Tìm hiểu về tích phân và đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, tác giả tìm hiểu về tích phân phân số Riemann-Liouville và đạo hàm phân số Riemann-Liouville. Việc này thực sự cần thiết cho những ai mới bắt đầu tìm hiểu về phương trình vi phân cấp phân số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm hiểu về tích phân và đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville

TÌM HIỂU VỀ TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ RIEMANN LIOUVILLE Nguyễn Thị Linh1 1. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu định nghĩa và một số công thức của tích phân và đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville . Kèm theo đó là một số ví dụ minh hoạ. Từ khoá : Fractional derivatives; Fractional integral; Riemann-Liouville. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Mối quan tâm đối với phương trình vi phân cấp phân số và những ứng dụng của nó tăng lên mạnh mẽ trong nhiều năm gần đây. Chúng tôi quay về lịch sử tìm hiểu về nguồn gốc của khái niệm này. Theo nhiều nguồn tài liệu thì thế kỷ XVII là thời điểm mà Newton và Leibniz phát triển nền tảng của phép tính vi phân và tích phân. Vào năm 1695, trong lá thư Leibniz gửi L'Hospital, Leibniz đã giới thiệu biểu tượng 𝑑𝑛 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑛 để chỉ đạo hàm bậc 𝑛 của hàm 𝑓 với 𝑛 là một số tự nhiên. L'Hospital đã trả lời: “ 𝑑𝑥 𝑛 𝑓(𝑥) có nghĩa là gì nếu 𝑛 = 1/2?”. Từ phân số 1/2 mà L'Hospital đề cập trong thư đã dẫn đến tên gọi “fractional derivatives”, “Fractional integral”. Và tên gọi này được sử dụng đến ngày nay. Mặc dù đến nay người ta đã biết rõ rằng không có lý do gì để hạn chế 𝑛 trong tập hợp số hữu tỷ. Trên thực tế, ngay cả các số phức cũng được chấp nhận cho khái niệm này. Khái niệm này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học lỗi lạc như Euler, Laplace, Riemann, Liouville,… nghiên cứu trong các thế kỷ tiếp theo, thế kỉ XVIII và XIX. Tích phân phân số Riemann- Liouville như là nguồn gốc cho tất cả các loại đạo hàm cấp phân số được đưa ra sau này và có nhiều ứng dụng như đạo hàm phân số Caputo, đạo hàm phân số Hilfer, đạo hàm phân số Hadamard. Trong bài báo cáo này, chúng tôi tìm hiểu về tích phân phân số Riemann-Liouville và đạo hàm phân số Riemann-Liouville. Việc này thực sự cần thiết cho những ai mới bắt đầu tìm hiểu về phương trình vi phân cấp phân số. 2. NỘI DUNG 2.1. Hàm Gamma và hàm Beta Trong phần này ta xét 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ và 𝛼, 𝛽 > 0. 2.1.1. Định nghĩa Hàm Gamma kí hiệu là Γ hàm Beta kí hiệu là Β, được định nghĩa như sau ∞ ∞ Γ(α) = ∫ 𝑡 𝛼−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡, Β(α, β) = ∫ (1 − 𝑡) 𝛼−1 𝑡 𝛽−1 𝑑𝑡 . 0 0 2.1.2. Một số tính chất Γ(1) = 1; (1) 309
Γ(α + 1) = αΓ(α); (2) Γ(𝑛 + 1) = n! (3) với mọi n ∈ ℕ . Chứng minh. Từ định nghĩa hàm Gamma dễ thấy ∞ 1 Γ(1) = ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = lim (1 − ) = 1. 𝑡→∞ 𝑒𝑡 0 Như vậy (1) được chứng minh xong. Tiếp theo ta chứng minh (2). Từ định nghĩa hàm Gamma ta có ∞ ∞ 𝛼 −𝑡 𝛼 −𝑡 ∞ Γ(α + 1) = ∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 = −𝑡 𝑒 | + ∫ 𝛼𝑡 𝛼−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 0 0 0 ∞ = 𝛼 ∫ 𝑡 𝛼−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = αΓ(α). 0 Từ (1) và (2) ta có Γ(𝑛 + 1) = nΓ(𝑛) = n(n − 1)Γ(𝑛 − 1) = n(n − 1)(n − 2)Γ(𝑛 − 2) = n(n − 1)(n − 2)(𝑛 − 3) … 3.2. Γ(2) = n!. Như vậy (3) được chứng minh. 2.1.3. Mối liên hệ giữa hàm Gamma và hàm Beta Γ(α)Γ(β) Β(α, β) = . Γ(α + β) Chứng minh. Từ định nghĩa hàm Gamma và hàm Beta ta có ∞ ∞ ∞ ∞ Γ(α)Γ(β) = ∫ 𝑢 𝛼−1 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 ∫ 𝑣 𝛽−1 𝑒 −𝑣 𝑑𝑣 = ∫ ∫ 𝑒 −𝑢−𝑣 𝑢 𝛼−1 𝑣 𝛽−1 𝑑𝑢𝑑𝑣 . 0 0 0 0 Đổi biến 𝑢 = 𝑠𝑡, 𝑣 = 𝑠(1 − 𝑡) ta có ∞ 1 Γ(α)Γ(β) = ∫ ∫ 𝑒 −𝑠 (𝑠𝑡) 𝛼−1 [𝑠(1 − 𝑡)] 𝛽−1 𝑠𝑑𝑡𝑑𝑠 0 0 ∞ 1 = ∫ 𝑠 𝛼+𝛽−1 𝑒 −𝑠 𝑑𝑠 ∫ 𝑡 𝛼−1 (1 − 𝑡) 𝛽−1 𝑑𝑣 = Γ(α + β)Β(α, β) . 0 0 Từ đây suy ra Γ(α)Γ(β) Β(α, β) = . Γ(α + β) 2.2. Tích phân phân số và đạo hàm phân số Riemann-Liouville 2.2.1. Định nghĩa Cho 𝑎, 𝑏, α ∈ ℝ, α > 0, a < x < b. Tích phân phân số Riemann-Liouville bên trái bậc α kí hiệu là ⬚ 𝐼 𝑎𝛼+ 𝑓 , tích phân phân số Riemann-Liouville bên phải bậc α kí hiệu là ⬚ 𝐼 𝑏𝛼− 𝑓(𝑥) được định nghĩa 𝑅𝐿 𝑅𝐿 như sau 310
𝑥 𝑅𝐿 𝛼 1 𝑓(𝑡) ⬚ 𝐼 𝑎+ 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 , Γ(α) (𝑥 − 𝑡)1−α 𝑎 𝑏 𝑅𝐿 𝛼 1 𝑓(𝑡) ⬚ 𝐼 𝑏− 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑑𝑡. Γ(α) (𝑡 − 𝑥)1−α 𝑥 Đạo hàm phân số Riemann-Liouville bên trái bậc α kí hiệu là ⬚ 𝐷 𝑎𝛼+ 𝑓 , đạo hàm phân số 𝑅𝐿 𝑅𝐿 Riemann-Liouville bên phải bậc α kí hiệu là ⬚ 𝐷 𝑏𝛼− 𝑓(𝑥) được định nghĩa như sau 𝑑 𝑛 𝑅𝐿 ⬚ 𝐷 𝑎𝛼+ 𝑓(𝑥) = ( ) 𝑅𝐿 𝑛−𝛼 ⬚ 𝐼 𝑎+ 𝑓(𝑥) , 𝑑𝑥 𝑅𝐿 𝑑 𝑛 𝑅𝐿 𝑛−𝛼 ⬚ 𝐷 𝑏𝛼− 𝑓(𝑥) = (− ) ⬚ 𝐼 𝑏− 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 Ở đây [𝛼] + 1 𝑛ế𝑢 𝛼 ∉ ℕ∗ ; 𝑛={ 𝛼 𝑛ế𝑢 𝛼 ∈ ℕ∗ . Đặc biệt khi 𝛼 ∈ ℕ thì 𝑅𝐿 ⬚ 𝐷 0+ 𝑓(𝑥) = ⬚ 𝐷 0− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) , 𝑎 𝑅𝐿 𝑏 𝑅𝐿 𝑛 (𝑛) ⬚ 𝐷 𝑎+ 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑥) , 𝑅𝐿 𝑛 𝑛 (𝑛) (𝑥). ⬚ 𝐷 𝑏 − 𝑓(𝑥) = (−1) 𝑓 Ví dụ 2.1 Xét 𝑓(𝑥) = 𝐶 , 𝐶 là hằng số, α > 0, 𝑎 = 0, ta có 𝑥 𝑅𝐿 𝛼 𝑅𝐿 𝛼 1 𝐶 𝐶(𝑥 − 𝑡)α 𝑥 𝐶𝑥 α ⬚ 𝐼0+ 𝑓(𝑥) = ⬚ 𝐼0+ (𝐶) = ∫ 𝑑𝑡 = | = . Γ(α) (𝑥 − 𝑡)1−α 𝛼Γ(α) 0 Γ(α + 1) 0 Ví dụ 2.2 1 Xét 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝛼 = 2 , 𝑎 = 0 ta có 𝑥 𝑥 1 1 𝑅𝐿 2 𝑅𝐿 2 1 𝑡 1 𝑥− 𝑢 ⬚ 𝐼0+ 𝑓( 𝑥) = ⬚ 𝐼0+ ( 𝑥) ∫ 1 𝑑𝑡 = ∫ 1 𝑑𝑢 1 1 Γ (2) 0 (𝑥 − 𝑡)2 Γ (2 ) 0 𝑢 2 1 1 2 3 𝑥 4 3 = (2𝑥𝑢2 − 𝑢2 ) | = 𝑥2 , 1 3 0 1 Γ (2) 3Γ (2) 1 1 1 𝑅𝐿 2 𝑅𝐿 2 𝑑 𝑅𝐿 2 𝑑 4 3 2 1 ⬚ 𝐷0+ 𝑓(𝑥) = ⬚ 𝐷0+ (𝑥) = ⬚ 𝐼0+ 𝑓(𝑥) = ( 𝑥2) = 𝑥 2. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 3Γ (1) 1 Γ (2) 2 Ví dụ 2.3 Xét 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , 𝑎 = 0 và α ∈ ℝ ta có 𝑥 𝑥 𝑅𝐿 𝛼 1 𝑡2 𝑥 𝛼−1 𝑡 α−1 ⬚ 𝐼0+ 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡 2 (1 − ) 𝑑𝑡. Γ(α) (𝑥 − 𝑡)1−α Γ(α) 𝑥 0 0 Đổi biến 𝑡 = 𝑢𝑥 ta có 311
1 1 𝑅𝐿 𝛼 𝑥 𝛼−1 𝑥 𝛼+2 ⬚ 𝐼0+ 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑢2 (1 − 𝑢)α−1 𝑥 3 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢2 (1 − 𝑢)α−1 𝑑𝑢 Γ(α) Γ(α) 0 0 𝑥 𝛼+2 𝑥 𝛼+𝑘 Γ(α)Γ(3) Γ(3) = Β(3; α) = = 𝑥 𝛼+2 . Γ(α) Γ(α) Γ(α + 3) Γ(α + 3) 2.2.2. Một số công thức thông dụng Cho 𝑎, 𝑏, 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ và 𝛼, 𝛽 > 0, ta có 𝑅𝐿 𝛼 Γ(β + 1) ⬚ 𝐼 𝑎+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = (𝑥 − 𝑎) 𝛼+𝛽 , (4) Γ(α + β + 1) 𝑅𝐿 𝛼 Γ(β + 1) ⬚ 𝐼 𝑏 − (𝑏 − 𝑥) 𝛽 = (𝑏 − 𝑥) 𝛼+𝛽 . (5) Γ(α + β + 1) Nếu 𝛽 + 1 > 𝛼 ta có Γ(β + 1) 𝑅𝐿 ⬚ 𝐷 𝑎𝛼+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = (𝑥 − 𝑎) 𝛽−𝛼 , (6) Γ(β − α + 1) 𝑅𝐿 Γ(β + 1) ⬚ 𝐷 𝑏𝛼− (𝑏 − 𝑥) 𝛽 = (𝑏 − 𝑥) 𝛽−𝛼 . (7) Γ(β − α + 1) Nếu 𝑎 → −∞ ta có 𝑅𝐿 𝛼 𝑒 𝑘𝑥 ⬚ 𝐼 𝑎+ 𝑒 𝑘𝑥 = . (8) 𝑘𝛼 Chứng minh. Theo định nghĩa tích phân phân số Riemann-Liouville ta có 𝑥 𝑅𝐿 𝛼 1 (𝑡 − 𝑎) 𝛽 ⬚ 𝐼 𝑎+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = ∫ 𝑑𝑡. Γ(α) (𝑥 − 𝑡)1−α 𝑎 Đổi biến 𝑡 = 𝑎 + 𝑠(𝑥 − 𝑎), 𝑣 = 𝑠(1 − 𝑡), khi đó ta có 1 𝑅𝐿 𝛼 𝛽 1 ⬚ 𝐼 𝑎+ (𝑥 − 𝑎) = ∫[𝑠(𝑥 − 𝑎)] 𝛽 [(𝑥 − 𝑎)(1 − 𝑠)] 𝛼−1 (𝑥 − 𝑎)𝑑𝑠 Γ(α) 0 1 (𝑥 − 𝑎) 𝛼+𝛽 = ∫ 𝑠 𝛽 (1 − 𝑠) 𝛼−1 𝑑𝑠 Γ(α) 0 (𝑥 − 𝑎) 𝛼+𝛽 = Β(β + 1, α) Γ(α) (𝑥 − 𝑎) 𝛼+𝛽 Γ(α)Γ(β + 1) = Γ(α) Γ(α + β + 1) Γ(β + 1) = (𝑥 − 𝑎) 𝛼+𝛽 . Γ(α + β + 1) Như vậy công thức (4) được chứng minh. Tiếp theo ta có 312
𝑑 𝑛 𝑑 𝑛 Γ(β + 1) 𝑅𝐿 ⬚ 𝐷 𝑎𝛼+ (𝑥 𝛽 − 𝑎) = ( ) 𝑅𝐿 𝑛−𝛼 ⬚ 𝐼 𝑎+ (𝑥 𝛽 − 𝑎) = ( ) (𝑥 − 𝑎) 𝑛−𝛼+𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Γ(n − α + β + 1) Γ(β + 1) Γ(n + β − α + 1) = (𝑥 − 𝑎) 𝛽−𝛼 Γ(n + β − α + 1) Γ(β − α + 1) Γ(β + 1) = (𝑥 − 𝑎) 𝛽−𝛼 . Γ(β − α + 1) Như vậy công thức (6) được chứng minh. Chứng minh tương tự ta được hai công thức (5) và (7). Cuối cùng ta chứng minh (8). Ta có 𝑥 𝑥−𝑎 𝑅𝐿 𝛼 1 𝑒 𝑘𝑡 1 𝑒 𝑘(𝑥−𝑢) ⬚ 𝐼 𝑎+ 𝑒 𝑘𝑥 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑢 Γ(α) (𝑥 − 𝑡)1−α Γ(α) 𝑢1−α 𝑎 0 𝑥−𝑎 𝑘(𝑥−𝑎) 𝑒 𝑘𝑥 𝑒 −𝑘𝑢 𝑒 𝑘𝑥 𝑒 −𝑦 = ∫ 1−α 𝑑𝑢 = 𝛼 ∫ 𝑑𝑦. Γ(α) 𝑢 𝑘 Γ(α) 𝑦1−α 0 0 Nếu 𝑎 → −∞ ta có 𝑘(𝑥−𝑎) 𝑒 −𝑦 ∫ 𝑑𝑦 = Γ(α). 𝑦 1−α 0 Vậy (8) được chứng minh. Ví dụ 2.4 1 Xét 𝛼 = 2 , 𝛽 = 1, 𝑎 = 0 ta có 1 𝑅𝐿 𝛼 𝑅𝐿 2 Γ(2) 3 4 3 ⬚ 𝐼 𝑎+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = ⬚ 𝐼0+ (𝑥) = 𝑥2 = 𝑥2 , 5 1 Γ (2) 3Γ (2) 1 𝑅𝐿 2 Γ(2) 1 2 1 ⬚ 𝐷0+ (𝑥) = 𝑥2 = 𝑥 2. 3 1 Γ (2) Γ (2) Xét 𝛼 = 1, 𝛽 = 1, 𝑎 = 0 ta có 𝑅𝐿 𝛼 𝑅𝐿 1 Γ(2) 2 1 2 ⬚ 𝐼 𝑎+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = ⬚ 𝐼0+ (𝑥) = 𝑥 = 𝑥 , Γ(3) 2 Γ(2) 0 𝑅𝐿 ⬚ 𝐷 𝑎𝛼+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = 𝑅𝐿 1 ⬚ 𝐷0+ (𝑥) = 𝑥 = 1. Γ(1) Ví dụ 2.5 1 Xét 𝛼 = 2 , 𝛽 = 2, 𝑎 = 0 ta có 1 𝑅𝐿 𝛼 𝑅𝐿 2 2 Γ(3) 5 8 5 ⬚ 𝐼 𝑎+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = ⬚ 𝐼0+ 𝑥 = 𝑥2 = 𝑥2 , 7 1 Γ (2) 15Γ (2) 1 Γ(3) 3 2 3 𝑅𝐿 ⬚ 𝐷 𝑎𝛼+ (𝑥 − 𝑎) = 𝛽 𝑅𝐿 2 2 ⬚ 𝐷0+ 𝑥 = 𝑥2 = 𝑥 2. 5 1 Γ (2) 3Γ (2) 313
Xét 𝛼 = 1, 𝛽 = 2, 𝑎 = 0 ta có 𝑅𝐿 𝛼 𝑅𝐿 1 2 Γ(3) 3 1 3 ⬚ 𝐼 𝑎+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = ⬚ 𝐼0+ 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 , Γ(4) 3 Γ(3) 𝑅𝐿 ⬚ 𝐷 𝑎𝛼+ (𝑥 − 𝑎) 𝛽 = 𝑅𝐿 1 2 ⬚ 𝐷0+ 𝑥 = 𝑥 = 2𝑥. Γ(2) Ví dụ 2.6 Nếu 𝑎 → −∞, 𝛼 = 1, 𝑘 = 2 ta có 𝑅𝐿 𝛼 𝑘𝑥 𝑅𝐿 1 2𝑥 𝑒 2𝑥 ⬚ 𝐼 𝑎+ 𝑒 = ⬚ 𝐼 𝑎+ 𝑒 = . 2 1 Nếu 𝑎 → −∞, 𝛼 = 2 , 𝑘 = 2 ta có 1 𝑅𝐿 𝛼 𝑅𝐿 2 2𝑥 𝑒 2𝑥 ⬚ 𝐼 𝑎+ 𝑒 𝑘𝑥 = ⬚ 𝐼 𝑎+ 𝑒 = . √2 3. KẾT LUẬN Bài báo cáo đã trình bày định nghĩa và một số tính chất ban đầu của hàm Gamma, hàm Beta, tích phân và đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville. Hướng nghiên cứu tiếp theo, chúng tôi sẽ tìm hiểu: • Đạo hàm Caputo. • Các mô hình phương trình vi phân cấp phân số. • Làm thế nào có thể giải được phương trình vi phân cấp phân số (chính xác hoặc gần đúng)? TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Dumitru Baleanu, Kai Diethelm, Enrico Scalas, Juan J. Trụillo, Fractional calculus (2017). World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2. K. Diethelm (2010). The Analysis of Fractional Differential Equation. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. DOI10.1007/978-3-642-14574-2 1 314