Toán học lớp 11: Các dạng toán đếm trọng tâm (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> CÁC D NG TOÁN<br /> Th y<br /> D NG 1. BÀI TOÁN M NGƯ I, V T<br /> <br /> M TR NG TÂM – P1<br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> Bài 1: M t bàn dài có hai dãy gh i di n nhau, m i dãy có 6 gh . Ngư i ta mu n x p ch ng i cho 6 h c sinh trư ng A và 6 h c sinh trư ng B vào bàn nói trên. H i có bao nhiêu cách x p trong m i trư ng h p sau: 1. B t c 2 h c sinh nào ng i c nh nhau ho c i di n nhau thì khác trư ng v i nhau. 2. B t c 2 h c sinh nào ng i i di n nhau thì khác trư ng v i nhau. L i gi i: 1. Giai ñoaïn 1: Xeáp choã ngoài cho hai nhoùm hoïc sinh, coù 2 caùch xeáp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Giai ñoaïn 2: Trong nhoùm hoïc sinh cuûa tröôøng A, coù 6! caùch xeáp caùc em vaøo 6 choã. Töôïng töï, coù 6! caùch xeáp 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo 6 choã. Keát luaän: coù 2.6!6! = 1036800 caùch 2. Hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A ngoài tröôùc: coù 12 caùch choïn gheá ñeå ngoài. Sau ñoù, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A: coù 6 caùch choïn hoïc sinh tröôøng B. Hoïc sinh thöù hai cuûa tröôøng A coøn 10 choã ñeå choïn, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù hai tröôøng A: coù 5 caùch choïn, v.v… Vaäy: coù 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 caùch. Bài 2: M t h p ng 4 viên bi , 5 viên bi tr ng và 6 viên bi vàng. Ngư i ta ch n ra 4 viên bi t h p ó. H i có bao nhiêu cách ch n trong s bi l y ra không có c 3 màu? L i gi i: 4 Soá caùch choïn 4 bi trong soá 15 bi laø: C15 = 1365. Caùc tröôøng hôïp choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: * 2 ñoû + 1 traéng + 1 vaøng: coù C2C1 C1 = 180 4 5 6 * 1 ñoû + 2 traéng + 1 vaøng: coù * 1 ñoû + 1 traéng + 2 vaøng: coù<br /> 2 C1 C5C1 = 240 4 6 2 C1 C1 C6 = 300 4 5<br /> <br /> Do ñoù soá caùch choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: 180 + 240 + 300 = 720 Vaäy soá caùch choïn ñeå 4 bi laáy ra khoâng ñuû 3 maøu laø: 1365 – 720 = 645. Bài 3: Ngư i ta x p ng u nhiên 5 lá phi u có ghi s th t t 1 n 5 c nh nhau. 1. Có bao nhiêu cách x p các phi u s ch n luôn c nh nhau? 2. Có bao nhiêu cách x p các phi u phân thành hai nhóm ch n l riêng bi t (ch ng h n 2, 4, 1, 3, 5)? L i gi i: 1. * Xeáp caùc phieáu soá 1, 2, 3, 5 coù 4! = 24 caùch. * Sau ñoù xeáp phieáu soá 4 vaøo caïnh phieáu soá 2 coù 2 caùch. Vaäy: coù 2.24 = 48 caùch xeáp theo yeâu caàu ñeà baøi. 2. * Khi nhoùm chaün ôû beân traùi, nhoùm leû ôû beân phaûi. Soá caùch xeáp cho 2 soá chaün laø 2! caùch. Soá caùch xeáp cho 3 soá leû laø: 3! caùch. Vaäy coù 2.6 = 12 caùch. * Töông töï cuõng coù 12 caùch xeáp maø nhoùm chaün ôû beân phaûi, nhoùm leû ôû beân traùi. Vaäy: coù 12 + 12 = 24 caùch. Bài 4: Ngư i ta vi t các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các t m phi u, sau ó x p th t ng u nhiên thành m t hàng. 1. Có bao nhiêu s l g m 6 ch s ư c s p thành? 2. Có bao nhiêu s ch n g m 6 ch s ư c s p thành? Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> L i gi i: Soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abcdef vôùi a ≠ 0 1. Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f ∈ {1, 3, 5}. Do ñoù: f coù 3 caùch choïn a coù 4 caùch choïn (tröø 0 vaø f) b coù 4 caùch choïn (tröø a vaø f) c coù 3 caùch choïn (tröø a, b, f) d coù 2 caùch choïn (tröø a, b, c, f) e coù 1 caùch choïn (tröø a, b, c, d, f) Vaäy: coù 3.4.4.3.2.1 = 288 soá 2. Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f ∈ {0, 2, 4}. * Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) laø moät hoaùn vò cuûa (1,2,3,4,5). Do ñoù coù 5! soá * Khi f ∈ {2, 4} thì: f coù 2 caùch choïn a coù 4 caùch choïn b coù 4 caùch choïn c coù 3 caùch choïn d coù 2 caùch choïn e coù 1 caùch choïn Do ñoù coù 2.4.4.3.2.1 = 192 soá. Vaäy: coù 120 + 192 = 312 soá chaün. Bài 5: M t th y giáo có 12 cu n sách ôi m t khác nhau trong ó có 5 cu n sách Văn, 4 cu n sách Nh c và 3 cu n sách Ho . Ông mu n l y ra 6 cu n và t ng cho 6 h c sinh A, B, C, D, E, F m i em m t cu n. 1. Gi s th y giáo ch mu n t ng cho các h c sinh trên nh ng cu n sách thu c 2 th lo i Văn và Nh c. H i có bao nhiêu cách t ng? 2. Gi s th y giáo mu n r ng sau khi t ng sách xong, m i m t trong ba lo i sách trên u còn l i ít nh t m t cu n. H i có bao nhiêu cách ch n? L i gi i: 1. Soá caùch taëng laø soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 9 cuoán coù keå thöù töï. Vaäy soá caùch taëng laø A6 = 60480 9 2. Nhaän xeùt: khoâng theå choïn sao cho cuøng heát 2 loaïi saùch. 6 Soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 12 cuoán saùch laø: A12 = 665280 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Vaên laø: Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Hoaï laø:<br /> A5 .7 = 5040 6 A3 .A3 = 60480 6 9<br /> 4 2 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: A6 .A8 = 20160<br /> <br /> Soá caùch choïn caàn tìm laø: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 Bài 6: Có 5 nhà toán h c nam, 3 nhà toán h c n và 4 nhà v t lí nam. L p m t oàn công tác 3 ngư i c n có c nam và n , c n có c nhà toán h c và nhà v t lí. H i có bao nhiêu cách? L i gi i: Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: C1 .C1 .C1 = 5.3.4 = 60 5 3 4<br /> 2 Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 2 nhaø vaät lí nam laø: C1 .C4 = 18 3 2 Soá caùch choïn 2 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: C3 .C1 = 12 4<br /> <br /> Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn Bài 7: M t i văn ngh có 20 ngư i, trong ó có 10 nam và 10 n . H i có bao nhiêu cách ch n ra 5 ngư i sao cho: 1. Có úng 2 nam trong 5 ngư i ó. 2. Có ít nh t 2 nam và ít nh t 1 n trong 5 ngư i ó. L i gi i: 2 3 1. Choïn 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 = 5400 caùch. 2. Coù ít nhaát 2 nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau: * 2 nam vaø 3 nöõ: coù 5400 caùch Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 3 2 * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 = 5400 caùch 4 * 4 nam vaø 1 nöõ: coù C10 .C1 = 2100 caùch 10<br /> <br /> Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch. Bài 8: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi , 4 viên bi vàng có kích thư c ôi m t khác nhau. 1. Có bao nhiêu cách ch n ra 6 viên bi, trong ó có úng 2 viên bi . 2. Có bao nhiêu cách ch n ra 6 viên bi, trong ó s bi xanh b ng s bi . L i gi i: 2 1. Coù: C5 caùch choïn ra 2 vieän bi ñoû.<br /> 4 C13 caùch choïn ra 4 vieân bi coøn laïi. 2 4 Vaäy coù: C5 . C13 = 7150 caùch choïn<br /> <br /> 2. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: * 3 xanh, 3 ñoû, 0 vaøng → coù C3 .C3 caùch 9 5<br /> 2 2 * 2 xanh, 2 ñoû, 2 vaøng → coù C9 .C5 .C2 caùch 4 4 * 1 xanh, 1 ñoû, 4 vaøng → coù C1 .C1 .C4 caùch 9 5 2 2 4 Vaäy coù taát caû: C3 .C3 + C9 .C5 .C2 + C1 .C1 .C4 = 3045 caùch. 9 5 4 9 5 Bài 9: Có 5 th tr ng và 5 th en, ánh d u m i lo i theo các s 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách s p x p t t c các th này thành m t hàng sao cho hai th cùng màu không n m li n nhau. L i gi i: Coù 2 khaû naêng: 1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün → coù 5!5! caùch 2. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû → coù 5!5! caùch Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch. Bài 10: M t n c nh sát khu v c có 9 ngư i. Trong ngày, c n c 3 ngư i làm nhi m v a i m A, 2 ngư i a i m B, còn 4 ngư i thư ng tr c t i n. H i có bao nhiêu cách phân công? L i gi i: 3 2 4 2 2 4 Coù taát caû: C9 .C6 = C9 .C5 = C9 .C7 = 1260 caùch Bài 11: M t l p h c có 20 h c sinh, trong ó có 2 cán b l p. H i có bao nhiêu cách c 3 ngư i i d h i ngh H i sinh viên c a trư ng sao cho trong 3 ngư i ó có ít nh t m t cán b l p. L i gi i: Coù 2 khaû naêng: 2 * 1 caùn boä lôùp vaø 2 hoïc sinh thöôøng: coù C1 .C18 2<br /> <br /> * 2 caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù C2 .C1 2 18<br /> 2 Vaäy soá choïn laø: C1 .C18 + C2 .C1 = 324 caùch. 2 2 18 Bài 12: X p 3 viên bi có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh gi ng nhau vào m t dãy 7 ô tr ng. H i: 1. Có bao nhiêu cách x p khác nhau? 2. Có bao nhiêu cách x p khác nhau sao cho 3 viên bi x p c nh nhau và 3 viên bi xanh x p c nh nhau? L i gi i: 1. Tröôùc heát xeáp 3 vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau neân soá caùch xeáp laø A3 . 7<br /> <br /> Sau ñoù xeáp 3 vieân bi xanh vaøo 4 oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng nhau neân soá caùch xeáp laø C3 . 4 Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: A3 . C3 = 840 caùch. 7 4 2. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh ñöùng caïnh nhau chæ coù 6 caùch xeáp. Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø 3! Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø: 6.3! = 36 caùch. Bài 13: Cho A là m t h p có 20 ph n t . 1. Có bao nhiêu t p h p con c a A? 2. Có bao nhiêu t p h p con khác r ng c a A mà có s ph n t là s ch n? L i gi i: 0 1 2 20 1. Soá taäp con cuûa A laø: C20 + C20 + C20 + ... + C20 = 220 Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 2. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø: 4 20 T = C2 + C20 + ... + C20 20<br /> 2 20 Ta coù: 0 = (1 – 1)20 = C0 − C1 + C20 − ... + C20 20 20 2 4 20 ⇒ C0 + C20 + C20 + ... + C20 = C1 + C3 + ... + C19 20 20 20 20 2 20 ⇒ C0 + C1 + C20 + ... + C20 = 2 C0 + C2 + C4 + ... + C20 20 20 20 20 20 20<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 4 ⇒ T = C2 + C20 + ... + C20 = 20 20<br /> <br /> 220 19 − C0 = 2 – 1. 20 2<br /> <br /> Bài 14: M t l p có 10 h c sinh nam và 10 h c sinh n . C n ch n ra 5 h c sinh i làm công tác “Mùa hè xanh”. H i có bao nhiêu cách ch n n u trong 5 h c sinh ó ph i có ít nh t: 1. Hai h c sinh n và hai h c sinh nam. 2. M t h c sinh n và m t h c sinh nam. L i gi i: 1. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 2 hoïc sinh nöõ vaø 2 hoïc sinh nam thì coù 2 tröôøng hôïp: 2 3 * 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 caùch.<br /> 3 2 * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 2 3 Vaäy taát caû coù: 2. C10 .C10 = 10800 caùch.<br /> <br /> 2. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh nam thì coù 4 tröôøng hôïp: 4 * 1 nam vaø 4 nöõ: coù C1 .C10 caùch. 10<br /> 2 3 * 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 3 2 * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 4 * 4 nam vaø 1 nöõ: coù C10 .C1 caùch. 10 4 2 3 Vaäy taát caû coù: 2. C1 .C10 + 2. C10 .C10 = 15000 caùch. 10 i thanh niên xung kích c a m t trư ng ph thông có 12 h c sinh, g m 5 h c sinh l p A, 4 h c sinh l p Bài 15: B và 3 h c sinh l p C. C n ch n 4 h c sinh i làm nhi m v , sao cho 4 h c sinh này thu c không quá 2 trong 3 l p trên. H i có bao nhiêu cách ch n như v y? L i gi i: 4 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø: C12 = 495<br /> <br /> Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö sau: • Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp 1 hoïc sinh. 2 ⇒ Soá caùch choïn laø: C5C1 C1 = 120 4 3 • Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, C moãi lôùp 1 hoïc sinh: ⇒ Soá caùch choïn laø: C1 C2C1 = 90 5 4 3 • Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp 1 hoïc sinh: 2 ⇒ Soá caùch choïn laø: C1 C1 C3 = 60 5 4 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø: 120 + 90 + 60 = 270 Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø: 495 – 270 = 225 caùch. Bài 16: T m t nhóm g m 15 h c sinh kh i A, 10 h c sinh kh i B, 5 h c sinh kh i C, ch n ra 15 h c sinh sao cho có ít nh t 5 h c sinh kh i A và úng 2 h c sinh kh i C. Tính s cách ch n. L i gi i: 2 • Soá caùch choïn 2 hoïc sinh khoái C laø: C5 = 10 • Choïn 13 hoïc sinh trong soá 25 hoïc sinh khoái A vaø B. Soá caùch choïn baát kì laø: C13 = 5200300 25<br /> 4 9 Soá caùch choïn ñöôïc 4 hoïc sinh khoái A vaø 9 hoïc sinh khoái B laø: C15C10 3 Soá caùch choïn ñöôïc 3 hoïc sinh khoái A vaø 10 hoïc sinh khoái B laø: C15C10 10<br /> <br /> ⇒ Soá caùch choïn sao cho coù nhieàu nhaát 4 hoïc sinh khoái A laø: 4 9 3 10 C15C10 + C15C10 = 13650 + 455 = 14105 ⇒ Soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 4 9 3 C13 − C15 .C10 + C15 .C10 25 10<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> = 5186195<br /> <br /> • Vaäy soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø:<br /> 2 4 9 3 10 C5 C13 − C15 .C10 + C15 .C10  = 51861950  25 <br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> Bài 17: M t i thanh niên tình nguy n có 15 ngư i, g m 12 nam và 3 n . H i có bao nhiêu cách phân công i thanh niên tình nguy n ó v giúp 3 t nh mi n núi, sao cho m i t nh có 4 nam và 1 n . L i gi i: 4 Coù C1 C12 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát. Vôùi moãi caùch phaân coâng 3<br /> 4 caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát, thì coù C1 C8 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình 2<br /> <br /> nguyeän veà tænh thöù hai. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù nhaát vaø tænh thöù hai, thì coù C1C4 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù ba. 1 4<br /> 4 4 Vaäy taát caû coù: C1 C12 . C1 C8 . C1C4 = 207900 caùch phaân coâng. 3 2 1 4<br /> <br /> BÀI T P LUY N T P Baøi 1: Cho 10 câu h i, trong ó có 4 câu lý thuy t và 6 bài t p. Ngư i ta c u t o thành các thi. Bi t r ng trong m i thi ph i g m 3 câu h i, trong ó nh t thi t ph i có ít nh t 1 câu lý thuy t và 1 bài t p. H i có th t o ra bao nhiêu thi? S:<br /> <br /> • •<br /> <br /> g m 2 câu lý thuy t và 1 bài t p:<br /> <br /> 2 1 C4 .C6 = 36<br /> <br /> 1 2 g m 1 câu lý thuy t và 2 bài t p: C4 .C6 = 60 V y có: 36 + 60 = 96 thi. Baøi 2: M t l p h c có 40 h c sinh, trong ó g m 25 nam và 15 n . Giáo viên ch nhi m mu n ch n m t ban cán s l p g m 4 em. H i có bao nhiêu cách ch n, n u: a) G m 4 h c sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 n . c) Có 2 nam và 2 n . d) Có ít nh t 1 nam. e) Có ít nh t 1 nam và 1 n . 4 S: a) C40 1 3 b) C25 .C15 2 2 c) C25 .C15 1 3 2 2 3 1 4 d) C25 .C15 + C25 .C15 + C25 .C15 + C25<br /> <br /> 4 4 4 e) C40 − C25 − C15<br /> <br /> Baøi 3: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Ngư i ta mu n ch n t ó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư y lên 3 bì thư ã ch n. M t bì thư ch dán 1 tem thư. H i có bao nhiêu cách làm như v y? S: 1200. Baøi 4: M t túi ch a 6 viên bi tr ng và 5 viên bi xanh. L y ra 4 viên bi t túi ó, có bao nhiêu cách l y ư c: a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi tr ng, 2 viên bi xanh? S: a) 20. b) 150. Baøi 5: T 20 ngư i, ch n ra m t oàn i bi u g m 1 trư ng oàn, 1 phó oàn, 1 thư ký và 3 y viên. H i có m y cách ch n? S: 4651200. Baøi 6: T 5 bông h ng vàng, 3 bông h ng tr ng và 4 bông h ng (các bông hoa xem như ôi m t khác nhau), ngư i ta mu n ch n ra m t bó hóa g m 7 bông, h i có bao nhiêu cách ch n bó hoa trong ó: a) Có úng 1 bông h ng ? b) Có ít nh t 3 bông h ng vàng và ít nh t 3 bông h ng ? S: a) 112 b) 150.<br /> <br /> Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br />