zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 14 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Kiếp Này Bình Yên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

95
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 14 giới thiệu về phép tịnh tiến và phân thức đơn giản. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu 2 nội dung chính, đó là: Quy tắc phân thức đơn giản, sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 14 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 14 §3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản • Quy tắc phân thức đơn giản • Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai 1. Mở đầu. Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng có nghiệm là biến đổi Laplace nghịch P (s ) đảo của hàm hữu tỉ R (s ) = Q( s ) Cần đưa ra kĩ thuật cho phép tính L −1 {R (s )} được thuận lợi. 2. quy tắc phân thức đơn giản a) Quy tắc 1. Phân thức đơn giản tuyến tính n Nếu Q(s ) có ( s − a ) thì R ( s ) có các số hạng sau A1 A2 An + 2 + ... + n , Ai ∈ », i = 1, n s − a (s − a ) (s − a ) b) Quy tắc 2. Phân thức đơn giản bậc hai n Nếu Q ( s ) có ( ( s − a )2 + b 2 ) thì R ( s ) có dạng A1s + B1 A2s + B2 Ans + Bn 2 + 2 + ... + n (s − a ) + b2 ( s − a ) 2 + b 2   ( s − a )2 + b 2      ở đó Ai , Bi ∈ », i = 1, n Định lí 1. Biến đổi trên trục s { Nếu F (s ) = L {f (t )} tồn tại với s > c , thì tồn tại L eat f (t ) với s > a + c và có } { } L eat f (t ) = F (s − a ) . Hay tương đương với L −1 {F (s − a )} = eat f (t ) Chứng minh. Ta có ∞ ∞ ∫ ∫ f ( t ) dt = e −st eat f ( t )  dt = L {eat f ( t )} , s − a > c − ( s − a )t F (s − a ) = e 0 0 Từ kết quả này và từ bảng 4.1.2 có f (t ) F (t ) n! at n e t n +1 , s>a (2.1) (s − a ) s−a at e cos(kt ) 2 , s>a (2.2) 2 (s − a ) +k k at e sin(kt ) 2 , s>a (2.3) 2 (s − a ) +k
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ 1. Tìm phép biến đổi Laplace ngược của s2 + 1 a) R (s ) = s 3 − 2s 2 − 8s ( ) s2 + 1 A B C •R s = = + + s ( s + 2 )( s − 4 ) s s + 2 s − 4 • s 2 + 1 = A(s + 2)(s − 4) + Bs(s − 4) + Cs(s + 2) . • Thay s = 0 , s = −2 , và s = 4 ta có 1 5 17 −8 A = 1, 12B = 5 , 24C = 17 ⇔ A = − ; B = ,C= 8 12 24 1 1 5 1 17 1 • R (s ) = − . + . + . , 8 s 12 s + 2 24 s − 4 1 5 17 4t • L −1 {R ( s )} = − + e −2t + e . 8 12 24 s 2 + 2s ( t ) = 1 ( 2 cos t − sin t − 2 cos 2t + 2 sin 2t ) ) b) F s = 4 ( ) ( f s + 5s 2 + 4 3 s 2 − 2s c) F s = 4 ( ) ( f ( t ) = −2 cos t − sin t + 2 cos 2t + 2 sin 2t ) s + 3s 2 + 2 Ví dụ 2. Giải bài toán giá trị ban đầu y ′′ + 4 y ′ + 4 y = t 2 ; y (0) = y ′(0) = 0. 2 • Tác động phép biến đổi Laplace ta có s 2Y (s ) + 4sY (s ) + 4Y (s ) = 3 . s 2 A B C D E • Y (s ) = 3 = + + + + s (s + 2)2 s 3 s 2 s ( s + 2 )2 s + 2 1 1 3 1 3 • Đồng nhất các hệ số ta có Y (s ) = 23 − 22 + 8 − 4 2 − 8 s s s (s + 2) s+2 1 2 1 3 1 3 • y (t ) = t − t + − te −2t − e −2t . 4 2 8 4 8 1 Ví dụ 3. Xét một hệ con lắc lò xo với m = , k = 17 , c = 3 đơn vị (mét, kilôgam, giây). 2 x (t ) là khoảng dịch chuyển của khối lượng m từ vị trí cân bằng của nó. Nếu khối lượng được đặt ở vị trí x(0) = 3 , x '(0) = 1. Tìm x (t ) là hàm của dao động tự do tắt dần. Hình 4.3.1. Hệ khối lượng-lò xo và vật cản của Ví dụ 1 1 • Ta có phương trình vi phân tương ứng với bài toán là: x ′′ + 3 x ′ + 17 x = 0 2 với điều kiện ban đầu x(0) = 3 ; x ′(0) = 1
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • Tác động phép biến đổi Laplace vào hai vế, chú ý L {0} = 0 ta có s 2 X (s ) − 3s − 1 + 6 [sX (s ) − 3] + 34 X (s ) = 0   3s + 19 s+3 5 • X (s ) = 2 = 3. +2 s + 6s + 34 ( s + 3 ) + 25 ( s + 3 )2 + 25 2 • Sử dụng (2.2), (2.3) có x(t ) = e −3t ( 3 cos5t + 2 sin5t ) Hình 4.3.2. Hàm vị trí x (t ) trong Ví dụ 1. Từ hình ta thấy đồ thị của dao động tắt dần. Ví dụ 4. a) Xét hệ con lắc lò xo - giảm xóc như trong Ví dụ 3, tuy nhiên với điều kiện x(0) = x ′(0) = 0 và với một lực tác động bên ngoài F (t ) = 15 sin2t . Tìm chuyển động tức thời và ổn định của khối lượng đó. • Ta cần giải bài toán với giá trị ban đầu x "+ 6 x '+ 34 x = 30 sin 2t ; x(0) = x '(0) = 0 . 60 • Tác động phép biến đổi Laplace vào ta có s 2 X (s ) + 6sX (s ) + 34 X (s ) = 2 s +4 60 As + B Cs + D • X (s ) = = 2 + . ( ) s 2 + 4 (s + 3)2 + 25  s + 4 ( s + 3 ) + 25   2 10 50 10 • Đồng nhất ta có A = − ,B= , C =D= . Vì vậy, 29 29 29 1  −10s + 50 10s + 10  1  −10s + 25.2 10(s + 3) − 4.5  • X (s ) =  + =  + . 29  s 2 + 4 2 ( s + 3 ) + 25   29  2 ( s + 3 ) + 25  2   s +4 5 2 • Do đó x(t ) = ( −2cos 2t + 5 sin 2t ) + e −3t ( 5 cos5t − 2 sin5t ) . 29 29 (3) b) x + x ′′ − 6 x ′ = 0, x ( 0 ) = 0, x ′ ( 0 ) = x ′′ ( 0 ) = 1 +) s 3 X ( s ) − s − 1 + s 2 X ( s ) − 1 − 6sX ( s ) = 0 s+2 1 5 1 6  +) X ( s ) = 3 = − − +  s + s − 6s 15  s s + 3 s − 2  2 +) = 15 1( −5L {1} − L {e −3t } + 6L {e 2t } ) = L { 1 ( 2t 15 } 6e − e −3t − 5 ) 1 ( 2t +) x ( t ) = 6e − e −3t − 5 ) 15
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1( c) x ′′ − 6 x ′ + 8 x = 2, x ( 0 ) = 0 = x ′ ( 0 ) 1 − 2e 2t + e 4t ) ( x (t ) = 4 1  −t d) x ′′ + 4 x ′ + 8 x = e −t , x ( 0 ) = x ′ ( 0 ) = 0 ( x ( t ) = 2e − e ( 2cos 2t + sin2t )  ) −2t 10 ( ) ( ) 1 e) x 4 − x = 0, x ( 0 ) = 1, x ′ ( 0 ) = x ′′ ( 0 ) = x 3 ( 0 ) = 0 ( x ( t ) = ( cosh t + cos t ) ) 2 ( 4) (3) f) x + 13 x ′′ + 36 x = 0, x ( 0 ) = x ′′ ( 0 ) = 0, x ′ ( 0 ) = 2, x ( 0 ) = −13 1 1 ( x ( t ) = sin 2t + sin3t ) 2 3 ( 4) ( ) g) x + 2 x ′′ + x = e2t , x ( 0 ) = x ′ ( 0 ) = x ′′ ( 0 ) = x 3 ( 0 ) = 0 1  2t ( ( x (t ) = 2e + 10t − 2 ) cos t − ( 5t + 14 ) sin t  ) 50 h) x ′′ + 6 x ′ + 18 x = cos 2t , x ( 0 ) = 1, x ′ ( 0 ) = −1 1 −3t ( 1 ( ( x (t ) = e 489 cos3t + 307 sin3t ) + 7cos 2t + 6 sin2t ) ) 510 170 ( ) 1 5 1 i) x 3 + x ′′ − 12 x ′ = 0, x ( 0 ) = 0, x ′ ( 0 ) = x ′′ ( 0 ) = 1 ( x ( t ) = − + e3t − e −4t ) 6 21 14 ( ) 1 1 4t 1 −5t k) x 3 + x ′′ − 20 x ′ = 0, x ( 0 ) = 0, x ′ ( 0 ) = x ′′ ( 0 ) = 1 ( x (t ) = − + e − e ) 10 6 15 3. Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai Hay dùng hai phép biến đổi Laplace ngược của hàm phân thức đơn giản trong trường hợp phân tích lặp bậc hai (nhận được khi sử dụng kỹ thuật như ở Ví dụ 5, Bài 2)      s  1 −1  1  1 L −1  2  = t sin kt ; L  2  = 3 (sin kt − kt cos kt ) 2k  s +k  2 2 (   )  s +k  2 2   2k ( ) Ví dụ 5. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán với giá trị ban đầu x ′′ + ω02 x = F0 sin ωt ; x(0) = 0 = x ′(0) F0ω • Tác động phép biến đổi Laplace vào có s 2 X (s ) + ω02 X (s ) = s + ω2 2 F0ω  F0ω 1 1  • X (s) = =  2 2 − 2 , ω ≠ ω0 ⇒ tìm được x ( t )  (s 2 )( + ω 2 s2 + ω02 ) 2 2 2 ω − ω0  s + ω0 s + ω  F0ω0 F0 • Nếu ω = ω0 ta có X (s ) = , khi đó x(t ) = ( sin ω0t − ω0t cos ω0t ) 2 2ω0 2 (s 2 + ω02 )
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 1 Hình 4.3.4. Nghiệm cộng hưởng trong (18) với ω0 = và F0 = 1, 2 cùng với đường bao của nó x = ±C(t ) Ví dụ 6. Giải bài toán với giá trị ban đầu y ( ) + 2y "+ y = 4tet ; y (0) = y '(0) = y "(0) = y (3) (0) = 0 . 4 1 4 { } • Có L {y ′′(t )} = s 2Y (s ) , L y ( ) (t ) = s 4Y (s ) , L tet = { } ( s − 1) 2 . 4 • Tác động phép biến đổi Laplace vào có (s 4 ) + 2s 2 + 1 Y (s ) = ( s − 1) 2 . 4 A B Cs + D E s+F • Y (s ) = 2 2 2 = 2 + + 2 + 2 s − 1 s2 + 1 (s − 1) (s + 1) (s − 1) ( )s +1 • Dùng hệ số bất định có 1 2 2s 2s + 1 Y (s ) = 2 − + 2 + 2 ( s − 1) s − 1 ( s 2 + 1) s +1 • Do đó y (t ) = (t − 2)et + ( t + 1) sin t + 2cos t . HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.