6 2 ; 2 1 b) log 5 x  2 log 5 3  log 1 27  3 log 5 2 ; 3 5 1 c) log 3 x  2 log 3 x 3  log 1 625  2 log 3 7 ; 2 9 1 d) log 1 x  2 log 1 a  log 9 b 4  2 log 3 a 2 . 3 3 2 ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................... Trang 19
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1. Phương trình mũ và lôgarit: 1.1. Phương trình mũ: Với a > 0, a  1 ta có: af(x) = b vô nghiệm  af(x) = b af(x) = b  f(x) = logab  af(x) = ag(x)  f(x) = g(x) 1.2. Phương trình lôgarít: Với a > 0, a  1, ta có:  logaf(x) = b  f(x) = ab  f ( x)  0 hoaë c g ( x)  0 logaf(x) = logag(x)    f ( x)  g ( x) 2. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit: 2.1. Bất phương trình mũ: af(x)  b: vô nghiệm  af(x)  b af(x)  b  f(x)  logab af(x)  b af(x)  b  f(x)  logab af(x)  b: vô số nghiệm  af(x)  b af(x)  b  f(x)  logab af(x)  b af(x)  b  f(x)  logab af(x)  ag(x)  f(x)  g(x).  af(x)  ag(x) af(x)  ag(x)  f(x)  g(x). 2.2. Bất phương trình lôgarít:     logaf(x)  b  f(x)  ab   logaf(x)  b  f ( x)  0 logaf(x)  b    f ( x)  a b  f ( x)  0     logaf(x)  b    f ( x)  a b   logaf(x)  b logaf(x)  b  f(x)  ab Trang 20