Tìm hiểu một số chuyên đề bám sát đề thi THPT Quốc gia Phương trình và bất đẳng thức: Phần 2

Chia sẻ: Tầm Y | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:146

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách đã bổ xung kiến thức và phương pháp giải khác nhau luyện tập thêm toán khó, toán tổng hợp giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng làm bài và từng bước giải đúng giải gọn các bài tập trong các kì kiểm tra. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm hiểu một số chuyên đề bám sát đề thi THPT Quốc gia Phương trình và bất đẳng thức: Phần 2

x + >^+ —+ —= 5 X y |(x + l)^(>' + l)^ = 2 7 x ;. a) b) x '+ / + - ỉ ^ + - ^ = 9 [(x '+ l)(> ;^ + l) = 10x;; ' x' / HD-ĐS a) Đặt ẩn phụ u = x + —, v = > ’+ —. b )S = x-f-y, p=xy. X y ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM Phương trình bậc nhất Phương trình: ax + b = 0 ax = -h. Neu a 7^0 thì phương trình có nghiệm duy nhất: X Nếu a = 0 thì phương trình trở thành: Ox = -b: Khi b = 0: Phương trình cỏ nghiệm với mọi X. Khi b ỹí 0: Phương trình vô nghiệm. Phương trình bậc hai Phương trình bậc hai: ax^ + hx + c = 0, a ri 0. Lập zl = - 4ac Á < 0: Phiỉơng trình vô nghiệm A = 0: Phương trình có nghiệm kép X / = X, ’ 2a —b± V Ã Á > ớ. Phương trình có 2 nghiêm X/,. 2a - Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: p < 0 Phương trình có hai nghiệm trái dấu Phương trình cỏ hai nghiệm dương Á>0, p>0 và s>0 Phiỉơng trình cỏ hai nghiệm âm A > 0, p > 0 và s < 0. Chú ỷ: 1) Đe so sánh nghiệm với sổ a, la có thể đặt t = x - a, khi đó xị a < x ị < ^ t i < 0 < t2 x ị > X 2 > a < ^ t i > < Ì2> 0,... 2) Đồ thị parabol (P) y = ax^ + bx + c = 0, a r^o 96
a > 0 a < 0 \ J b , A Dinh cua parahol Xị PliuviiỊỉ trình hộc ha Dạng ax^ * hx~ ‘ cx ' d 0. a ^ 0 Biên dôi thành tích sô hoặc dùmị máv tinh củ nhân dê tìm nghiệm X x„. ( 'hiu da thức vẽ trái cho (x - x„) hoặc dùng SO’ dồ IIooc ne dê có phún tích: (x-x„) (ax- * h'x c') Phưong trình hộc 3 có 3 nghiệm phân hiệt khi: dồ thị có 2 cực trị và}’(•/). ycr < ()■ ( 'ó l nghiệm khi: do thị không có cực trị hoặc do thị có 2 cực trị và Ven. ycr ^ 0. ^hirưng trình hộc cao Phương trình hậc cao dược dưa vớ phương trình hạc nhát, hậc hai hang cách ihán tích thành tích hay dặt ân phụ. Dấu nhị thức hộc nhất Shị thứchậc nhát f(x) ax ■ h. a 0: X -X -h/a ■X f(x) trái dâu a 0 cùny dấu a Dấu tam thức hậc hai 'lam thức hậc hai là hiêu thức có dạny: f(x) ax~ hx ‘ c (a 0) A 0, Vx e R /1 0 af(x) > 0. Vx 2a /1 > 0 a /( .x j ' 0. Vx ếf (x ị . X :) p p f(x) 0 có 2 nghiệm .V/ < ,Y: af(x) ■■0 . tb' e ( - X , x ị ) u (x :. ■x ) 'lệ phirơng trình - llệ có một phưong trình hậc nhất: rút thế. - llệ dôi xứníỊ. Dặt s X • ị',' p xy hoặc trừ hai phương trình. - l l ệ dăng cấp (thuần nhất): Xét .V 0: xét X 0 dặt V kx dưa Vứ ân k. '2hú ỷ: Cách giai diều kiện cần và diều kiện du cua hệ có nghiệm duy nhất (x: y). Băng cách thư dôi dâu Ún. dôi chó ân dê tìm ra niỊhiệm thứ hai (-x: yj: (x: -y); Ạ', X): ... lừ dó dông nhát cúc nghiệm dê tìm ra giá trị tham so. 97
Điều kiện phương trình, hệ có nghiệm Cho y =f(x) trên ữ đ ạ t giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; GTLN = M và GTNN = m thì phương trĩnh f(x) = k có nghiệm m p 5t 2. p - 2 = 0, p ^ - 5 = 0 98
Phương trình vô nghiệm khi p - 2 == 0 và -5 0 p = 2. Bài toán 5.3: Tìm m để phương trinh m^(x - 1) = mx - 1 có nghiệm X thoả |x | + | x - l | = 1 . Giải PT: m^(x - 1) = mx - 1 o (m^ - m)x = m^ - 1 m(m - 1)x = (m - 1)(m -t 1) Điều kiện IX I + IX - 11=1 « ( í x | - x) + ( l l - x | -(1 -x )) = 0 í|x| = x [x > 0 o — thi (2) vô nghiộm nên (1) vô nghiệm. 4 Nếu A = 0 m = — thi (2) có nghiệm kép t = —> 0 4 2 nên (1) có nghiêm |x |= — x=-±—. 2 2 Nếu A > 0 1 - 4m > 0 m < — thì (2) có nghiệm 4 1 - Vl - 4 m _ 1 + Vl - 4m ^ ti = ------ , t 2 = ------------- ---------- > 0 2 2 Với m = 0 thì ti = 0, t2 = 1 nên (1) có nghiệm X = 0, X =± 1 99
1+ Vl - 4m Với m < 0 thì li < 0 nôn (1) có 2 nghiệm X ± V, Với 0 < m < thi ti > 0 nên (1) có 4 nghiộm: 4 1- V l -4 m 1+ Vl -4 m X = ± ;x - ± lĩài toán 5.5: Biện luận bàng đồ thị số nghiệm của phương trình X - 3 X -k t 1 0. Cìiâi Viết phưcmg trình thành dạng x “ - 3 I XI ) 1 k. Vc d ồ thị hàm số bàng cách [x" - 3 x + 1 khi X > 0 chia khoảng: y ị [x" + 3x +1 khi X < 0 Ta có y f(x) là hàm so chẵn ncn có do thị Dựa vào đồ thị. ta có: Ncu k < - ^ , phưong trình vô nghiêm 4 Ncu k - ^ hoặc k > 1 phương trình cỏ hai nghiệm 4 Ncu - ^ < k < 1, phương trinh có bốn nghiộm Ncu k 1, phương trình cỏ ba nghiệm. Bài toán 5.6: rim các giá trị của m dc phương trinh: x‘ - 4x t m - 1 0 có nghiệm Xi, X2 mà xi' + x' 40. Cỉiải Diều kiện có nghiệm la A 4 - (m - 1) 5 - m > 0 hay m < 5. K hiđóxi t X2 4vàXiX2 m 1. 100
Ta có: xi* + xí (xi ♦ X2Ỷ - 3 x ị X2 (xi + X2 ) ^ 4'^ - 12 (m - 1) ^ 76 - 12m nên x,* + x ' 40 Cí> 76 - 12m “ 40 12m ^ 36 m " 3 (ihoả ) lìài toán 5.7: 'l ìm các giá trị của m dc phưcmg trình: x“ I (4m I 1) X t 2(m - 4) = 0 có 2 nghiệm và hiệu số giữa nghiệm lớn và nghiệm bc bằng 17. Giai Ta có A (4m I 1)“ - 8(m - 4) 16m" t 33 > 0, Vm. Ncnxi t X2 - (4m ) 1). X | X 2 2 (m - 4) Giá sử X] > X2 ihì X| - X2 17 (X| - X2)^ 289 o (Xi » X2)‘ - 4 x |X2 289 16m“ < 33 289 m^ 16 Cí> m ±4. Bài toán 5.8: Cho phương trình kx^ - 2(k t 1) X ỉ k t 1 = 0 . Tìm k để a) Phương trình có ít nhất 2 nghiệm dương. b) Phưtmg trình cỏ một nghiệm kVn hơn 1 và một nghiệm bé hơn 1. Giải a) - Xét k ^ 0: Phương trình - 2x í 1 0 X = ^ > 0 : chọn -X c tk ^ O ; A' (k t l)" -k (k I 1) k t 1 Ncu k < - 1 thì A' < 0: loại Ncu k - 1 thì A' 0, P T có nghiệm kép X 0: loại N'ếu k > - 1 thì A' > 0, p 1' có ít nhất nghiộm dưcmg khi; X, < 0 < Xi p 0 [0 < X, < X, p>0,s>0 Từ dó giải ra dược k > - 1. b) Dặt X = y t 1 thì phương trình trờ thành k(y t l )^-2(k t l ) ( y I 1) t k 1 1 = 0 « k y '- 2y - 1 = 0 Diều kiên X| < 1 < X2Cí> >'1 < 0 < y2 p < 0 o -- < 0 k > 0. k Bài toán 5.9: Cho phưtmg trình sau có 2 nghiệm X|, X2. (m - 1) x^ - 2(m I 2)x ( m t 1 0, lìm m đố 2 nghiệm thoá mãn X| ^2x2- Giải Diều kiện đc phưcmg trình có hai nghiêm là: m ^1, A' 4m i 5>0 m > — , m 1. 4 101
s ÍX | + Xt 3x, ^ 3 Theo đề ta có: [x,x, = 2 \\ „2 p ^2 = . p ^ m+1 (2m + 4)^ ^ Do đó: ^ = — _ — = -— .
Vây - —,m ? tO v à m 9 í:l. 2 Bài toán 5.12: Giải và biện luận phưong trình: 2x^ - (3 - 2m)x^ - 2mx - + 1 =■- 0. Giải Ta viết lại PT theo ẩn m: - 2(x^ - x)m + (3x^ - 2x^ - 1) = 0 A' = (x" - x)" - (3x“ - 2x^ - 1) = x'* - 2x^ + x^ - 3x^ + 2x^ + 1 - x"* - 2x^ + 1 = (x^ - 1)^ Do đó: m = x' - x - ( x ^ - l ) = l - x X = 1- m «> m= X" - X + (x" - 1) = 2x" - X - 1 2x“- X - (m +1) = 0 (A = 8m + 9) , V Nêu m < - —, phương trình có nghiệm X = 1 - m. 8 9 1 Nêu m = - —, PT có nghiệm kép X = — và nghiệm X = 1 - m. Xĩ- m — -ĩ 1 _ l± V 8m + 9 , _ 8 4 Bài toán 5.13: Định m để phương trình sau có nghiệm (x - 1) (x+5)(x - 3)(x+7) = m. Giải PT: (x - l)(x+5)(x - 3)(xf7) = m Cí> (x^ K x - 5)(x^+4x - 21) = m Đặt t = x^+4x -13 = (x-i-2)^ - 17 > - 17 Phương trình trở thành (t t-8)(t - 8) = m o t^ = m 4- 64 > 0 Vậy phương trình có nghiệm khi m > - 64. Bài toán 5.14: Định m để phương trình sau có nghiệm: (x+3)'^ +(x+5)'* = m. Giải Đặt t = X + 4. PT (t - 1)"* + (t + 1)'* = m « (t- - 2t + 1)^ + (t^ + 2t -M)^ = m « 2tV l2t^+2 - m = 0 Đặt y = t^; y > 0 thì PT 2y^ 4 12y 4 2 - m = 0 (*). Phương trình cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm không âm. Nhung do s = - 6 < 0 nên phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi p= 2 2 Bài toán 5.15: Tìm m để phương trình (m - l)x'* + 2(m - 3)x^ 4 m +3 = 0 có nghiệm. 103
Giải Đặt t = x“ > 0 PT trờ thành (m - l)t^ + 2(m - 3)t f m + 3 = 0 (*) Phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm không âm. Xét m =1 thì (*) 0 3 ■ 0 < t, < t , «p >0 m+3 1< m < 0 s >0 m -1 m -3 >0 m -1 n Vậy giá trị cần tìm là - 3 < m < —. Cách khác: Ta xét điều kiện vô nghiệm rồi suy ra điều kiện có nghiệm. Bài toán 5.16: Tìm m để phương trình x"* - 2(m+4)x^ t m^ 8 = 0 có 4 nghiệm phân biệt Xi < X2 < X3 < X4 và X2 - Xi = X3 - X2 = X4 - X3 . Giải Vì phương trình trùng phương nên X4 = - X i; X3 = - X2 Do đó điều kiện ở giả thiết trở thành X4 = 3x3 Bài toán trở thành tìm m để phương trình: t^ - 2(m+2)t + m^ + 8 = 0 m+4 có hai nghiệm ti, Í2 dương mà t2 = 9ti lOti = ti + Í2 = 2(m+4) => ti ' , . 8(2m^ -9 m + 7) . ^ 2 r. ^ ^ r. 1 hế ti vào ta được: ------------------ = 0 2m - 9m + 7 = 0 25 o m =1 hoặc m = —. Thử lại, cả hai giá trị đều thoả. Bài toán 5.17: Tìm m để phương trình có nghiệm; x+ 3(m - 3x^)^= m. Giải Đặt y = m - 3x^ 3x^ + y = m. Ta có hệ: |x + 3 y ^ = m íy + 3x^=m íy + 3x^ = m [y + 3x“ =m |x - y - 3 ( x ^ - y ^ ) = 0 |( x - y ) ( l - 3 x - 3 y ) = 0 104
l-3x jy = x hoặc < +x-m = 0 1- 3 x 3x'- + =m Do đó điều kiện có nghiệm X là phương trinh 3x^ + X- m=0 có nghiệm hoặc 9x^ - 3x + 1 - 3m = 0 c ó nghiệm. 1 m>- A, = 1+ 12m > 0 p 1 m > —— . =108m-27>0 m>— 4 Bài toán 5.18: Tìm m để phương trình; x^ + mx^ - 3 = 0 có một nghiệm duy nhất. Giải Xét m = 0 thì PT: x^ - 3 = 0 X = \Í3 : có nghiệm duy nhất. Xét m 0. Đặt f(x) = x^ -í mx^ - 3, D = R. Ta có f'(x ) = 3x^ + 2mx = x(3x + 2m) ■2m f ’( x ) = 0 X = 0 h o ặ c X có 2 nghiệm phân biệt. Phương trình f(x) = x^ + mx^ - 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số cùng dấu: '' 8m^ 4m ^_3^ > 0 « (-3 ) >0 V 27 8m^ - 12m^ + 81 > 0 o 4m^
Bài toán 5.20: Tìm tham số k đế phương trình có 4 nghiệm: 2x'' - 17x^ f 51x^ - (36 + k)x + k - 0 (1) Giải Với mọi k thì X = 1 luôn thoả mãn phương trình (1) Ta có (1) (x - 1) (2x^ - 15x^ + 36x - k) = 0 X=1 hoặc 2x^ - 15x^ + 36x - k = 0(*) - Trường hợp X = 1 là nghiệm cùa (*) k = 23 Khi đó (*): 2x^ -1 5 x “ + 36x- 23 = 0 « (x -1 ) (2x^ - 13x + 23) = 0 « X = 1 hoặc 2x^ - 13x + 23 = 0 X = 1 Vậy khi k = 23 thì (1) có nghiệm duy nhất X = 1 - Với k 23, khi đó X = 1 không phải là nghiệm của (*) nên số nghiệm của (1) bằng 1 cộng với số nghiệm của phương trình (*) Xét f(x) = 2x^ -15x^ + 36x thì; f'(x) = 6x^ -30x t- 36 == 6 (x^ - 5x t 6 ) f'(x) = 0 « x= 2 hay x=3 Lập bảng biến thiên PT có bốn nghiệm phân biệt khi (*) có ba nghiệm phân biệt nên 27 < k < 28. Bài toán 5.21: Tìm a để phương trình sau vô nghiệm. x^ +- 3x'^ + (6 - a)x'* + (7 - 2a)x^ + (6 - a)x" + 3x + 1 = 0. Giải Xét X = 0 => 1 = 0; loại. Xét X 0. Chia 2 vế cho x^, phương trìrứi; x^ + 3x" + (6 - a)x + (7 - 2a) -t- (6 - a). —+ ^ 0 X X X {x^+ \ ) + 3(x- -t--^ ) + (6 - a) (x + - ) t- 7 - 2a - 0 X X X Đặt t = X + - , 111 > 2=> t^ = x^ + ^ 4- 2 X X và t^ = x^ + — + 3(x + —) nên x^ + -■=t^ - 3t x^ X X' Do đó phưcmg trình: t^ - 3t + 3(t" - 2) + (6 - a)t + 7 - 2a = 0 (t + 2)a- t^ + 3t- + 3t t- 1 Khi t = - 2 thì phương trình không thoả. _ _ 1 ___/ + 3 c + j í + l (? + l) . 1 Khi t ^ ~ 2 thì phương trình; a = ------------------- = — —— t+ 2 t+ 2 (2t + 5)í( + l)^ Đặt f(t) - ^ , t < - 2 hay t > 2 thì f'(t) t +2 2{t + 2 f 106
27 27 Lâp bảng biên thiên thì f(t) > —- V/ e D nên phương ừình vô nghiêm khi a < — . 4 4 Bài toán 5.22: Xác định m saơ cho phương trình t"* —(m - l)t^ + 3t^ - (m - l)t + 1 = 0 có nghiệm. Giải Ta có t = 0 không là nghiệm, chia hai vế cho t^ t - ( m - l)t + 3 - ( m - 1) t t" r t + - ( m - 1 ) f t + -0 + 1 = 0 V Dặt X = t + - thì I X I > 2 và phương trình trở thành; 2 IX , 1_ A _ _ x^ + X + 1 ___ X X" -1 II Ta có: y' = — - - > 0, V I X I > 2 X 3 7 Lâp BB4 thi phương trình có nghiêm khi m < - — hay m > —. Bài toán 5.23: Tìm m đổ phương trình (m - l)x^ - (m - 5)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm phân biộl đều thuộc doạn [-2; 3). Giai Ta có PT đã cho tương đương với x “ - 5 x +1 (x^ - X + l)m = x^ - 5x I- 1 m ■ X --X +1 , X —5x -f-ì Xét hàm số f(x) = — — -------- , X e [-2; 3J X - x + 1 4x' - 4 (x - x + 1) 107
Bài toán 5.24: Tìm m để phương trinh có nghiệm: (1 m + 1 I + 1m - 2 I - 3)x = Im -t- 3 I -I- 1. Giải Vi Im + 1 I + 1m - 2 I - 3 = Im + 1 I - (m I' 1)4 I 2 - m 1 - (2 - m) > 0 Ím4l >0 Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi < -1 < m < 2 [2-m > 0 Do đó, nếu m < -1 hoặc m > 2 thì phương trình có nghiệm. Bài toán 5.25: Tìm tham sổ để phương trình: Imx - 2 I = IX -4 4 Icó nghiệm duy nhất. Giải (m-l)x = 6 (1) Ta có; mx - 2 X 4 4I (m 4 l)x = - 2 (2) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: - (1) có nghiệm duy nhất, (2) vô nghiệm: m ? t l v à m = - l m = - l - (1) vô nghiệm, (2) nghiệm duy nhất: m = l v à m ? t - l < i > m = l - (1) và (2) đều có nghiệm duy nhất và hai nghiệm đó trùng nhau m ±1, — 6(m4l) = - 2(m - 1) m = - — m -1 m 41 2 Cách khác: Bình phương hai vế dẫn đến phương trình: (m- - 1) x^ - 4(m42)x -1 2 = 0 Bài toán 5.26: Tìm tham số để phương trình: (x - 1)^ = 2 I X - k I c ó b ố n n g h i ệ m p h â n b i ệ t Ta có (x - 1)^ = 2 IX - k 1 « (x - 1)'* - 4(x - k)^ = 0 « (x^ - 2x 4 1)^ - 4 (x - k)^ = 0 (x^ - 2x414-2 - 2k) (x^ - 2x41 - 2x+2k) = 0 « (x^ 4 1 - 2k) (x^ - 4x -4 1 4 2k) = 0 x“ = 2 k - l (1) x--4x4l42k = 0 (2) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt X = ± y j 2 k - \ nếu k > — Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt X = 2 ± -v/3-2k nếu k < — Các nghiệm này khác nhau nếu k 9Í: 1. 1 3 Vậy phương trình đã cho có bôn nghiệm phân biệt khi - - < k < —,k?!:l. 108
Bài toán 5.27: Tìm tham số để phương trình có nghiệm Ix - l | + 2 | x ^ - 3 | + | x - 5 | = 4-m^. Giải Ta có: IX - 1 1 + IX - 5 I = i X - 1 1 -1- I5 - XI > I(x - 1) + (5 - x) I = 4 Nên IX - 1 1 + 2 1x^ - 3 I + IX - 5 1 > 4, Vx Mà 4 - m^ < 4, Vm, do đó VT > 4 > VP Nếu m 0 thì VT > 4 > VP: vô nghiệm Neu m = 0 thì VT = 4 nên dấu bằng đồng thời xảy ra: í(x-l)(5-x)>0 fl
43 Lập bảng biến thiên thì điều kiện có 4 nghiệm là 4 < m < Cách khác: đặt t = - 5x. Bài toán 5.30: Tìm m để phương trình (x - 1) IX - 5 1 = m có 3 nghiệm. Giải , I íx^ - 6 x + 5 khi X >5 Xét hàm y = (x - l ) | x - 5 | = < / [-xHó 5 khi X 0 và tương giao với đường thẳng y = m, ta có: (1) có 8 nghiệm khi (2) (2) có 4 nghiệm t dương nên 1 < m < 3. Vậy giá trị cần tìm 1 < m < 3. Bài toán 5.32: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm: 3x Vx + 2x + m-v/x + 2m + 16 = 0. Giải Đặt t = Vx > 0 với X > 0, t > 0. Phương trình tương đương: 3t^ -+ 2t“ + mt + 2m i 16 = 0 (t + 2)(3t^ - 4t m -i 8) - 0 V ì t > 0 n ê n 3t“ - 4 t + m + 8=-0(l). PT cho có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm t dương: 'A’> 0 [A'>0 hoặc p>0 p0 110
-3m-20>0 -3m-20 > 0 m+8 ^ 20 m+8 hoặc >0 o m < -— . 0 13 ì.. 20 Vậy giá trị cân tìm m < ---- Bài toán 5.33: Tìm m để phưong trình có nghiệm; V3 + X + V 6 - X - . ^ ( 3 + x ) ( 6 - x) = m . Giải Đặt t = a/ 3 + x +V ó-X > 0, -3 3 < t < 3 ^ / 2 . Bài toán trở thành tìm m để phương trình sau có nghiệm t - - 2 t + 2 m - 9 - 0 , t 6 [3; 3 V ĩ ] Xét f(t) = t^ - 2t t 2m - 9 Vì - = 1 < 3 < 3 V2 nên phương trình có nghiộm thuộc [3; 3 V2 ] khi và chỉ khi: [f(3 )< 0 6 V2 - 9 __ ^ ị r- -----< m < 3 . [f(3V2) > 0 2 Cách khác: Đánh giá tham số m: t“ - 2t - 9 = -2m. Bài toán 5.34: Tim các giá trị của m để phương trình: Ịx + 2 ( x - 2 ) ( x + 2)-f 3 ( x - 2 ) . ni(m + 3) có nghiệm duy nhất. X -2 Giải x+2 Điều kiện X < -2 hoặc X > 2. Đặt t = ( x - 2 ) J - PT: V + 3t - m(m + 3) = 0 o t = m hoặc t = -m - 3. 3 Hệ có nghiệm duy nhât k h i m = - m- 3 m = - —. Bài toán 5.35: Tìm m đế phương trình có nghiệm m(Vl + x' - V l - x ^ + 2 ) = 2 V l - x ‘’ +Vl + x^ - V ĩ - x ' . 111
G iải: Điều kiện - 1 < X < 1. Dặt t == Vl + x “ - Vl - X” thì t > 0 và = 2 - 2 Vl - x"* < 2, dấu = khi x^ = 1. Do đó 0 < t < V2 PT; m(t + 2) == 2 - + t« m= — t+2 t^ + 4 t Xét f(t) í '(t) f( V2 ) < m < f(0) V2 - 1 < m < 1. Bài toán 5.36: Tìm m để phương trinh có nghiệm: (4m - 3) Vx + 3 + (3m - 4)Vl -X + m -1 = 0. Giải iT ' ^ 3-\/x + 3 + 4-\Ị\ — X +1 kiện - 3"2 ^< X < 1. TPT " 1 •' Điêu — = m 4Vx + 3 + 3 V I - X +1 Ta có (Vx + 3 ) + ịỵjì - x j = 4 nên đặt: 2t 1 -T Vx + 3 = 2sin(p = 2,— , Vl - X = 2coscp = l + t' Với t = tan ^ , 0 < ọ 0 < t < 1. 2 2 7t - 1 2 t - 9 7t - 1 2 t - 9 PT C:í> m . Đặt f(t) ^ 0 < t < 1. 5 t^ -1 6 t-7 5t'-16t-7 -5 2 t^ - 8 t - 6 0 Ta c ó f'(t) < 0 nên f nghịch biến trên đoạn [0; 1], do đó điều (5t- - 1 6 t - 7 ) “ 7 9 kiện có nghiệm: f(l) < m < f(0) — < m < —. Bài toán 5.37: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: Vx^ +m x + 2 = 2 x + l. Giải Í2x + 1 > 0 PT i , . 1 3x^ + 4x - 1 = mx, X > [ x ^ + m x + 2 = (2x + l)- 112
3x"+4x-l_ 1 Vì X = 0 không thoả mãn nên: -------------------- = m , X > - — X 2 3 x.2‘' + 4 x - l 1 3x^+1 Xét f(x) = ----- , X > - —, X 5* 0 thi f (x) = —— í— 2 X BBT: . 1 X 2 0 +00 f' + + -1-00 ■■i'O0 f 9 2 -00 Điều kiện phưong trình cho có 2 nghiệm phân biệt 1 9 f(x) = m có 2 nghiệm phân biệt x > - —, x?t Om> — Bài toán 5.38: 4'ìm m để phưong trình: ■v/l + x +V 3-X W 3 + 2 x -x ^ = 2m có nghiệm. Giải Điều kiện -1 < X < 3. Đ ặ t t = -v/l + x + V 3-X ,x e [1; 3] 1 1 ■v/3-x - V l + X t = — J = -----p = = -^-7— r - — , x e (-1; 3); 2^J\ + X 2^1)- X 2V1 + X .V 3-X í-1 < X < 3 t' = 0 { ,— _ --------- X = 1 [V l + X = V 3 - X Ta có t(-l) = t( 3 ) = 2; t(l) = 2 V2 => rnax t = 2yỈ2; rnin t = 2 = ^ 2 < t < 2 ^ / 2 , V x e [-1;31 x e [ “ U 3] x e [ " l,3 ] Với t = V l + X + V 3 - X , X G [ -1; 3 ] , t a c ó: t^ = 4 + 2Ậ\ + x )(3 - x ) « t' = 4 + 2yl3 + 2 x - x ^ 'Jì + 2x - x^ = ----- - 2 Khi đó, phưong trình đã cho tưcmg đưong với: Í ..[ 2 ;2 4 ụ J 2 ,2 ự ĩ] t + - ^ ^ = 2m t ' + 2 t - 4 = 4m (*) 113
Xét hàm số f(t) = + 2t - 4, t e [2; 2 V2 ]; f'(t) = 2t + 2 > 0 , Vt e [ 2 ; 2 V2 ] =í> min f(t) = f(2) = 4 ; max f(t) = f ( 2 V2 ) = 4(1 W 2 ) tel2,2V2] tÊ[2,2/2j Vậy phương trình đã cho có nghiệm x e [-1; 3] phương trình (*) có nghiệm t e [2; 2 V2 ] 1. Khi X = 1 thì PT vô nghiệm. Khi X > 1, chia hai vế PT cho X - 1, ta có PT X m = - + 6 Vx-ly ^Jx-\ X X -2 Đặt t ,x > 1 =í>t’= Vx-1 ’ 2(x-l)Vx-l t' = 0 Cí> X = 2. Lập BBT = > t > 2 và mỗi t > 2 tương ứng có 2 nghiệm X phân biệt và t = 2 tương ứng chỉ có 1 nghiệm X. Do đó; m = -t^ 6t với 2 < t. Xét f(t) = -t^ + 6t; f '(t) - -2t + 6 = 0 « t = 3. Lập BBT suy ra PT có 4 nghiệm phân biệt « 8 < m < 9. Bài toán 5.40: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m + 2 + V 4 —x^ = mx có nghiệm. Giải ĐK: -2 < x < 2. Xét X = 1 0 = 3: PT vô nghiệm 2+V ^ Xét X 1 thì PT m ^ x -1 2 + -v/4-x^ -4-2^- Đặt: f(x) f'(x) = (x -l)^ V Ĩ-^ Suy ra: f'(x) < 0, Vx e (-2; 1) u (1; 2). __ 2 Lập BBT thì phương trình có nghiệm m e ( - 00 ; - — ] u (2; + 00 ). 114
Bài toán 5.41: Tìm m để phương trình Vĩ + x + V l - X = a có nghiệm. Giải íu = V Ĩ+ ^ Đặt = 2. Ta có hệ: v = VTÕ^ u+v=a í Li + V = a u+v=a U^+V“ = 2 Ị(u + v)’ - 3uv(u + v) = 2 Ị a ’ -3a.uv = 2 , [u + V = 0 Nêu a = 0: Hệ j : vô nghiệm. u+ V= a Nếu a 0; Hệ a -2 uv = 3a a ^ -2 Do đó Li, V là 2 nghiệm của phương trình - aX + 3a Điều kiện có nghiệm: a 0 và A > 0: a ^ -2 8— a - 4 > 0 — ^ > 0 « a(8 - aV > 0 3a 3a a(2 - a)(4 + 2a ^ a^) > 0 a(2 - a) > 0 0 < a < 2 Vậy giá trị cần tìm: 0 < a < 2. Cách khác: Xét hàm f(x) = Vl - X + Vl + X , D = R V ( i - x ) - - x l ạ +x ) - = , f ‘(x) = 0 ^ X =0 ĩ y ạ - x Y .ịỊạ + x Ý lim f(x)= lim (Vl'X + Vl + x) = lim (Vl + X - V l - x ) J f^ + C 0 .v-> + o o ' .X— »+« 0 ________________ 2________________ lim 0 ^•->+00 ỉặJ ( \ + x ) Ỵ + Ự ( x^ - 1) + ị ^ Ậ x - \ ) Ỵ Tương tự lim f(x)^= 0. n Lập ĩ an BBl’ Rĩ^ 1^thì tị^ì PT r*A có rxíTVii^m