ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ ANH TUẤN
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐỘNG HỌC NGẪU NHIÊN TRÊN THANG THỜI GIAN
Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 62.46.01.06
DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI – 2017
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN HỮU DƯ
Phản biện 1:........................
Phản biện 2:........................
Phản biện 3:........................
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm
luận án tiến sĩ họp tại :
vào hồi
giờ
ngày
tháng
năm 20 ...
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
Tóm tắt
Lý thuyết giải tích trên thang thời gian được đưa ra lần đầu tiên năm 1988 bởi
S. Hilger (xem [29]) nhằm thống nhất các kết quả cho giải tích đối với thời gian liên
tục cũng như thời gian rời rạc, đồng thời xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống
tiến triển không đều theo thời gian, phản ánh đúng các mô hình thực tế. Từ khi ra
đời, lý thuyết này đã nhận được sự chú ý của nhiều nhóm nghiên cứu và đã có hàng
ngàn công trình nghiên cứu liên quan đến giải tích trên thang thời gian. Một trong
những bài toán quan trọng của giải tích trên thang thời gian là nghiên cứu tính chất
định tính và định lượng của phương trình động lực như là các bài toán về tồn tại duy
nhất nghiệm, các phương pháp giải số nghiệm và các bài toán ổn định...
Tuy nhiên, cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian
tập trung chủ yếu ở giải tích tất định, tức là các phương trình động lực không có sự
tham gia của các yếu tố ngẫu nhiên. Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô
hình phát triển trong các điều kiện môi trường không bị nhiễu nhiễu. Hiển nhiên, các
mô hình như thế là không thực tế và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động
vào môi trường. Do đó, việc chuyển các kết quả về giải tích của các mô hình tất định
trên thang thời gian sang mô hình ngẫu nhiên trên thang thời gian là một nhu cầu
cấp thiết.
Theo chúng tôi được biết, gần như chưa có kết quả nào đáng kể về nghiên cứu
giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian, đặc biệt các kết quả liên quan đến lý thuyết
ổn định của các phương trình động lực và phương trình động lực có trễ. Các kết quả
ban đầu về thang thời gian và giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian được đề cập
trong [15, 16, 46, 47, 49, 68, ...].
Với các lý do nên trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là “Tính ổn
định của hệ phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian”.
Trong luận án chúng tôi sẽ đề cập đến những vấn đề sau:
• Nghiên cứu tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực có trễ trên
thang thời gian theo đạo hàm ∇: đưa ra khái niệm phương trình ∇-động lực ngẫu
nhiên có trễ, nghiệm của phương trình, phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn
tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang
thời gian. Chúng tôi cũng đưa ra những ước lượng moment của ước lượng nghiệm
1
của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ
trên thang thời gian.
• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và
phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian bằng phương pháp
hàm Lyapunov.
Nếu như giải tích ngẫu nhiên với thời gian liên tục là chủ đề khó vì đòi hỏi nhiều
kiến thức cơ sở liên quan đến lý thuyết quá trình Markov, lý thuyết martingle thì
nghiên cứu hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian khó hơn nhiều vì cấu trúc của
môt thang thời gian rất đa dạng. Điều này khiến cho các tính toán khá phức tạp và
chúng cần một số cải tiến. Bên cạnh đó, một số ước lượng của tính toán ngẫu nhiên
cho thời gian liên tục không tự động đúng trên thang thời gian tùy ý đòi hỏi phải có
2
các kỹ thuật phù hợp để có thể nhận được kết quả tương tự.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Ở phần đầu của chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về lý thuyết
thang thời gian. Định nghĩa ∇−đạo hàm và ∇−tích phân của một hàm xác định trên
thang thời gian. Những kết quả cho ∆-đạo hàm và ∆-tích phân sẽ không được giới
thiệu trong luận án này, nhưng ta có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách, ví dụ như
[6, ...].
Ở phần cuối của chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết về giải tích ngẫu
nhiên trên thang thời gian, các khái niệm này dựa trên các khái niệm cơ bản về giải
tích ngẫu nhiên thông thường mà ta đã biết. Cụ thể chúng tôi giới thiệu về các khái
niệm của quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian: quá trình khả đoán, martingale,
semimartingale, thời điểm dừng, khai triển Doob-Meyer; ∇−tích phân ngẫu nhiên trên
thang thời gian; công thức Itô và ứng dụng của công thức Itô để phát biểu bài toán
martingale; đặc biệt là đưa ra công thức của hàm Lyapunov:
LV (t, x) = V ∇t(t, x) + AV (t, x)
d (cid:88)
(cid:16) (cid:17) = V ∇t(t, x) + V (t, x + f (t)ν(t)) − V (t, x) Φ(t) (1 − 1I(t))fi(t) + ∂V (t, x) ∂xi
d (cid:88)
t −
R
i=1 ∂2V (t, x) ∂xixj
i,j
i=1
(cid:90) (cid:88) + gi(t) gi(t)gj(t) (cid:98)K c u (cid:98)Υ(t, du) ∂V (t, x) ∂xi
R
1 2 (cid:90) + (V (cid:0)t, x + f (t)ν(t) + g(t)u(cid:1) − V (t, x + f (t)ν(t)))Υ(t, du), , (1.1)
1 ν(t) nếu t rời rạc trái.
nếu t trù mật trái 0 với f = (f1, f2, · · · , fd); g = (g1, g2, · · · , gd) và Φ(t) =
3
Các kiến thức này được dùng để làm cơ sở cho các chương sau.
Chương 2
∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên
Gần đây, một công thức để thống nhất các phương trình chuyển động trong các
trường hợp liên tục và rời rạc trên thang thời gian đã nhận được nhiều sự quan tâm.
Đó chính là phương trình động lực trên thang thời gian. Đối với trường hợp tất định,
trong [12], tác giả sử dụng hàm Lyapunov ở dạng bậc hai để nghiên cứu sự ổn định
của phương trình động lực tuyến tính; J. Hoffacker và C.C Tisdell kiểm tra tính ổn
định và tính không ổn định của điểm cân bằng của phương trình động lực phi tuyến
tính [30].
Trong khi sự ổn định của các phương trình tất định trên thang thời gian đã được
nghiên cứu từ lâu, thì theo chúng tôi biết, không có nhiều các bài giảng cho trường hợp
ngẫu nhiên và cũng chưa có công trình nào giải quyết về vấn đề ổn định của phương
trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian.
Mục đích của chương này là chúng tôi dùng hàm Lyapunov để xét sự tồn tại
nghiệm; tính hữu hạn của ước lượng moment của ước lượng nghiệm và chúng tôi cũng
dùng hàm Lyapunonv để xét điều kiện cần và đủ cho tính p-ổn định mũ của phương trình ∇-động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T
(2.1) d∇X(t) = f (t, X(t−))d∇t + g(t, X(t−))d∇M (t) X(a) = xa ∈ Rd, t ∈ Ta,
a
với M ∈ M2 và xa là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong Rd, Fa− phù hợp, và E(cid:107)xa(cid:107)2 < ∞. Trong đó f : Ta × Rd → Rd và g : Ta × Rd → Rd là hai hàm Borel. Và (cid:90) t (2.2) (cid:104)M (cid:105)t = Kτ ∇τ,
trong đó Kt là quá trình bị chặn Ft− phù hợp, tức là tồn tại hằng số N sao cho
4
(2.3) |Kt| (cid:54) N } = 1. P{ sup a(cid:54)t(cid:54)T
Sau đó, chúng tôi xét sự ổn định ngẫu nhiên và ổn định mũ hầu chắc chắn của ∇-
phương trình động lực ngẫu nhiên (2.1). Công việc này có thể được xem như là một
sự thống nhất và khái quát hoá các công việc liên quan đến phương trình sai phân và
phương trình vi phân.
2.1 Sự tồn tại nghiệm và tính hữu hạn của moment của phương trình
động lực ngẫu nhiên
2.1.1. Nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên
Định nghĩa 2.1.1 ([16]). Một quá trình ngẫu nhiên {X(t)}t∈[a,T ] nhận giá trị trong Rd− được gọi là một nghiệm của phương trình (2.1) nếu
(i) {X(t)} là quá trình Ft− phù hợp;
(ii) f (·, X(·−)) ∈ L1((a, T ]; Rd) và g(·, X(·−)) ∈ L2((a, T ]; M );
(ii) Phương trình
a
a
(cid:90) t (cid:90) t (2.4) X(t) = xa + f (τ, X(τ−))∇τ + g(τ, X(τ−))∇Mτ , ∀ t ∈ [a, T ],
được thỏa mãn với xác suất 1.
Phương trình (2.1) được gọi là có duy nhất nghiệm trên [a, T ] nếu X(t) và X(t)
là hai quá trình thỏa mãn (2.4) thì
P {X(t) = X(t) ∀ t ∈ [a, T ]} = 1.
2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Ta có (cid:82) t a g(τ, X(τ−))∇Mτ là Ft−martingale nên nó có bản sao cadlag . Vì vậy, nếu X(t) thỏa mãn (2.4) thì X(t) là cadlag. Hơn nữa, nếu Mt là rd− liên tục, thì X(t) cũng là rd− liên tục.
Định lý 2.1.2 ([16]). Giả sử tồn tại hai hằng số dương K và G sao cho
(i) (Điều kiện Lipschitz) với mọi x, y ∈ Rd và t ∈ [a, T ]
(cid:107)f (t, x) − f (t, y)(cid:107)2 ∨ (cid:107)g(t, x) − g(t, y)(cid:107)2 (cid:54) K(cid:107)x − y(cid:107)2; (2.5)
(ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) với mọi (t, x) ∈ [a, T ] × Rd
5
(cid:107)f (t, x)(cid:107)2 ∨ (cid:107)g(t, x)(cid:107)2 (cid:54) G(1 + (cid:107)x(cid:107)2). (2.6)
Khi đó, phương trình (2.1)có nghiệm duy nhất X(t) và nghiệm này là semimartingale
bình phương khả tích.
2.2 Tính Markov của nghiệm
Giả sử martingale Mt là một quá trình Markov, nhận giá trị trong R, với hàm xác suất chuyển P (s, x, t, A). Với tất cả các giả thiết trong mục 2.1 được giữ nguyên.
Bổ đề 2.2.1 ([16]). Giả sử Mt là một quá trình Ft−Markov, V (x, ω) là một hàm vô hướng đối với x, bị chặn, đo được, độc lập có điều kiện với Fs khi Ms đã biết. Với ζ là một biến ngẫu nhiên Fs-đo được. Khi đó
(2.7) E(V (ζ, ω)|Fs) = V (ζ),
trong đó V (x) = E(V (x, ω)|Ms).
Định lý 2.2.2 ([16]). Giả sử X(t) = X(t, a, xa) là nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên (2.1) với điều kiện ban đầu X(a) = xa. Khi đó, (X(t), Mt) là một quá trình Ft−Markov.
2.3 Điều kiện Lipschitz địa phương về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của phương trình động lực ngẫu nhiên
Định lý 2.3.1 ([17]). Giả sử rằng với bất kỳ k > 0 và T > a, có một hằng số LT,k > 0 sao cho
(2.8)
(cid:107)f (t, x) − f (t, y)(cid:107)2 ∨ (cid:107)g(t, x) − g(t, y)(cid:107)2 (cid:54) LT,k(cid:107)x − y(cid:107)2, với ∀ x, y ∈ Rd thỏa mãn (cid:107)x(cid:107) ∨ (cid:107)y(cid:107) (cid:54) k và t ∈ [a, T ]. Hơn nữa, nếu tồn tại hằng số dương c = c(T ); b = b(T ) và một hàm không âm V ∈ C 1,2([a, T ] × Rd; R+) thỏa mãn
(2.9) V ∇t(t, x) + AV (t, x) (cid:54) cV (t−, x) + b, ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd,
(cid:107)x(cid:107)→∞
và lim V (t, x) = ∞. Khi đó, phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất Xa,xa(t) inf t∈[a,T ]
xác định trên Ta.
Đặc biệt, nếu tồn tại một hằng số dương c1 = c1(T ) sao cho
(t, x) ∈ [a, T ] × Rd, (2.10) c1(cid:107)x(cid:107)p (cid:54) V (t, x),
thì
6
t ∈ [a, T ]. (V (a, xa) + )ec(t, a), b c E(cid:107)Xa,xa(t)(cid:107)p (cid:54) 1 c1
Hệ quả 2.3.2. Giả sử rằng các điều kiện (2.2); (2.3) và (2.8) xảy ra và điều kiện tăng
tuyến tính
R |u| (cid:98)Υ(t, du) (cid:54) m1 h.c.c., với m1 là hằng số.
(cid:107)f (t, x)(cid:107)2 ∨ (cid:107)g(t, x)(cid:107)2 (cid:54) G(1 + (cid:107)x(cid:107)2) ∀ (t, x) ∈ [a, T ] × Rd, (2.11)
được thỏa mãn. Hơn nữa, ta giả sử rằng (cid:82) Thì, phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm Xa,xa(t) xác định trên Ta và thỏa mãn
E(cid:107)Xa,xa(t)(cid:107)2 (cid:54) (1 + (cid:107)xa(cid:107)2)ec(t, a),
trong đó c là hằng số.
2.4 Tính hữu hạn của moment
Định lý 2.4.1. Giả sử rằng điều kiện tăng tuyến tính (2.11) và các điều kiện (2.2), (2.3) được thỏa mãn. Hơn nữa, có hai hằng số m1, mp sao cho
R
R
(cid:90) (cid:90) (2.12) |u|pΥ(t, du) (cid:54) mp, ∀ t ∈ [a, T ] |u| (cid:98)Υ(t, du) (cid:54) m1,
h.c.c.. Khi đó, nghiệm Xa,xa(t) của phương trình (2.1) xuất phát từ xa thỏa mãn ước lượng
a (cid:54) t (cid:54) T (2.13) E(cid:107)Xa,xa(t)(cid:107)p (cid:54) ((cid:107)xa(cid:107)p + 1)eH(t, a),
với H là hằng số.
2.5 p - ổn định mũ của phương trình động lực ngẫu nhiên
Xuyên suốt chương này chúng tôi giả sử phương trình (2.1) có một nghiệm duy nhất xác định trên Ta. Cho quá trình Kt bị chặn trên Ta, tức là, có hằng số N thỏa mãn (2.3) không phụ thuộc vào T > a. Giả sử với bất kỳ s (cid:62) a; xs ∈ Rd, nghiệm Xs,xs(t) của phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu Xs,xs,(s) = xs xác định trên Ts là tồn tại duy nhất. Hơn nữa,
f (t, 0) ≡ 0; g(t, 0) ≡ 0. (2.14)
Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm ban đầu Xs,0(t) ≡ 0.
Định nghĩa 2.5.1. Nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) được gọi là p-ổn định mũ
nếu có một hằng số dương α sao cho với mọi s > a, ∃ Γ = Γ(s) > 1, thì đẳng thức
(2.15) E(cid:107)Xs,xs(t)(cid:107)p (cid:54) Γ(cid:107)xs(cid:107)pe(cid:9)α(t, s) trên t (cid:62) s,
7
đúng với mọi xs ∈ Rd.
Nếu có thể lựa chọn Γ không phụ thuộc vào s, thì nghiệm ban đầu của phương
2.5.1. Điều kiện đủ
trình (2.1) gọi là p-ổn định mũ đều.
Định lý 2.5.2. Giả sử tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2(Ta × Rd; R+), và các hằng số dương α1, α2, α3 sao cho
(2.16) α1(cid:107)x(cid:107)p (cid:54) V (t, x) (cid:54) α2(cid:107)x(cid:107)p,
và
(2.17) V ∇t(t, x) + AV (t, x) (cid:54) −α3V (t−, x), ∀ (t, x) ∈ Ta × Rd,
trong đó toán tử vi phân A được định nghĩa bởi (1.1). Khi đó, nghiệm ban đầu x ≡ 0
2.5.2. Điều kiện cần
của phương trình (2.1) p-ổn định mũ đều.
Bây giờ chúng tôi xét bài toán ngược bằng cách chỉ ra rằng nếu nghiệm ban đầu
của phương trình (2.1) là p-ổn định mũ đều thì tồn tại 1 hàm Lyapunov thỏa mãn
(2.17).
Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu tính khả vi của các nghiệm ứng với các điều kiện
ban đầu và tính liên tục của các hệ số.
p 2
Bổ đề 2.5.3 (Bất đẳng thức Burkholder trên thang thời gian). Nếu {Mt}t∈Ta là Ft- martingale với E|Mt|p < ∞ ∀ p (cid:62) 2 và Ma = 0 khi đó tồn tại hằng số dương Bp sao cho (cid:32)
t + E (cid:88)
a(cid:54)s(cid:54)t
(cid:33) , E(cid:104)M (cid:105) |Ms|p (cid:54) Bp |∇∗Ms|p E sup a(cid:54)s(cid:54)t
trong đó ∇∗Ms = Ms − Ms−.
Định lý 2.5.4. Cho p (cid:62) 2, M ∈ M2 sao cho các điều kiện (2.2), (2.3) và (2.12) được thỏa mãn và cho g ∈ L2((a, T ]; M ) với
a
(cid:90) t E|g(τ )|p∇τ < ∞ ∀ t ∈ Ta.
p
a
p
Thì, (cid:90) t (cid:90) T E|g(τ )|p∇τ, g(τ )∇Mτ (cid:54) Cp (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
a 2 −1N
2 + mp}.
8
E sup a(cid:54)t(cid:54)T p trong đó Cp = Bp{(T − a)
Bổ đề 2.5.5 ([17]). Lấy T, s ∈ Ta; T > s và p (cid:62) 2 cố định. Giả sử rằng điều kiện (2.12) được thỏa mãn và quá trình ζ(t) là nghiệm của phương trình ngẫu nhiên
s
s
(cid:90) t (cid:90) t t ∈ [s, T ]. (2.18) ζ(t) = ϕ(t) + χ(τ )ζ(τ−)∇Mτ , ψ(τ )ζ(τ−)∇τ +
Giả sử thêm rằng các hàm ϕ(t), ψ(t) và χ(t) là Ft-phù hợp và tồn tại hằng số K > 0 sao cho với xác suất 1, (cid:107)ψ(t)(cid:107) (cid:54) K và (cid:107)χ(t)(cid:107) (cid:54) K. Thì,
(2.19) (cid:107)ϕ(t)(cid:107)peH1(T, s), E sup s(cid:54)t(cid:54)T (cid:107)ζ(t)(cid:107)p (cid:54) 3p−1E sup s(cid:54)t(cid:54)T
với H1 = 3p−1K p((T − s)p−1 + Cp).
Bổ đề 2.5.6. Giả sử các hệ số của phương trình (2.1) liên tục theo s, x và chúng có các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai liên bị chặn và điều kiện (2.12) đúng với p (cid:62) 4. Khi đó, nghiệm Xs,x(t), s (cid:54) t (cid:54) T, với điều kiện ban đầu Xs,x(s) = x của phương trình (2.1) là khả vi hai lần đối với biến x. Hơn nữa, các đạo hàm riêng
(Xs,x(t)), (Xs,x(t)) ∂ ∂xi ∂2 ∂xi∂xj
liên tục bình phương trung bình theo x.
Bổ đề 2.5.7. Cho p (cid:62) 4 và 2 (cid:54) β (cid:54) p. Khi đó, ánh xạ F (φ) : φ → E|φ|β từ Lp(Ω, F, P) tới R khả vi hai lần với mọi φ0 (cid:54)= 0 và
F (cid:48)(φ0)(φ) = βE[|φ0|β−1φ]; F (cid:48)(cid:48)(φ0)(φ, ψ) = β(β − 1)E[|φ0|β−2φψ].
Bổ đề 2.5.8. Cho các hệ số của phương trình (2.1) liên tục theo t, x và thỏa mãn điều kiện (2.14). Giả sử các điều kiện của bổ đề 2.5.6 được thỏa mãn và 2 (cid:54) β (cid:54) p. Khi đó, cho t > a cố định, hàm u(s, x) = E(cid:107)Xs,x(t)(cid:107)β; a < s < t khả vi liên tục hai lần theo x ngoại trừ tại x = 0.
Định lý 2.5.9. Giả sử M có gia số độc lập và các điều kiện của bổ đề 2.5.6 đúng và 2 (cid:54) β (cid:54) p. Giả sử hơn nữa rằng AV (t, x) là ld-liên tục theo (t, x) với mọi hàm V ∈ C 1,2(Ta × Rd; R). (2.1) bắt đầu ở x tại thời điểm s. Khi đó, hàm u(s, x) = E(cid:107)Xs,x(t)(cid:107)β, a < s < t là ∇-khả vi theo s, khả vi liên tục hai lần theo x và thỏa mãn phương trình
u∇s(s, x) + Au(s, x) = 0. (2.20)
9
Định lý 2.5.10. Giả sử các điều kiện của định lý 2.5.9 được thỏa mãn. Giả sử hơn nữa rằng, với T > 0 cố định, tồn tại một hàm γT : T → T với γ(T, s) (cid:62) s + T, ∀ s ∈ T sao cho γ(T, s) và ∇-đạo hàm γ∇s(T, s) bị chặn. Nếu nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là β- ổn định mũ đều, thì tồn tại một hàm V (s, x) ∈ C 1,2(Ta × Rd; R+) thỏa mãn các đẳng thức (2.16), (2.17).
Ví dụ 2.5.11. Xét phương trình động lực ngẫu nhiên tuyến tính
(2.21) d∇X(t) = aX(t−)d∇t + bX(t−)d∇M (t) ∀ t ∈ Ts X(s) = x,
trong đó a, b là hai hằng số, a là regressive và M là martingale bình phương khả tích
có gia số độc lập. Tính toán ta có
s,x(t) = x2 +
s,x(τ−)∇τ,
s
(cid:90) t EX 2 q(τ )EX 2 (2.22)
trong đó
t + a2ν(t) (cid:90)
R
R
q(t) = 2a + b2 (cid:98)K c (cid:90) (cid:90) + 2b(1 + aν(t)) uΥ(t, du) + b2 u2Υ(t, du) − 2b u (cid:98)Υ(t, du)
R t + a2ν(t) (cid:90)
R
R
R
= 2a + b2 (cid:98)K c (cid:90) (cid:90) + 2b u2Υ(t, du) + aν(s) uΥ(t, du). u (cid:101)Υ(t, du) + b2
R u (cid:101)Υ(t, du) = E[Mt − Mρ(t)|Fρ(t)] = 0 và ν(t) (cid:82)
R uΥ(t, du) = 0, (cid:90)
Từ (cid:82)
t + a2ν(t) + b2
R
(2.23) u2Υ(t, du). q(t) = 2a + b2 (cid:98)K c
s,x(t−) (cid:54)=
q(s). Ta thấy rằng q là rd-liên tục và q(t) = Chúng tôi định nghĩa hàm q(t) = lim ρ(s)↓t
s,x(t)} = 0, (cid:90) t
q(σ(t)) nếu t là rời rạc phải. Từ {t : µ(t) > 0} đếm được và mes{t : EX 2 EX 2
s,x(τ−)∇τ =
s,x(τ−) dτ +
s,x(τ−)ν(τ )
s
(s,t]
(cid:90) (cid:88) q(τ )EX 2 q(τ )EX 2 q(τ )EX 2
s<τ (cid:54)t (cid:88)
s,x(τ ) dτ +
s,x(τ )µ(τ )
[s,t)
s(cid:54)τ (cid:90) q(τ )EX 2 q(σ(τ ))EX 2 = s,x(τ )∆τ, s (cid:90) t = q(τ )EX 2 s,x(t) = x2eq(t, s), t (cid:62) s. (2.24) EX 2 hơn nữa, ta biết rằng s (cid:27) (cid:26)(cid:90) t ∆τ . 0 < eq(t, s) = exp lim
h(cid:38)µ(τ ) ln(1 + q(τ )h)
h s 10 Khi đó, điều kiện (2.15) suy ra
(cid:90) t ∆τ (cid:54) ln Γ − θ(t − s), ∀ t > s. lim
h(cid:38)µ(τ ) ln(1 + q(τ )h)
h 2 < 0 ta có Chọn T > 0 sao cho ln Γ − θT s (cid:90) t ∆τ (cid:54) − , ∀ t > s + T. lim
h(cid:38)µ(τ ) ln(1 + q(τ )h)
h θ(t − s)
2 s (cid:27) Vì vậy, từ tính ổn định mũ cấp hai của (2.21) suy ra
(cid:90) t (cid:26) 1 sup ∆τ : t > s + T < 0. (2.25) lim
h(cid:38)µ(τ ) t − s ln(1 + q(τ )h)
h Ngược lại, giả sử rằng (2.25) đúng. Bởi các giả sử này, có các số α > 0, K ∗ > 0 sao cho
0 < eq(t, s) (cid:54) K ∗e−α(t, s). Từ (2.24) ta nhìn thấy rằng nghiệm ban đầu của phương
trình là ổn định mũ cấp hai. Để minh họa cho định lý 2.5.10 về hàm Lyapunov ta đặt s (cid:90) ∞ V (s, x) = x2 eq(τ−, s)∇τ = x2Q(s). Tính toán ta có Q∇s(s) = −1 − q(s)Q(s). Hiển nhiên, V ∇s(s, x) + AV (s, x) = Q∇s(s)x2 + q(s)Q(s)x2 = (−q(s)Q(s) − 1)x2 + q(s)Q(s)x2 = −x2. (2.26) EX 2 Dùng (2.22) và thực tế là lim
t→∞ s,x(t) = 0 chúng ta có thể chỉ ra rằng V (s, x) (cid:62) α1x2
α x2. Từ t với α1 = (sup |q(t)|)−1. Hơn nữa, eq(t, s) (cid:54) K ∗e−α(t, s). Vì vậy, V (s, x) (cid:54) K∗ (2.26) và các bất đẳng thức trên ta có V ∇s(s, x) + AV (s, x) (cid:54) − α
K ∗ V (s−, x). Vì vậy, các điều kiện của định lý 2.5.2 được thỏa mãn. Ta có được điều cần chứng minh. 2.6.1. Định nghĩa Kí hiệu K là họ tất cả các hàm liên tục không giảm ϕ : R+ → R+ sao cho ϕ(0) = 0
và ϕ(r) > 0 nếu r > 0. Cho h > 0, đặt Sh = {x ∈ Rd : (cid:107)x(cid:107) < h} và C 1,2(Ta × Sh; R+)
là họ tất cả các hàm không âm V (t, x) từ Ta × Sh vào R+ sao cho nó khả vi liên tục
một lần theo t và hai lần theo x. Các định nghĩa của ổn định ngẫu nhiên; ổn định tiệm cân ngẫu nhiên; ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn cho nghiệm ban đầu của phương 11 trình (2.1) đã được đề cập đến trong [52]. Tương ứng như sau, Định nghĩa 2.6.1. (i) Ổn định ngẫu nhiên: với mọi cặp ε ∈ (0, 1) và r > 0, tồn tại δ = δ(ε, r, a) > 0 sao cho (cid:107)Xa,xa(t)(cid:107) < r} (cid:62) 1 − ε với bất kỳ xa ∈ Rd thỏa mãn (cid:107)xa(cid:107) < δ. P {sup
t∈Ta (ii) Ổn định tiệm cận ngẫu nhiên: nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và, với mọi ε ∈ (0, 1), tồn tại δ0 = δ0(ε, a) > 0 sao cho Xa,xa(t) = 0} (cid:62) 1 − ε với bất kỳ (cid:107)xa(cid:107) < δ0. P { lim
t→∞ (iii) Ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn: nếu nó là ổn định ngẫu nhiên và, hơn thế nữa, với mọi xa ∈ Rd 2.6.2. Điều kiện đủ Xa,xa(t) = 0} = 1. P { lim
t→∞ Định lý 2.6.2. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2(Ta×Sh; R+), thỏa mãn V (t, 0) ≡ 0
và, có một hàm ϕ ∈ K, sao cho V (t, x) (cid:62) ϕ((cid:107)x(cid:107)) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh, và LV (t, x) (cid:54) 0 với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh, thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định ngẫu nhiên. Định lý 2.6.3. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2(Ta × Sh; R+) và có các hàm
ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ K, sao cho ϕ1((cid:107)x(cid:107)) (cid:54) V (t, x) (cid:54) ϕ2((cid:107)x(cid:107)) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh, và LV (t, x) (cid:54) −ϕ3((cid:107)x(cid:107)) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh, thì nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên. Định lý 2.6.4. Nếu tồn tại một hàm V (t, x) ∈ C 1,2(Ta × Rd; R+) với V (t, 0) ≡ 0 và 12 V (t, x) = ∞. inf
t(cid:62)a lim
(cid:107)x(cid:107)→∞ Hơn nữa, với h > 0 bất kỳ thì (2.27) ϕ1((cid:107)x(cid:107)) (cid:54) V (t, x) (cid:54) ϕ2((cid:107)x(cid:107)) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh,
LV (t, x) (cid:54) −ϕ3((cid:107)x(cid:107)) với mọi (t, x) ∈ Ta × Sh, trong đó ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ K. Khi đó nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định
tiệm cận ngẫu nhiên lớn. Bây giờ chúng tôi xét một trường hợp đặc biệt. Cho P là một ma trận xác định dương và V (t, x) = x(cid:62)P x, trong đó x(cid:62) là véc tơ chuyển vị của véc tơ x. Ta có LV (t, x) = x(cid:62)P f (t, x)+f (t, x)(cid:62)P x+f (t, x)(cid:62)P f (t, x)ν(t)+g(t, x)(cid:62)P g(t, x)Kt. (2.28) Vì vậy, nếu ta có thể tìm được một ma trận xác định dương P sao cho LV xác định bởi (2.28) và thỏa mãn (2.27) thì nghiệm của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn. Ví dụ 2.6.5. Cho T là một thang thời gian xác định bởi ∞
(cid:91) k=1 (cid:20) (cid:21) (cid:17) (cid:17) T = k + b , k + b + b , (cid:16)1
3 (cid:16)1
3 trong đó b là một số thực dương. Ta có 3 + b) + b(cid:3) 1
3 3 + b), k( 1
3 + b)}.
0
(2.29) ν(t) = (cid:0)k( 1
if t ∈ (cid:83)∞
k=1
if t ∈ (cid:83)∞
k=1 {k( 1 Xét phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T
(2.30) d∇X(t) = AX(t−)d∇t + BX(t−)d∇W (t), t ∈ T
X(0) = x0 ∈ Rd, trong đó W (t) là chuyển động Brownian trên thang thời gian được định nghĩa trong
[26] và A, B là các ma trận cấp d × d. Trong trường hợp này Kt = 1. Giả sử P là một
ma trận xác định dương và V (t, x) = x(cid:62)P x. Bởi (2.28), ta có (cid:1)x. (2.31) LV (t, x) = x(cid:62)(cid:0)P A + A(cid:62)P + A(cid:62)P Aν(t) + B(cid:62)P BKt 13 Hiển nhiên, nếu hoành phổ của ma trận P A + A(cid:62)P + 1
3A(cid:62)P A + B(cid:62)P B bị chặn bởi
hằng số âm −c, thì ta có LV (t, x) (cid:54) −c(cid:107)x(cid:107)2. Do đó, theo định lý 2.6.4, nghiệm ban
đầu của phương trình (2.30) ổn định tiệm cận ngẫu nhiên lớn. Trong chương này, giả sử các điều kiện của hệ số cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm và điều kiện về nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) được thỏa mãn đầy 2.7.1. Định nghĩa đủ. Định nghĩa 2.7.1. Nghiệm ban đầu X(t) ≡ 0 của phương trình (2.1) được gọi là ổn định mũ hầu chắc chắn nếu < 0 h.c.c. (2.32) ln (cid:107)X(t; a, xa)(cid:107)
t lim sup
t→∞ 2.7.2. Điều kiện đủ được thỏa mãn với bất kỳ xa ∈ Rd. α
1+αν(t) (cid:54) α1 Định lý 2.7.2. Cho α1, c1, p là các số dương. α là một số dương thỏa mãn
và cho ηt là một hàm ld-liên tục không âm xác định trên Ta sao cho a (cid:90) ∞ eα(t−, a)ηt∇t < ∞ h.c.c.. Giả sử tồn tại một hàm xác định dương V ∈ C 1,2(Ta × Rd; R+) sao cho (2.33) c1(cid:107)x(cid:107)p (cid:54) V (t, x) ∀(t, x) ∈ Ta × Rd, và với mọi t (cid:62) a, h.c.c., (2.34) LV (t, x) (cid:54) −α1V (t−, x) + ηt ∀ x ∈ Rd, t (cid:62) a. Khi đó, nghiệm ban đầu của phương trình (2.1) là ổn định mũ hầu
chắc chắn. Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt là hàm V (t, x) = (cid:107)x(cid:107)2. Bởi (2.28), ta có (2.35) LV (t, x) = 2x(cid:62)f (t, x) + (cid:107)g(t, x)(cid:107)2Kt + (cid:107)f (t, x)(cid:107)2ν(t). Chúng ta có thể áp đặt các điều kiện của các hàm f và g sao cho có một số dương α với α ∈ R và một hàm ld-liên tục không âm η sao cho 14 2x(cid:62)f (t, x) + (cid:107)f (t, x)(cid:107)2ν(t) + (cid:107)g(t, x)(cid:107)2Kt (cid:54) −α(cid:107)x(cid:107)2 + ηt. Ví dụ 2.7.3. Cho T là một thang thời gian và 0 (cid:54) a ∈ T. Đặt 1e = (1, 1, ..., 1)(cid:62). Xét
phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian T
(cid:1)d∇t + BX(t−))d∇W (t), t ∈ Ta (2.36) d∇X(t) = (cid:0)AX(t−) + e−t sin((cid:107)X(t−)(cid:107))1e
X(0) = x0 ∈ Rd, trong đó A và B là các ma trận cấp d × d và W (t) là chuyển động Brownian một
chiều trên thang thời gian được định nghĩa trong [26]. Cho V (t, x) = (cid:107)x(cid:107)2. Bởi (2.35)
ta có LV (t, x) = 2x(cid:62)Ax + 2e−t sin((cid:107)x(cid:107))x(cid:62)1e + (cid:107)Ax + e−t sin((cid:107)x(cid:107))1e(cid:107)2ν(t) + x(cid:62)B(cid:62)Bx √ d + 2((cid:107)Ax(cid:107)2 + e−2td)ν(t) + x(cid:62)B(cid:62)Bx (cid:54) 2x(cid:62)Ax + 2e−t(cid:107)x(cid:107) √ (cid:54) x(cid:62)(cid:0)2A + 2A(cid:62)Aν∗ + B(cid:62)B(cid:1)x + 2( d(cid:107)x(cid:107) + dν∗)e−t, trong đó ν∗ = supt∈Ta ν(t). Giả sử hoành phổ của ma trận 2A + 2A(cid:62)Aν∗ + B(cid:62)B bị
chặn bởi hằng số âm −β. Khi đó, ta có (cid:18) (cid:19) √ LV (t, x) (cid:54) − (cid:107)x(cid:107)2 + 2( d(cid:107)x(cid:107) + dν∗)e−t − (cid:107)x(cid:107)2 (cid:54) − (cid:107)x(cid:107)2 + 2d ν∗ + e−t β
2 β
2 1
β β
2 với mọi t ∈ Ta. Với α = 1
2 min{1, β} ta thấy rằng tất cả các giả sử của định lý 3.3.2
được thỏa mãn đầy đủ. Vì vậy, nghiệm ban đầu của phương trình (3.18) là ổn định 15 mũ hầu chắc chắn. Thực tế hiện nay, có rất ít công trình nghiên cứu về phương trình động lực có trễ trên thang thời gian. Lý do chính là phép trừ trên thang thời gian không được bảo toàn, vì vậy rất khó khăn trong việc đưa ra khái niêm "hàm trễ trên thang thời gian". Trong [46, 47, 49, ...], các tác giả đã xem xét các tính chất định tính của nghiệm của phương trình động lực tất định có trễ trên thang thời gian, nhưng các giả thiết áp đặt cho các thang thời gian quá ngặt. Mục đích của chương này là xem xét sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cũng như tính p-ổn định mũ cho ∇ -phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ bằng phương pháp trực tiếp Lyapunov (phương pháp hàm Lyapunov). Sau đó, chúng tôi sử dụng hàm Lyapunov để đưa ra điều kiện đủ cho p-ổn định mũ của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian. Vì quy tắc đổi biến trong tích phân không thể áp dụng được trong tính toán trên thang thời gian nên các phương pháp đã biết được dùng để xét tính ổn định của phương trình sai phân/vi phân có trễ không còn đúng trên thang thời gian. Vì vậy, chúng ta không thể đồng nhất đơn giản để trình bày các kết quả đã biết và để có được chúng, chúng ta phải cải tiến kỹ thuật. 3.1.1. ∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ 16 Cho T là một thang thời gian. Ta nói rằng rd-ánh xạ r(·) : kT → T là một hàm
trễ nếu r(t) (cid:54) t− với mọi t ∈ T và τ∗ = sup{t − r(t) : t ∈ T} < ∞. Với bất kỳ s ∈ T,
ta có bs := min{r(t) : t (cid:62) s} > −∞. Kí hiệu Γs = {r(t) : t (cid:62) s} ∩ [bs, s] và C(Γs; Rd)
là họ tất cả các hàm liên tục đi từ Γs vào Rd với chuẩn (cid:107)ϕ(cid:107)s = sups∈Γs (cid:107)ϕ(s)(cid:107). Cố
định t0 ∈ T và giả sử (Ω, F, {Ft}t∈Tt0
, P) là một không gian xác suất với lọc {Ft}t∈Tt0 , P) và Mr thỏa mãn các điều kiện thông thường (tức là, {Ft}t∈Tt0
tăng và liên tục phải với Ft0
chứa tất cả các tập có xác suất bằng 0). Kí hiệu M2 là tập tất cả các martingale bình
2 không gian con của không
phương khả tích xác định trên (Ω, F, {Ft}t∈Tt0
gian M2 bao gồm tất cả các martingale với đặc trưng liên tục. Xuyên suốt luận văn
này, Chúng ta đặt M = {Mt}t(cid:62)t0 ∈ M2 với đặc trưng (cid:104)M (cid:105)t (xem [15]). Giả sử rằng
(cid:104)M (cid:105)t là tuyệt đối liên tục ứng với độ đo Lebesgue µ∇, tức là, tồn tại quá trình đo được
lũy tiến Ft-phù hợp Kt sao cho t0 (cid:90) t (3.1) Kτ ∇τ. (cid:104)M (cid:105)t = Hơn nữa, với T ∈ Tt0, có hằng số N (có thể phụ thuộc vào T ) sao cho (3.2) |Kt| (cid:54) N } = 1. P{ sup
t0(cid:54)t(cid:54)T 1 (Tt0; Rd) (tương ứng, Lloc 2 (Tt0; Rd, M )) là tập tất cả các hàm nhận giá
h2(t)∇(cid:104)M (cid:105)t < ∞) t0 Kí hiệu Lloc trị trong Rd, Ft-phù hợp sao cho (cid:82) T
∀ T ∈ Tt0. với bất kì Lloc f (t)∇t < ∞, (tương ứng, E (cid:82) T
t0
2 (Tt0; Rd, M ) ta định nghĩa được tích phân ngẫu nhiên t0 (cid:90) t f (s)∇Ms (xem chi tiết trong [15]). Ta xét ∇-phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian
(3.3) d∇X(t) = f (t, X(t−), X(r(t)))d∇t + g(t, X(t−), X(r(t)))d∇Mt
X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γt0, t ∈ Tt0, 3.1.2. Nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trong đó f : T × Rd × Rd → Rd; g : T × Rd × Rd → Rd là hai hàm Borel và biến ngẫu
nhiên Ft0-phù hợp ξ = {ξ(s) : s ∈ Γt0} thuộc C(Γt0; Rd), với E(cid:107)ξ(cid:107)2
t0 < +∞. Ta kí
hiệu (cid:101)Ts chính là tập Γs ∪ Ts với bất kỳ s ∈ T. , nhận giá trị trong Rd, được gọi Định nghĩa 3.1.1. Quá trình ngẫu nhiên (X(t))t∈(cid:101)Tt0
là nghiệm của phương trình (3.3) nếu (i) {X(t)} là Ft-phù hợp; 1 (Tt0; Rd); (ii) f (·, X(·−), X(r(·))) ∈ Lloc 2 (Tt0; Rd, M ); 17 (iii) g(·, X(·−), X(r(·))) ∈ Lloc (iv) X(t) = ξ(t) ∀ t ∈ Γt0 và với bất kỳ t ∈ Tt0 phương trình t0 (cid:90) t f (s, X(s−), X(r(s)))∇s X(t) = ξ(t0) + t0 (cid:90) t + g(s, X(s−), X(r(s)))∇Ms, ∀ t ∈ Tt0. (3.4) được thỏa mãn với xác suất 1 Phương trình (3.3) có nghiệm duy nhất nếu X(t) và X(t) sao cho X(t) = X(t) với t ∈ Γt0 là hai quá trình thỏa mãn (3.4) thì P {X(t) = X(t) ∀ t ∈ Tt0} = 1. Ta thấy rằng (cid:82) t
t0 g(s, X(s−), X(r(s)))∇Ms là Ft-martingale vì vậy nó có bản sao
cadlag. Hơn nữa, nếu X(t) thỏa mãn (3.4) thì X(t) là cadlag. Trong trường hợp riêng,
nếu Mt là rd-liên tục, thì X(t) cũng là rd-liên tục. Bây giờ ta đưa ra điều kiện đảm bảo cho sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình (3.3). Đầu tiên, Ta đi xét trường hợp các hệ số của phương trình thỏa 3.1.3. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm mãn điều kiện Lipschitz và điều kiện tăng tuyến tính. Định lý 3.1.2. Giả sử T ∈ Tt0, tồn tại hai hằng số dương κ = κ(T ) and κ = κ(T )
sao cho (i) (điều kiện Lipschitz) với mọi xi, yi ∈ Rd, i = 1, 2, và t ∈ [t0, T ] (cid:107)f (t, x1, y1) − f (t, x2, y2)(cid:107)2 ∨ (cid:107)g(t, x1, y1) − g(t, x2, y2)(cid:107)2 (cid:54) κ((cid:107)x2 − x1(cid:107)2 + (cid:107)y2 − y1(cid:107)2). (3.5) (ii) (điều kiện tăng tuyến tính) với mọi (t, x, y) ∈ [t0, T ] × Rd × Rd (cid:107)f (t, x, y)(cid:107)2 ∨ (cid:107)g(t, x, y)(cid:107)2 (cid:54) κ(1 + (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2). (3.6) Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm X(t) của phương trình (3.3) và nghiệm này là semi- 3.1.4. Tốc độ hội tụ martingale bình phương khả tích. 18 Định lý 3.1.3. Giả sử định lý 3.1.2 được thỏa mãn. Cho X(t) là nghiệm duy nhất của
phương trình (3.3) và Xn(t) là dãy xấp xỉ Picard được định nghĩa bởi: Xn(t) = ξ(t) ∀ t ∈ Γt0; và t0 (cid:90) t (cid:17) (cid:16) f ∇s Xn(t) = ξ(t0) + s, Xn−1(s−), Xn−1(r(s)) t0 (cid:90) t (cid:17) (cid:16) + g s, Xn−1(s−), Xn−1(r(s)) ∇Ms, t (cid:62) t0 (3.7) với n = 1, 2, . . . .. Khi đó, n t0); P = 4κ(T − t0 + (cid:16) E (3.8) (cid:107)Xn(t) − X(t)(cid:107)2(cid:17) hn(T, t0), (cid:54) 2Ce2P (T, t0)P sup
t0(cid:54)t(cid:54)T 3.1.5. Điều kiện Lipschitz địa phương cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ với mọi n (cid:62) 1, ở đó C = 2κ (cid:2)(T − t0)2 + 4N (T − t0)(cid:3) (1 + 2E(cid:107)ξ(cid:107)2
4N ). a. Hàm Lyapunov Cho C 1,2([a, b] × Rd; R) là tập tất cả các hàm V (t, x) xác định trên [a, b] × Rd, khả vi
liên tục một lần theo t và hai lần theo x. Với V ∈ C 1,2(Tt0 × Rd; R), định nghĩa LV (t, x, y) = V ∇t(t, x) d
(cid:88) i=1 (cid:16) (cid:17) + V (t, x + f (t, x, y)ν(t)) − V (t, x) Φ(t) (1 − 1I(t))fi(t, x, y) + ∂V (t, x)
∂xi d
(cid:88) t − R i=1 i,j (cid:90) (cid:88) + gi(t, x, y) gi(t, x, y)gj(t, x, y) (cid:98)K c u (cid:98)Υ(t, du) 1
2 ∂2V (t, x)
∂xixj ∂V (t, x)
∂xi R (cid:90) + (V (cid:0)t, x + f (t, x, y)ν(t) + g(t, x, y)u(cid:1) − V (t, x + f (t, x, y)ν(t)))Υ(t, du), (3.9) trong đó V ∇t là ∇-đạo hàm riêng theo t của V (t, x) và 1
ν(t) if t left-dense
0
Φ(t) = if t left-scattered. t0 Xét (cid:90) t (3.10) Ht = V (t, X(t)) − V (t0, X(t0)) − LV (s, X(s−), X(r(s)))∇s. là một martingale 19 Dùng công thức Itô ([16, Định lý 1, trang 322]) ta có (Ht, Ft)t∈Tt0
địa phương khả tích. b. Điều kiện Lipschitz địa phương Định lý 3.1.4. Giả sử với bất kỳ k > 0 và T ∈ Tt0 tồn tại một hằng số LT,k > 0 sao
cho (cid:107)f (t, x1, y1) − f (t, x2, y2)(cid:107)2 ∨ (cid:107)g(t, x1, y1) − g(t, x2, y2)(cid:107)2 (cid:54) LT,k((cid:107)x2 − x1(cid:107)2 + (cid:107)y2 − y1(cid:107)2), (3.11) i = 1, 2, với (cid:107)xi(cid:107) ∨ (cid:107)yi(cid:107) (cid:54) k và t ∈ Tt0. Giả sử hơn nữa, có hai hằng số ∀ xi, yi ∈ Rd,
dương λ1, λ2 và một hàm V ∈ C 1,2([bt0, T ] × Rd; R+) thỏa mãn (3.12) LV (t, x, y) (cid:54) λ1V (t−, x) + λ2V (r(t), y), V (t, x) = ∞. Khi đó, phương trình (3.3) có nghiệm duy nhất X(t) xác và lim inf
(cid:107)x(cid:107)→∞
t∈[t0,T ]
định trên (cid:101)Tt0. 3.2.1. Định nghĩa Giả sử với bất kỳ s > t0 và ξ ∈ C(Γs; Rd), tồn tại duy nhất một nghiệm
X(t, s, ξ), t ∈ (cid:101)Ts của phương trình (3.3) thỏa mãn X(t, s, ξ) = ξ(t) với t ∈ Γs. Hơn
nữa, (3.13) f (t, 0, 0) ≡ 0; g(t, 0, 0) ≡ 0, ∀ t ∈ Tt0. Từ điều kiện (3.13), phương trình (3.3) có một nghiệm ban đầu X(t, s, 0) ≡ 0. Định nghĩa 3.2.1. Nghiệm ban đầu X(t, s, 0) ≡ 0 của phương trình (3.3) được nói là
p-ổn định mũ nếu có một hằng số dương α sao cho với s > t0, tồn tại βs > 0 thì đẳng
thức (3.14) E(cid:107)X(t, s, ξ)(cid:107)p (cid:54) βse(cid:9)α(t, s) on t (cid:62) s, được thỏa mãn với bất kỳ ξ ∈ C(Γs; Rd). Nếu có thể lựa chọn βs độc lập với s, nghiệm ban đầu của phương trình (3.3)
được nói là p-ổn định mũ đều. Khi p = 2, nó được nói là ổn định mũ bình phương 20 trung bình. 3.2.2. Điều kiện đủ cho p-ổn định mũ Định lý 3.2.2. Cho α1, α2, p, c1, c2 là các hằng số dương với α1 > α2. Giả sử rằng tồn
tại một hàm xác định dương V ∈ C 1,2(T × Rd; R+) sao cho (3.15) c1(cid:107)x(cid:107)p (cid:54) V (t, x) (cid:54) c2(cid:107)x(cid:107)p ∀(t, x) ∈ T × Rd, và với mọi (t, x, y) ∈ Tt0 × Rd × Rd LV (t, x, y) (cid:54) − V (r(t), y). (3.16) V (t−, x) + α1
1 + α1ν(t) α2e(cid:9)α1(t−, r(t))
1 + α2ν(t) 3.2.3. Ví dụ Thì, phương trình (3.3) p-ổn định mũ đều. Bây giờ chúng ta xét một trường hợp đặc biệt. Cho P là một ma trận xác định
dương và V (t, x) = x(cid:62)P x, ở đó x(cid:62) véc tơ chuyển vị của véc tơ x. Bởi (3.9) và tính
toán ta có LV (t, x, y) = x(cid:62)P f (t, x, y) + f (t, x, y)(cid:62)P x + f (t, x, y)(cid:62)P f (t, x, y)ν(t) + g(t, x, y)(cid:62)P g(t, x, y)Kt. (3.17) Ví dụ 3.2.3. Cho T là một thang thời gian chứa 0 và r(t) là hàm trễ. Xét phương
trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian T
(3.18) d∇X(t) = AX(t−)d∇t + BX(r(t))d∇W (t)
X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γ0, t ∈ T0, trong đó A và B là các ma trận cấp d × d và W (t) là chuyển động Brownian một
chiều xác định trong [26]. Ta có từ [27, Định lý 2.1, trang 1678] thì Kt = 1. Xét
V (t, x) = (cid:107)x(cid:107)2, bởi (3.17) ta có (3.19) LV (t, x, y) = x(cid:62)(A + A(cid:62) + A(cid:62)Aν(t))x + y(cid:62)B(cid:62)BKty. Giả sử rằng hoành phổ của ma trận A + A(cid:62) + A(cid:62)Aν(t) bị chặn đều bởi hằng số âm
−α1. Từ phương trình (3.19) ta có (3.20) LV (t, x, y) (cid:54) −α1(cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)B(cid:107)2(cid:107)y(cid:107)2. Dễ thấy rằng 21 e−α1(t−s) (cid:54) e(cid:9)α1(t, s) ∀ t ∈ Ts, 1+ν∗α2 . Với các giả sử này và (3.20) ta có (xem chi tiết trong [47]). Giả sử tồn tại một hằng số dương α2 sao cho α2 < α1 và
(cid:107)B(cid:107)2eτ∗α1 (cid:54) α2 LV (t, x, y) (cid:54) − (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2. α1
1 + α1ν(t) α2e(cid:9)α1(t−, r(t))
1 + α2ν(t) Vì vậy, các giả sử của định lý 3.3.2 được thỏa mãn với p = 2, tức là nghiệm ban đầu của phương trình (3.18) là ổn định mũ bình phương trung bình. ∞
(cid:91) 4 ,1 = k=1 4. Xét phương trình động lực Ví dụ 3.2.4. Cho T là một thang thời gian xác định bởi
(cid:21) T = P 1 , . (cid:20)5k
4 5k + 4
4 2X(r(t))(cid:1)d∇t + BX(t−)d∇W (t), t (cid:62) t0
(3.21) Giả sử r(t) là hàm trễ thỏa mãn τ∗ = supt∈T(t − r(t)) = 1
ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian T
d∇X(t) = (cid:0)AX(t−) + 1
X(s) = ξ(s) ∀ s ∈ Γt0, ở đó W (t) là chuyển động Brownian như trong Ví dụ 3.2.3 và A, B các ma trận cấp 3 × 3 xác định bởi 11 2
3 18 − 2 9 5
18 2 4 0 − 5
3 3 −2 − 2 3 9 − 1 18 A = ; B = . − 2
9 5 3 − 7 3 18 − 1 18 25
36
0 − 2 Với hàm Lyapunov V (t, x) = (cid:107)x(cid:107)2, bởi (3.17) ta có y(cid:62)y. (cid:1)x + x(cid:62)(I + A(cid:62)ν(t))y + LV (t, x, y) = x(cid:62)(cid:0)2A + A(cid:62)Aν(t) + B(cid:62)BKt 1
4 Trong trường hợp này Kt = 1. Vì vậy, 17
36 19
72 17 − 73
36 36 − 91 36 − 53 72 . H := 2A + A(cid:62)Aν∗ + B(cid:62)BKt = 19 72 − 53 72 − 379 144
6 và hoành phổ của ma trận H là η(H) = − 27 16. Vì vậy, Hơn nữa, (cid:107)I + Aν∗(cid:107) = 5 (cid:107)y(cid:107)2 LV (t, x, y) (cid:54) x(cid:62)Hx + (cid:107)I + A(cid:62)ν∗(cid:107)(cid:107)y(cid:107) + 1
4 22 (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)x(cid:107)(cid:107)y(cid:107) + (cid:107)y(cid:107)2 (cid:54) − (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2. (3.22) (cid:54) − 143
144 1
2 27
16 5
6 1
4 144, α2 := 4 5 thì α1, α2 thỏa mãn 1 2eα1τ∗ < α2 1+ν∗α2 . Từ những ước lượng này Đặt α1 := 143
và từ (3.22), ta có e−α1τ∗(cid:107)y(cid:107)2 LV (t, x, y) (cid:54) −α1(cid:107)x(cid:107)2 + α2
1 + ν∗α2 (cid:54) − (cid:107)x(cid:107)2 + (cid:107)y(cid:107)2. α1
1 + α1ν(t) α2e(cid:9)α1(t−, r(t))
1 + α2ν(t) Theo định lý 3.3.2 nghiệm ban đầu của phương trình (3.21) là ổn định mũ bình phương trung bình. Định nghĩa 3.3.1. Nghiệm ban đầu X(t) ≡ 0 của phương trình (3.3) được nói là ổn
định mũ hầu chắc chắn nếu với bất kỳ s ∈ Tt0 thì đẳng thức < 0 h.c.c. (3.23) log (cid:107)X(t, s, ξ)(cid:107)
t α lim sup
t→∞
đúng với bất kỳ ξ ∈ C(Γs; Rd). t0 Định lý 3.3.2. Cho α1, α2, p, c1 là các số dương với α1 > α2. Giả sử α là một số
1+αν(t) < α1 và cho η là một hàm ld-liên tục không âm xác định trên
dương thỏa mãn
Tt0 sao cho (cid:90) ∞ eα(τ−, t0)ηt∇t < ∞ h.c.c.. Giả sử rằng tồn tại một hàm xác định dương V ∈ C 1,2(Tt0 × Rd; R+) thỏa mãn (3.24) c1(cid:107)x(cid:107)p (cid:54) V (t, x) ∀(t, x) ∈ Tt0 × Rd, và với mọi t (cid:62) t0, x ∈ Rd h.c.c.. (3.25) V ∇t(t, x) + AV (t, x, y) (cid:54) −α1V (t−, x) + ηt 23 Thì, nghiệm ban đầu của phương trình (3.3) là ổn định mũ hầu chắc chắn. Trong luận án, chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau đây: • Đưa ra định lý về điều kiện Lipschitz địa phương cho sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian. • Xây dựng được hàm Lyapunov dùng để xét tính ổn định mũ moment cấp p, ổn định ngẫu nhiên và ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian • Đưa ra các khái niệm và định lý, ví dụ về ổn định mũ moment cấp p, ổn định ngẫu nhiên và ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian. • Xây dựng được định nghĩa hàm trễ và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian. • Đưa ra các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian. • Đưa ra các khái niệm và định lý, ví dụ về ổn định mũ moment cấp p, ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian Bên cạnh đó, còn một số vấn đề liên quan đến nội dung của luận án cần tiếp tục được nghiên cứu. Chẳng hạn như định lý đảo của các định lý được phát biểu trong chương 2 và 3; nghiên cứu về bán kính ổn định trên thang thời gian. . . Sau đây là một số hướng nghiên cứu của chúng tôi trong thời gian tới: • Đưa ra điều kiện cần cho sự ổn định mũ moment cấp p; ổn định ngẫu nhiên và ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình động lực ngẫu nhiên và phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ trên thang thời gian. • Đưa ra công thức tính bán kính ổn định cho các phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian. • Xét các định lý về sự hội tụ trên các thang thời gian khác nhau. 24 Chúng tôi hy vọng rằng những vấn đề nêu trên sẽ sớm được giải quyết. [1] N. H. Du, N. T. Dieu and L. A. Tuan (2015), Exponential p-stability of stochastic ∇-dynamic equations on disconnected sets, Electron. J. Diff. Equ., 285, 1-23. [2] L. A. Tuan, N. H. Du and N. T. Dieu (2017), On the stability of stochastic dynamic equations on time scales, in print in Acta Mathematica Vietnamica. [3] N. H. Du., L. A. Tuan and N. T. Dieu (2017), Stability of stochastic dynamic equations with time-varying delay on time scales, it has been accepted to Asian- 25 European Journal of Mathematics. [1] K. B. Athreya and S. N. Lahiri. (2006), Measure Theory and Probability Theory, Springer Science Business Media, LLC. [2] Arnold, L., Stochastic Difference Equations: Theory and Applications, John Wiley and Sons 1974. [3] E. Akin-Bohner and Y. N. Raffoul (2006), "Boundedness in Functional Dynamic Systems on Time scales", Advances in Difference Equations, 2006, pp. 1-18. [4] V. B. Baji´c, D. LJ. Debeljkovi´c, B. B. Bogi´cevic and M. B. Jovanovic (1998), "Non-Lyapunov stability robustness consideration for discrete linear descriptor systems", IMA Journal of Mathematical Control & Information, 15, pp. 105-115. [5] V. B. Baji´c (1981), "Note on Stability of Trivial Solution in The Sense of Lya- punov", Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Math. Fiz., 716-734, pp. 87-90. [6] M. Bohner, A. Peterson, Dynamic equations on time scales, Birkh¨auser Boston, Massachusetts, 2001. [7] M. Bohner, O. M. Stanzhytskyi and A. O. Bratochkina, Stochastic dynamic equations on general time scales, Electronic Journal of Differential Equations, 2013(57)(2013) 1-15. [8] M. Bohner and A. Peterson, Advances in Dynamic Equations on Time scales. Birkh¨auser Boston, Basel, Berlin, (2003). [9] L. Bachelier. (1900), Theorie de la Speculation, Annales Scientifiques de l’d cole Normale Superieure. 17, 21 - 86. [10] Bhamidi, S., Evans, S. N., Peled R., and Ralph P. 2008. Brownian motion on disconnected sets, basic hypergeometric functions, and some continued fractions of Ramanujan, IMS Collections in Probability and Statistics: Essays in Honor of 26 David A. Freedman 42-75. [11] A. Cabada and D. R. Vivero, Expression of the Lebesgue ∆-integral on time scales as a usual Lebesgue integral: Application to the calculus of ∆-antiderivatives. Mathematical and Computer Modeling, 43(2006), 194 - 207. [12] J. J. Dacunha, Stability for time varying linear dynamic systems on time scales, J. of Computational and Applied Mathematics, 176(2005) 381 - 410. [13] J. M. Davis, I. A. Gravagne, R. J. Marks II, A. A. Ramos (2010), "Algebraic and Dynamic Lyapunov Equations on Time Scales", 42nd South Eastern Symposium on System Theory University of Texas at Tyler, TX, USA, March 7-9. [14] A. Denizand, ¨U. Ufuktepe, Lebesgue - Stieltjes measure on time scales, Turk J. Math, 33(2009) 27 - 40. [15] N. H. Du and N. T. Dieu. The first attempt on the stochastic calculus on time scale. Stochastic Analysis and Applications, 29(2011) 1057 - 1080. [16] N.H. Du and N.T. Dieu, Stochastic dynamic equations on time scales, Acta Math- ematica Vietnamica, vol.38, n0 2, DOI: 10.1007/s40306-013-0022-3 2013. [17] Du, N. H. , Dieu, N. T. and Tuan, L. A. , Exponential P-stability of stochastic ∇-dynamic equations on disconnected sets, Electron. J. Diff. Equ., 285 2015, pp. 1-23. [18] N. H. Du and L. H. Tien. (2007), On the exponential stability of dynamic equations on time scales, J. Math. Anal. Appl. 331, 1159 - 1174 [19] S. Foss, T. Konstantopoulos, An overview of some stochastic stability methods, J. of the Operations Research, 47(2004) 275 - 303. [20] Q. Feng; B. Zheng, Generalized Gronwall-Bellman-type delay dynamic inequalities on time scales and their applications, Appl. Math. Comput., 218 (2012), no. 15, 7880-7892. [21] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod, The theory of stochastic processes III. Springer - Verlag New York Inc, (1979). [22] I. I. Gihman and A. V. Skorokhod. (1972), Stochastic differential equations, Springer - Verlag, Berlin. [23] V. M. Gundlach. and O. Steinkamp. (2000), Product of random rectangular ma- 27 trices, Math. Nachr. 212, 54 - 76. [24] T. E. Govindan, Existence and stability of solutions of stochastic semilinear func- tional differential equations, Stochastic Analysis and Applications, 20(6)(2012) 1257 - 1280. [25] I.A. Gravagne and R.J. Robert, Bilateral Laplace transforms on time scales: con- vergence, convolution, and the characterization of stationary stochastic time series, Circuits Systems Signal Process. 29(2010), no. 6, 1141 - 1165. [26] D. Grow and S. Sanyal. Brownian motion indexed by a time scale. Stochastic Analysis and Applications, 29(2011) 457 - 472. [27] D. Grow; S. Sanyal, The quadratic variation of Brownian motion on a time scale, Statist. Probab. Lett. 82 (2012), no. 9, 1677-1680. [28] R. Z. Has’minskii, Stochastic stability of differential equation, Sijthoff & Noordhoff 1980. [29] S. Hilger, Ein Maßkettenkalk¨aul mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten. Ph.D. thesis, Universit¨aat W¨aurzburg, (1988). [30] J. Hoffacker, C.C. Tisdell, Stability and instability for dynamic equations on time scales, J. Computers and Mathematics with Applications, 49(2005) 1327 - 1334. [31] K. Itô. (1944), Stochastic Integral, Proc. Imp. Acad. Tokyo. 20, 519 - 524. [32] K. Itô. (1951), On a formula concerning stochastic differentials, Nagoya Math. J. 3, 55 - 65. [33] K. Itô. (1951), On stochastic differential equations, Mem. Amer. Math. Soc. 4, 1 - 51. [34] B. Jacob (1998), "A formula for the stability radius of time-varying systems", J. Differential Equations, 142, pp. 167-187. [35] Khas’minskii, R. Z., Stochastic Stability of Difference Equations, Alphen: Sijtjoff and Noordhoff (translation of the Russian edition, Nauka, Moscow), 1986. [36] D. Kannan and B. Zhan, A discrete - time Itô’s formula. Stochastic Analysis and Applications, 20(2002), 1133 - 1140. [37] Kallenberg, L. 2001.Foundations of modern probability, Springer Verlag, New York Berlin Heidelberg. [38] L. Kallenberg. (2001), Foundations of modern probability, Springer Verlag, New 28 York Berlin Heidelberg. [39] D. Kannan B. Zhan. (2002), A discrete - time Ito formula, Stochastic Analysis and Applications. 20, 1133 - 1140. [40] N. Kazamaki. (1972), On the existence of the solutions of martingale integral equations, Tohoku Math. Journ. 24, 463 - 468. [41] Kolmanovskii,V. B. and Nosov,V. R.,Stability of Functional Differential equations, Academic Press 1986. [42] H. Kunita and S. Wantanabe, On square integrable martingales. Nagoya Math. J., 30(1967), 209 - 245. [43] H. J. Kushner, Stochastic Stability and Control. Academic Press, (1967). [44] V. Lakshmikantham, S. Sivasundaram and B. Kaymakcalan (1996), Dynamic sys- tems on measure chains, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Nether- lands. [45] Lipster, R, Sh., Shiryayev, A. N., Theory of Martingales, Kluwer Academic Pub- lishers (translation of the Russian edition, Nauka, Moscow), 1986. [46] X. L. Liu; W. X. Wang and J. Wu, Delay dynamic equations on time scales, Appl. Anal., 89 (2010), no. 8, 1241-1249. [47] A. L. Liu, Boundedness and exponential stability of solutions to dynamic equations on time scales, Electron. J. Diff. Equ., 2007, no. 12, 1-14. [48] C. Lungan and V. Lupulescu, Random dynamical systems on time scales, Elec- tronic Journal of Differential Equations, vol. 2012, No. 86(2012), pp. 1 - 14. [49] Y. Ma; J. Sun J, Stability criteria of delay impulsive systems on time scales, Nonlinear Anal., 67 (2007) no. 4, 1181-1189. [50] X. Mao, Exponential stability for stochastic differential equations with respect to semimartingale, Stochastic Processes and their Applications, 35(1990) 267 - 277. [51] X. Mao, Lyapunov functions and almost sure exponential stability of stochastic differential equations based on semimartingale with spatial parameters, SIAM Journal on Control and Optimization, no. 6, 28(1989), 343-355. [52] X. Mao, Stochastic differential equations and their applications, Horwood pub- lishing chichester 1997. [53] Martynyuk, A. A. , Stability theory of solutions of dynamic equations on time 29 scales. Phoepix Publishers, Kiev 2012. [54] X. Mao, Almost sure exponential stability of delay equations with damped stochas- tic perturbation, Stochastic Analysis and Application 19 (2.1) (2001), 67-84. [55] X. Mao. (1991), Stability of Stochastic Differential Equations with Respect to Semimartingales, Longman Scientific and Technical, Essex, England. [56] X. Mao. (2003), Asymptotic Stability and Boundedness of stochastic differential equations with respect to semimartingales, Stochastic Analysis and Applications. 21, 737 - 751. [57] X. Mao, D. J. Higham, and A. M. Stuart. (2002), Strong convergence of Euler- type methods for nonlinear stochastic differential equations, SIAM Journal on Numerical Analysis. 40, 1041 - 1063. [58] H. P. McKean. Jr. (1969), Stochastic Integrals, Academic Press, New York. [59] P. A. Meyer. (1967), Intdgrales stochastiques I, II, Lecture notes in mathematics, Springer - Verleg, Berlin 39, 72 - 117. [60] P. A. Meyer. (1962), A decomposition theorem for supermartingales, Ill. J. Math. 6, 193 - 205. [61] P. A. Meyer and C. Dolans-Dade. (1970), Intgrales stochastiques par rapport aux martingales locales, Seminaire de Probabilities IV, Lecture Notes in Mathematics. 124, 77 - 107. [62] E. Messina; A. Vecchio, Stability analysis of linear Volterra equations on time scales under bounded perturbations, Appl. Math. Lett., 59 (2016), 6-11. [63] P. Medvegyev, Stochastic integration theory. Oxford University Press Inc, New York, (2007). [64] M. M. Mili´c and V. B. Baji´c (1987), "Quanlitative Analysis of Motion Properties of Semistate Models of Large-Scale Systems", Circuits Systems Signal Process, 6(3), pp. 315-334. [65] A. C. Peterson and C. C. Tisdell (2004), "Boundedness and uniqueness of solutions to dynamic equations on time scales", J. Difference Equ. Appl., 10(13-15), pp. 1295-1306. [66] P. E. Protter. (1977), On the existence, uniqueness, convergence and explosions of system of stochastic integral equations, The Annals of Probability. 5, 243 - 261. [67] Protter, P. E. 2004. Stochastic integration and differential equations, Springer- 30 Verlag Berlin Heidelberg. [68] S. Sanyal. Stochastic dynamic equations. Ph.D. Dissertation, Applied Mathemat- ics, Missouri University of Science and Technology (2008). [69] L. Socha, Exponential stability of singularly perturbed stochastic systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 45(3)(2000) 576 - 580. [70] B. L. Shaikhet, Stability in probability of nonlinear stochastic difference equations, Stab. Control Theory Appl. 2(1-2)(1999) 25 - 39. [71] B. L. Shaikhet, About stability of nonlinear stochastic difference equations, Appl. Math. Lett. 13(5)(2000) 27 - 32. [72] Suman, S. 2008. Stochastic dynamic equations, Ph.D. Dissertation, Applied Math- ematics, Missouri University of Science and Technology. [73] A. Tartakovsky. (1998), Asymptotically optimal sequential tests for nonhomoge- neous processes, [74] T. N. Thiele. (1880), Surla compensation de quelques erreurs quasi-systematiques par la methode des moindres carres, Reitzel, Copenhagen. [75] W .Vervaat. (1979), On the stochastic difference equation and a representation on nonnegative infinitely random variables, Adv. Appl . Probab. 11, 750 - 783. [76] Z. Yang and D. Xu. (2007), Mean square exponential stability of impulsive stochas- 31 tic difference equations, Applied Mathematics Letters. 20, 938 - 945.2.6 Ổn định ngẫu nhiên của phương trình động lực ngẫu nhiên
2.7 Ổn định hầu chắc chắn của phương trình động lực ngẫu nhiên
Chương 3
Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ
3.1 ∇-Phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ
3.2 p-ổn định mũ của phương trình động lực ngẫu nhiên có trễ
3.3 Ổn định mũ hầu chắc chắn của phương trình động lực có trễ
KẾT LUẬN
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên
quan đến luận án
Tài liệu tham khảo
