Tóm tắt công thức ôn thi Quốc gia môn Toán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Tóm tắt công thức ôn thi Quốc gia môn Toán" được biên soạn dành cho học sinh lớp 12 đang chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán. Nội dung tài liệu bao gồm các công thức trọng tâm như hằng đẳng thức đáng nhớ, phương trình bậc hai, dấu của đa thức, điều kiện để tam thức không đổi dấu và các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai. Tài liệu giúp hệ thống hóa kiến thức lý thuyết và hỗ trợ học sinh trong quá trình luyện tập bài tập. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để nâng cao kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt cho kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt công thức ôn thi Quốc gia môn Toán

TOÙM TAÉT COÂNG THÖÙC OÂN THI QUOÁC GIA MOÂN TOAÙN “Phải cùng, trái trái” 2.Dấu của tam thức bậc hai: f ( x )  ax 2  bx  c(a  0) ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I.Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 0 x   2 2 1. (a  b)  a  2ab  b 2 3 3 2 4. (a  b)  a  3a b  3ab  b 2 3 f ( x) cùng dấu a 2. (a  b)2  a2  2ab  b 2 5. (a  b)3  a3  3a2 b  3ab2  b3 3. a2  b 2  (a  b)(a  b) 6. a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) 7. a3  b3  (a  b)(a2  ab  b 2 ) b 0 x    2 2a II.Phương trình bậc hai: ax  bx  c  0(a  0) f ( x) cùng dấu a 0 cùng dấu a 1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:   b2  4ac    0 : Phương trình vô nghiệm. 0 x  x1 x2  b    0 : Phương trình có nghiệm kép: x1  x 2   f ( x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a 2a    0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: “Trong trái, ngoài cùng” b   b   3.Dấu của đa thức bậc  3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với hệ số a x1  ; x2  2a 2a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi 2.Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: dấu. Nếu “b chẵn” (ví dụ b  4;2 3;2m; 2(m  1);... ) ta dùng công thức IV.Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên  . nghiệm thu gọn. Cho tam thức bậc hai: f ( x )  ax 2  bx  c (a  0)  b a  0 a  0  '  b '2  ac  b '   f ( x )  0x     f ( x )  0x      2   0   0   '  0 : Phương trình vô nghiệm. a  0 a  0 b' f ( x )  0x     f ( x )  0x       '  0 : Phương trình có nghiệm kép: x1  x2     0   0 a V.Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối   '  0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: A , khi A0 b '  '  b '  ' 1.Phương trình : A   x1  ; x1   A , khi A0 a a 2  A  0  Chú ý: ax  bx  c  0  a( x  x1 )( x  x2 ) với x1, x2 là hai nghiệm  2 của phương trình bậc 2: ax  bx  c  0 A  B  A B  A  0  3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2 ax 2  bx  c  0 có 2 nghiệm   A  B  x1 , x2 thì: B  0   b  A  B   A  B  S  x1  x2     A  B a  “Tổng bà, tích ca”    P  x .x  c A  B  1 2  a  A  B  4.Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:  A  B 2.Bất phương trình:  x1  1  Nếu a  b  c  0 thì phương trình có nghiệm:  A  B x  c  A B  2 a   A  B  x1  1 A  B A B  Nếu a  b  c  0 thì phương trình có nghiệm:   A  B x   c  2  a  A  B  A B A  B 2 5.Dấu của nghiệm số: ax  bx  c  0(a  0)  Phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1  0  x2  P  0  A  B A B  Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 0  x1  x2 A  B   0  A  B  A2  B 2  A2  B2  0  ( A  B )( A  B )  0   P  0 A  B  A 2  B 2  A2  B 2  0 S  0  VI.Phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai  Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt x1  x2  0 1.Phương trình:   0 B  0    A B 2  P  0 A  B  S  0   A  0( B  0)  A B III.Dấu của đa thức: A  B 1.Dấu của nhị thức bậc nhất: f ( x )  ax  b(a  0) 2.Bất phương trình: x b    a ax  b trái dấu a 0 cùng dấu a 1
B  0 2 tan a  tan 2 a  1  tan 2 a  A  0  AB 1 B  0  Hệ quả: sin x .cos x  sin 2 x  2  A  B2  6.Công thức hạ bậc: B  0 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1  cos 2 x  sin 2 x  ; cos 2 x  ; tan 2 x   A  0 2 2 1  cos2 x AB 7.Công thức nhân ba: B  0     A  B2  sin3a  3sin a  4sin 3 a;cos3a  4 cos3 a  3cos a 8.Công thức biến đổi tích thành tổng: A  0  1  A  B  B  0 cos a cos b   cos(a  b)  cos(a  b)  A  B2 2   1 sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b) A  0 2   1 A  B  B  0 sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  A  B2 2   9.Công thức biến đổi tổng thành tích: A  0  A B ab ab A  B cos a  cos b  2 cos cos 2 2 A  0 ab ab A B cos a  cos b  2sin sin A  B 2 2 VII. LƯỢNG GIÁC ab ab sin a  sin b  2sin cos 1.Định nghĩa giá trị lượng giác: 2 2 ab ab sin a  sin b  2 cos sin 2 2 10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; hơn kém  - tan, cot.  Hai cung bù nhau:  và    sin(   )  sin  cos(   )   cos tan(   )   tan  cot(   )   cot  sin   OK Hai cung đối nhau:  và   cos  OH cos( )  cos  tan   AT sin(  )   sin  tan( )   tan  cot   BS 2.Các công thức lượng giác cơ bản: cot(  )   cot  sin  1  1)tan   3)sin 2   cos2   1 5)1  cot 2    Hai cung phụ nhau:  và  cos sin 2  2 cos 1   2)cot   4)1  tan2   6)tan  .cot   1 sin      cos sin  cos2  2  3.Các giá trị lượng giác đặc biệt:   cos      sin   2    tan      cot  2    cot      tan  2   Hai cung hơn kém  :  và    sin       sin  cos       cos tan      tan  cot      cot  Hệ quả: 4.Công thức cộng:  sin x , k chaü n cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a sin( x  k )  k  cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a  sin x , k leû tan a  tan b tan a  tan b  cos x , k chaü n tan(a  b)  ;tan(a  b)  cos( x  k )  k  1  tan a tan b 1  tan a tan b  cos x , k leû 5.Công thức nhân đôi: tan( x  k )  tan x k  sin 2 a  2sin a cos a cot( x  k )  cot x k  cos 2 a  cos2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2 sin 2 a 2
    Hai cung hơn kém :  và    cos x  0  x   k 2 2 2    sin      cos  tan x  0  x  k  2 2    cos       sin   cot x  0  x  k 2 2  b) Cách chuyển hàm:   tan       cot     2 sin   cos      2    cot       tan     2 cos  sin     2  “Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ”   x tan   cot     11.Công thức tính sin x ,cos x ,tan x theo tan :  2  2   x 2t 1  t2 2t cot   tan     Nếu đặt t  tan thì: sin x  2 ;cos x  tan x  2  2 1 t 1  t2 1  t2 c) Cách loại dấu trừ: 12.Một số công thức khác:  sin   sin( )      tan   tan( )  sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x    4  4  cot   cot( )     Ngoại lệ:  cos  cos(   )  sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x    4  4 14. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác: Là phương trình 2 có dạng  cot x  tan x  s in2x a sin 2 x  b sin x  c  0  cot x  tan x  2cot 2 x a cos2 x  b cos x  c  0 2  1  sin2x   sin x  cos x  a tan 2 x  b tan x  c  0 2 1 a cot 2 x  b cot x  c  0   sin 4 x  cos4 x  sin 2 x  cos2 x   2sin 2 x cos2 x  1  sin 2 2 x 2  Đặt:  6 6  2 2  4 sin x  cos  sin x  cos x sin x  sin x cos x  cos x 2 2 4  t  sin x  t  cos x   Điều kiện 1  t  1 3 t  tan x  t  cot x   Không có điều kiện t.  1  sin 2 2 x 4 13.Phương trình lượng giác cơ bản Các công thức cần nhớ:  2 2 sin x  1  cos x u  v  k 2 u  arcsin a  k 2  2 2 sin x  cos x  1   2 sin u  sin v   sin u  a   2 cos x  1  sin x u    v  k 2 u    arcsin a  k 2  Đặc biệt:  cos2 x  2cos2 x  1  1  2sin2 x  15. Phương trình bậc nhất đối vối sinx và cosx : Là phương trình có sin u  1  u   k 2 2 dạng a sin x  b cos x  c . sin u  0  u  k Chia 2 vế của phương trình cho a 2  b 2 ta được:  sin u  1  u    k 2 a b c 2 sin x  cos x  a2  b2 a 2  b2 a 2  b2 u  v  k 2 u  arccos a  k 2 cos u  cos v   cos u  a   2 2 u  v  k 2 u   arccos a  k 2  a   b  Vì   2     2   1 nên tồn tại 1 cung  sao cho  2 2 Đặc biệt:  a b   a b  cos u  1  u  k 2  a  cos u  0  u   k  cos  2  a  b2 2  . cos u  1  u    k 2 sin   b  a2  b2  tan u  tan v  u  v  k tan u  a  u  arctan a  k Khi đó phương trình trở thành: cot u  cot v  u  v  k cot u  a  u  arccot a  k c c Lưu ý: sin x.cos  sin  .cos x   sin( x   )  2 2 a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện nếu gặp a b a  b2 2 một trong hai trường hợp sau: c TH1: Phương trình có chứa hàm số tang hoặc cotang (trừ phương  Điều kiện có nghiệm:  1  a2  b2  c2 trình bậc nhất và bậc hai theo 1 hàm số tang hoặc cotang) a2  b2   Công thức cần nhớ: sin  cos   sin  cos  sin(   )  Phương trình có chứa tan x : Điều kiện x   k 2 16.Phương trình thuần nhất bậc hai: là phương trình có dạng  Phương trình có chứa cot x : Điều kiện x  k a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  0 (*)    Phương trình có chứa cả tan x và cot x : Điều kiện x  k 2 TH1: cos x  0  x  2  k sin 2  x  1 thế vào (*) TH2: Phương trình có chứa ẩn ở mẫu  Điều kiện: mẫu  0 TH2: cos x  0 . Chia 2 vế (*) cho cos2 x ta được phương trình bậc 2  sin x  0  x  k theo tan x 3
Lưu ý: Phương trình a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d với d  0 ax  b  Đối với hàm phân thức y  : có thể đưa về dạng (*) bằng cách: cx  d a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d a b  a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d (sin2 x  cos2 x ) c d ad  bc y'    0 (hoặc  0 ) x  D 17. Phương trình đối xứng và phản xứng : là phương trình có dạng (cx  d )2 (cx  d )2 a(sin x  cos x )  b sin x cos x  c  0  Bảng biến thiên:  Đặt : Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.    Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với  t  sin x  cos x  2 sin  x    Điều kiện  2  t  2 4 ax  b  hàm phân thức y  ) cx  d t2  1  sin x cos x   Vẽ đồ thị: 2 Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0)    t  sin x  cos x  2 sin  x    Điều kiện  2  t  2 Số a0 a0  4 nghiệm 1  t2 của  sin x cos x  phương 2 trình VIII.Công thức tính đạo hàm: y'  0 (c )'  0 ( x )'  1 (ku)'  k .u ' y'  0 ' '  u  v   u ' v '  uv   u ' v  uv ' có 2 nghiệm '  u  u ' v  uv ' ' phân    v2  uvw   u ' vw  uv ' w  uvw ' biệt v ( x n )'  n.x n 1 (u n )'  n.u n 1.u ' ' ' y'  0 1 1  1 1 có    2     2 .v ' x x v v nghiệm kép ' 1 ' u'   x  2 x  u  2 u (sin u)'  cos u.u ' (sin x )'  cos x y'  0 ' (cos u)'   sin u.u ' vô (cos x )   sin x 1 nghiệm 1 (tan u)'  (1  tan 2 u).u '  .u ' (tan x )'  1  tan 2 x  cos2 u cos2 x 1 1 (cot u)'   .u '  (1  cot 2 u).u ' (cot x )'  (1  cot 2 x )   sin 2 u sin 2 x Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương (e x )'  e x (eu )'  eu .u ' y  ax 4  bx 2  c(a  0) (a x )'  a x .ln a (au )'  a u .ln a.u ' a0 a0 1 ' 1' y'  0 (ln x )  (ln u)  .u ' x u có 3 1 1 nghiệm (log a x )'  (log a u)'  .u ' x ln a u ln a phân biệt a b '  ax  b  c d ad  cb    2  y'  0  cx  d  (cx  d ) (cx  d )2 có 1 a b 2 a c b c nghiệm ' x 2 x duy  ax 2  bx  c  a' b' a' c' b' c'  a' x2  b' x  c '     (a ' x 2  b ' x  c ')2 nhất   “anh bạn ăn cơm bằng chén” ax  b IX.Các dạng toán về hàm số: Các dạng đồ thị của hàm số phân thức y  (c  0, ad  bc  0) cx  d 1.Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)  Tập xác định: y'  0 y'  0 ax  b  Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức y  ) cx  d  Đạo hàm: y '  Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y '  0 tìm nghiệm. 2.Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định: 4
a.Hàm bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d xi  [a; b](i  1,2,3...) Tập xác định D   .  Tính y ( a ) , y ( b ) , y( xi ) Đạo hàm y '  3ax 2  2bx  c là 1 tam thức bậc 2.  So sánh và kết luận. b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1  y '  0   Hàm số đồng biến trên   y '  0, x     khoảng hoặc nửa khoảng (a; b),(a;  ),(; b),[a; b),(a; b] …  ay '  0   Tìm tập xác định.  y '  0  Tính đạo hàm y '   Hàm số nghịch biến trên   y '  0, x      Lập bảng biến thiên  ay '  0   Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận. ax  b 5.Tìm giao điểm của hai đường. b.Hàm nhất biến: y  cx  d  Cho hai đồ thị (C1 ) : y  f1 ( x ) và (C2 ) : y  f2 ( x ) .  d  Phương trình hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) là : Tập xác định D   \    c f1 ( x )  f2 ( x ) (*) ad  cb  Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào Đạo hàm y '  có dấu phụ thuộc vào dấu của tử. 1 trong 2 hàm số y  f1 ( x ) hoặc y  f2 ( x ) được tung độ (cx  d )2 giao điểm.  Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định 6.Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số điểm  y '  0, x  D  ad  cb  0 (Không có dấu “=”) cho trước.  Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y '  0, x  D  ad  cb  0 (Không có dấu “=”)  Cho hai đồ thị (C1 ) : y  f1 ( x ) và (C2 ) : y  f2 ( x ) . 3.Cực trị của hàm số:  Phương trình hoành độ giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) là :  y '( x 0 )  0  f1 ( x )  f2 ( x ) (*)  Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0    y ''( x 0 )  0   (C1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại n điểm phân biệt khi và chỉ  y '( x0 )  0 khi phương trình (*) có n nghiệm phân biệt.   Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x 0   Lưu ý : Trục hoành có phương trình y  0  y ''( x0 )  0  7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.  y '( x 0 )  0  Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm  Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu tại x 0    y ''( x 0 )  0  của phương trình h( x , m)  0 . a.Hàm bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0)  Biến đổi phương trình h( x , m)  0 về dạng f ( x )  g(m) (*). 2  Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai  y '  3ax  2bx  c  y  f ( x ) (C )  Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)  phương trình đồ thị :   y '  0  y  g(m) (d )  y '  0 có 2 nghiệm phân biệt    Bảng kết quả : ay '  0  g(m) m Số giao điểm Số nghiệm  Hàm số không có cực trị  Phương trình y '  0 vô nghiệm … … … …  y '  0 Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương  hoặc có nghiệm kép   trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng ay '  0  kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề b.Hàm bậc 4 trùng phương: y  ax 4  bx 2  c(a  0) (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm …)  y '  4ax 3  2bx 8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Ta có: y '  0  4ax 3  2bx  0 Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp  2 x (2ax 2  b)  0 tuyến của đồ thị tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) là: y  f '( x0 )( x  x 0 )  y0 x  0  x0  2  2ax  b  0 Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:  y0  f ( x 0 )  f '( x ) x  0 (1)  0   2 b Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm x 0 x  (2)   2a  Tính đạo hàm y '  Hàm số có 3 cực trị  Phương trình y '  0 có 3 nghiệm  Thay x0 vào y tính y0 phân biệt  Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0  Thay x0 vào y ' tính f '( x0 ) b  0. 2a  Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x 0 )  y0  Hàm số có 1 cực trị  Phương trình y '  0 có 1 nghiệm Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm y0 .  Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0  Giải phương trình f ( x0 )  y0 tìm x0 . b  0.  Thay x0 vào y ' tính f '( x0 ) 2a 4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:  Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x 0 )  y0 a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) xác Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k . định trên 1 đoạn [a; b ]  Giả sử tiếp điểm là M0 ( x0 ; y0 )  Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]  Giải phương trình f '( x0 )  k tìm x0 .  Tính đạo hàm y ' .  Thay x0 vào y ta tìm được y0 .  Giải phương trình y'  0 . Tìm các nghiệm 5
 Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x 0 )  y0 2.Bất phương trình lôgarit: Lưu ý:  log a x  b  x  a b nếu a  1  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b thì log a f ( x )  b  f ( x )  a b nếu a  1 f '( x0 )  a .  log a x  b  x  a b nếu 0  a  1  Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b(a  0) loga f ( x )  b  f ( x )  a b nếu 0  a  1 1 thì f '( x0 ).a  1  f '( x0 )   .  log a f ( x )  log a g( x )  f ( x )  g( x ) nếu a  1 a X.Các công thức về lũy thừa và lôgarit:  log a f ( x )  log a g( x )  f ( x )  g( x ) nếu 0  a  1 1.Công thức lũy thừa: Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và a0  1 am .an  am  n lôgarit: am  a f ( x )  Không có điều kiện.  amn an  f ( x)  0  1 n n  log f ( x ) g( x )  Điều kiện:  f ( x )  1 an  an a  m  a m .n  ab   a n .b n  g( x )  0  n  a  an m 1 Đặt t  ax  Điều kiện: t  0     n a n  n am an  n a Đặt t  log a x  Không có điều kiện t  b b Các tính chất quan trọng: XIII.Công thức nguyên hàm-tích phân  Công thức nguyên hàm:  Nếu a  1 thì a  a      Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng  Nếu 0  a  1 thì a  a      2. Công thức lôgarit: 1.dx  x  C  a.dx  ax  C 1) loga 1  0  x  1 1 (ax  b) 1  x dx   1 C  (ax  b) dx  . a  1 C 2) loga a  1 1 1 1 3) log a b   log a b Đặc biệt: log a n b  1 log a b  x dx  ln x  C  ax  b dx  a .ln ax  b  C n 1 1 1 1  dx  2 x  C  dx  .2 ax  b  C 4) log a b  log a b x ax  b a  5) log a (bc)  log a b  log a c (lôgarit của tích bằng tổng các 1 1 1 1 1  x 2 dx   x  C  (ax  b) 2 dx   . C lôgarit) a ax  b b 1 6) log a  log a b  log a c (lôgarit của thương bằng hiệu các  cos xdx  sin x  C c  cos(ax  b)dx  a .sin(ax  b)  C lôgarit) 1 loga b  logc b  sin xdx   cos x  C  sin(ax  b)dx   a .cos(ax  b)  C 7) (đổi cơ số) logc a 1 1 1 1  cos 2 x dx  tan x  C  cos (ax  b) dx  a .tan(ax  b)  C 2 8) loga b  logb a 1 1 1 9) loga b.logb c  log a c  sin 2 x dx   cot x  C  sin (ax  b) dx   a .cot(ax  b)  C 2 log c log a log b 10) a b  c b Đặc biệt: a a  b x x 1 ax  b  e dx  e C e ax  b dx  .e C Các tính chất quan trọng: a  Nếu a  1 thì log a   log a        e x dx  e x  C  Nếu 0  a  1 thì loga   loga      x x ax  b 1  ax  b XI.Phương trình và bất phương trình mũ:  dx  C  dx  . C ln  a ln  1.Phương trình mũ: t ( b) b  a x  b  x  loga b  Phương pháp đổi biến số dạng 1: I   f [t( x )].t '( x )dx   f (t)dt a t ( a)  a f ( x )  b  f ( x )  log a b Một số cách đổi biến thường gặp:  a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x ) 1 2.Bất phương trình mũ:   f (ln x ) x dx  Đặt t  ln x  a x  b  x  log a b nếu a  1 x x x a f ( x )  b  f ( x )  log a b nếu a  1   f (e )e dx  Đặt t  e  a x  b  x  loga b nếu 0  a  1   f (sin x)cos xdx  Đặt t  sin x a f ( x )  b  f ( x )  log a b nếu 0  a  1   f (cos x)sin xdx  Đặt t  cos x  a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x ) nếu a  1 1   f (tan x ) cos dx  Đặt t  tan x  a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x ) nếu 0  a  1 2 x XII.Phương trình và bất phương trình lôgarit: 1 1.Phương trình lôgarit:   f (cot x ) sin 2 dx  Đặt t  cot x x b  log a x  b  x  a n  Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa A thì đặt t  n A b  log a f ( x )  b  f ( x )  a m  Khi tính tích phân dạng  sin x cosn xdx :  loga f ( x )  loga g( x )  f ( x )  g( x ) o Nếu m và n chẵn ta dùng công thức hạ bậc. 6
o Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t  sin x . 1 z o Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t  cos x .  Số phưc nghịch đảo của z là:  z z.z  Phương pháp đổi biến số dạng 2: 2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:  Hàm có chứa a 2  x 2 thì đặt x  a sin t Cho phương trình bậc hai az2  bz  c  0 ( a, b, c   và a  0 ) a   b2  4ac  Hàm có chứa x 2  a 2 thì đặt x  sin t    0 : Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt: 2 2 2 2  Hàm có chứa a  x hay a  x thì đặt x  a tan t b  i b  i x1  ; x2  b b b 2a 2a  Tích phân từng phần:  u.dv  uv a   v.du b a a    0 : Phương trình có nghiệm kép thực : x1  x2   2a sin x       0 : Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt: Thứ thự ưu tiên: ln x  P( x )   cos x  e x  b   b     x1  ; x2  2a 2a P( x )  Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ:  Q( x ) dx Chú ý:  Khi giải phương trình trùng phương az4  bz2  c  0 trên tập số  Bậc của P ( x )  Bậc của Q( x ) : Chia đa thức tử cho mẫu. phức  , ta đặt t  z2 (không cần điều kiện cho t )  Bậc của P ( x )  Bậc của Q( x ) :  Phân tích mẫu thành tích và biến đổi theo cách sau:  z2   a(a  0)  z   ai Ñaë t TỔ HỢP – XÁC SUẤT P( x ) P( x ) A B C I. Quy tắc đếm     Q( x ) ( x  a) ( x  b) ( x  a)2 x  a x  b 2 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án A hoặc B. Nếu có m cách thực hiện phương án A, 1 1  1 1  Đặc biệt:     n cách thực hiện phương án B thì sẽ có m+n cách hoàn thành ( x  a)( x  b) a  b  x  a x  b  công việc.  Tính diện tích hình phẳng 2. Quy tắc nhân: Một công việc được thực hiện qua hai hành động  Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục liên tiếp A và B. Nếu có m cách thực hiện hành động A, n cách thực hiện hành động B thì sẽ có m  n cách hoàn thành công việc. hoành, hai đường thẳng x  a, x  b . b Lưu ý: Đối với bài toán thành lập số ta phải xét hai trường hợp nếu Công thức: S   f ( x ) dx thỏa mãn 3 điều kiện sau: a  Đề cho có chữ số 0.  Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số  Số cần tìm có các chữ số khác nhau. y  f ( x ), y  g( x ) , hai đường thẳng x  a, x  b  Số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) hoặc số chia hết cho 5. b II.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Công thức: S   f ( x )  g( x ) dx a 1. Hoán vị: Từ n phần tử  sắp thứ tự  Tính thể tích vật thể tròn xoay: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ). Mỗi cách hàm số y  f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quay sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. quanh trục hoành tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là: b  Số hoán vị của n phần tử: Pn  n!  n(n  1)...2.1 V    [ f ( x )]2 dx n!: đọc là “n giai thừa” a 2. Chỉnh hợp: Từ n  lấy k  sắp thứ tự XIV.Số Phức  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ). Lấy ra k 1.Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức có dạng z  a  bi , trong đó phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. a, b là các số thực, i 2  1 .  Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: a: được gọi là phần thực k n! b: được gọi là phần ảo An   n(n  1)...(n  k  1) (0  k  n) (n  k )!  Tập hợp các số phức được ký hiệu là   Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo. 3. Tổ hợp: Từ n  lấy k  Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi có phần thực bằng nhau  Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ). Lấy ra k a  a ' phần tử, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh hợp chập và phần ảo bằng nhau. a  bi  a ' b ' i   “Thực k của n phần tử. b  b '  Số các tổ hợp chập k của n phần tử: bằng thực, ảo bằng ảo” n! k Cn  (0  k  n)  Môđun của số phức z  a  bi : z  a2  b 2 k !(n  k )!  Số phức liên hợp: của số phức z  a  bi là z  a  bi III.Nhị thức Niu-tơn  Phép cộng hai số phức:  Công thức nhị thức Niu – tơn: n (a  bi)  (a ' b ' i)  (a  a ')  (b  b ')i a  b  C n a n  C n a n  1b  C n a n  2 b 2    0 1 2  Phép trừ hai số phức: (a  bi)  (a ' b ' i)  (a  a ')  (b  b ')i Cn a n  k b k  ...  Cn 1ab n 1  Cn b n k n n  Phép nhân hai số phức: n  n k  (a  bi).(a ' b ' i)  (aa ' bb ')  (ab ' ba ')i   Cn a n  k b k    Cn a k b n  k  k  Phép chia hai số phức: k 0  k0  z1 z1.z2  Số hạng tổng quát: Cn a n  k b k hoặc Cn a k b n  k k k  (nhân cả tử và mẫu cho z2 ). IV.Xác suất z2 z2 .z2  Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm, 7
một phép đo hay một sự quan sát hiện tương nào đó mà: 1 1 1 - Kết quả của nó không đoán trước được.    AH 2 AB 2 AC 2 - Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có 3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn: thể xảy ra của phép thử đó.  Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra C của một phép thử. Kí hiệu  (ô-mê-ga).  Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu. - Biến cố không  là biến cố không bao giờ xảy ra. - Biến cố chắc chắn  là biến cố luôn xảy ra  Phép toán trên các biến cố: α B A - A  B : Hợp của các biến cố A và B ( A  B xảy ra  A xảy ra hoặc B xảy ra). - A  B (hay A.B ): Giao của các biến cố A và B ( AC Ñoá i sin    (Ñi hoïc) A  B xảy ra  A và B đồng thời xảy ra). BC Huyeà n - A  B   thì ta nói A và B là 2 biến cố xung khắc AB Keà (không đồng thời xảy ra). cos   (Khoù c hoaøi) BC Huyeà n - A   \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A. AC Ñoá i tan    (Ñöø ng khoùc) (A và A xung khắc và A  A   ) AB Keà n( A) AB Keà  Xác suất của biến cố: P( A)  cot    (Keï o ñaây ) n() AC Ñoá i Trong đó: 4. Lưu ý: - n( A) : Số kết quả thuận lợi cho biến cố A.  Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh n( ) : Số phần tử của không gian mẫu. góc vuông có độ dài bằng ½ cạnh huyền -  Tính chất của xác suất:  Hình vuông có độ dài đường chéo bằng cạnh x 2 . - P()  0, P()  1  Cạnh huyển của tam giác vuông cân có độ dài bằng - 0  P ( A)  1 , với mọi biến cố A. cạnh góc vuông x 2 . - Nếu A và B xung khắc thì: caï nh 3  Đường cao của tam giác đều có độ dài bằng . P( A  B)  P ( A)  P (B ) (công thức cộng xác suất) 2 -  P A  1  P( A) , với mọi biến cố A. 5.Các công thức tính diện tích:  Tam giác thường: HÌNH HỌC PHẲNG 1 1 1 I. Một số công thức thường dùng trong hình học phẳng:  S  aha  bhb  chc ( ha , hb , hc : độ dài 3 đường cao) 2 2 2 1. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho ABC , ký hiệu 1 1 1 - a, b, c: độ dài 3 cạnh  S  ab sin C  ac sin B  bc sin A 2 2 2 - R: bán kính đường tròn ngoại tiếp abc a 2  b 2  c2  2bc cos A S   4R  Định lí côsin: b 2  a 2  c2  2ac cos B abc c2  a2  b2  2ab cos C  S  pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp, p  : nửa  2 chu vi)  b2  c 2  a2 cos A  S  p( p  a)( p  b)( p  c) (Công thức Hê-rông)  2bc 1  a2  c 2  b2  Tam giác vuông: S  x tích 2 cạnh góc vuông Hệ quả: cos B  2  2ac  a2  b 2  c 2 caïnh2 . 3 cos C   Tam giác đều: S   2ab 4  Hình vuông: S  Caï nh2 a b c  Hình chữ nhật: S  daø i  roäng  Định lí sin:    2R sin A sin B sin C  Hình bình hành: S  ñaùy  cao hoặc S  AB.AD.sin A  2 2 b 2  2c 2  a 2 ma   Hình thoi: S  ñaùy  cao hoặc S  AB.AD.sin A hoặc  4 1  2 2 a 2  2c 2  b 2 S x tích 2 đường chéo  Công thức tính độ dài trung tuyến: mb  2  4  2 2a 2  2b 2  c2 (ñaù y lôù n  ñaù y beù)  cao  Hình thang: S  mc  2  4 2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:  Hình tròn: S   R 2 A II.Các đường trong tam giác: 1.Đường trung tuyến_Trọng tâm  Xuất phát từ đỉnh  Qua trung điểm cạnh đối diện B C A H 2 2 2  BC  AB  AC (ñònhlí Pitago) G  AB2  BH .BC AC 2  CH .BC C  AH 2  BH .CH B M 2 1 AG  AM ; GM  AM  AH .BC  AB. AC 3 3 8
* Tính chất:  Cạnh – Cạnh – Cạnh  Ba đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm và Nếu là tam giác vuông: điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.  Cạnh huyền – Góc nhọn 2  Cạnh huyền – Cạnh góc vuông  Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng độ dài đường IV.Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác 3 trung tuyến.  2 góc bằng nhau 2.Đường cao_Trực tâm  1 góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tỉ lệ  3 cạnh tỉ lệ  Xuất phát từ đỉnh Nếu là tam giác vuông:  Vuông góc cạnh đối diện  1 góc nhọn bằng nhau A  2 cạnh tỉ lệ J HÌNH HỌC KHÔNG GIAN H I. Quan hệ song song: 1) Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và C không có điểm chung. B I 2) Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) nếu d không nằm * Tính chất: trong ( ) và d song song với một đường thẳng d ' nằm trong  Ba đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm và điểm này được gọi là trực tâm của tam giác. ( ) . 3.Đường trung trực_Tâm đường tròn ngoại tiếp d  Qua trung điểm một cạnh  Vuông góc với cạnh đó d' A  I d  ( )   d  d '   d  ( ) B C d '  ( )  3) Hai mặt phẳng song song với nhau nếu mặt phẳng này chứa hai * Tính chất: đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.  Ba đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác và đó là tâm đường a M tròn ngoại tiếp tam giác. b 4.Đường phân giác_Tâm đường tròn nội tiếp   Xuất phát từ một đỉnh  Chia góc ứng với đỉnh đó thành 2 góc bằng nhau * Tính chất:   Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác và đó là tâm đường a, b  ( )   tròn nội tiếp tam giác. a  b  M   ( )  ( ) A a, b  (  )   II. Quan hệ vuông góc: J 1) Hai đường thẳng d và d ' vuông góc với nhau nếu góc giữa B C chúng bằng 900 .  Đường phân giác của tam chia cạnh đối diện thành 2 đoạn tỉ lệ 2) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) nếu d vuông góc với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( ) . A d E B D C α a DB AB EB AB  ;  DC AC EC AC I b 5.Đường trung bình  Qua trung điểm hai cạnh da  A  db  M N   d  ( ) ab I   MN / / BC a, b  ( )  B C   1 Tính chất:  MN  BC  Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) thì d sẽ  2 * Tính chất: vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) .  Song song với cạnh đáy  (Định lý 3 đường vuông góc) Cho đường thẳng d không 1 vuông góc với mặt phẳng ( ) và đường thẳng a nằm trong  Có độ dài bằng cạnh đáy 2 mặt phẳng ( ) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để a vuông góc III.Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác với d là a vuông góc với hình chiếu d ' của d trên ( ) .  Cạnh – Góc – Cạnh  Góc – Cạnh – Góc 9
d d A d' α a O d' α H a  d  a  d' (d ,( ))  (d , d ') 3) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt này chứa một đường Cách tìm góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) : thẳng vuông góc với mặt kia.  Tìm hình chiếu d’ của d trên ( ) .  Khi đó góc giữa d và ( ) bằng góc giữa d và d’: Ta có thể trình bày như sau:  d - Vì O  ( ) nên hình chiếu của O trên ( ) là O. - Vì AH  ( ) nên hình chiếu của A trên ( ) là H.  Hình chiếu của AO trên là HO      ( AO,( ))  ( AO, HO )  AOH 3) Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt d  ( )    ( )  (  ) nằm trong 2 mặt phẳng, cùng vuông góc với giao tuyến. d  (  )  Tính chất:  Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm b trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ d vuông góc với mặt phẳng kia.  I a β a ( )  ( )  d   a  ( ), a  d   (( ),( ))  (a, b) b  (  ), b  d   d Cách tìm góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) : α  Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) và (  ) ( )  (  )   Tìm 2 đường thẳng a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( )  và (  ) mà cùng vuông góc với giao tuyến d. ( )  ( )  d   a  ( ) a  ( ), a  d    Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) bằng góc giữa hai  Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đường thẳng a và b. thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ IV. Khoảng cách: ba đó. 1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: d A α β H α Từ A kẻ AH  ( )  d ( A,( ))  AH γ Phương pháp tìm đoạn AH: - Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ ( ) chứa A và vuông góc ( )  ( )   với mặt phẳng ( ) theo giao tuyến là đường thẳng a. (  )  ( )   d  ( ) - Trong mặt phẳng ( ) , kẻ AH  a ( )  ( )  d    AH  ( )  d ( A,( ))  AH III. Góc: 1) Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a và b là β góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song A (hoặc trùng) với a và b. b a a' a b' H α d ( A,( )) AO  Lưu ý: Nếu AO  ( )  O thì  (a, b)  (a ', b ') d ( I ,( )) IO 2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) là góc giữa d và hình chiếu d’ của d trên ( ) . 10
S A I α D C O K H O 2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: A B  Cách 1: Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Tính chất của hình chóp đều:  Đường cao đi qua tâm của đáy. a  Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các M góc bằng nhau.  Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau. Chú ý:  Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có tâm là giao điểm của 2 đường chéo.  Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao N điểm hai đường trung tuyến. b  Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau. 2) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a S M  a  và b nếu  N  b  MN  a, MN  b   Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song A D với nó chứa đường thẳng còn lại. M b B C α A Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau: C a B  SA  ( ABCD )  (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với ( ABCD ) 3VM . ABC (SAB )  ( ABCD ) d (a, b)  d (b,( ))  d ( M ,( ))  d ( M ,( ABC ))  SABC  (SAD )  ( ABCD )  SA  ( ABCD ) Ta có:  Trong đó ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song (SAB )  (SAD )  SA  với đường thẳng b và M là điểm tùy ý trên đường thẳng b. Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc V. Hình chóp – khối chóp: với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều góc với mặt phẳng thứ ba đó” cao 3) Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao 1 của mặt bên đó sẽ là đường cao của hình chóp. V  Sñaùy  cao 3 S Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:  Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có: SABM BM  SABC BC A A D H B C B C Chú ý: M  Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu  Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với có diện tích bằng nhau. giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”  Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4  Đường cao SH của SAB chính là đường cao của hình chóp phần có diện tích bằng nhau. nên vẽ SH thẳng đứng. A D  Thường bài toán cho “ SAB là tam giác đều là nằm trong O mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau: - Gọi H là trung điểm AB B C - Vì SAB đều  SH là đường cao của SAB  SH  AB VI. Các khối hình chóp thường gặp: (SAB )  ( ABCD ) 1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các  cạnh bên đều bằng nhau. Ta có: (SAB )  ( ABCD )  AB  SH  ( ABCD )  SH  (SAB), SH  AB  VII. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. 11
S V  Sñaùy  cao Tính chất của hình lăng trụ: C'  Các cạnh bên song song và bằng nhau. A'  Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành. B'  Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác A C bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. 1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Đối với hình lăng trụ đứng: B  Các cạnh bên cũng là đường cao.  Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' vuông góc với đáy. Ta có:  . . (Công thức này chỉ được dùng cho VS . ABC SA SB SC 2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng khối chóp tam giác) nhau. Các trường hợp đặc biệt: 3) Hình hộp:  C  C'  Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành. S  Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.  Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Thể tích hình hộp chữ nhật V  abc (a, b, c: 3 kích thước) A'  Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. A B' Thể tích hình lập phương V  a3 (a: độ dài cạnh) C X. Mặt cầu – Khối cầu: 1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập B hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một VS. A ' B ' C SA ' SB ' khoảng R không đổi.  . VS . ABC SA SB Mặt cầu cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối cầu.  C  C '; B  B ' S A' A C B 2) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu: VS. A ' BC SA '  Diện tích mặt cầu: S  4 R 2  VS. ABC SA 4 Thể tích khối cầu: V   R3  3 VIII. Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 XI. Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ: mặt phẳng: 1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi 1 1 đó cạnh CD vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ. Ta có: VS . ABC  SABC .cao  SABC .d (S ,( ABC )) 3 3 3VS. ABC  d (S,( ABC ))  SABC Tương tự: 3VA.SBC d ( A,(SBC ))  SSBC 3VB .SAC d (B,(SAC ))  SSAC 3VC .SAB d (C ,(SAB ))   Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, hình SSAB tạo thành bởi mặt trụ và hai hình tròn này được gọi hình trụ. Trong đó: VA.SBC  VB .SAC  VC .SAB  VS . ABC Hai hình tròn này được gọi là hai đáy của hình trụ. IX. Hình lăng trụ - khối lăng trụ:  Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.  Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ. Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều  Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ. cao  Hình trụ cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi A' C' là khối trụ. 2) Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ: B'  Diện tích xung quanh mặt trụ: Sxq  2 rl ( l : độ dài đường sinh, r : bán kính đáy ) A C H B 12
S Δ M d I A C O B Gọi O là trung điểm của BC  O là tâm đường tròn ngoại tiếp 2  Diện tích toàn phần hình trụ: Stp  Sxq  2Sñaùy  2 rl  2 r ABC . 2  Thể tích khối trụ: V  Sñaùy .cao   r h ( h : chiều cao) Qua O dựng đường thẳng  vuông góc với mp(ABC)   là trục XII. Mặt nón – Hình nón - Khối nón: của đường tròn ngoại tiếp ABC . 1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông tại I quay quanh cạnh IO Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. khi đó cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt Gọi I  d   nón. I  d  IA  IS Ta có:  I    IA  IB  IC  IA  IB  IC  IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2 1  Bán kính: R  IA  AO 2  OI 2   BC   AM 2  2  Hình 3: Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA  ( ABC ) . S Δ  Cạnh IM vạch ra một hình tròn, hình tạo thành bởi mặt nón và hình tròn này được gọi là hình nón. Hình tròn này được gọi là mặt đáy của hình nón.  Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón. M d  Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được I gọi là chiều cao của hình nón.  Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón. A C 2) Diện tích mặt nón và thể tích khối nón: O  Diện tích xung quanh mặt nón: Sxq   rl ( l : độ dài đường J sinh, r : bán kính đáy ) B  Diện tích toàn phần hình nón: Stp  Sxq  Sñaùy   rl   r 2 Gọi J là trung điểm BC. 1 1 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  Thể tích khối nón: V  Sñaùy .cao   r 2 h ( h : chiều cao) Qua O dựng đường thẳng  vuông góc với mp(ABC)   là trục 3 3 XIII. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình của đường tròn ngoại tiếp ABC . chóp thường gặp Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Hình 1: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại B, SA  ( ABC ) . Gọi I  d   Cách đặc biệt I  d  IA  IS S Ta có:  I    IA  IB  IC  IA  IB  IC  IS I Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 2 2  Bán kính: R  IA  AO 2  OI 2   AJ   AM 2 3  C A Hình 4: Hình chóp đều S.ABC. S B Gọi I là trung điểm của SC. SAC vuông tại A  IA  IS  IC (1) M BC  AB    BC  (SAB)  BC  SB d I BC  SA  C  SBC vuông tại B  IB  IS  IC (2) A Từ (1) và (2)  IA  IB  IC  IS O Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. B 1 Bán kính: R  IS  SC Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  SO là trục của đường 2 Hình 2: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, SA  ( ABC ) . tròn ngoại tiếp ABC Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. 13
Gọi I  d  SO  I  d  IA  IS Ta có:   I  SO  IA  IB  IC  IA  IB  IC  IS Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính: R  IS Cách tính bán kính: SMI # SOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)      IS SM SA.SM II.Tọa độ của vectơ: u   x; y; z   u  xi  y j  zk    IS      SA SO SO Đặc biệt: 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1) Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc   hình chữ nhật), SA  ( ABCD ) III.Tọa độ của điểm: M ( x; y; z)  OM  ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung Cách đặc biệt độ, z : cao độ) S Đặc biệt:  M  (Oxy)  zM  0  M  (Oyz)  x M  0 I  M  (Oxz)  y M  0  M  Ox  yM  zM  0 A D  M  Oy  x M  zM  0 B C  M  Oz  x M  y M  0 Gọi I là trung điểm của SC. Hình chiếu vuông góc của điểm M ( x M ; y M ; zM ) lên: SAC vuông tại A  IA  IS  IC (1)  Trục Ox là: M1 ( x M ;0;0) BC  AB    BC  (SAB)  BC  SB  Trục Oy là: M2 (0; yM ;0) BC  SA   Trục Oz là: M3 (0;0; zM )  SBC vuông tại B  IB  IS  IC (2)  mp(Oxy) là: M12 ( x M ; yM ;0) CD  AD    CD  (SAD)  CD  SD  mp(Oxz) là: M13 ( x M ;0; zM ) CD  SA   SCD vuông tại D  ID  IS  IC (3)  mp(Oyz) là: M23 (0; yM ; zM )   Từ (1), (2) và (3)  IA  IB  IC  ID  IS IV.Các công thức về tọa độ: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) thì: Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.    a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) 1 Bán kính: R  IS  SC  2  ka  (ka1; ka2 ; ka3 ), k   Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.  a1  b1 S     a  b   a2  b2 “Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao a  b  3 3 M d bằng cao” I       A  a cùng phương b (b  0)  tồn tại một số k sao cho: a  kb D O  a1  kb1  a1 a2 a3 B C   a2  kb2    , (b1 , b2 , b3  0)  a  kb b1 b2 b3 Gọi O là giao điểm 2 đường chéo  SO là trục của đường tròn ngoại  3 3 tiếp hình vuông ABCD.    Tọa độ vectơ AB  ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA ) Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA. Gọi I  d  SO  x A  xB  xI   2 I  d  IA  IS Ta có:   y A  yB I  SO  IA  IB  IC  ID  Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:  yI   2  IA  IB  IC  ID  IS  zA  zB Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.  zI   2 Bán kính: R  IS Cách tính bán kính:  x A  xB  xC  xG  SMI # SOA (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)  3  yA  yB  yC IS SM SA.SM  Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:  yG     IS  3 SA SO SO   zA  zB  zC zG  HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ  3 I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ V.Tích vô hướng của hai vectơ:   đơn vị lần lượt là: i, j, k 14
     Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ),  Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD      b  (b1; b2 ; b3 ) thì: a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 “Hoành nhân hoành+ 1       Diện tích tam giác ABC: SABC   AB , AC  tung nhân tung + cao nhân cao” 2  Ứng dụng:  Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:        2 2 2  Độ dài vectơ: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ) thì a  a1  a2  a2 VABCD. A ' B ' C ' D '  [ AB, AD].AA '  Độ dài đoạn thẳng AB: 1     2 2 2  Thể tích tứ diện ABCD: VABCD  [ AB, AC ]. AD AB  ( xB  x A )  (yB  yA )  (zB  zA ) 6  Góc giữa hai vectơ: VII.Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi   qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n  ( A; B; C ) là:   a.b a1b1  a2 b2  a3b3 cos(a, b )     A( x  x 0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 a.b a1  a2  a3 . b12  b2  b3 2 2 2 2 2  Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D  0 thì () có VTPT  Điều kiện hai vectơ vuông góc:     là n  ( A; B; C ) a  b  a.b  0  a1b1  a2 b2  a3b3  0  Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng VI.Tích có hướng của hai vectơ: là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT   a  (a , a , a )  của mặt này là VTCP của mặt kia. 1 2 3  Định nghĩa: Cho hai vectơ   . Tích có hướng của hai b  (b1 , b2 , b3 )  Khoảng cách từ điểm M0  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng    vectơ a và b là 1 vectơ được xác định như sau: Ax0  By0  Cz0  D ( ) : Ax  By  Cz  D  0 : d  M0 ,( )    a1 a1 a2  A2  B2  C 2 [ a, b ]   a2   a3 a3 ; ;    a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1   b2 b3 b3 b1 b1 b2   mp(Oxy ) : z  0  2  Đặc biệt: mp(Oxz) : y  0 mp(Oyz) : x  0  1 3 Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt Quy tắc: 23-31-12 phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó.  Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính  1.Máy 570VN PLUS    Dạng 1: () đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có VTPT n  A; B;C :   ON  MODE  8  1  1: Nhập tọa độ Vectơ  (): A  x  x   B  y  y   C  z  z   0 0 0 0 a    AC  MODE  8  2  1: Nhập tọa độ Vectơ Dạng 2: () đi qua điểm M  x ; y ; z  có cặp VTCP a , b : 0 0 0  b  AC  SHIFT  5  3  X  SHIFT  5  4  = 2.Máy 570ES PLUS  ON  MODE  8  1  1: Nhập tọa độ Vectơ  a     AC  SHIFT  5  2  2  1: Nhập tọa độ  Khi đó VTPT của () là n  [ a, b ] .  Vectơ b  Dạng 3: () đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0  và song song với mặt phẳng ():  AC  SHIFT  5  3  X  SHIFT  5 Ax + By + Cz + D = 0:  4  = 3.Máy 570MS  ON  SHIFT  5  1  1  3: Nhập tọa độ  Vectơ a  AC  SHIFT  5  1  2  3: Nhập tọa độ    Vectơ b  Khi đó VTPT n  VTPT n   ( A; B; C ) .  AC  SHIFT  5  3  1  X  SHIFT Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:  5  32  =  Tính chất của tích có hướng:        n  Nếu n   a, b  thì n  a và n  b B        A α C  Hai vectơ a và b cùng phương với nhau  [a, b]  0            Khi đó VTPT của () là n   AB, AC     Ba vectơ a , b và c đồng phẳng với nhau  [a, b].c  0    Dạng 5: () là mặt phẳng trung trực của MN: ( [a, b].c được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)  Ứng dụng của tích có hướng: α       A, B, C thẳng hàng   AB, AC   0   I     M N  A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  .AD  0   Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng)       AB, AC  . AD  0   15
để ủ d1 (): ⃗ = ⃗ d2 Dạng 6: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (), (): M α β γ nγ nβ Qua M  ( ) :       VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2   α Dạng 12: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1,   d2 chéo nhau):   Khi đó VTPT của () là n( )  VTPTn ,VTPTn    d2 Dạng 7: () tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H (() là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H): d1 M α Qua M1  d1     ( ) :    VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2   – Tìm tâm I của mặt cầu (S) Dạng 13: () chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d: Qua H  d – ( ) :     ud VTPT n( )  IH  A M Dạng 8: () song song với mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và tiếp α xúc với mặt cầu (S): - Trên d lấy 1 điểm A Qua M  - ( ) :        VTPT n   AM ,VTCPu d   Dạng 14: () chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2: d2 M d1 – Vì () song song với ( ) nên phương trình mp() có dạng α Ax  By  Cz  m  0(m  D ) – Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  (). – Vì () tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d ( I ,( ))  R  Giải Qua M  phương trình này ta tìm được m . – ( ) :       VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2   Dạng 9: () đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với đường thẳng  AB: Dạng 15: () chứa 2 đường thẳng song song d1, d2: M1 d1 d2 α M2 – Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2   Qua M1   – ( ) :      Khi đó VTPT của () là n  AB   VTPT n   M1M2 ,VTCPu d 1    Dạng 10: () đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với đường thẳng Dạng 16: () chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ():  x  x0  at  β d :  y  y0  bt :  y  z  ct  0 d ud M ud α α – Lấy một điểm M thuộc d  M  ().    Khi đó VTPT của () là n  VTCP u d  (a; b; c) Qua M  – ( ) :       Dạng 11: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo VTPT n  VTCPu d ,VTPT n    nhau (hoặc cắt nhau): VIII.Phương trình mặt cầu:  Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2  Dạng 2: Phương trình x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 với 16
điều kiện a2  b2  c2  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b;  x  xo  at  c) và bán kính R = a2  b2  c 2  d d :  y  yo  bt ( t  )  Điều kiện mặt cầu S ( I , R ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:   z  zo  ct d ( I ,( P ))  R Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B: Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: Qua A  (S): ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c )2  R 2 d :    Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M: VTCP u d  AB  Dạng 3: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng  cho trước: – Bán kính R = IM Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB: Qua M0  d :   VTCP ud  VTCPu  Dạng 4: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:  x A  xB  xI   2  y A  yB Qua M0  – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:  yI  . d :    2 VTCP ud  VTPT nP   zA  zB  zI  Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):  2 AB – Bán kính R = IA = . Q 2 Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ nP diện ABCD): nQ – Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: ud x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (S). d P – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4 phương trình. ( P ) – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình – Tìm toạ độ một điểm M  d: bằng cách giải hệ phương trình  mặt cầu (S). (Q) Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): (với việc chọn giá trị cho một ẩn, thường cho x  0 ) Ax  By  Cz  D  0 : Qua M  – d:    VTCP ud  VTPT nP ,VTPT nQ     Dạng 6: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2: d Aa  Bb  Cc  D – Bán kính: R  d (I ,(P ))  A2  B 2  C 2 ud d1 ud1 IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm  M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u  (a; b; c ) thì d có ud 2 d2  x  xo  at  Qua M0  Phương trình tham số là:  y  yo  bt ( t  )  d :      z  zo  ct VTCP u d  VTCP u d1 ,VTCP u d2     x  x 0 y  y0 z  z0 Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với  Phương trình chính là:   (nếu a, b, c đều đường thằng : a b c khác 0) nP uΔ Δ Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.  P d Dạng 1: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u  (a; b; c) : Qua M  d :    VTCP u d  VTPT n P ,VTCPu      17
Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: I d1 d2 d1 J d B A d2 P – Tìm các giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P). – Giả sử d cắt d1 tại I, d cắt d2 tại J. – Khi đó d chính là đường thẳng AB.  I  d1  I ( x1  a1t1; y1  a1t1; z1  c1t1 )  Dạng 9: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng : – Vì  ,  J  d2  I ( x2  a2t2 ; y2  a2t2 ; z2  c2t2 )  P     IJ .u d1  0  M0 d – Giải hệ phương trình:     ta tìm được t1 , t2 từ đó suy ra tọa  IJ .u d2  0  Δ H độ I, J. – d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J. Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng (P): Q d qua M 0 và hình chiếu H của M0 trên đường thẳng  Δ uΔ Dạng 10: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2: nP Q d P d2 d – Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và vuông góc với mặt P phẳng (P) bằng cách: M0 d1 Qua M    (Q) :       – Gọi (P) = ( M 0 , d1 ) , (Q) = ( M 0 , d 2 ) . VTPT nQ   n P , u       – Khi đó d = (P)  (Q). – Khi đó d = (P)  (Q). Do đó, VTCP của d là ud  nP , nQ  .   Dạng 14: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2: Dạng 11: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2: d1 d2 Q Δ d2 N d d P M P – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1. d1 – Tìm giao điểm N của (P) và d2 – Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN X.Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng. – Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 song song :  Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P): Qua M1  d1     M (P) :    VTPT n p  u  , u d1   – Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d2 song song : H Qua M2  d2     (Q) :  P   VTPT nQ  u  , u d2   M' – Khi đó d = (P)  (Q). Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng – Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với  x  x1  a1t  x  x2  a2 t Qua M    mp(P) bằng cách: d :    d1 :  y  y1  b1t và d2 :  y  y2  b2 t chéo nhau: VTCP u d  VTPT n p  z  z  c t z  z  c t  1 1  2 2 – Khi đó: H  d  (P ) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H là trung điểm của MM’ nên:  xM '  2 xH  x M   yM '  2 yH  yM   zM '  2 zH  zM  Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d: 18
   P  u1 , u2   0 M    d1 cắt d2       hoặc hệ phương trình  u1 , u2  . AB  0 H d    x1  a1t1  x2  a2t2 M'   y1  b1t1  y2  b2 t2 có 1 nghiệm.   z1  c1t1  z2  c2t2 – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d     u1 , u2   0 Qua M    bằng cách: (P ) :     d1 // d2   VTPT n p  VTCP u d   A  d2     – Khi đó: H  d  ( P )  u1 , u 2   0   Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H  d1  d2    A  d2  là trung điểm của MM’ nên:    x M '  2 x H  xM Đặc biệt: d1  d2  u d1 .u d2  0  a1a2  b1b2  c1c2  0   y M '  2 yH  y M XIV.Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: z  2z  z Cho mặt phẳng () và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.  M' H M  d (I ,( ))  R thì () và (S) không có điểm chung. XI.Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P ) : A1 x  B1y  C1z  D1  0 và (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0  (P), (Q) cắt nhau  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 A1 B1 C1 D1  (P) // (Q)     A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1  d (I ,( ))  R thì () và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó  (P)  (Q)     A2 B2 C2 D2 ta nói () tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P)     Đặc biệt: (P)  (Q)  n P  nQ  n P .nQ  0  A1 A2  B1B2  C1C2  0 được gọi là tiếp diện của (S) tại H. XII.Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d:  x  x0  ta   y  y0  tb   z  z0  tc Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta  Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp(). được 1 phương trình bậc nhất ẩn t:  d ( I ,( ))  R thì () và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường A( x0  at )  B( y0  bt )  C ( z0  ct )  D  0 (*) tròn (C). Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của I trên  TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P) mp(), bán kính của (C) là r  R 2  d 2 với d  d (I ,( )) .  TH2: (*) vô nghiệm thì d // (P)  TH3: (*) có vô số nghiệm thì d  (P)      Đặc biệt: d  ( P )  n p cùng phương u d   n P , u d   0   XIII.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:  x  x1  a1t  x  x2  a2 t   Cho hai đường thẳng d1 :  y  y1  b1t và d2 :  y  y2  b2 t z  z  c t z  z  c t XV.Khoảng cách:  1 1  2 2   Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + d1 qua A( x1; y1; z1 ) có VTCP u1  (a1; b1; c1 ) By + Cz + D = 0  d2 qua B( x2 ; y2 ; z2 ) có VTCP u 2  (a2 ; b2 ; c2 ) M A thuộc d2 Ax0  By0  Cz0  D α [u1,u2] = 0 d1 ≡ d2 d  M0 ,( )  u1 cùng phương u2 Xét A và d2 A không thuộc d2 A2  B 2  C 2 d1 // d2  Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng Tính [u1,u2] [u1,u2]AB = 0 cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. [u1,u2] ≠ 0 d1 cắt d2 Tính [ u1,u2]AB u1 không cùng phương u2 [u1,u2]AB ≠ 0 d1 chéo d2      d1 chéo d2   u1 , u2  . AB  0    Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng. 19
M d   a  b   Hai vectơ bằng nhau: a  b   1 1 “hoành bằng hoành, a2  b2  P tung bằng tung” H     Tọa độ của a  b, ka :   a  b  (a1  b1; a2  b2 )  Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thằng  :   Cách 1: Giả sử đường thẳng  đi qua M0 và có vectơ chỉ ka  (ka1; ka2 )   phương là u . Ta có:  Công thức tính tọa độ của vectơ: AB  ( xB  x A ; yB  yA )    M M ,u  x A  xB  0   xI  d  M,     I là trung điểm AB   2 u  y  y A  yB  I  2  Cách 2:  x A  x B  xC P  xG    G là trọng tâm ABC   3 M  y  y A  yB  yC  G  3 Δ H  Tích vô hướng của hai vectơ:          a.b  a . b .cos a, b – Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng  .  a.b  a1.b1  a2 .b2 “hoành x hoành + tung x tung” – Khi đó d ( M ,  )  MH  Điều kiện vuông góc giữa hai vectơ:     Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 1 và  2 : a  b  a.b  0  a1 .b1  a2 .b2  0 Bằng khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng 1 đến  Độ dài của vectơ - khoảng cách giữa hai điểm:   đường thẳng  2  a  (a1; a2 )  a  a12  a2 2  P  AB  AB  ( xB  x A )2  (yB  y A )2  M1   a.b a1.b1  a2 .b2 Δ1    Góc giữa hai vectơ: cos a, b     a.b a1  a2 . b12  b2 2 2 2 Δ2 H M2  Công thức tính diện tích tam giác:     AB  ( x; y)   d (1 ,  2 )  d ( M1 ,  2 )  MH  AC  ( x '; y ')   Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và  2 : 1 x y 1 SABC   xy ' x ' y 2 x' y' 2  Cách 1: Giả sử đường thẳng 1 qua điểm M1 và có vectơ   II.Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng chỉ phương là u1 , đường thẳng  2 qua điểm M2 và có 1.Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng:   vectơ chỉ phương là u2 . Ta có: Đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) , nhận u  (a; b) làm vectơ chỉ       phương có:  u , u  .M M  1 2 1 2 d (1 ,  2 )       x  x0  at  u , u   Phương trình tham số là:  t    1 2  y  y0  bt   Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 x  x0 y  y0 và  2 bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt  Phương trình chính tắc: a  b  a  0, b  0 phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia. 2.Phương trình tổng quát của đường thẳng:  Phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm M2  Δ2 M0 ( x0 ; y0 ) , nhận n  ( A; B) làm vectơ pháp tuyến là: H Δ1 α A( x  x0 )  B( y  y0 )  0 M1  Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát  – Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 và song Ax  By  C  0 , thì vectơ pháp tuyến của (d) là n  ( A; B) .  song với  2 bằng cách:  Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n  ( A; B) thì d có   vectơ chỉ phương là u  ( B; A) hay u  (B;  A) Qua M1      ( ) :   Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  (a; b) thì d có  u 2  VTPT n( )  VTCP  u 1 ,VTCP    vectơ pháp tuyến là n  (b; a) hay n  (b; a) – Khi đó: d (1 ,  2 )  d ( M2 ,( ))  Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY Ax  By  C  0 : I.Các công thức tọa độ:  Nếu d’ song song với d thì d’ có phương trình là   Cho hai vectơ a  (a1; a2 ); b  (b1; b2 ) Ax  By  m  0 (m  D ) 20