Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án "Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng" nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận và bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng bằng phương pháp của Giải tích hàm và Giải tích ngẫu nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu nghiệm của một số mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN QUỐC TUẤN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA MỘT SỐ α-MÔ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Hướng dẫn khoa học: GS.TS. Cung Thế Anh Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Minh Trí Viện Toán Học Phản biện 2: PGS. TS. Lê Văn Hiện Trường ĐHSP Hà Nội Phản biện 3: PGS. TS. Dương Anh Tuấn Đại học Bách Khoa Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội, hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Phần lớn các quá trình của thực tế được biểu diễn dưới dạng phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên (SPDEs). Bởi vì ý nghĩa khoa học và thực tế nên nó đã và đang được các nhà khoa học nghiên cứu với các hướng sau: • Nghiên cứu tính đặt đúng; • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm; • Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm; • Nghiên cứu vấn đề giải số nghiệm: đề xuất các thuật toán và chứng minh sự hội tụ, đánh giá sai số. Trong những năm gần đây, các vấn đề trên đang là những hướng nghiên cứu rất thời sự của lí thuyết các SPDEs. Lớp hệ phương trình đạo hàm riêng Navier-Stokes có vai trò đặc biệt quan trọng. Mặc dù đã có rất nhiều nỗ lực của nhiều nhà toán học lớn nhưng các kết quả đạt được vẫn còn khá khiêm tốn, đặc biệt là trong trường hợp ba chiều (trường hợp có ý nghĩa thực tiễn nhất). Nói riêng, tính đặt đúng toàn cục vẫn là vấn đề mở rất lớn trong trường hợp ba chiều. Ngoài ra, khi hệ số nhớt nhỏ thì việc tính toán số trực tiếp nghiệm của hệ Navier-Stokes ba chiều là vấn đề không khả thi ngay cả với các thuật toán và máy tính tốt nhất hiện nay. Chính vì những lí do trên, trong khoảng hai thập kỉ gần đây, các nhà toán học đã đề xuất những hệ chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes để phục vụ cho mục đích tính toán số hoặc để thu được tính đặt đúng toàn cục. Một lớp hệ chỉnh hóa quan trọng và thường được sử dụng là các α-mô hình trong cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-α, hệ Leray-α, hệ Leray-α cải biên và hệ Bardina đơn giản hóa, hệ Navier- Stokes-Voigt (N-S-V), hệ chất lưu loại hai. Sau đây ta tập trung giới thiệu hệ Leray-α ngẫu nhiên và hệ N-S-V ngẫu nhiên. • Hệ phương trình Leray-α tất định đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi các tác giả A.A. Cheskidov và cộng sự. Một số bài toán khác liên quan đến mô hình Leray-α 1
như tính chính quy, xấp xỉ số, độ hội tụ và dáng điệu tiệm cận của các nghiệm đã được nhiều các nhà toán học: H. Ali, V Chepyzhov, E.S. Titi, G. Deugoué, A.A. .V Dunca,... nghiên cứu . Trong những năm qua, độ lệch lớn, sự tồn tại và sự hội tụ nghiệm của mô hình ngẫu nhiên Leray-α đã được các nhà toán học H. Bessaih, I. Chueshov, A. Millet, S. Li,... nghiên cứu rộng rãi. Các nhà toán học V Barbu và C. . Lefter đã nghiên cứu và có các kết quả khác liên quan đến việc ổn định nghiệm của PDEs bằng nhiễu hoặc bằng các điều khiển phản hồi. Tuy nhiên kết quả dáng điệu nghiệm của hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên: tồn tại và duy nhất của nghiệm dừng, khi coi nghiệm dừng cũng là nghiệm của hệ ngẫu nhiên thì nghiên cứu sự hội tụ của nghiệm ngẫu nhiên tới nghiệm dừng khi thời gian đủ lớn, khi nghiệm dừng không ổn định thì tìm điều kiện đối với nhiễu hoặc thiết kế một điều khiển phản hồi để ổn định nghiệm đó vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ. • Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với Leray-α ba chiều ngẫu nhiên. Đồng hóa dữ liệu là một phương pháp luận để nghiên cứu và dự báo xu hướng của các hiện tượng tự nhiên, chẳng hạn như thời tiết, các mô hình đại dương và khoa học môi trường. Ý tưởng của đồng hóa dữ liệu là kết hợp dữ liệu quan sát với các nguyên tắc động liên quan đến mô hình toán học cơ bản. Phương pháp đồng hóa dữ liệu cổ điển là "chèn" dữ liệu quan sát trực tiếp vào một mô hình vì mô hình này đang được tích hợp kịp thời, các nhà toán học tiêu biểu cho hướng nghiên cứu này như : R. Daley và P Korn. Tuy nhiên, thuật toán này bộc lộ một số khó khăn khi các . phép đo được thu thập từ một tập hợp các điểm nút rời rạc, vì không thể tính toán chính xác giá trị của các đạo hàm không gian có trong mô hình. Năm 2014, nhà toán học A. Azouani và các cộng sự đã giới thiệu một cách tiếp cận mới cho vấn đề đồng hóa dữ liệu, đó là thuật toán điều khiển phản hồi được áp dụng cho đồng hóa dữ liệu và phương pháp này đã khắc phục được những nhược điểm của phương pháp cổ điển. Trong thuật toán mới này, thay vì "chèn" trực tiếp các phép đo vào mô hình, một tham số co dãn (nudging) và các phép đo quan sát được sử dụng để thiết lập một mô hình mới mà nghiệm gần đúng của nó hội tụ tới nghiệm chưa biết của mô hình ban đầu. Cách tiếp cận như vậy đã được phát triển sau đó để đồng hóa dữ liệu của nhiều phương trình quan trọng trong cơ học chất lỏng, như công trình của A.F. Albanez (2016); A. Farhat (2019) và các cộng sự ; Y. Pei (2019). Năm 2015, một thuật toán đồng hóa dữ liệu tương tự cho dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên đã được giới thiệu bởi H. Bessaih và các cộng sự, trong đó bài toán đối 2
với phương trình Navier-Stokes hai chiều đã được nghiên cứu. Gần đây, bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho mô hình Leray-α ba chiều đã được A. Farhat và các cộng sự nghiên cứu vào năm 2019, trong khi việc đồng hóa dữ liệu rời rạc cho mô hình này đã được nghiên cứu gần đây hơn trong C.T. Anh và B.H. Bach (2018). Có thể nhận thấy rằng trong hai công trình này, dữ liệu quan trắc không có sai số đo lường. Tuy nhiên, hiện nay vẫn chưa có kết quả chính thức của bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α ba chiều có nhiễu ngẫu nhiên. • Hệ phương trình N-S-V được Oskolkov đưa ra như một mô hình chuyển động của một số chất lỏng nhớt đàn hồi tuyến tính. Hệ phương trình này cũng được đề xuất bởi Y. Cao, Lunasin và Titi (2006) như là một hệ phương trình chỉnh sai của phương trình Navier-Stokes ba chiều với các giá trị nhỏ α, để phục vụ cho việc mô phỏng số trực tiếp. Khó khăn gặp phải khi nghiên cứu hệ trên, trước hết là sự xuất hiện của số hạng −α2 ∆u t làm mất đi tính chất parabolic (giống như tính chất của hệ Navier-Stokes ban đầu) của hệ phương trình và áp dụng công thức Itô cũng khó khăn hơn. Mô hình được mô tả tốt hơn thực tế nếu một số thuật ngữ chứa độ trễ xuất hiện trong phương trình. Những sự chậm trễ này có thể xuất hiện, chẳng hạn, khi người ta muốn kiểm soát hệ thống (theo một nghĩa nào đó) bằng cách tác động một lực có tính đến không chỉ trạng thái hiện tại mà còn cả lịch sử của nó, hoặc lịch sử thời gian hữu hạn (độ trễ giới hạn) hoặc toàn bộ quá khứ (không giới hạn hoặc độ trễ vô hạn). Hệ phương trình N-S-V với trễ hữu hạn, vô hạn hoặc có nhớ đã được nghiên cứu gần đây bởi: C.T. Anh và D.T.P Thanh (2018); T. Caraballo, A.M. Márquez-Durá (2020); V.M. Toi (2021). Các nhà toán học C.T. Anh và D.T.P Thanh (2018) đã nghiên cứu sự tồn tại và ổn định của các nghiệm dừng đối với trường hợp ngẫu nhiên nhưng không có trễ. Tuy nhiên, theo những gì chúng tôi biết, trường hợp trễ vô hạn chưa được nghiên cứu đối với hệ phương trình N-S-V ba chiều ngẫu nhiên có trễ. Với những phân tích trên, chúng tôi chọn vấn đề Dáng điệu nghiệm của một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng làm nội dung nghiên cứu của luận án. 3
2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận và bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng bằng phương pháp của Giải tích hàm và Giải tích ngẫu nhiên. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận và bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số α-mô hình ngẫu nhiên trong cơ học chất lỏng. • Phạm vi nghiên cứu: Nội dung 1: Nghiên cứu bài toán ổn định nghiệm của hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên. Nội dung 2: Nghiên cứu bài toán ổn định nghiệm của hệ phương trình Navier- Stokes-Voigt ba chiều ngẫu nhiên có trễ vô hạn. Nội dung 3: Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với Leray-α ba chiều với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên. 4. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án như sau: • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: Phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp compact và các công cụ của Giải tích ngẫu nhiên. • Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu ngẫu nhiên và bài toán ổn định hóa: Kết hợp các ý tưởng và kĩ thuật của Giải tích ngẫu nhiên và Lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều và Lí thuyết điều khiển toán học. 4
5. Cấu trúc của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Kiến nghị, Danh mục các công trình công bố và Danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: • Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. • Chương 2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên. • Chương 3. Dáng điệu nghiệm Navier-Stokes-Voigt ba chiều ngẫu nhiên có trễ vô hạn. • Chương 4. Đồng hóa dữ liệu liên tục đối với hệ Leray-α ba chiều với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên. 5
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta nhắc lại các không gian hàm cần dùng để nghiên cứu các phương trình trong luận án. Ta cũng trình bày một số khái niệm và kết quả của Giải tích ngẫu nhiên trong không gian Hilbert và một số kết quả bổ trợ. 1.1. Các không gian hàm 1.1.1. Không gian các hàm phụ thuộc thời gian 1.1.2. Không gian hàm và toán tử cho miền mở 1.1.3. Không gian hàm và toán tử với điều kiện biên tuần hoàn 1.2. Một số kết quả về Giải tích ngẫu nhiên trong không gian Hilbert 1.2.1. Một số khái niệm cơ bản 1.2.2. Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên 1.2.3. Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert 1.2.4. Công thức Itô 1.3. Các bổ đề thường dùng 6
Chương 2 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA HỆ LERAY-α BA CHIỀU NGẪU NHIÊN Trong chương này, ta nghiên cứu hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên với điều kiện biên Dirichlet trên miền bị chặn và nhiễu ngẫu nhiên nhân tính. Ta chỉ ra tính đặt đúng của bài toán và sự tồn tại duy nhất nghiệm dừng. Sau đó, ta nghiên cứu tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ và hầu chắc chắn theo tốc độ mũ của nghiệm dừng. Nếu nghiệm dừng là không ổn định, ta ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu nhân tính Itô hoặc bằng điều khiển phản hồi có giá trong miền. Nội dung của chương được viết dựa theo bài báo [CT1] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. 2.1. Đặt bài toán Xét ⊂ 3 là miền bị chặn với biên trơn ∂ . Xét hệ phương trình Leray-α ba chiều ngẫu nhiên có dạng  d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p]d t = f (x)d t + h(v)dW (t),  x∈ , t > 0,  ∇ · u = 0, v = (I − α2 ∆)u, , t > 0,  x∈  (2.1) u(x, t) = 0, v(x, t) = 0,   x ∈∂ , t > 0,    u(x, 0) = u0 (x), x∈ , ở đó u = (u1 , u2 , u3 ), p = p(x, t) tương ứng là vectơ vận tốc và hàm áp suất cần tìm, ν > 0 là hệ số nhớt và α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng, f (x) là ngoại lực, u0 là vận tốc ban đầu, h(v)W (t) là nhiễu ngẫu nhiên và W (t) là một quá trình Wiener Ta viết lại hệ (2.1) dưới dạng phương trình toán tử như sau  d v + [νAv + B(u, v)]d t = f (x)d t + h(v)dW (t), x ∈ , t > 0,    v = (I + α2 A)u, x ∈ , t > 0,   (2.2) u(x, t) = 0, v(x, t) = 0,   x ∈ ∂ , t > 0,    u(x, 0) = u0 (x), x∈ . 7
Giả thiết 2.1. (1) v0 := (I + α2 A)u0 là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong H, 0 -đo được thỏa mãn |v0 | < ∞; 4 (2) f ∈ H; (3) h : H → L2 (K0 , H) là ánh xạ đo được và tồn tại hằng số dương γ0 sao cho h(w1 ) − h(w2 ) 2 L2 (K0 ,H) ≤ γ0 |w1 − w2 |2 , ∀w1 , w2 ∈ H. (2.3) Định nghĩa 2.1. Nghiệm yếu của hệ phương trình (2.2) trên khoảng (0, T ) là quá trình ngẫu nhiên u = u(x, t, ω) sao cho 1. u là đo được theo tiến trình; 2. v := (I + α2 A)u thuộc không gian C([0, T ]; H) ∩ L 2 (0, T ; V ) hầu chắc chắn; 3. Với mọi t ∈ [0, T ], với mọi hàm thử φ ∈ V và -hầu chắc chắn t t (v(t), φ) + ν ((v(s), φ))ds + B(u(s), v(s)), φ ds 0 0 t t = (v0 , φ) + ( f , φ)ds + φ, h(v(s))dW (s) , (2.4) 0 0 Định lí 2.1. Giả sử Giả thiết 2.1 được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại duy nhất nghiệm yếu của hệ phương trình (2.2) trên mọi khoảng (0, T ). 2.2. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ Leray-α ba chiều tất định Hệ Leray-α ba chiều tất định: ∂ t v + νAv + B(u, v) = f trong V , (2.5) ở đó v = (I + α2 A)u = Nα u và Nα = (I + α2 A)−1 . −1 Định nghĩa 2.2. Giả sử f ∈ H. Nghiệm dừng của (2.5) là hàm u∗ ∈ V sao cho ν Av ∗ , φ + b(u∗ , v ∗ , φ) = ( f , φ) ∀φ ∈ V, (2.6) ở đó v ∗ = (I + α2 A)u∗ . 8
Định lí 2.2. Giả sử f ∈ H. Khi đó, phương trình(2.5) có ít nhất một nghiệm dừng u∗ thỏa mãn |f | v∗ ≤ 1/2 , (2.7) νλ1 ở đó, v ∗ = (I + α2 A)u∗ . Hơn nữa, nếu −3/4 ν >µ= C1 λ1 | f |, (2.8) ở đó C1 hằng số trong bất đẳng thức (??), thì nghiệm dừng u∗ là duy nhất và ổn định mũ toàn cục, nghĩa là, với mọi nghiệm u(t) của phương trình tất định (2.5) thì tồn tại λ > 0, sao cho |v(t) − v ∗ |2 ≤ e−λt |v(0) − v ∗ |2 , t > 0. 2.3. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ Định lí 2.3. Giả sử Giả thiết 2.1 thỏa mãn, h(v ∗ ) = 0 và γ0 λ−1 + 1 γ2 λ−2 + 16µ2 0 1 ν> , (2.9) 4 với γ0 là hằng số dương trong (2.3). Khi đó mọi nghiệm u(t) của hệ phương trình ngẫu nhiên (2.2) hội tụ tới nghiệm dừng u∗ theo nghĩa bình phương trung bình với tốc độ mũ. Nghĩa là, tồn tại số thực a > 0 và T (a) > 0 thỏa mãn |v(t) − v ∗ |2 ≤ |v(0) − v ∗ |2 e−at , ∀t ≥ T (a). 2.4. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ Định lí 2.4. Giả sử Giả thiết 2.1, điều kiện (2.9) được thỏa mãn và h(v ∗ ) = 0. Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (2.2) hội tụ tới nghiệm dừng u∗ hầu chắc chắn theo tốc độ mũ. 2.5. Ổn định hóa nghiệm dừng 2.5.1. Ổn định hóa bằng nhiễu nhân tính Itô Giả thiết 2.1 được thỏa mãn, ta cần thêm giả thiết mạnh hơn về nhiễu, tức điều kiện γ0 dưới đây được thỏa mãn. Giả sử, tồn tại hằng số ρ ∈ (0, 2 ) sao cho ∞ (h(v)ek , v(t) − v ∗ )2 ≥ ρ|v(t) − v ∗ |4 , 0 ∀v ∈ V, hầu chắc chắn. (2.10) k=1 9
Định lí 2.5. Giả sử Giả thiết 2.1 và (2.10) thỏa mãn. Nếu điều kiện (2.8), h(v ∗ ) = 0 và bất đẳng thức sau 2µ2 2ν − λ1 + 2ρ > γ0 ν được thỏa mãn, khi đó nghiệm u∗ là ổn định hóa được theo cấp độ mũ hầu chắc chắn. Nghĩa là, 1 lim sup log |v(t) − v ∗ |2 < 0, hầu chắc chắn. t→∞ t 2.5.2. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi. Ta nghiên cứu hệ Leray-α ba chiều ngẫu nhiên có điều khiển sau  d v + [−ν∆v + (u · ∇)v + ∇p − f ]d t = 1 0 X d t + h(v)dW (t),  x∈ , t > 0,  ∇ · u = 0, v = (I − α2 ∆)u, , t > 0,  x∈  u(x, t) = 0 = v(x, t),   x ∈∂ , t > 0,    u(x, 0) = u0 (x), x∈ , (2.11) ở đó 0 là miền con mở của với biên trơn, 1 0 là hàm đặc trưng của 0 và X = X (x, t) điều khiển tương thích với bộ lọc tự nhiên t . Nội dung chính của mục này là ta thiết kế điều khiển phản hồi X = F (v) sao cho nghiệm dừng u∗ của hệ (2.1) là nghiệm ổn định của hệ (2.11), tức là ta đã ổn định hóa nghiệm u∗ bằng điều khiển phản hồi X = F (v). Trong phương trình đầu tiên của hệ phương trình (2.11), ta quan tâm tới điều khiển phản hồi có dạng X = −η(v − v ∗ ), η > 0, và hệ điều khiển tương ứng d v + [νAv + B(u, v) + f ]d t + ηP(1 0 (v − v ∗ ))d t = P(h(v)dW (t)). (2.12) Bổ đề 2.1. Với mỗi > 0 cho trước, thì tồn tại số thực η0 = η0 ( ) sao cho với mọi η ≥ η0 , νAy + ηP(1 0 ) y, y ≥ (νλ∗ ( 1 1) − )| y|2 , ∀ y ∈ V. Định lí 2.6. Nếu µ2 γ0 ν> + , (2.13) ν λ1 ( 1 ) ∗ 10
với mỗi v0 ∈ H và η ≥ η0 đủ lớn nhưng độc lập với v0 thì nghiệm u của hệ (2.12) với nghiệm ban đầu u(0) = u0 thỏa mãn +∞ γt e ∗ 2 |v(t) − v | + eγs |v(t) − v ∗ |2 ds ≤ C |v0 − v ∗ |2 , (2.14) 0 và lim eγt (|v(t) − v ∗ |2 ) = 0 -hầu chắc chắn, (2.15) t→∞ với γ > 0 và C > 0. Đặc biệt, hệ (2.11) là ổn định hóa bằng điều khiển có giá bên trong miền 0. Chú ý 2.1. Điều kiện (2.13) tương đương với điều kiện γ0 λ∗ ( 1 1) > . µ2 ν− ν Sử dụng bất đẳng thức Poincaré, ta có −2 λ∗ ( 1 ) 1 ≥C sup dist(x, ∂ ) . x∈ 1 Từ đây λ∗ ( 1 1) có thể làm cho đủ lớn tùy ý miễn là miền vành khăn 1 = \ 0 đủ "mỏng". Như vậy, Định lí 2.6 nói rằng sự ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên trong hệ (2.11) có thể được bù bởi điều khiển phản hồi với giá đủ lớn. 11
Chương 3 DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHIỀU NGẪU NHIÊN CÓ TRỄ VÔ HẠN Trong chương này, chúng ta nghiên cứu N-S-V 3D ngẫu nhiên có trễ vô hạn. Trước hết, chúng tôi khẳng định được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm dừng của phương trình tất định. Sau đó, chúng tôi khảo sát tính ổn định bình phương trung bình địa phương của nghiệm dừng đối với trễ vô hạn tổng quát. Trong trường hợp trễ phân phối, chứng minh được tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ và hội tụ hầu chắc chắn theo tốc độ mũ. Trong trường hợp trễ tỉ lệ, chứng minh được tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức và tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức. Chương này được viết dựa theo công trình [CT2]. 3.1. Đặt bài toán Cho ⊂ 3 là tập mở bị chặn với biên ∂ đủ trơn. Xét hệ phương trình N-S-V ba chiều ngẫu nhiên với trễ vô hạn có dạng  d(u − α2 ∆u) + −ν∆u + (u · ∇)u + ∇p d t    = f + g1 (t, u t ) d t + g2 (t, u t )dW, (0 + ∞) × ,       ∇ · u = 0, (0 + ∞) × , (3.1)   u = 0   (0, +∞) × ∂ ,    u(s, x) = φ(s, x) (−∞, 0] × ,  ở đó u = u(t, x) là vectơ vận tốc cần tìm, u t là hàm được định nghĩa như sau u t (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0], p là áp suất chưa biết, ν > 0 là hằng số nhớt, α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng, f là hàm ngoại lực đã cho, g1 , g2 là các số hạng chứa trễ, ví dụ trễ phân phối, trễ biến thiên không bị chặn, ..., φ là trường vectơ ban đầu được xác định trên (−∞, 0] và {W (t) : t ≥ 0} là quá trình ngẫu nhiên Wiener. Tiếp theo, ta nhắc không gian Cγ (V ) = ϕ ∈ C((−∞, 0]; V ) : lim eγs ϕ(s) tồn tại trong V , ở đó γ > 0, s→−∞ 12
gọi là không gian pha và Cγ (V ) là không gian Banach với chuẩn ϕ Cγ (V ) = sup eγs ϕ(s) . s∈(−∞,0] Các giả thiết cho ngoại lực (không chứa trễ) và số hạng chứa trễ (F) f ∈ V ; φ ∈ Cγ (V ). (G) Cho g1 : × Cγ (V ) → V và g2 : × Cγ (V ) → L 2 (K0 , H) thỏa mãn các điều kiện sau : (G1) Với bất kì η ∈ Cγ (V ), g i (·, η) là đo được, i = 1, 2. (G2) Tồn tại hằng số L g1 > 0 sao cho với mọi t ∈ và η, ξ ∈ Cγ (V ), g1 (t, η) − g1 (t, ξ) V ≤ L g1 η − ξ Cγ (V ) . (G3) Tồn tại hằng số L g2 > 0 sao cho với mọi t ∈ và η, ξ ∈ Cγ (V ), g2 (t, η) − g2 (t, ξ) L 2 (K0 ,H) ≤ L g2 η − ξ Cγ (V ) . Sau đây, ta đưa ra hai ví dụ cho các hàm g i i = 1, 2. Ví dụ 1 (Trễ biến thiên không bị chặn). Xét g i , (i = 1, 2) được cho như sau g i (t, ζ) = Gi (ζ(−h(t))), i = 1, 2, (3.2) ở đó G1 : V → V , G2 : V → L 2 (K0 , H), là các hàm liên tục Lipschitz, nghĩa là G1 (η) − G1 (ξ) V ≤ L G1 η − ξ , (3.3) G2 (η) − G2 (ξ) L 2 (K0 ,H) ≤ L G2 η − ξ , (3.4) và h ∈ C 1 ([0, ∞)), h(t) ≥ 0 và h∗ = sup t≥0 h (t) < 1. Trong trường hợp này, phần chứa trễ trong bài toán của ta trở thành g i (t, u t ) = Gi (u(t − h(t))). Bằng cách tính toán trực tiếp, ta kiểm tra được các hàm nêu ra thỏa mãn các điều kiện (G1), (G2) và (G3). Đặc biệt khi h(t) = (1 − q)t, 0 < q < 1, thì g i (i = 1, 2) được gọi là trễ tỉ lệ. Ví dụ 2 (Trễ phân phối). Xét g i , (i = 1, 2) được cho như sau 0 g i (t, ζ) = Ti (s, ζ(s))ds, (3.5) −∞ 13
ở đó T1 : (−∞, 0] × V → V và T2 : (−∞, 0] × V → L 2 (K0 , H) là các hàm đo được và chúng là các hàm liên tục Lipschitz theo biến thứ hai, tức là, tồn tại các số L Ti (·) ∈ L 2 (−∞, 0), (i = 1, 2) và L Ti (·)e−(γ+ρ)· ∈ L 2 (−∞, 0), với ρ > 0 nào đó, sao cho với mọi s ∈ (−∞, 0] và η, ξ ∈ V, T1 (s, η) − T1 (s, ξ) V ≤ L T1 (s) η − ξ , (3.6) T2 (s, η) − T2 (s, ξ) L 2 (K0 ,H) ≤ L T2 (s) η − ξ . (3.7) Bằng cách tính toán trực tiếp, ta kiểm tra được các hàm nêu ra thỏa mãn các điều kiện (G1), (G2) và (G3). Ta viết lại hệ phương trình (3.1) dưới dạng phương trình toán tử:  d[u(t) + α Au(t)] + [νAu(t) + B(u, u)] d t 2    = f + g1 (t, u t ) d t + g2 (t, u t )dW, ∀t > 0, (3.8)   u(τ + s) = φ(s), s ∈ (−∞, 0]. Bây giờ ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (3.8). Định nghĩa 3.1. Quá trình ngẫu nhiên u xác định trên được gọi là nghiệm yếu của hệ phương trình (3.8) nếu u ∈ L 2 (Ω, , , C([0, T ]; V )), ∀T > 0, u(s) = φ(s), ∀s ≤ 0 và -hầu chắc chắn t t 2 (u(t), w) + α ((u(t), w)) + ν 〈Au(s), w〉 ds + 〈B(u(s), u(s)), w〉 ds 0 0 t =(φ(0), w) + α2 ((φ(0), w)) + f + g1 (s, us ), w ds 0 t + (g2 (s, us )dW (s), w), với mọi t ≥ 0 và w ∈ V. 0 Phương trình tất định ứng với hệ (3.8), tức là phương trình d (u + α2 Au) + νAu + B(u, u) = f + g1 (t, u t ). (3.9) dt Định nghĩa 3.2. Một hàm u∞ ∈ V được gọi là nghiệm dừng của (3.9) nếu νAu∞ + B(u∞ , u∞ ) = f + g1 (t, u∞ ) ∀t ≥ 0, (3.10) hoặc tương đương với điều kiện ν Au∞ , β + B(u∞ , u∞ ), β = f , β + g1 (t, u∞ ), β , ∀β ∈ V, ∀t ≥ 0. 14
Định lí 3.1. Giả sử các điều kiện (F) và (G) thỏa mãn và nếu ν > L g1 thì, phương trình (3.10) có ít nhất một nghiệm u∞ thỏa mãn ước lượng sau f ∗ u∞ ≤ . (3.11) ν − L g1 Hơn nữa nếu điều kiện sau được thỏa mãn 2 1 ν − L g1 > C1 λ− 4 f ∗, (3.12) ở đó C1 là hằng số tốt nhất trong ước lượng của b(u, v, w) và f ∗ là chuẩn của f trong không gian V thì nghiệm u∞ là duy nhất. 3.2. Tính ổn định bình phương trung bình địa phương của hệ trong trường hợp tổng quát Định lí 3.2. Giả sử các giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Giả sử tồn tại hằng số C gi > 0 (i = 1, 2) sao cho, với mọi t ≥ 0, thì t t g1 (s, us ) − g1 (s, vs ) 2 V 2 ds ≤ C g1 u(s) − v(s) 2 ds, (3.13) 0 −∞ t t g2 (s, us ) − g2 (s, vs ) 2 L 2 (K0 ,H) ds 2 ≤ C g2 u(s) − v(s) 2 ds, (3.14) 0 −∞ và −1 2C1 λ1 4 f ∗ 2ν ≥ 2 + 2C g1 + C g2 . (3.15) ν − L g1 Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có |u(t) − u∞ |2 + α2 u(t) − u∞ 2 ≤ |φ(0) − u∞ |2 + α2 φ(0) − u∞ 2 0 + C g1 + 2 C g2 φ(s) − u∞ 2 ds. (3.16) −∞ Hệ quả 3.1. Giả sử rằng, giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Số hạng chứa trễ biến thiên không bị chặn g i (t, u t ) = Gi (u(t − h(t))), (i = 1, 2) thỏa mãn (3.3) và (3.4). Ta giả sử rằng −1 2 2C1 λ1 4 f ∗ 2L G1 L G2 2ν ≥ + + . (3.17) ν − L g1 1 − h∗ 1 − h∗ Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có |u(t) − u∞ |2 + α2 u(t) − u∞ 2 ≤ |φ(0) − u∞ |2 + α2 φ(0) − u∞ 2 2 0 L G1 L G2 + + φ(s) − u∞ 2 ds. (3.18) 1 − h∗ 1 − h∗ −∞ 15
Hệ quả 3.2. Giả sử rằng, giả thiết (F) và (G) thỏa mãn. Số hạng chứa trễ phân phối 0 g i (t, u t ) = −∞ Ti (s, u(s + t))ds, (i = 1, 2) thỏa mãn (3.6) và (3.7). Giả sử rằng −1 2c0 λ1 4 f ∗ 2ν ≥ + 2 L T1 L 2 (−∞,0) + L T2 2 L 2 (−∞,0) . (3.19) ν − L g1 Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có |u(t) − u∞ |2 + α2 u(t) − u∞ 2 ≤ |φ(0) − u∞ |2 + α2 φ(0) − u∞ 2 0 + L T1 L 2 (−∞,0) + L T2 2 L 2 (−∞,0) φ(s) − u∞ 2 ds. (3.20) −∞ 3.3. Tính ổn định mũ của nghiệm dừng trong trường hợp trễ phân phối 3.3.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ mũ Định lí 3.3. Giả sử rằng các giả thiết trong Định lí 3.1 và Định lí 3.2 thỏa mãn. Giả sử số 0 hạng chứa trễ g i (t, u t ) = −∞ Ti (s, u(t + s))ds, i = 1, 2 thỏa mãn điều kiện (3.6)-(3.7) và tồn tại hằng số 0 < ρ < 2γ sao cho −1 2c0 λ1 4 f ∗ 1 2ν ≥ + 2(2ρ)− 2 L T1 (·)e−(γ+ρ)· L 2 (−∞,0) ν − L g1 ρ 1 + + L T2 (·)e−(γ+ρ)· 2 L 2 (−∞,0) . (3.21) d0 2ρ Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có |u(t) − u∞ |2 + α2 u(t) − u∞ 2 ≤ e−ρt C φ − u∞ 2 Cγ (V ) , (3.22) u t − u∞ 2 Cγ (V ) ≤ e−ρt max{1, C} φ − u∞ 2 Cγ (V ) , (3.23) với −1 1 1 C =d0 + (2ρ) 2 L T1 (·)e−(γ+ρ)· L 2 (−∞,0) + L T2 (·)e−(γ+ρ)· 2 L 2 (−∞,0) . 2ρ(2γ − ρ) 16
3.3.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ mũ Định lí 3.4. Giả sử các giả thiết trong Định lí 3.1 và Định lí 3.3 thỏa mãn. Khi đó mọi nghiệm u(t) của (3.8) hội tụ tới nghiệm dừng u∞ trong V hầu chắc chắn theo tốc độ mũ. 3.4. Tính ổn định đa thức của nghiệm dừng trong trường hợp trễ tỉ lệ 3.4.1. Tính ổn định bình phương trung bình theo tốc độ đa thức Định lí 3.5. Giả sử các giả thiết như Định lí 3.1 và Định lí 3.2 thỏa mãn. Gọi số hạng chứa trễ là g i (t, u t ) = Gi (u(qt)), 0 < q < 1, i = 1, 2, ở đó Gi thỏa mãn (3.3)-(3.4). Giả sử rằng −1 2c0 λ1 4 f ∗ 2ν > L G1 + 2 + d0 L G1 + L G2 . (3.24) ν − L g1 Khi đó với mọi nghiệm u(t) của (3.8) và u∞ là nghiệm dừng của (3.9), ta có |u(t) − u∞ |2 + α2 u(t) − u∞ 2 ≤C |u0 − u∞ |2 + α2 u0 − u∞ 2 (1+ t)µ , (3.25) ở đó µ được cho như sau   −1 −1  2c0 λ1 4 f ∗ d0 − − L G1 + 2ν   ν − L g1 µ = logq < 0. L G1 + L G2 2 3.4.2. Tính ổn định hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức Định lí 3.6. Giả sử rằng giả thiết trong Định lí 3.1 và Định lí 3.5 thỏa mãn. Ngoài ra, giả sử −1 2c0 λ1 4 f ∗ d0 2ν > L G1 + + L G1 + L G2 . 2 (3.26) ν − L g1 q Khi đó mọi nghiệm u(t) của (3.8) hội tụ tới nghiệm dừng u∞ trong V hầu chắc chắn theo tốc độ đa thức. 17
Chương 4 BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU VỚI DỮ LIỆU CÓ NHIỄU NGẪU NHIÊN Trong mục này ta nghiên cứu bài toán đồng hóa liên tục cho hệ Leray-α ba chiều với dữ liệu ngẫu nhiên. Trước hết ta xây dựng mô hình đồng hóa dữ liệu từ các dữ liệu quan sát được. Từ đó, ta chứng minh tính đặt đúng của bài toán đó. Cuối cùng, ta tìm các điều kiện để đảm bảo nghiệm của bài toán đồng hóa dữ liệu hội tụ tới nghiệm của hệ gốc ban đầu khi thời gian đủ lớn. Nội dung của chương được viết theo bài báo [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. 4.1. Đặt bài toán Trong mục này, ta nghiên cứu thuật toán đồng hóa liên tục với dữ liệu có nhiễu ngẫu nhiên cho bài toán Leray-α ba chiều  ∂v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f, ∂t  (4.1) ∇·u=∇·v = 0,  ở đó u − α2 ∆u = v, u = (u1 , u2 , u3 ) tương ứng là vectơ vận tốc, p = p(x, t) là hàm áp suất cần tìm, ν > 0 là hệ số nhớt, α > 0 là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng và f (x) là ngoại lực. Ta giả sử điều kiện biên tuần hoàn trên miền = [0, L]3 , điều kiện ban đầu v(x, 0) = v0 (x) và hàm ngoại lực f = f (x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ L với trung bình tích phân bằng không. Trong phần tiếp theo, ta sẽ mô tả vấn đề đồng hóa dữ liệu. Giả sử rằng v(t) là một nghiệm nằm trên tập hút toàn cục của hệ Leray-α ba chiều (4.1). Kí hiệu h (v(t)), với t ≥ 0, các phép đo quan sát chính xác mà không có sai số của nghiệm chính xác v tại thời điểm t. Ta giả sử h :V → D là một toán tử tuyến tính và kí hiệu Rh(v(t)) nội suy của dữ liệu quan sát, tức là Rh(v(t)) = h ◦ (v(t)), D ở đó h : → V là toán tử tuyến tính bị chặn. Toán tử nội suy Rh thỏa mãn w − Rh(w) 2 L2 ≤ c1 h2 ∇w 2 L2 , với mọi w ∈ V. (4.2) 18