Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Đạo hàm của Lie của dòng và liên thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH<br /> <br /> BÙI CAO VÂN<br /> <br /> ĐẠO HÀM LIE<br /> CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG<br /> <br /> Chuyên ngành: Hình học và Tôpô<br /> Mã số: 62. 46. 01. 05<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> VINH - 2016<br /> <br /> Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh<br /> <br /> Tập thể hướng dẫn khoa học:<br /> 1. PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang<br /> 2. PGS. TS. Kiều Phương Chi<br /> <br /> Phản biện 1:<br /> <br /> ...............................<br /> <br /> Phản biện 2:<br /> <br /> ...............................<br /> <br /> Phản biện 3:<br /> <br /> ...............................<br /> <br /> Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường<br /> họp tại Trường Đại học Vinh<br /> vào hồi .......... ngày .... tháng ..... năm ......<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận án tại:<br /> 1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh<br /> 2. Thư Viện Quốc gia Việt Nam<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> 1.1. Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của toán học<br /> hiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trong các công trình nghiên<br /> cứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và Van Kampen. Đây là lĩnh vực đã và đang<br /> được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Phép đạo hàm<br /> Lie trên đa tạp là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con<br /> có thể tích cực tiểu địa phương, xác định các độ cong, độ xoắn của đa tạp Riemann.<br /> Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như tìm<br /> nghiệm của các phương trình vi phân, hệ phương trình tuyến tính, hệ động lực, hệ<br /> Hamilton... Ngoài ra, đạo hàm Lie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa<br /> học khác như: Cơ học lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế,...<br /> 1.2. Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô. Từ cuối những<br /> năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của lý thuyết các không<br /> gian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những bước tiến mạnh mẽ và được ứng<br /> dụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệ<br /> động lực... Việc sử dụng lý thuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểu<br /> của k−mặt trên đa tạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứu<br /> của A. T. Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân...<br /> 1.3. Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các<br /> đặc trưng hình học của đa tạp đó. Chính vì vậy, mà việc nghiên cứu nó đã và đang<br /> được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Mặc dù cho đến nay đã có<br /> nhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thu<br /> hút ngày càng nhiều nhà toán học nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trong<br /> khoa học kỹ thuật. Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của các<br /> đạo hàm Lie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên các<br /> đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị. Trong trường hợp riêng, đạo hàm Lie được<br /> sử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên đa tạp. Trong những<br /> năm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn: K.<br /> Habermann, A. Klein (2003); L. Fatibene, M. Francaviglia (2011); R. P. Singh, S. D.<br /> Singh (2010); A. Ya. Sultanov (2010); J. D. Pérez (2014)...<br /> Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các đa tạp,<br /> đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúng tôi chọn đề tài<br /> nghiên cứu cho luận án của mình là: "Đạo hàm Lie của dòng và liên thông".<br /> 2. Mục đích nghiên cứu<br /> Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạp như: Đạo<br /> hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi<br /> phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông... nhằm bổ sung<br /> một số tính chất hình học trên đa tạp Riemann, đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một<br /> số ứng dụng của chúng.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3. Đối tượng nghiên cứu<br /> Đối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng,<br /> đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann.<br /> 4. Phạm vi nghiên cứu<br /> Luận án nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của<br /> phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc,<br /> vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các liên thông và ứng dụng<br /> của chúng.<br /> 5. Phương pháp nghiên cứu<br /> Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình học Riemann,<br /> lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyết nhóm Lie trong quá<br /> trình thực hiện đề tài.<br /> 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn<br /> Luận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann như:<br /> Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng,<br /> đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo<br /> hàm Lie của liên thông pháp dạng... nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên<br /> đa tạp. Đồng thời, áp dụng các kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vận<br /> chuyển, công thức đồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.<br /> Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và<br /> nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô.<br /> 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án<br /> 7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án<br /> Đa tạp Riemann là khái niệm cơ sở của toán học hiện đại. Khái niệm này xuất<br /> hiện vào nửa cuối thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp đó có nhiều ứng dụng trong các<br /> lĩnh vực khác nhau của toán học như: Giải tích, lý thuyết hệ động lực... và các ngành:<br /> Vật lý, các ngành khoa học kỹ thuật... Lý thuyết liên thông là một trong những công<br /> cụ cơ bản của hình học Riemann. Đến những năm cuối của thế kỷ 20, cùng với sự<br /> phát triển của tôpô với những công trình nổi tiếng của Hausdorff, Poincaré... thì<br /> hình học trên các đa tạp đã phát triển mạnh mẽ và chính tôpô đã trở thành một<br /> công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các cấu trúc hình học, chẳng hạn như: Độ<br /> cong, độ xoắn, đạo hàm các dạng vi phân trên các đa tạp và đặc biệt là mô tả các<br /> tính chất hình học quan trọng trên nhóm Lie compact.<br /> S. Lie là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm X[f ] của hàm số f theo trường<br /> véctơ X trên đa tạp khả vi và bây giờ gọi là đạo hàm Lie của hàm số theo trường<br /> véctơ. Năm 1920, Élie Cartan định nghĩa một cách tự nhiên toán tử vi phân LX của<br /> các dạng vi phân và chứng minh được toán tử vi phân LX giao hoán với vi phân<br /> ngoài d. Đặc biệt, Élie Cartan đã chứng minh được công thức sau và gọi là công thức<br /> Cartan<br /> LX = d ◦ iX + iX ◦ d,<br /> ở đây iX là tích trong của trường véctơ X đối với dạng vi phân.<br /> ´<br /> n<br /> Năm 1931, trong các công trình nghiên cứu của W. Slebodzi´ski cũng đã xuất<br /> <br /> 3<br /> <br /> ´<br /> hiện toán tử vi phân LX của trường tenxơ theo trường véctơ X. W. Slebodzi´ski đã<br /> n<br /> chứng minh được công thức toán tử vi phân LX của tích hai trường tenxơ và ứng<br /> dụng vào việc tìm nghiệm của phương trình Hamilton chính tắc. Với mỗi hàm số<br /> ´<br /> H(p, q), p = (pµ ), q = (q µ ), µ = 1, 2, ..., n, W. Slebodzi´ski định nghĩa trường véctơ<br /> n<br /> XH =<br /> <br /> ∂H ∂<br /> ∂H ∂<br /> − µ<br /> ∂pµ ∂q µ ∂q ∂pµ<br /> <br /> ∂<br /> ∂<br /> và đã chứng minh được LXH A = 0; LXH B = 0; với A = dq µ ∧ dpµ , B = ∂qµ ∧ ∂pµ .<br /> Năm 1932, D. V. Dantzig đã đặt tên cho toán tử vi phân LX là đạo hàm Lie<br /> mang tên nhà toán học S. Lie. Sử dụng đạo hàm Lie, Dantzig thu được nhiều kết<br /> quả thú vị, đó là không gian xạ ảnh n−chiều được mô tả bởi n + 1 tọa độ cong thuần<br /> nhất mà có thể xem như không gian (n + 1)−chiều với liên thông tuyến tính và ông<br /> đã đưa ra những ứng dụng của đạo hàm Lie vào Vật lý. Kể từ đó, các phép biến dạng<br /> của đường cong, không gian con và không gian các phép biến dạng cũng như nhóm<br /> chuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảo giác đã được<br /> quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: L. Berwald, E. Cartan,<br /> N. Coburn, E. T. Davies, P. Dienes, A. Duschek, L. P. Eisenhart, F. A. Ficken, H.<br /> A. Hayden, V. Hlavatý, E. R. van Kampen, M. S. Knebelman, T. Levi Civita, J.<br /> Levine, W. Mayer, A. J. McConnel, A. D. Michal, H. P. Robertson, S. Sasaki, J. A.<br /> Schouten, J. L. Synge, A. H. Taub, H. C. Wang và nhiều tác giả khác.<br /> Năm 1948, J. A. Schouten và D. J. Struik đã phát triển thêm một số tính chất<br /> về đạo hàm Lie của dạng vi phân và đưa ra một số kỹ thuật tính đạo hàm Lie đối<br /> với dạng vi phân trên đa tạp. Sau đó, năm 1957 K. Yano là người giới thiệu về lý<br /> thuyết đạo hàm Lie và các ứng dụng của đạo hàm Lie. Việc nghiên cứu phép đạo<br /> hàm Lie có nhiều ứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp và<br /> đặc biệt là ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, cơ học<br /> lượng tử, động lực học... Năm 1997, J.-H. Kwon và Y. J. Suh đã nghiên cứu một<br /> số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ trên siêu mặt thực kiểu A trong không gian<br /> dạng phức. Năm 2002, B. N. Shapukov đã trình bày một số kết quả về đạo hàm Lie<br /> của trường tenxơ trên đa tạp Fiber. Năm 2008, K. R¨benack đã đưa ra thuật toán<br /> o<br /> cho phép tính đạo hàm Lie bậc cao bằng máy tính.<br /> Năm 2010, các tác giả L. S. Velimirovi´, S. M. Min˘i´, M. S. Stankovi´ đã nghiên<br /> c<br /> cc<br /> c<br /> cứu về đạo hàm Lie của liên thông và đạo hàm Lie của tenxơ cong trên không gian<br /> với liên thông affine không đối xứng. Cùng trong thời gian này, A. Ya. Sultanov đã<br /> xây dựng khái niệm đạo hàm Lie trên đại số và nghiên cứu một số tính chất về đạo<br /> hàm Lie của liên thông trên đại số, đồng thời ứng dụng chúng vào việc khảo sát các<br /> độ cong và độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị.<br /> Năm 2011, trong công trình nghiên cứu của L. Fatibene và M. Francaviglia đã<br /> trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ Lorentz và ứng dụng của nó<br /> vào việc khảo sát không gian Minkowski. Năm 2012, trên cơ sở đạo hàm Lie của<br /> dạng vi phân, chúng tôi đã xây dựng đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann và<br /> đưa ra một số ứng dụng trên nhóm Lie compact. Năm 2014, J. D. Pérez đã nghiên<br /> cứu đạo hàm Lie trên siêu mặt thực trong không gian xạ ảnh phức.<br /> <br />