Toán học lớp 11: Các dạng toán đếm trọng tâm (phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> CÁC D NG TOÁN<br /> Th y<br /> D NG 2. BÀI TOÁN MS CÓ I U KI N<br /> <br /> M TR NG TÂM – P2<br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> Bài 1: H i t 10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th l p ư c bao nhiêu s g m 6 ch s khác nhau, sao cho trong các ch s ó có m t s 0 và 1. L i gi i: * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø: 6 5 A10 − A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 0 laø: A6 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 9 * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 1 laø: A6 − A5 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 9 9 Vaäy soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù ñeàu coù maët 0 vaø 1 laø: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá. Bài 2: T 5 ch s 0, 1, 3, 5, 7 có th l p ư c bao nhiêu s g m 4 ch s khác nhau và không chia h t cho 5. L i gi i: * Tröôùc heát ta tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau: Coù 4 khaû naêng choïn chöõ soá haøng ngaøn (khoâng choïn chöõ soá 0) Coù A3 khaû naêng choïn 3 chöõ soá cuoái. 4 ⇒ Coù 4. A3 = 4.4! = 96 soá. 4 * Tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5: Neáu chöõ soá taän cuøng laø 0: coù A3 = 24 soá 4<br /> 2 Neáu chöõ soá taän cuøng laø 5: coù 3 khaû naêng choïn chöõ soá haøng nghìn, coù A3 = 6 khaû naêng choïn 2 chöõ<br /> <br /> soá cuoái. Vaäy coù 3.6 = 18 soá Do ñoù coù 24 + 18 = 42 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5. Vaäy coù: 96 – 42 = 54 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng chia heát cho 5. Bài 3: Cho các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5. T các ch s ã cho ta có th l p ư c: 1. Bao nhiêu s ch n có b n ch s và b n ch s ó khác nhau t ng ôi m t. 2. Bao nhiêu s chia h t cho 5, có ba ch s và ba ch s ó khác nhau t ng ôi m t. 3. Bao nhiêu s chia h t cho 9, có ba ch s và ba ch s ó khác nhau t ng ôi m t. L i gi i: 1. Soá chaün goàm boán chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abc0 hoaëc abc2 hoaëc abc4 * Vôùi soá abc0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c. ⇒ Coù 5.4.3 = 60 soá * Vôùi soá abc2 hoaëc abc4 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c. ⇒ Coù 4.4.3 = 48 soá abc2 vaø 48 soá abc4 Vaäy coù: 60 + 48 + 48 = 156 soá chaün. 2. Soá chia heát cho 5 vaø goàm ba chöõ soá coù daïng ab0 hoaëc ab5 . * Vôùi soá ab0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b. ⇒ Coù 5.4 = 20 soá * Vôùi soá ab5 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b. ⇒ Coù 4.4 = 16 soá Vaäy coù: 20 + 16 soá caàn tìm. 3. Goïi abc laø soá chia heát cho 9 goàm ba chöõ soá khaùc nhau. Khi ñoù {a,b,c} coù theå laø: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}. * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì caùc soá phaûi tìm laø: 405, 450, 504, 540 Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> → coù 4 soá * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì soá phaûi tìm laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû → coù 3! = 6 soá. Vaäy coù: 4 + 6 + 6 = 16 soá caàn tìm. Bài 4: V i các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta l p các s mà m i s có năm ch s trong ó các ch s khác nhau t ng ôi m t. H i 1. Có bao nhiêu s trong ó ph i có m t ch s 2. 2. Có bao nhiêu s trong ó ph i có m t hai ch s 1 và 6. L i gi i: Xeùt soá naêm chöõ soá a1a2a3a4a5 1. Xeáp chöõ soá 2 vaøo moät trong naêm vò trí: coù 5 caùch xeáp 4 Sau ñoù xeáp 5 chöõ soá coøn laïi vaøo 4 vò trí coøn laïi: coù A5 = 120 caùch. Vaäy coù 5.120 = 600 soá. 2 2. Xeáp caùc chöõ soá 1 vaø 6 vaøo 5 vò trí: coù A5 caùch. Xeáp 4 chöõ soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi: coù A3 = 24 caùch. 4<br /> 2 Vaäy coù A5 . A3 = 480 soá. 4 Bài 5: V i các s : 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th thành l p ư c bao nhiêu s t nhiên g m 4 ch s khác nhau và trong ó ph i có m t ch s 0. L i gi i: Soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc vieát töø 6 chöõ soá: 0, 1, 2, 3, 4, 5 laø: 5. A3 = 300 5<br /> <br /> Trong caùc soá noùi treân, soá caùc soá töï nhieân khoâng coù maët chöõ soá 0 laø:<br /> <br /> 4 A5 = 120<br /> <br /> Vaäy soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu laø: 300 – 120 = 180 soá. Bài 6: Cho 8 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. H i có th l p ư c bao nhiêu s g m 6 ch s khác nhau, trong ó nh t thi t ph i có m t ch s 4. L i gi i: Giaû söû soá caàn tìm coù daïng: A = a1a2a3a4a5a6 . +) Neáu a1 = 4 thì caùc chöõ soá coøn laïi cuûa A laø moät trong 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7. Vaäy coù A5 = 7 2520 soá. +) Neáu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 neân chæ coù 6 caùch choïn a1. Vì soá 4 phaûi coù ñuùng moät trong 5 vò trí coøn laïi 4 laø a2, a3, a4, a5, a6. Khi ñoù caùc vò trí khaùc (khoâng coù chöõ soá 4) seõ chæ coøn A6 soá khaùc nhau. Vaäy<br /> 4 tröôøng hôïp naøy coù 6.5. A6 = 10800 soá.<br /> <br /> Vaäy taát caû coù: 2520 + 10800 = 13320 soá. Bài 7: V i các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th l p ư c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 5 ch s khác nhau và trong ó ph i có ch s 5. L i gi i: Ta söû duïng 5 oâ sau ñeå vieát soá coù 5 chöõ soá: • Tröôøng hôïp 1: Soá taïo thaønh chöùa chöõ soá 0: Coù 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0. Sau ñoù coøn 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. Soá caùch choïn 3 chöõ soá coïn laïi laø: A3 5 ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 4.4. A3 = 960 soá 5 • Tröôøng hôïp 2: Soá taïo thaønh khoâng chöùa soá 0: Coù 5 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. 4 Soá caùch choïn 4 chöõ soá coøn laïi laø: A5<br /> 4 ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 5. A5 = 600 soá.<br /> <br /> Vaäy coù taát caû: 960 + 600 = 1560 soá. Bài 8: T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th thi t l p ư c bao nhiêu s có 6 ch s khác nhau mà hai ch s 1 và 6 không ng c nh nhau? L i gi i: Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laø: 6! = 720 Trong ñoù, soá caùc soá coù chöùa 16 laø 5! = 120 Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> soá caùc soá coù chöùa 61 laø 5! = 120 Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: 720 – 240 = 480 soá. Bài 9: T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th l p ư c bao nhiêu s có 9 ch s mà ch s 9 ng v trí chính gi a? L i gi i: Ta chæ coù 1 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 9. Khi ñoù soá caùch xeáp 8 chöõ soá coøn laïi laø 8! Vaäy taát caû coù: 8! = 40320 soá. Bài 10: Tính t ng t t c các s t nhiên g m 5 ch s khác nhau ôi m t ư c l p t 6 ch s 1, 3, 4, 5, 7, 8. L i gi i: Kí hieäu X laø taäp hôïp taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8. Xeùt x = a1a2a3a4a5 ∈ X.<br /> 4 Neáu choïn a5 = 1 thì a1a2a3a4 öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 5 phaàn töû 3, 4, 5, 7, 8 ⇒ coù A5 soá<br /> <br /> coù chöù haøng ñôn vò laø 1. 4 Töông töï coù A5 soá coù chöù haøng ñôn vò laø 3; …<br /> 4 ⇒ Toång taát caû chöõ soá haøng ñôn vò cuûa caùc phaàn töû x ∈ X laø: (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). A5 = 3360.<br /> <br /> Laäp luaän töông töï, toång taát caû chöõ soá haøng chuïc cuûa caùc phaàn töû x ∈ X laø: 3360.10; … Vaäy toång taát caû caùc phaàn töû cuûa X laø: S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960. Bài 11: 1. Có bao nhiêu s ch n có ba ch s khác nhau ư c t o thành t các ch s 1, 2, 3, 4, 5. 2. Có bao nhiêu s có ba ch s khác nhau ư c t o thành t các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các s ó nh hơn s 345. L i gi i: 1. Xeùt caùc soá chaün x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau; a, b, c ∈ {1;2;3;4;5} = E. Vì x chaün neân c ∈ {2;4} ⇒ coù 2 caùch choïn c. Vôùi moãi caùch choïn c, coù A2 caùch choïn bc . 4 Vaäy taát caû coù: 2. A2 = 24 soá chaün. 4 2. Xeùt x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau thuoäc E = {1;2;3;4;5;6} * Neáu a ≥ 4 thì x > 345. * Neáu a = 1 hoaëc 2 thì vôùi moïi chænh hôïp chaäp 2 (b,c) cuûa E \ {a} ta ñeàu coù x = abc < 345. Loaïi naøy 2 coù: 2. A5 = 40 soá. * Neáu a = 3 thì x = 3bc < 345 ⇔ <br /> b = 1hoaëc 2; b = 4; c ∈ E \ {a,b} c = 1hoaëc 2<br /> <br /> Loaïi naøy coù: 2.4 + 1.2 = 10 soá. Vaäy coù taát caû: 40 + 10 = 50 soá. Bài 12: V i các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th l p ư c bao nhiêu s ch n có ba ch s khác nhau và không l n hơn 789? L i gi i: Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: 1. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 2, 4, 6 ⇒ coù 3 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò. a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: Khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta coøn 5 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò vaø haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.5.7 = 105 soá. b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: Sau khi choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta coøn 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.6 = 18 soá. 2. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 8: a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6.7 = 42 soá. b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. ⇒ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6 soá. Vaäy taát caû coù: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 soá. Bài 13: T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th l p ư c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 6 ch s khác nhau và ch s 2 ng c nh ch s 3. L i gi i: Ta coi caëp (2;3) chæ laø moät phaàn töû “keùp”, khi ñoù chæ coù 5 phaàn töû laø 0, 1, (2; 3), 4, 5. Soá hoaùn vò cuûa 5 phaàn töû naøy laø P5, phaûi loaïi tröø soá tröôøng hôïp phaàn töû 0 ôû vò trí ñaàu goàm P4 tröôøng hôïp. Chuù yù raèng ñoái vôùi phaàn töû keùp, ta coù theå giao hoaùn neân soá tröôøng hôïp seõ ñöôïc nhaân ñoâi. Neân soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn ñeà baøi laø: 2(P5 – P4) = 192 soá. Bài 14: T các ch s 1, 2, 3, 4, 5,6 có th l p ư c bao nhiêu s t nhiên mà m i s có 6 ch s và tho mãn i u ki n: sáu ch s c a m i s là khác nhau và trong m i s ó t ng c a 3 ch s u nh hơn t ng c a 3 ch s cu i m t ơn v . L i gi i: Coi soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc choïn töø taäp 6 chöù soá ñaõ cho coù daïng: a1a2a3a4a5a6 (ai ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1 ⇔ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 ⇔ 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 ⇔ a4 + a5 + a6 = 11 ⇒ a1 + a2 + a3 = 10 (1) Vì a1, a2 a3 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} neân heä thöùc (1) chæ coù theå thoaû maõn trong 3 khaû naêng sau: • a1, a2, a3 ∈ {1; 3; 6} • a1, a2, a3 ∈ {1; 4; 5} • a1, a2, a3 ∈ {2; 3; 5} Moãi boä soá a1, a2, a3 neâu treân taïo ra 3! hoaùn vò, vaø moãi hoaùn vò ñoù laïi ñöôïc gheùp vôùi 3! hoaùn vò cuûa boä soá a4, a5, a6 . Vì vaäy toång coäng soá caùc soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi laø: 3.3!.3! = 108 soá. Bài 15: T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có th l p ư c bao nhiêu s t nhiên ch n mà m i s g m 7 ch s khác nhau? L i gi i: Caùc soá phaûi laäp laø chaün neân phaûi coù chöõ soá ñöùng cuoái cuøng laø 0 hoaëc 2, 4, 6, 8. • Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø 0: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû. Do ñoù coù A6 soá thuoäc loaïi naøy. 8 • Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø moät trong caùc chöõ soá 2, 4, 6, 8: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû (keå caû soá coù chöõ soá 0 ñöùng ñaàu). Vaäy soá caùc soá loaïi naøy laø: 4. ( A6 − A5 ) . 8 7 Vaäy taát caû coù: A6 + 4. ( A6 − A5 ) = 90720 soá. 8 8 7<br /> <br /> Bài 16: T các ch s 1, 2, 3, 4, 5 có th l p ư c bao nhiêu s g m 3 ch s khác nhau và nh hơn 245. L i gi i: Goïi soá caàn tìm laø: x = a1a2a3 Vì x < 245 neân a1 = 1 hoaëc a1 = 2 • a1 = 1: x = 1a2a3 a2, a3 laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû: 2, 3, 4, 5 ⇒ Coù: A2 = 4.3 = 12 soá 4 • a1 = 2: x = 2a2a3 a2 coù 2 khaû naêng: * a2 < 4 ⇒ a2 ∈ {1, 3} ⇒ a2 coù 2 caùch choïn, a3 coù 3 caùch choïn trong 3 soá coøn laïi ⇒ Coù 2.3 = 6 soá * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 ⇒ a3 coù 2 caùch choïn ⇒ Coù 2 soá ⇒ Coù 6 + 2 = 8 soá x = 2a2a3 Vaäy coù taát caû: 12 + 8 = 20 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi. Bài 17: T 5 ch s 0, 1, 2, 5, 9 có th l p ư c bao nhiêu s l , m i s g m 4 ch s khác nhau. Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG L i gi i:<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> Soá caàn tìm coù daïng: a1a2a3a4 . Choïn a4 töø {1, 5, 9} ⇒ coù 3 caùch choïn. Choïn a1 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} ⇒ coù 3 caùch choïn. Choïn a2 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} ⇒ coù 3 caùch choïn. Choïn a3 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} ⇒ coù 2 caùch choïn. Vaäy taát caû coù: 3.3.3.2 = 54 soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi. Bài 18: T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th l p ư c bao nhiêu s t nhiên, m i s g m 6 ch s khác nhau và t ng các ch s hàng ch c, hàng trăm, hàng ngàn b ng 8. L i gi i: Goïi x = a1a2a3a4a5a6 laø soá caàn laäp. YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 ⇒ a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5} hoaëc a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 2, 5} • Coù 6 caùch choïn a1 • Coù 5 caùch choïn a2 • Coù 3! caùch choïn a3, a4, a5 • Coù 4 caùch choïn a6 ⇒ Coù: 6.5.6.4 = 720 soá x. b) Khi a3, a4, a5 ∈ {1, 3, 4}, töông töï ta cuõng coù 720 soá x. Vaäy taát caû coù: 720 + 720 = 1440 soá x. Bài 19: T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có th l p ư c bao nhiêu s t nhiên, m i s g m 5 ch s khác nhau và nh t thi t ph i có 2 ch s 1, 5. L i gi i: • Caùch 1: Goïi x = a1a2a3a4a5 laø soá caàn laäp.<br /> 2 Tröôùc tieân ta coù theå xeáp 1 vaø 5 vaøo 2 trong vò trí: coù A5 = 20 caùch.<br /> <br /> Sau ñoù, ta coù 5 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi ñaàu tieân. 4 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù hai. 3 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù ba. Vaäy taát caû coù: 20.5.4.3 = 1200 soá. • Caùch 2: 2 * Böôùc 1: Xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: coù A5 = 20 caùch. * Böôùc 2: coù A3 = 60 caùch xeáp 3 trong 5 soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi. 5 Vaäy coù 20.60 = 1200 soá. Bài 20: Có bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s , trong ó ch s 0 có m t úng 2 l n, ch s 1 có m t úng 1 l n và hai ch s còn l i phân bi t? L i gi i: 2 Choïn 2 vò trí xeáp chöõ soá 0: coù C4 caùch. Choïn 1 vò trí xeáp chöõ soá 1: coù 3 caùch. Choïn 2 chöõ soá xeáp vaøo 2 vò trí coøn laïi: coù caùch. 2 Vaäy taát caû coù: C2 .3. A8 = 1008 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi. 4<br /> <br /> Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br />