Tìm hiểu một số chuyên đề bám sát đề thi THPT Quốc gia Phương trình và bất đẳng thức: Phần 1

Chia sẻ: Tầm Y | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:96

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Phương trình và bất đẳng thức bao gồm 9 phần nhỏ thể hiện theo chủ đề, có nhiều dạng như: Các dạng phương trình, bất phương trình căn bản, các dạng hệ phương tình căn bản, các hệ nghiệm, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, vv... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm hiểu một số chuyên đề bám sát đề thi THPT Quốc gia Phương trình và bất đẳng thức: Phần 1

NGƯT. ThS. LÊ HOÀNH PHÒ C ác c h u y ê n đ ề Bííni líÍT Để THI
Th.s NMẢ G IẢ O ƯU TỦ LÊ HOẢNH PHÒ CÁC CHUYÊN ĐỀ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA PHƯƠNG TRÌNH VÀ ọ BẤT ĐĂNG THỨC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Quóc GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập - Chế bản: (04) 39714896; Quản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập: (04) 39715011 Fax: (04)39729436 C h ịu tr á c h n h iệm x u ấ t bản: Giám dốc - rố n g hiển lập: TS. I^ỈẠ M THỊ TRẢM B iên tập: N G U Y Ê N C A N H BA C h ế bản: N G U Y Ễ N K HỞI M IN H T r ìn h bày bìa: N H Ả SÁ CH H Ồ N G ÂN Dối lác liê n k ếl xu â ì bàn: N H Ả SÁCH H Ồ N G ÂN 20C N guyễn T hị M inh K hai - Q l - T F. Hồ C hí M in h SÁCH LIÊN KẾT CÁC CHUYÊN ĐỂ BÁM SÁT OỂ THI THPT QUỐC GIA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BÂT ĐẲNG t h ứ c Mã số: 1L-337ĐH2015 In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổ phẩn Văn hóa Văn Lang. Địa chỉ: Số 6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q. Bình Thạnh - TP. Hồ Chí Minh Số xuất bản: 1439- 2015/CXBIPH/3-217-ĐHQGHN, ngày 3/6/2015. Quyết định xuất bản số: 354LK-TN/Q0-NXBDHQGHN, ngày 22/6/2015 In xong và nộp lưu chiểu quý III năm 2015,
LỜI NÓI ĐẦU Các Km học sinh thân mến! Nhằm mục dích giúp các bạn học sinh lớp 12 chuẩn bị thật tôt cho KY THI TRUNG HỌC R H ổ THÔNG QUỐC GIA dạt diôm khá, điổm cao đổ trúng tuyên vào các trường Cao dắng, Đại học mà mình dã xác dịnh nghô' nghiệp cho tương lai, theo dịnh hướng mới. Bộ sách này gồm 8 cuôn cho 8 chuyên dề, dổ các cm tiện dùng trong ôn luyện theo chương trình học và trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỔ - HÀM SỐ VẢ PHƯƠNG TRÌNH MŨ LÔGARIT - NGUYÊN HÀM VẢ TÍCH PHẢN - SỐ PHỨC VÀ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA DỘ P h Ấ n G - PHƯƠNG TR ÌNH VẢ BẤT d Ấ n G t h ứ c Ciuín PHƯƠNG TRÌNH VẢ HAT ĐANG THỨC gồm có 9 phổn nhb dế tiện luyện tập theo chủ dề. Từ các kiến thức và phương pháp giái 'l’oán căn bán và nâng cao dần dán, kêl hỢỊ) ôn tập 'I'oán lớp 10 và 1 1. bổ sung và mớ rộng ki(m thức và phương pháp giái khác nhau, luyện tập thêm 'roán khó, Toán tống hỢp, các bạn rèn luyện kỹ năng làm bài và từng bước giái dũng, giái gọn các bài tập. (:ác bài toán trong kiêm tra. thi cứ. Dù dã cố gáng kiếm tra trong quá trinh biên tỘỊ) song cũng không tránh khỏi những sai sót mà tác gia chưa thấy hốt. mong đón nhận các góp ý của quý bạn dọc. học sinh de lần in sau hoàn thiện hơn. Tác giá LÊ HƠÀMỈ PHỜ
MỤC LỤC 1. CẢC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH. BẤ T l>Hi;ƠN(} TRÌNH ('ÂN lìẢN........ 5 2. TỒNG HỢP VT PHƯƠNG TRÌNH. BÁT PHI ƠNG TRÌNH....................29 3. CÁC DẠNG 111; PHƯƠNG TRÌNH CẢN BAN........................................... 46 4. TỐNG 1lỢP VÙ 111; P1 lUƠNG '1'RÌNI 1...........................................................59 5 . DIHU K11;N VHNGHIHM................................................................................ 96 6. CÁC PIIƯƠNG PI lÁP GI IỦ’N(} MlNl ỉ BẤ T DANG ri l ư c CẢN BAN............................................. 134 7. TỒNG HỢP BẢ'l' DANG THỨC...................................................................158 8. CÁC PHƯƠNG PHÁP l ÌM GIẢ TRỊ I.ỚN NIIA T. NHƠ NIIẢ r CẢN BAN................. 196 9. TỎNG HƠP VH GIẢ TRỊ I.ỚN NHÁ I'. NHƠ NHẢ r ................................ 214
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN BẢN Phương trình và biến đoi - Hai phương trình (cùng án) gọi là tương đirơng nếu chủng có cùng tập nghiệm, có thể cùng bằng rỗng. Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D, y =f(x) là một hàm sổ xác định trên D, khi đó: f(x) = g(x) [ f ( ý f = [g(x)f. Phương trình bậc nhất Giãi và biện luận phương trình: ax + h = 0 D = R, ax + b = 0 ax = -b Neu a ĩ^O thì phương trình củ nghiệm duy nhất: X = - — a Neu a = 0 thì phương trình trở thành: Ox = -b Khi b ~ 0: Phương trĩnh có nghiệm với mọi X Khi h ĩT: 0: Phương trình vô nghiệm. Phương trình bậc hai và định lý Viet Phương trình bậc hai: ax^ f bx ^ c 0, a 0 Lập A = - 4ac A < 0: Phương trình vô nghiệm b A = 0: Phương trình cỏ nghiệm kép X ì = X, ' 2a b ± VÃ A > 0: Phương trình có 2 nghiệm Xì 2 2a Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai ax^ + bx + c = 0 có 2 nghiệm Xi , X 2 thì lổng s = X ] + X 2 = - — và tích p = xịX7 = —. a a Đảo lại nếu hai s ố X/, X 2 cỏ lổng X ì + X 2 = s và tích X/ X 2 = p thì chúng là nghiệm của phương trình - sx + p = 0. Phương trình nàv có nghiệm khi - 4P >0
- Phân lích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax^ + bx + c có hai nghiệm X/ v à X 2 (có thể trùng nhau) thì nó cổ thể phân tích được thành nhãn tử như sau: f(x) = ax^ + bx + c = a (x - Xi) (x - X 2) Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Đặt điểu kiện xác định, trong điều kiện đó biến đổi về phương trình bậc nhất, bậc hai,... Giải ra nghiệm và đối chiếu điểu kiện xác định. Phương trình bậc ba Dạng ax^ + bx^ + cx + d = 0, a 0 Biến đoi thành lích s ố hoặc dùng máy tính cá nhân đ ế tìm nghiệm X = x„. Chia da thức v ế trái cho (x - x„) hoặc dùng s ơ dồ Hooc - ne đ ế có phân tích: a b c d X = Xo a h' = aXo + b c ' = b'Xn +c d' = c'Xo +d =0 Do đó ax^ + bx~ + cx + d = (x - Xo) (ax^ + b'x + c') Phương trình bậc bốn đặc biệt - Dạng ax'* + bx^ + X = 0, a ^ 0. Đặt t = x^, t> 0 Phương trình trở thành a r + bí + c = 0. - Dạng (ax^ + bx + c) ( ax^ + bx + c') = d. Đặt í = x^ + bx Phỉtơng trình trở thành (í + c) (í + c ) = d. - Dạng (x + a) (x + b) (x + c) ( X + d) = m Nếu a + b = c + d thì đặt í = x^ + (a+b ) X = x^ + (c + d) X Phương trình trở thành (í + ab) ( t + cd) = m. - Dạng (x + a / + (x + b)^ = c. Dặt X = l-- - r>I >7 > I ' 7 ^ íì + b A , a + b A Phương trình trớ thành: ( t + ------ ) + ( t ----------) = c Khai Irỉên thành phương trình trùng phương. Phương trình bậc cao Phương trình bậc cao được đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai bằng một trong hai cách sau: - Phân tích đa thức nằm ở vế trái của phương trình thành lích của các nhị thức bậc nhất và lam thức bậc hai - Đặt ẩn phụ đế đưa phương trĩnh bậc cao đã cho về phương trình bậc hai, bậc thấp theo ấn phụ đó. Phương trình quy hồi (đối xứng hệ số) bậc n Ax" + Bx"' ' + Cx""^ + Cx^ + Bx + A = 0
- Nen n lẻ ihì cỏ nghiệm X = - I. - Nếu n chẵn, n ^ 2m thì chia 2 vế cho x " ' 0. Đặt ẩn phụ / = X H— , 111 >2. X Chúỹ: 1) Cỏ khi đặt / = X - —, t e R hoặc cỏ tỉ lệ thì đặt / = X + X X 2) Cũng như phirơng trình bậc hai, nếu tong các hệ so a + h + c +... của phương trình bậc cao băng 0 thì có nghiệm X = l, còn tông đan dâu các hệ sô a - b + c - d + . . . . bằng 0 thì có nghiệm X = - l. Dẩu nhị thúc bậc nhất Nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b, a 9^ 0: X -ao -b/a + 00 trái dấu a 0 cùng dấu a Dẩu tam thức bậc hai Tam thức bậc hai: f(x) = ax^ + hx + c (a 9^0) A 0, Vx £ R A =0 af(x) > 0, Vx 9^:- — 2a A>0 af(x) < 0, Vx £ (xị, X 2) PT f(x) = 0 cổ 2 nghiệm Xị < X 2 af(x) > 0, Vx £ ( - 00, X i ) U ( X 2, + 00) Tam thức bậc hai không đỗi dấu trên R f(x) = ax^ + bx + c, a 9^0. ía > 0 ía > 0 \A e R, f(x) > 0 \ , Vx € R, f(x) >0
'g (x )< 0 |f( x )|> g (x )c ^ g(x) > 0, f (x) < -g (x ) hay f (x) > g(x) g (x )< 0 _g(x)> 0,f^ (x)> g^ (x) fg (x )> 0 Ịg (x )> 0 |f ( x ) |< g ( x ) « [- g (x )< f (x )< g (x ) |f -(x )< g -(x ) Chủ ỷ: 1) 1a | = Ac:> A > 0, 1a 1 = - A o A < 0. 2) | a + B| = Ia I + I b I AB>0; 1a - b I = 1a I + I b I « A B < 0 . 3Ì | a | = I b I « a = ± b . Phưoitg trình, bất phương trình chứa căn thức Phá cán thức hằng cách. đặt điểu kiện và hình phương, đặt ân phụ, nhãn lượng liên hiệp,... Dạng cơ bản: 7w > 0 Ị^ (x )> 0 - lf{ x ) = g { x ) Cí> V / W < s (x ) g{x) > 0 [ /( x ) < ^ ^ ( x ) VfÕÕ > g(x) I f(x )> 0 , _ g (x )< 0 hoặc < g (x )> 0 [f(x )> g -(x ) Chú ý: ỉ) Công thức ^IÃ^ = |a |, VÃB = VÃ.^/B khi A, B > 0. 2) ) Biển dổi về phương trình tích sổ, thêm bớt đại lượng từ việc đoán nghiêm đê phân tích ra thừa số.. 3) Đặt ân phụ rói chuyên phương trình thành hệ phương trĩnh cơ bản. 4) Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số, dùng đạo hàm và bất đăng thức đê đánh giá: Xét f(x) là hàm .sổ vế trái, nếu cần thì biến doi, chọn xót hàm, đặt ẩn phụ, .... Tính đạo hàm rỏi xét tính đơn điệu. Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trĩnh f(x) =0 có tỏi đa I nghiệm. Neii f(a) = 0, a thuộc K thì X = a là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)=0. Neii f(u) = f(v) với u,v thuộc K thì u = V, Neu f(u) > f(v) với u,v thuộc K thì u > V. Nếu f cỏ đạo hàm cấp 2 không đổi dấu thì f ’ là hàm đơn điệu nên phương trình f(x) =0 có tối đa 2 nghiệm. Neu f(a) = 0 và f(b) =0 với a ^ b thì phương trình f(x)= 0 chỉ có 2 nghiệm là X = a và X = b.
Bài toán 1.1: Giải các phưong trình 1 2 x -l a) X + b) (x^-3 x + 2 ) V x - 3 = 0 . x -1 ■1 Giải 1 2x a) Với điều kiện X 1, ta có: X + ■ x -1 x -1 x^ - X + 1 = 2x - 1 X = 1 hoặc X = 2. Chọn nghiệm X= 2. b) Điều kiện X > 3, ta có X = 3 là một nghiệm. Nếu X > 3 thì y l x - 3 > 0. Do đó: (x^ - 3x + 2) Vx - 3 = 0 X" - 3x + 2 = 0cí> X = 1 hoặc X = 2 (loại). Vậy phương trình có một nghiệm X = 3. Bài toán 1.2: Giải các phương trình: 3x^ - x - 2 X-+3 a) = V 3 x -2 b) 2x + 3 + V 3 x -2 x -1 X -J Giải 2 3x^ - X - 2 a) Điêu kiên X > —. ta có: ,— = V^ 3 Cí> 3x^ -- 2 = 3x - 2 Cí> 3x^ - 4x = 0 x(3x - 4) X = 0 . 4 4 x = 0 hoăc X = —.Chon nghiêm X = —. 3 ' ' 3 X +3 b) Điều kiện 1, ta có;2x + 3 + x -1 ( 2 x + 3 ) ( x - 1) -) 4 = x ^ + 3 x ^ + X - 2 = 0 X = 1 hoặc X = -2. Chọn nghiệm X = -2. Bài toán 1.3: Giải các phương trình: a) (3x - 5)^ - (x - 3)^ = 0 b) (2x + 3 ) (4x - 1) = 9 - 4x1 Giải a) Phương trình: |(3x - 5) -t (x - 3)]. [(3x - 5) - (x - 3)] = 0 (4x - 8)(2x - 2) = 04x- 8 = 0 hoặc 2x - 2 = 0 X = 2 hoặc X = 1. Vậy tập họp nghiệm s = {1 ;2} b) ( 2x + 3) (4x - 1) = 9 - 4x^ « (2x + 3) (4x - 1) = (3 - 2x) (3 + 2x) « (2x + 3) (4x - 1 - 3 + 2x) = 0 « (2x 3- 3)(6x - 4) = 0 3 2 2x + 3 = 0 hoặc 6 x - 4 = 0x = - ^ hoặc X = ^ . 2 3 Vây tâp hơp nghiêm s = { - —; —}. 2 3
Bài toán 1.4: Cho phương Irinh y(x^ - 4 + 5) - X" -t 6 O.Tìm các cặp nghiệm (x;y) sao cho y có giá trị lớn nhất, bé nhất. Giải Phương trình (y - 1)x^ - 4yx + 5y + 6 = 0 Xét y = 1 thì X = — . Xét y phương trình có nghiệm khi A’ > 0 4 4y^ - (y - 1) (5y + 6 ) > 0 c :> - y ^ - y + 6 > 0 - 3 < y < 2. Do đó max y = 2, min y = - 3 3 Vậy hai nghiệm (x; y) phải tìm là ( —; - 3), (4,2). Bài toán 1.5: Giải các phương trình; 2x + 5 X 1 1 1 a) 1 b) 2x X+5 x -2 x -1 0 x -1 Giải a) Với điều kiện XítO, x?t - 5 phương trình tương đương (2x + 5) ( X + 5) - 2x^ = 2x (x + 5) « 2x^ + 15x + 25 - 2x^ = 2x^ + lOx 0. Ta có phương trình; 7t^ - 3 It + 12 = 0 't = 4 V =4 'x = ±2 3« 2 3^ ỊỴ (thỏa) t=— x^ = - X L 7 7 10
x' + 2x - 8 9 ì 0 b) Điêu kiên < - 4 ,x ^ 2 ,x ^ \,x ^ - 3 [x- + 2 x - 3 ^ 0 Đặt t = x^ -t 2x - 3 thì PT: 24(x^ + 2x - 3) - 15(x^ 4 2x - 8) = 2(x^+ 2x - 8) (x' -I' 2x - 3) 24t - 15(t - 5) = 2t (t - 5) 2t^ - 19t - 75 = 0 't = -3 ’x - - 2 x - 3 = - 3 x ' + 2x = 0 25« . 25« t=— 2 31 X- + 2 x - 3 = — X" + 2x - — = 0 2 L 2 L 33 Giải ra và chọn nghiệm x = 0, x = -2 , x= - 1 ± J — . Bài toán 1.7: Giải các phương trình: a) x -V 2 x ^ - 9 x - 18 = 0 b) x^ - 5x^ + 6x - 2 = 0. Giải a) Ta có; x^ + 2x^ - 9x - 18 = 0 x^ (x 4- 2 ) - 9( X -t 2) = 0 (x 4- 2) ( x^ - 9) = 0 X 4 2 - 0 hoặc x^ - 9 = 0 X = - 2 hoặc X = ± 3 b) Xét X = 1 thì phương trình nghiệm đúng nên phương trình tương đương: (x - 1) (x^ - 4x 4- 2 ) = 0 X = 1 hoặc X = 2 ± V2 . Bài toán 1.8: Giải các phương trình a) (x“ 4 1)^ 4- (1 - 3x)^ = (x^ - 3x 4- 2Ỹ b) x^ + 9x + 6 = 0. Giải a) Sử dụng hàng đẳng thức (A 4- B)^ = 4- 3AB (A + B) PT: (x^ 4- 1)^ + (1 - 3x)^ = ((x- + 1 )4 (1 - 3x))^ o 3(x^ 4 1) ( 1 - 3x) ((x^ + 1) + (1- 3x)) = 0
Giải a) Phương trình (x^ + 4x - 5) (x^ + 4x - 21) = - 63 Đặt t = x^ + 4x - 13 thì phương trình tương đương; (t + 8) (t - 8) = - 63 t^ - 64 - 63 t^ = 1 Khi t =1 thì x^ + 4x - 14 = 0 X = - 2 ±3 V2 Khi t = - 1 thì X" + 4x - 12 = 0 o X = - 6 hoặc X =2 Vậy phương trình có 4 nghiệm là - 2 ±3 V2 ; - 6; 2 b) Đặt t = X + 4 phương trình trờ thành (t - 1) ‘^ + (t + 1 ) = 16 « (t^ - 2t + \ f + (t^ + 2t+l)^ = 16 0. Phương trình 2y^ + 12y - 14 = 0y = - 7 hoặc y = 1 Chọn y = 1 thì t = ± 1 suy ra X = - 5 hoặc X = - 3 Vậy phương trình có hai nghiệm là - 5 và - 3. Bài toán 1.10: Giải các phương trình: a) x^ - 3x^ + 4x^ - 3x t 1 = 0 b) 2x'* 21x^ + 74x^- 105x + 50=0. Giải a) Phương trình không có nghiệm X = 0. Chia hai vế cho X’ ta có x^ - 3x +4 - —+ - ^ 0 (x-+ - V ) - 3 ( x + - ) + 4 = 0 X X Đặt X + — = t thì X + =c 1'hay vào ta được r - 3t 4 2 = 0 o ti = 1; ti = 2 Khi X + —= 1 x^ - X + 1 = 0: vô nghiệm X 1 7 Khi X + — = 2 => x^ - 2x 4 1 = 0 X = 1 X Cách khác: Biến đổi phương trình dã cho về dạng tích số: (x - 1 (x^ - X + 1) = 0 b) Vì X = 0 không là nghiệm của phương trình. 25 2 Chia hai vế cho x^ ta được 2(x^ 4 - ^ ) - 21 (x 4 — ) 4- 74 = 0 X 5 ^ Đặt t = X 4- thì t^ = x^ 4- 2 +10. X ^ Phương trình trở thành: 2(t^ - 10) - 211 4- 74 = 0 12
« 2t^ - 21t + 54 = 0 c ^ t = 6 Khi t = 6 ta có phưong trình X + — =6 X x^-6x + 5 = 0 o x = l hoặc X= 5 9 5 9 Khi t = — ta có phuơng trình X . 2 X 2 •5 5 o 2x^ - 9 x + 10 = 0x = 2 hoặc X= — Vậy phương trình có 4 nghiệm là 1; 5; 2; —. Bài toán 1.11: Giải các phương trình: 2x 13x a) b) (x + 4) (X + 6) (x - 2) (x - 12) = 25x1 2 x ^ - 5 x + 3 2x^ + x + 3 Giải a) Vì X = 0 không là nghiệm của phương trình. 13 Chia tử và m ẫu cho X ta được: =6 2x+^--5 2X + -- + 1 X X Đặt t = 2x t' — phương trình trở thành: —^ =6 « 2 ( t + 1)+ 13 ( t - 5 ) = 6 ( t - 5 ) ( t f 1) ■«> 6t" - 39t + 33 = 0 o t = 1 hoặc t = — 2 3 7 Khi t = 1, ta có phương trình 2x + — = 1o 2x - X + 3 = 0 (VN) X . 11 , _________ 3 _ 11 Khi t = — , ta có phương trình 2x + — = — 2 X 2 7 3 4x - l l x - i - 6 = 0x = 2 hoặc X= — 4 Vậy phương trình có hai nghiệm là 2; b) Phương trình (x“ + lOx -f- 24)(x^ - 14x + 24) = 25x^ o (x^ - 2x -t- 24 + 12) (x^ - 2x + 24 - 12x) = 25x^ Cí> (x^ - 2x f 24 )^ - (12x)^ = 25x- (x^ - 2x t 24)^ - (13x)^ = 0 13
(x^ + 1 Ix + 24) (x^ - 15x + 24) = 0 X = -3 hav X = -8 X- + l l x + 24 = 0 15±V m -1 5 x + 24 = 0 X= 1 5 ± V Ĩ^ Vậy phương trình có 4 nghiệm - 3; - 8; Bài toán 1.12: Giải các bất phương trình: (3-xX x-2)^ 0 ,, 3 5 b) x+1 1- X 2x +1 Giải a) ĐK: x ^ - ỉ . Cho (3 - x)(x -2 ) = 0x = 3 hoặc X ==2. Lập bảng xét dấu thì có tập nghiệm: S = ( - l;2 ] u [ 3 ;+ o ) ) . b) Đ K :x ;í l , x ^ - - 3 ^ 5 _ 3(2x + l ) - 5 ( l - x ) ^ llx -2 > 0. 1 -x 2x + l ( l - x ) ( 2 x + l) ( l - x ) ( 2 x + l) 9 ^ Lập bảng xét dấu thì có tập nghiệm: s = í - c o ; - -0 u l 2j Ln’J Bài toán 1.13: Giải các bất phương trình: a) (2x + l)(x^ + X- 30) > 0 b) x'’ - 3x^ < 0. Giải 1 a) Cho 2x4 1 = 0 = > x = - —, x + x - 3 0 = 0 = > x = -6 hoặc x = 5.BXD: X -00 -6 -1/2 5 -I-OO 2x+ 1 - 0 h 4- x^ + X - 30 4 0 - _ 0 4 VT 0 4 0 - 0 4 Vậy tập nghiệm s = [-6; - —] u [5; ( ũo] b) x'^ - 3x^ < 0 o x^(x^ - 3 ) < 0 o x = 0 hoặc x^ - 3 < 0 X = 0 hoặc x^
Bài toán 1.14: Giải các bất phương trình: a) (x - 3)(x^ + X - 6) > (x - 2)(x^ + 5x + 4) b) x^ + 2x^ - X - 2 > 0. Giải a) BPT (x - 3)(x - 2)(x f 3) > (x - 2)(x t l)(x + 4) « • (x - 2)[(x - 3)(x + 3) - (x -I- 2)(x + 4)] > 0 «(x-2)(5x+ 1 3 )< 0 ^ -— x^(x+2)- (x 2) > 0 (x -t- 2)(x^ - 1) > 0. Lập BXD vế trái, ta có tập nghiệm s = (-2; -1) u (1; +oo). Bài toán 1.15: Giải các bất phương trình: , -2 x " + 7x + 7 1 1 a) ----- < -1 b) x“ - 3 x - 1 0 X--5X + 4 ^ X--7X + 10' Giải a) ĐK: x ^ - 3 x - 105t0X9t2vàx;
Với < x < —, P T : 2 x = l < = > x = — (chon) 5 3 2 4 7 Với x > ^ ,P T : 4 x = 7 < » x = —(chọn). 3 4 1 7 Vậy tập nghiệm s = { —; —}. Bài toán 1.17: Giải các phương trình; a) | x ^ - x - 12 1= 3 x - 12 b) 1IX - 1 I - 2 I= 4 . Giải Í3 x - 1 2 > 0 íx>4 a) PT Cí> < o r [ ( x ^ - x - 1 2 ) - = (3 x - 1 2 )“ [ ( x '- x - 2 ) ^ - ( 3 x - 1 2 ) '- = 0 Jx>4 ị(x^ + 2x - 24)(x^ - 4x) = 0 íx>4 , , x = 4 l x ^ + 2 x - 2 4 = 0 hay X -4x = 0 |x - l |- 2 = 4 Ịx - l | = 6 b) PT | x - l |- 2 = -4 |x - l | = -2 (VN) X -1 =6 x=7 X-1 = -6 X = -5 Vậy nghiệm X = -5, X =7. Bài toán 1.18: Giải phương trình sau: I2x + 3 I + 1X - 5 I =X + 8. Giải Đặt A = 2x + 3; B = 5 - X thì phương trình 3 A >0 | a | + 1b | = a + b o Ị 2 - - < x < 5 . B>0 x
Xét |x + 2 | = 0x = -2; Xét | x + 2| = 3x = - 5 hoặc X = 1. Vậy s = { - 5; - 2;1}. b) ĐK X ^ 0, PT (2x - - ) ^ + I2x - - I- 2 = 0 X X Đặt t = I2x - — 1, t > 0 thì PT: t^ t - 2 = 0 t = 1 hoặc t = - 2 X Chọn t = l < » | 2 x - — | = l < = > 2 x - — = - l hoặc 2x - — = - 1 X X ' X 2x^ + X - 1 = 0 hoặc 2yĩ + X - 1^ 0 « x = - 1 hoăcx = - - h o ă c x 1 hoặc X■ 2 V ậyS={-l;-i;i;l). Bài toán 1.20: Giải các bất phưcmg trình: a ) _ 4 ^ > i b) 12x - V2 1 + i V2 - XI > 3x - 2. (x + l ) ( x - 2 ) 2 Giải a) ĐK: X -1; X 2. Ta xét hai trường họp: Nếu X < — thì bất phưcmg trình trở thành: -2 x + l 1 2 (-2 x + l ) - ( x + l ) ( x - 2 ) (x + l ) ( x - 2 ) 2 2(x + l ) ( x - 2 ) -x ^ -3 x + 4 ^ ( x - l ) ( x + 4) 2(x + l ) ( x - 2 ) 2(x + l ) ( x - 2 ) Lập bảng xét dấu thì có tập nghiệm là khoảng (-4; -1) Nếu X> — thì bất phương trình trở thành: 2x-l ^ 1 ^ 2(2x + l ) - ( x + l ) ( x - 2 ) ^ ^ ^ x (x -5 ) < 0. (x + l ) ( x - 2 ) 2 2(x + l ) ( x - 2 ) 2(x + l ) ( x - 2 ) Lập bảng xét dấu thì có tập nghiệm là là khoảng (2; 5). Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S - ( - 4 ; - l ) u ( 2 ; 5). b) Cho I x - y / ĩ = 0x = — ; \Ỉ2 - x = 0 x = y ị ĩ . 17
Ta xét 3 trường hợp; Nếu X < —— thì 2x - V2 0 2 BPT -3x + 2 > / 2 x > 3 x - 2 < = > x < - .Chọn nghiệm X < 3 • & • 2 Nếu —— < X < y ịĩ 2x - V2 > 0, ^/2 - X > 0 2 BPT x>3x- 2x V2 thì 2x - ^/2 > 0, V2 - X < 0 BPT o o.x > 2 %/2 - 2: Vô nghiệm ( x ỉĩ) Vậy tập nghiệm là; s -QO;-— u i ^ ; . ì ( - 00; 1). l 2 j L^ Bài toán 1.21: Giải các phương trình: a) Ix^ - 5x + 4 1 = x^ + 6x + 5 b) IX - 1 1 = 2x - 1. Giải íx^-5x + 4>0 fx^-5x + 4 < 0 a)PT
Giải a) Ngoài cách chia miền để xét dấu, ta có thể nhận xét VI' > 0 = > V P = 1 - |x| > 0 = > |x| X^ 0 nên X > 1 PT«> |2x + 7| = ( x - l ) | 3 x - l| « 2 x t 7 = ( x+ l)(3 x - 1) 3x^ - 6 x - 6 = 0< :í>x"-2x-2 = 0 < ^ x = l ±V3 Chọn nghiệm X = 1 + Bài toán 1.23: Giải các phương trình: a) Ix^ - 4x + 3 I -t- Ix^ - 3x - 4 1 = 7 - X b) Ix^ - 4| - IX- - 5x + 4 1 = I5x - 8 1. Giải a) Ngoài cách xét dấu x^ - 4x 3 và x^ - 3x - 4 thì phải xét 5 trưòng hợp, ta có giải cách khác; Đặt A = x^ - 4x + 3; B = -x^ I- 3x + 4 thì phương trình: ÍA>0 Ia I + I b I = a + b o [b >0 íx--4x + 3 > 0 íx< lhayx> 3 o -1 < X < 1 hoặc 3 < X < 4. x“ +3x + 4 > 0 -1 < X < 4 b) Đặt A = x^ - 4; B = x^ - 5x + 4 thì phương trình: ' a > b >0 Ia I - I b I = | a - b i A 0 5x > 8,x^ - 5x + 4 > 0 x^ - 4 < X“ - 5x + 4 < 0 5 x < 8 , x - - 5x + 4 < 0 g X > - , x < 1 hay X > 4 x>4 0 1