Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hội tụ kiểu tauber cho hàm và ánh xạ chỉnh hình

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án gồm có 3 chương được trình bày như sau: Hội tụ Tauber nhanh trong không gian các hàm chỉnh hình; Hội tụ Tauber trong không gian có trọng của các hàm chỉnh hình; Không gian Vitali và tính taut yếu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hội tụ kiểu tauber cho hàm và ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG THANH VỸ HỘI TỤ KIỂU TAUBER CHO HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG THANH VỸ HỘI TỤ KIỂU TAUBER CHO HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: GS. TS. Đặng Đức Trọng Phản biện 2: GS. TSKH. Nguyễn Quang Diệu Phản biện 3: TS. Đào Văn Dương NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019
LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Thái Thuần Quang. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Dương Thanh Vỹ
LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và khoa học của Thầy Thái Thuần Quang. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và gia đình. Tác giả cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS. Nguyễn Văn Khuê, GS. Lê Mậu Hải (Trường ĐHSP Hà Nội) và GS. Sean Dineen (Đại học Dublin, Cộng hòa Ireland) vì các lời khuyên và các góp ý sâu sắc cho việc hoàn thiện một số kết quả ở Chương 1 và Chương 3 của luận án này. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, đây là nơi tôi bắt đầu được học tập, công tác và nhận được nhiều sự quan tâm, giúp đỡ, động viên khích lệ. Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo trong Khoa Toán đã giảng dạy tôi trong những năm tháng tôi được học tập, nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Lê Quang Thuận, TS. Lâm Thị Thanh Tâm, PGS. TS. Lương Đăng Kỳ đã có những góp ý quý báu trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân và các người bạn của tác giả, những người đã luôn mong mỏi, động viên và tiếp sức cho tác giả để hoàn thành bản luận án này.
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Av pDq : Không gian con của Hv pDq sao cho hình cầu đơn vị đóng là compact với tôpô compact mở τ0 Av pD, F q : tf : D Ñ F : u f P Av pDq, @u P F 1 u AG,v pDq : Không gian con của HG,v pDq sao cho hình cầu đơn vị đóng là compact với tôpô compact mở τ0 AG,v pD, F q : tf : D Ñ F : u f P AG,v pDq, @u P F 1 u acxpDq : Bao lồi cân đóng của tập D B pE q : Tập hợp các tập con lồi, cân, đóng, bị chặn trong E cspF q : Tập hợp các nửa chuẩn liên tục trên F EB : Không gian con sinh bởi tập B E1 : Không gian đối ngẫu của không gian lồi địa phương E 1 Ebor : Không gian E 1 với tôpô chặn đóng liên kết với tôpô đối ngẫu mạnh β H pD, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F H pDq : Không gian các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong C HG pD, F q : Không gian các hàm G-chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F HG pDq : Không gian các hàm G-chỉnh hình trên D nhận giá trị trong C Hb pDq : Không gian các hàm chỉnh hình từ D vào C, bị chặn trên các tập bị chặn trong D Hub pE q : Không gian các hàm chỉnh hình loại bị chặn đều trên E Hv pD, F q : tf P H pD, F q : pv.f qpDq bị chặn trên Du Hv pDq : tf P H pDq : pv.f qpDq bị chặn trên Du HG,v pD, F q : tf P HG pD, F q : pv.f qpDq bị chặn trên Du HG,v pDq : tf P HG pDq : pv.f qpDq bị chặn trên Du HolpD, X q : Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ D vào F K pE q : Tập hợp các tập con compact, lồi, cân trong E Ox : Vành các mầm hàm chỉnh hình tại x P X OX : Bó các mầm hàm chỉnh hình trên X P SH pDq : Tập hợp các hàm đa điều hòa dưới trên D Uk : tx P E : }x}k 1u u : Hàm chính quy hóa nửa liên tục trên của hàm u ∆ : tz P C : }z } 1u
Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Hội tụ Tauber nhanh trong không gian các hàm chỉnh hình 7 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tổng quan về không gian Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tính chất Zorn của không gian con trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Hội tụ nhanh Tauber và thác triển chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Hội tụ Tauber trong không gian có trọng của các hàm chỉnh hình 13 2.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Tuyến tính hóa các hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng . . . . . . . . . . . 14 2.3 Hội tụ Tauber trong không gian có trọng của các hàm chỉnh hình . . . . . 15 2.4 Tuyến tính hóa các hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng . . . . . . . . . . . 17 Chương 3. Không gian Vitali và tính taut yếu 18 3.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Tính taut yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Tính Vitali, tính taut yếu và tính taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Tính taut yếu của miền Hartogs và miền cân . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 24
Mở đầu Bài toán về “sự lan truyền của một tính chất nào đó” là một trong những bài toán cổ điển của Giải tích. Vấn đề đặt ra là đi tìm “miền lớn nhất chứa một miền cho trước mà trên đó một tính chất nào đó của một đối tượng giải tích vẫn còn được thỏa mãn”. Chẳng hạn, cho trước một hàm chỉnh hình f xác định trên một miền nào đó trong Cn . Ta sẽ tìm hiểu sự thác triển chỉnh hình của nó lên một miền rộng hơn. Các kết quả dạng như vậy ta gọi là “hội tụ kiểu Tauber”. Một ví dụ ấn tượng của vấn đề này là định lý Vitali. Đây là một dạng hội tụ kiểu Tauber đối với các dãy hàm chỉnh hình, trong đó điều kiện được đặt ra là tập con mà trên đó dãy đã cho hội tụ phải chứa ít nhất một điểm giới hạn và dãy này phải hội tụ đều địa phương. Một định lý cổ điển của Vitali khẳng định rằng nếu dãy các hàm chỉnh hình pfmqm¥1 bị chặn đều trên các tập con compact của miền D trong Cn và nếu dãy này hội tụ điểm đến một hàm f trên một tập con X của D mà nó được chứa trong một siêu mặt phức thì pfm qm¥1 hội tụ đều trên các tập con compact của D. Chú ý rằng phiên bản giá trị véctơ của Định lý Vitali đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm. Trong trường hợp E, F hữu hạn chiều, chứng minh sớm nhất của định lý Vitali được đưa ra nhờ sự trợ giúp của Định lý Montel. Trái ngược với trường hợp vô hướng, khó có thể tìm thấy một kết quả tương tự với định lý này trong trường hợp hàm chỉnh hình giá trị véctơ (ta sẽ gọi là hàm chỉnh hình) bởi vì trong trường hợp này định lý Montel không còn hiệu lực. Mãi đến năm 1957, Hille và Phillips [40] đã đưa ra một chứng minh khá phức tạp cho định lý này trong trường hợp các không gian miền giá trị là Banach vô hạn chiều. Tuy nhiên, đến năm 2000, bằng cách sử dụng khái niệm chỉnh hình rất yếu và định lý về tính duy nhất cùng một số lập luận khá khéo léo, Arendt và Nikolski [2] đã dễ dàng đưa ra một chứng minh trực tiếp cho định lý Vitali đối với các lưới hàm chỉnh hình một biến phức nhận giá trị Banach, trong đó tập con nhỏ, mà trên đó lưới hàm hội tụ, có một điểm tụ. Sau đó, tổng quát hơn, năm 2013, Quang, Lâm và Đại [66] đã đề xuất và chứng minh các định lý kiểu Vitali đối với các dãy bị chặn địa phương các hàm chỉnh hình trên một miền trong không gian Fréchet, nhận giá trị Fréchet cũng như đối với các dãy hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn giữa các không gian Fréchet-Schwartz. Gần đây nhất, Diệu, Mạnh, Bằng, Hưng [14] đã quan tâm đến việc tìm các kết quả tương tự với định lý Vitali trong trường hợp bỏ qua tính bị chặn đều của dãy hàm. Một cách tiếp cận khả dĩ là áp đặt một chế độ mạnh hơn cho sự hội tụ và/hoặc cho kích thước của tập nhỏ. Một số phiên bản của định lý Vitali cho các hàm chỉnh hình bị chặn và cho các hàm hữu tỷ mà chúng hội tụ điểm nhanh trên một tập con không đa cực của một miền trong Cn đã được khảo sát trong công trình của họ. Theo dòng nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến bài toán đầu tiên như sau: Bài toán 1. Nghiên cứu các điều kiện trên các không gian Fréchet (hoặc không gian lồi địa phương) E và F để cho mọi hàm f với giá trị trong F xác định, liên tục và được xấp xỉ đủ nhanh theo điểm trên một tập con lồi, cân, compact, không đa cực 1
(hoặc không quá nhỏ) B của E bởi một dãy các đa thức ppm qm¥1 với giá trị trong F có thể thác triển được đến một hàm nguyên. Tiếp theo, chúng tôi xem xét đến sự hội tụ Tauber trong không gian có trọng của các hàm chỉnh hình. Với một miền D trong không gian lồi địa phương E, một trọng v : D Ñ p0, 8q là một hàm liên tục, dương thực sự. Ta đặt Hv pD, F q : tf P H pD, F q : pv.f qpDq bị chặn trên Du HG,v pD, F q : tf P HG pD, F q : pv.f qpDq bị chặn trên Du, trong đó H pD, F q, HG pD, F q lần lượt ký hiệu là không gian các hàm chỉnh hình và chỉnh hình Gâteaux xác định trên D nhận giá trị trong F. Trường hợp F C, thay cho Hv pD, Cq và HG,v pD, Cq ta sẽ viết Hv pDq và HG,v pDq. Ta xét Av pDq Hv pDq là không gian con với hình cầu đơn vị đóng là compact theo tôpô compact-mở τ0 . Không gian các hàm giá trị véctơ theo nghĩa yếu được định nghĩa Av pD, F q : tf : D Ñ F : u f P Av pDq, @u P F 1u. Trong trường hợp E và F là các không gian Banach, Jordá [45] đã chứng minh kết quả sau. Định lý 1.1. Cho Av pDq là không gian con của Hv pDq sao cho hình cầu đơn vị đóng là τ0 -compact, và cho D0 là tập xác định duy nhất đối với Av pDq. Nếu pfi qiPI là một lưới bị chặn trong Av pD, F q sao cho pfi pxqqiPI hội tụ với mỗi x P D0 thì pfi qiPI hội tụ đến một hàm f P Av pD, F q đều trên các tập con compact của D. Từ kết quả trên chúng tôi đặt vấn đề như sau. Bài toán 2. Mở rộng Định lý 1.1 đến trường hợp tổng quát hơn với E là không gian lồi địa phương khả mêtric và F là không gian đầy đủ địa phương; và cho trường hợp các dãy pfm qm¥1 thuộc các lớp hàm khác nhau. Bởi cách đặt vấn đề như trên, một cách tự nhiên, việc giải quyết bài toán này sẽ không tách rời với việc nghiên cứu các hàm chỉnh hình yếu. Trong giải tích hàm, có thể nói, có hai cách tiếp cận chủ yếu đến tính giải tích của các hàm nhận giá trị véctơ, đó là dựa trên các khái niệm về hàm chỉnh hình rất yếu và hàm chỉnh hình. Nhìn chung, cách tiếp cận đầu tiên dễ kiểm tra hơn trong các ví dụ thực hành bởi vì chúng ta có thể sử dụng các công cụ từ hàm chỉnh hình vô hướng. Một hàm f : D Ñ F là chỉnh hình yếu nếu u f chỉnh hình với mỗi u P F 1 . Chúng ta biết rằng các hàm chỉnh hình luôn luôn chỉnh hình yếu. Ngược lại, với điều kiện gì thì một hàm chỉnh hình yếu sẽ là hàm chỉnh hình? Câu trả lời đầu tiên cho câu hỏi này thuộc về Dunford [23]. Ông đã chứng minh rằng lớp các hàm chỉnh hình yếu nhận giá trị trong không gian Banach xác định trên một miền trong C sẽ chỉnh hình. Grothendieck [34] đã mở rộng kết quả này cho trường hợp các không gian miền giá trị là tựa đầy đủ. Trong thực tế, khẳng định này đúng trong trường hợp E, 2
F là các không gian lồi địa phương Hausdorff và E là khả mêtric (xem [59]). Do đó, một câu hỏi tự nhiên (được đề cập bởi Grosse-Erdmann [32, 33] và Arendt-Nikolski [2]) là có hay không các tập con thực sự W của đối ngẫu của không gian miền giá trị sao cho một hàm f là chỉnh hình nếu nó chỉnh hình rất yếu (hoặc còn gọi là p, W q-chỉnh hình), tức là u f chỉnh hình với mọi u P W . Nói cách khác, chúng ta phải xác định các giả thiết vừa đủ để một hàm chỉnh hình rất yếu thì sẽ chỉnh hình. Arendt và Nikolski đã xem xét bài toán này trong trường hợp D C và F là không gian Banach phức. Cho tập con W của F 1 và σ pF, W q là W -tôpô của F (tôpô yếu trên F được cảm sinh bởi W ). Một kết quả trong [2] khẳng định rằng một hàm σ pF, W q-chỉnh hình f : D Ñ F là chỉnh hình nếu và chỉ nếu W xác định tính bị chặn, tức là mỗi tập σ pF, W q-bị chặn trong F là bị chặn. Nếu f : D Ñ F được giả thiết thêm là bị chặn địa phương thì f chỉnh hình khi W là không gian con tách điểm của F 1 . Một tổng quát hóa của kết quả này (cho trường hợp F là không gian lồi địa phương và đầy đủ địa phương) được công bố bởi Grosse-Erdmann [33]. Hải [35] đã mở rộng các kết quả của Arendt và Nikolski trong [2] cho trường hợp f xác định trên một tập mở D hoặc trong một không gian Schwartz-Fréchet E P pΩq nhận các giá trị trong một không gian Schwartz-Fréchet F P pLB8 q, hoặc xác định trong C nhận các giá trị trong không gian Fréchet F P pLB8 q. Năm 2013, Quang, Lâm và Đại [66] đã nghiên cứu bài toán trên trong trường hợp các không gian Fréchet E, F có các điều kiện mạnh hơn, đó là E P pΩq và F P pLB8 q hoặc F P pDN q; nhưng giả thiết “bị chặn địa phương” của f được làm yếu đi thành tính “bị chặn trên các tập bị chặn” trong D. Bài toán về hàm chỉnh hình yếu này có liên quan chặt chẽ đến vấn đề thác triển chỉnh hình. Cụ thể, Bài toán thác triển chỉnh hình yếu (EWH) dưới đây là một trong nhiều vấn đề đã và đang được quan tâm trong thời gian gần đây. (EWH) Cho các không gian lồi địa phương E và F. Giả sử A D E, W F 1 , và f : A Ñ F là hàm sao cho với mọi ϕ P W, hàm ϕ f : A Ñ C có một thác triển trong H pDq. Khi nào điều này có thể suy ra rằng f có một thác triển g P H pD, F q? Một trong những kết quả liên quan đến Bài toán (EWH) được đưa ra bởi Bogdanowicz [9]. Công trình này đã khẳng định rằng một hàm f xác định trên miền D1 trong C với các giá trị trong một không gian Hausdorff phức lồi địa phương đầy đủ F sao cho u f có thể được thác triển chỉnh hình lên miền D2 D1 với mỗi u P F 1 , sẽ có một thác triển chỉnh hình trên D2 . Gần đây, Grosse-Erdmann [33], Arendt, Nikolski [2], Bonet, Frerick, Jordá [10], Frerick, Jordá [29], Frerick, Jordá, Wengenroth [30] đã đưa ra các kết quả theo cách này nhưng chỉ với yêu cầu rằng có các thác triển của u f đối với u thuộc một tập con W F 1 và các điều kiện trên D1 mịn hơn. Trong [50], Laitila và Tylli cũng thảo luận về sự khác nhau giữa các định nghĩa mạnh và yếu cho các không gian quan trọng của các hàm nhận giá trị véctơ. Bài toán (EWH) cũng vừa được giải quyết trong một số trường hợp, chẳng hạn, với E hoặc là không gian Fréchet hạch hoặc là Fréchet-Schwartz với cơ sở Schauder tuyệt đối, F hoặc là không gian Fréchet hoặc đầy đủ địa phương, W hoặc là xác định tính bị chặn hoặc là xác định tôpô trong F, và A xác định sự hội tụ đều địa phương trong H pDq hoặc là một tập xác định duy nhất đối với H 8 pDq, bởi các tác giả Quang, Lâm, Đại [66], và Quang, Đại [62, 63] cho lớp các hàm p, W q-chỉnh hình. Tiến xa hơn, Quang, 3
Lâm [67, 68] cũng vừa mới khảo sát Bài toán (EWH) đối với các hàm p, W q-phân hình giữa các không gian lồi địa phương. Một cách tự nhiên, tổng quát hơn, việc khảo sát Bài toán (EWH) cho trường hợp không gian các hàm chỉnh hình có trọng cũng được đặt ra. Bài toán tiếp theo chúng tôi quan tâm là: Bài toán 3. Nghiên cứu một số phiên bản có trọng của Bài toán (EWH), đặc biệt là đối với các kết quả chính của [62, 63, 66] liên quan đến sự thác triển chỉnh hình của các hàm p, W q-chỉnh hình. Bên cạnh các thành tựu đạt được cho lớp các hàm chỉnh hình giá trị véctơ (còn gọi là hàm chỉnh hình), bài toán hội tụ Tauber cho dãy ánh xạ chỉnh hình giá trị trong không gian không có cấu trúc véctơ (còn gọi là ánh xạ chỉnh hình), cụ thể là nhận giá trị trong các đa tạp phức, không gian giải tích phức/Banach, cũng được một số nhà toán học quan tâm. Ở đây một không gian giải tích phức (tương ứng, không gian giải tích Banach) được hiểu là một không gian tôpô liên thông mà tại mỗi điểm trong đó có một lân cận đồng phôi với một tập giải tích trong không gian hữu hạn chiều Cn (tương ứng, trong một không gian Banach) nào đó sao cho các ánh xạ chuyển là chỉnh hình giữa các tập mở. Vì vậy, không gian giải tích bao gồm hai đối tượng khác nhau: không gian phức (hữu hạn chiều) và không gian giải tích Banach (vô hạn chiều). Như chúng ta đã biết, các không gian hyperbolic và không gian taut là các đối tượng đóng vai trò rất quan trọng trong hình học giải tích phức hữu hạn chiều. Một cách tự nhiên, việc xem xét các kết quả tương tự của các đối tượng này trong trường hợp vô hạn chiều cũng được quan tâm. Từ những năm 60 của thế kỷ trước, Wu [80] đã đề xuất và nghiên cứu các đa tạp taut và đa tạp tight. Trong [18], Dineen đã đưa ra khái niệm về tính taut của các đa tạp Banach với tôpô Hausdorff. Một không gian giải tích Banach X được gọi là taut nếu mọi dãy pfnqn¥1 Holp∆, X q, không gian tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị ∆ C vào X, đều chứa một dãy con pfnk qk¥1 sao cho một trong hai điều kiện sau xảy ra: 1. pfnk qk¥1 hội tụ trong Holp∆, X q; 2. pfnk qk¥1 phân kỳ compact, tức là với mọi tập compact K ∆ và L X đều tồn tại k0 để fnk pK q X L ∅ với k ¡ k0 . Như vậy, một vấn đề được đặt ra là nghiên cứu sự hội tụ Tauber trong không gian Holp∆, X q. Cụ thể, chúng tôi quan tâm đến bài toán sau. Bài toán 4. Nghiên cứu không gian giải tích Banach X có tính chất Vitali theo nghĩa: dãy pfn qn¥1 Holp∆, X q hội tụ nếu tập Zpfn q tλ P ∆ : lim fn pλq tồn tạiu n có một điểm giới hạn trong ∆. 4
Tuy nhiên các kết quả liên quan đến các không gian này trong trường hợp vô hạn chiều vẫn còn rất ít. Hơn 10 năm trước, Thái và Giao [72], đã chứng minh định lý thác triển chỉnh hình của Kwack [46] cho các không gian Banach hyperbolic. Khó khăn xuất phát từ việc thiếu đi tính compact địa phương của các không gian này. Do vậy, một trong các vấn đề đặt ra trong luận án này là khắc phục những khó khăn nói trên. Về bố cục, ngoài lời nói đầu, lời cảm ơn, kết luận và mục tài liệu tham khảo, Luận án gồm có 3 chương. Chương 1 tập trung nghiên cứu sự hội tụ nhanh Tauber của dãy đa thức giá trị Fréchet đến một hàm chỉnh hình trên không gian con trù mật sinh bởi một tập compact, lồi, cân nào đó của không gian Fréchet (Bài toán 1). Sau phần tóm tắt một vài khái niệm, ký hiệu và kiến thức giải tích hàm, lý thuyết đa thế vị có liên quan đến luận án ở đầu chương, các nghiên cứu về không gian Zorn sẽ được trình bày ở phần tiếp theo. Hướng nghiên cứu về không gian Zorn cũng được sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu khác. Tuy nhiên, các kết quả ở luận án này đóng vai trò như là một công cụ quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề chính đã đặt ra. Chúng tôi giới thiệu ở đây một số ví dụ về các không gian con trù mật của không gian Fréchet có tính chất Zorn. Cụ thể, chúng tôi xét hai trường hợp: E là không gian Fréchet hạch và E là không gian Fréchet-Schwartz có cơ sở Schauder tuyệt đối. Khi không gian E được trang bị bất biến tôpô tuyến tính pΩ r q, chúng tôi khẳng định được sự tồn tại của một tập con compact, lồi, cân, không đa cực B của E sao cho không gian pEB , τE q có tính chất Zorn, trong đó EB là không gian con sinh bởi B và τE là tôpô trên EB được cảm sinh từ tôpô của E (Định lý 1.3.3, Định lý 1.3.4). Đồng thời chúng tôi cũng xét sự thác triển chỉnh hình từ không gian pEB , τE q. Trên cơ sở các kết quả về không gian Zorn, để đưa đến các kết quả quan trọng của chương này, Định lý 1.4.3 và Định lý 1.4.4 đưa ra các điều kiện để một dãy đa thức trên Cn và trên không gian lồi địa phương với giá trị Banach sẽ hội tụ nhanh theo điểm đến một hàm chỉnh hình khi nó hội tụ nhanh theo điểm trên một tập con không đa cực nào đó. Từ đó, các kết quả chính của chương này (Định lý 1.4.7, Định lý 1.4.8) khẳng định sự tồn tại của các tập con lồi, cân, compact, không đa cực B của không gian Fréchet E P pΩ rq (hạch hoặc Schwartz có cơ sở Schauder tuyệt đối) sao cho mọi hàm f với giá trị Fréchet, xác định, liên tục và được xấp xỉ đủ nhanh trên một tập con lồi, cân, compact, không đa cực B của E bởi một dãy các đa thức ppm qm¥1 với giá trị Fréchet có thể thác triển được đến một hàm nguyên. Chương 2 đề cập đến bài toán hội tụ Tauber trong không gian có trọng các hàm chỉnh hình giá trị lồi địa phương (Bài toán 2). Bằng việc sử dụng và cải tiến phương pháp tuyến tính hóa của Mujica trong [54], chúng tôi nhận được các kết quả (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2) cho phép đồng nhất không gian Av pD, F q (tương ứng, AG,v pD, F q) với không gian các ánh xạ liên tục F -giá trị từ không gian tiền đối ngẫu PAv pDq của Av pDq (tương ứng, từ một không gian con trù mật PA0 v pDq của PAv pDq ). Ở đây D là một miền trong không gian lồi địa phương khả mêtric và F là không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương. Như là các hệ quả trực tiếp của sự kết hợp kết quả này với tính chất Zorn ở Chương 1, các Định lý 2.3.2, 2.3.3 đưa ra các điều kiện tồn tại tập con compact, lồi, cân, không 5
đa cực K trong không gian Fréchet E sao cho mỗi dãy bị chặn các hàm chỉnh hình giá trị Fréchet pfm qm¥1 trong HG,v ppEK , τE q, F q hội tụ đều đến một hàm f P HG,v ppEK , τE q, F q trên các tập con compact của pEK , τE q mỗi khi pfm qm¥1 hội tụ tại mỗi điểm của K, trong đó τE là tôpô của EK cảm sinh bởi tôpô của E. Hơn nữa, hàm f có một thác triển chỉnh hình trong Hv pE, F q nếu nó liên tục tại một điểm đơn nào đó trong K. Một kết quả chính khác của chương này là Định lý 2.3.4. Định lý này khẳng định rằng nếu E là một không gian lồi địa phương khả mêtric và F là không gian lồi địa phương đầy đủ thì mỗi lưới bị chặn trong Av pD, F q sẽ hội tụ đều trên các tập con compact của D đến một hàm trong Av pD, F q mỗi khi nó hội tụ tại mỗi điểm của một tập con duy nhất đối với Av pDq. Phần cuối của Chương 2 đề cập đến bài toán thác triển chỉnh hình trong Av pD, F q như là những ứng dụng của các kết quả nêu trên (Bài toán 3). Chúng tôi sẽ đưa ra ở đây các điều kiện đối với không gian miền giá trị F và các tập con W F 1 để mỗi hàm f nhận giá trị trong F có thể thác triển (duy nhất) đến một hàm fr P Av pD, F q từ một tập con (gầy) duy nhất (Định lý 2.4.2, Định lý 2.4.4) và từ một tập con mẫu (mập) (Định lý 2.4.5) M của D mỗi khi u f có một thác triển duy nhất fu P Av pDq, với mọi u P W. Chương 3 dành cho việc nghiên cứu sự hội tụ Tauber trong không gian các ánh xạ chỉnh hình nhận giá trị trong không gian giải tích Banach. Nhằm khắc phục các khó khăn như đã nêu ở phần trên khi nghiên cứu các không gian giải tích phức vô hạn chiều, phần đầu của chương đưa ra khái niệm và khảo sát một vài tính chất cơ bản của không gian taut yếu, một tổng quát hóa của không gian taut từ trường hợp hữu hạn chiều. Định lý 3.2.7 và Mệnh đề 3.2.9 thể hiện mối quan hệ giữa không gian giải tích Banach hyperbolic và không gian taut yếu, chính là các ví dụ về sự tồn tại của khái niệm taut yếu. Ví dụ 3.2.2 minh họa cho tính không tầm thường của khái niệm này. Vấn đề chính (Bài toán 4) được giải quyết ở phần tiếp theo của Chương 3, cụ thể là tìm mối quan hệ giữa tính taut, taut yếu và tính Vitali của một không gian giải tích phức. Định lý 3.3.2 chứng tỏ rằng ba tính chất trên là trùng nhau trong trường hợp hữu hạn chiều. Trong trường hợp vô hạn chiều, Định lý 3.3.3 khẳng định rằng không gian giải tích Banach là taut yếu khi và chỉ khi nó là hyperbolic và Vitali. Ở cuối Chương 3, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để những miền Hartogs Ωϕ pX q trong không gian giải tích Banach là taut yếu (Định lý 3.4.2); điều kiện cần và đủ để những miền cân trong không gian Banach là taut yếu (Định lý 3.4.5) như là sự bổ sung các ví dụ về không gian taut yếu. Luận án được viết dựa trên các công trình [38, 64, 69]. Các kết quả của luận án này được báo cáo tại: • Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn; • Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần 1 tại Quy Nhơn, 12-14/08/2015; • Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần 2 tại Đà Lạt, 09-11/12/2017. 6
Chương 1 Hội tụ Tauber nhanh trong không gian các hàm chỉnh hình Các kết quả của chương này được trích từ Công trình [69]. 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản Bổ đề 1.1.1. Cho E là một không gian Fréchet. Khi đó E là không gian đóng trong pEbor 1 q1 . β Định nghĩa 1.1.2 ([15]). Cho E và F là các không gian lồi địa phương và D là một miền trong E. Hàm f : D Ñ F được gọi là hàm chỉnh hình Gâteaux hay G-chỉnh hình nếu với mỗi a P D, b P E và u P F 1 hàm giá trị phức một biến số phức λ ÞÝÑ u f pa λbq là chỉnh hình trên lân cận của 0 P C. Ký hiệu HG pD, F q là tập tất cả các hàm G-chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F . Khi F C, để đơn giản ta viết HG pDq thay cho HG pD, Cq. Định nghĩa 1.1.3 ([15]). Cho E và F là các không gian lồi địa phương và D là tập con mở, khác rỗng của E. Hàm f : D Ñ F được gọi là hàm chỉnh hình nếu f là hàm chỉnh hình Gâteaux và liên tục. Ký hiệu H pD, F q là không gian véctơ của tất cả các hàm chỉnh hình trên D nhận giá trị trong F. Không gian này được trang bị với tôpô compact mở τ0 . Khi F C, ta viết H pDq thay cho H pD, Cq. Ký hiệu Hb pDq là không gian những hàm chỉnh hình trên D mà chúng bị chặn trên các tập bị chặn trong D, và Hub pE q là tập hợp các hàm chỉnh hình bị chặn trên rU với U là một lân cận nào đó của 0 P E và với mọi r ¡ 0. 7
Định nghĩa 1.1.4. Cho D là một miền trong không gian lồi địa phương E. Một hàm nửa liên tục trên ϕ : D Ñ r8, 8q được gọi là hàm đa điều hòa dưới trên D nếu ϕ là hàm điều hòa dưới trên mọi đường thẳng phức trong D. Tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên D được ký hiệu là P SH pDq. Định nghĩa 1.1.6. Cho D là một miền trong không gian lồi địa phương E. Một tập con B của D được gọi là đa cực trong D nếu tồn tại ϕ P P SH pDq sao cho ϕ 8 và ϕB 8. Một tập con X của miền D trong không gian lồi địa phương E được gọi là đa cực địa phương tại a P X nếu với mọi lân cận mở U của a trong D, X X U là một tập con đa cực của U. Sau đây là một tính chất của những tập không đa cực trong không gian Fréchet. Bổ đề 1.1.7. Nếu B là một tập con không đa cực của không gian Fréchet E thì không gian con EB trù mật trong E. Định nghĩa 1.1.8 ([78]). Cho E là không gian Fréchet với tôpô xác định bởi họ tăng các nửa chuẩn p} }k q. Ta nói E có tính chất pΩ r q nếu @p D q d ¡ 0 @k D C ¡ 0 sao cho } }q 1 d ¤ C } }k } }p d. r (Ω) Ta ký hiệu B pE q (tương ứng, KpE q) là tập hợp tất cả các tập đóng , bị chặn (tương ứng, compact), lồi tuyệt đối trong E. 1.2 Tổng quan về không gian Zorn Năm 1945, Max Zorn [81] đã chứng tỏ rằng tập hợp tất cả các điểm liên tục của một hàm chỉnh hình Gâteaux giữa các không gian Banach là vừa mở, vừa đóng. Điều này có nghĩa là một hàm chỉnh hình Gâteaux trên một miền D trong một không gian Banach là chỉnh hình khi nó liên tục tại một điểm đơn nào đó trong D. Kết quả này đã không còn được phát triển cho mãi đến những năm 1960, khi một số nhà toán học người Pháp mở rộng kết quả này cho các không gian lồi địa phương khác và đã đưa ra một số phản ví dụ cho câu hỏi tổng quát rằng liệu kết quả có còn đúng hay không cho tất cả các không gian lồi địa phương. Một miền D trong một không gian lồi địa phương E được gọi là có tính chất Zorn nếu với mọi không gian lồi địa phương F và mọi hàm chỉnh hình Gâteaux f : D Ñ F thì tập hợp các điểm liên tục của f là vừa mở, vừa đóng. Ta nhắc lại rằng một miền trong không gian lồi địa phương E là một tập con mở và liên thông của E. Như vậy, một miền D có tính chất Zorn nếu và chỉ nếu mọi hàm chỉnh hình Gâteaux mà nó liên tục tại một điểm thì nó liên tục khắp nơi. Một miền D có tính chất Zorn cũng được gọi là một không gian Zorn. Vì mỗi không gian lồi địa phương Hausdorff (đầy đủ) đều là giới hạn xạ ảnh 8
của một họ các không gian định chuẩn (Banach) nên để xác minh tính chất Zorn của D ta chỉ cần xem xét tính liên tục của những hàm chỉnh hình Gâteaux trên D với giá trị trong không gian định chuẩn (xem [16]). Các không gian khả mêtric đầy đủ, tích của các không gian khả mêtric đầy đủ, các không gian Baire, các DF S-không gian (đối ngẫu của các không gian Fréchet-Schwartz), tích của các DF S-không gian là có tính chất Zorn (xem [59]). Trong [41], Hirschowitz đã chứng tỏ rằng định lý Zorn không còn đúng đối với một giới hạn quy nạp chặt của các không gian Banach. Hirschowitz cũng chỉ ra rằng, nói chung, tích Decartes của các không gian Zorn không nhất thiết phải là một không gian Zorn. Chẳng hạn, tích Decartes của một không gian Banach khả ly phản xạ với đối ngẫu của không gian tất cả các dãy số phức ω là không có tính chất Zorn. Tuy nhiên, nếu với mỗi tập con hữu hạn I1 của I mà iPI1 Ei là một không gian Zorn thì E iPI Ei là ± ± một không gian Zorn. Hirschowitz cũng đưa ra ví dụ về một không gian lồi địa phương hạch không có tính chất Zorn (xem [15]). Trong [56], Nachbin đã đưa ra ví dụ về một hàm chỉnh hình trên H pCq mà không là loại đều. Do vậy, nếu ppn qn¥1 là họ tăng các nửa chuẩn trên H pCq xác định tôpô của nó thì ta suy ra pH pCq, pn q không là không gian Zorn với mọi n đủ lớn. Một số ví dụ về không gian có tính chất Zorn và không gian không có tính chất Zorn được Dineen đưa ra trong [16]. Trong cùng công trình này, Dineen cũng đã giới thiệu khái niệm giới hạn xạ ảnh toàn ánh (gọi tắt là giới hạn toàn ánh) và sử dụng nó để xây dựng nhiều lớp không gian lồi địa phương mà trên đó một số tính chất chỉnh hình được thỏa mãn. Ông ta đã mở rộng định lý Zorn cho các lớp không gian khác nhau và cho các khái niệm chỉnh hình khác nhau. Các kết quả được chứng minh đã giúp rất nhiều trong việc hiểu được các phản ví dụ khác nhau liên quan đến định lý Zorn (xem [13, 41]). Trong [79] và [11] các tác giả đã đưa ra các ví dụ về các không gian tuyến tính định chuẩn Baire không đầy đủ. Như vậy, chúng ta có thể tìm được nhiều ví dụ về các không gian không đầy đủ có tính chất Zorn. Nhiều ví dụ về các không gian Zorn không đầy đủ cũng có thể tìm thấy trong [59]. Trong [16], Dineen đã mở rộng định lý Zorn bằng cách thay thế điều kiện về tính liên tục tại một điểm bất kỳ và đã mở rộng định lý Hartogs về các hàm chỉnh hình tách biến. Trong [19], Dineen và Louren¸co đã chứng minh rằng một DF M -không gian (đối ngẫu của một không gian Montel-Fréchet) có cơ sở tuyệt đối là có tính chất Zorn. Trong [17], Dineen đã đặt ra một giả thuyết sau mà hiện nay vẫn còn là một bài toán mở: Các hàm chỉnh hình Gâteaux, liên tục Silva (hoặc liên tục Mackey) trên các DFM- không gian là liên tục. Được biết rằng giả thuyết này đúng với các DF S-không gian và các DF M -không gian có cơ sở tuyệt đối (xem [19]). Theo Dineen [17], giả thuyết này yêu cầu một nghiên cứu sâu hơn về các dãy hội tụ nhưng không hội tụ Mackey. Như vậy, các kết quả của Dineen trong [16] chứng tỏ rằng có một sự liên quan giữa bài toán về các không gian Zorn và bài toán thác triển chỉnh hình. Hay nói cách khác, tính chất Zorn liên hệ chặt chẽ với bài toán hội tụ Tauber. 9
1.3 Tính chất Zorn của không gian con trù mật Trong phần này chúng tôi nghiên cứu tính chất Zorn của một số không gian con trù mật sinh bởi một tập con lồi, cân, compact B của không gian Fréchet. Bổ đề 1.3.1. Cho D0 là tập con trù mật của miền D trong không gian Fréchet E. Khi đó, với mọi dãy bị chặn pxn qn¥1 D, tồn tại dãy bị chặn pyn qn¥1 D0 sao cho txn : n ¥ 1u tyn : n ¥ 1u. Sử dụng kết quả của bổ đề trên chúng tôi nhận được kết quả sau. Định lý 1.3.2. Cho D0 là tập con trù mật của miền D trong không gian Fréchet E. Khi đó Hb pD0 q Hb pDq. Đẳng thức này được hiểu theo nghĩa là mọi hàm chỉnh hình loại bị chặn trên D0 đều có thể thác triển đến một hàm chỉnh hình loại bị chặn trên D. Tiếp theo, chúng tôi đưa ra một ví dụ về một không gian không đầy đủ có tính chất Zorn. Định lý 1.3.3. Cho E là không gian Fréchet hạch với tôpô τE và E P pΩ r q. Khi đó tồn tại tập không đa cực K P KpE q sao cho pDK , τE q là một không gian Zorn với mọi miền D trong E, trong đó DK : D X EK . Hơn nữa, Hb pDK , τE q Hb pDq theo nghĩa thác triển chỉnh hình. Đặc biệt, H pEK , τE q H pE q Hub pE q. Định lý 1.3.4. Cho E là không gian Fréchet-Schwartz có cơ sở Schauder tuyệt đối với tôpô τE sao cho E P pΩ r q. Khi đó, tồn tại một tập không đa cực K P KpE q sao cho pD , τ q K E là một không gian Zorn với mọi miền D trong E, trong đó DK : D X EK . Hơn nữa Hb pDK , τE q Hb pDq theo nghĩa thác triển chỉnh hình. Đặc biệt, Hb pEK , τE q H pE q Hb pE q. 1.4 Hội tụ nhanh Tauber và thác triển chỉnh hình Sử dụng các kết quả trong phần trước về tính chất Zorn, trong phần này chúng tôi nghiên cứu sự thác triển chỉnh hình của một hàm liên tục f có giá trị Fréchet đến một hàm nguyên từ một tập compact, lồi, cân, không đa cực B của một không gian Fréchet khi f được xấp xỉ đủ nhanh trên B bởi một dãy đa thức. Chúng tôi bắt đầu với trường hợp f là hàm liên tục có giá trị Banach, xác định trên một tập con compact, không đa cực trong không gian hữu hạn chiều. Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một kết quả của Bedford và Taylor [48] và chứng minh một phiên bản tổng quát hơn của bất đẳng thức cổ điển Bernstein-Walsh. 10
Mệnh đề 1.4.1 ([48]). Cho pum qm¥1 là dãy các hàm đa điều hòa dưới xác định trên một tập con mở D của CN . Nếu dãy pum qm¥1 bị chặn trên đều địa phương thì tập hợp tz P D : lim sup umpzq plim sup umqpzqu mÑ8 mÑ8 là tập đa cực, trong đó u pz q : lim sup upξ q là hàm chính quy hóa nửa liên tục trên của D ξ Q Ñz hàm upz q, z P D. Bổ đề 1.4.2. Cho K, L là những tập compact trong CN với K không đa cực. Cho F là không gian véctơ với nửa chuẩn } }. Khi đó, tồn tại CK,L ¡ 0 chỉ phụ thuộc vào K và L sao cho với mỗi đa thức bậc m liên tục p : CN Ñ F ta có log }p}L ¤ m1 log }p}K 1 CK,L . m Sau đây là một kết quả quan trọng của chương này. Chúng tôi đưa ra các điều kiện để một dãy đa thức trên Cn sẽ hội tụ nhanh theo điểm đến một hàm chỉnh hình khi nó hội tụ nhanh theo điểm trên một tập con không đa cực nào đó. Định lý 1.4.3. Cho f là hàm xác định, liên tục trên một tập con compact, không đa cực X trong CN , và nhận giá trị trong không gian Banach F. Cho ppm qm¥1 là dãy các đa thức liên tục nhận giá trị trong F với deg pm ¤ m sao cho lim }f pz q pm pz q}1{m 0, @z P X. m Ñ8 Khi đó, (i) f có thể thác triển đến một hàm chỉnh hình (vẫn ký hiệu f ) trên CN ; (ii) Với mọi ε ¡ 0 và mọi tập compact K CN , tồn tại m0 sao cho với mọi m ¥ m0 ta có }f pm}K1{m : sup }f pzq pmpzq}1{m ε. P z K Tiếp theo, chúng tôi có kết quả sau về sự hôi tụ Tauber cho dãy các đa thức với giá trị Banach và xác định trên một không gian lồi địa phương. Định lý 1.4.4. Cho E là không gian lồi địa phương, F là không gian Banach, f là hàm chỉnh hình nhận giá trị trong F xác định trên miền D E và ppm qm¥1 là dãy các đa thức nhận giá trị trong F với deg pm ¤ m. Giả thiết rằng tồn tại một tập con X D thỏa mãn các điều kiện sau: (i) limmÑ8 }f pz q pm pz q}1{m 0 với mọi z P X; (ii) Với mọi điểm a P DzX, tồn tại một không gian con phức tuyến tính affine hữu hạn chiều L đi qua a sao cho Da X X là tập con compact và không đa cực của L, trong đó Da là thành phần liên thông của D X L mà chứa a. 11
Khi đó, với mọi x P D, ta có lim }f pxq pm pxq}1{m 0. m Ñ8 Ví dụ sau đây chỉ ra rằng tồn tại một không gian lồi địa phương thỏa mãn điều kiện (ii) của Định lý 1.4.4. Ví dụ 1.4.5. Cho D : nPN Dn CpNq là một tập mở và X : P Xn D trong đó À À n N Xn t|z | ¤ 1u Dn t|z | 2u Cn C với mọi n P N. Với mỗi a pan qnPN pa1 , . . . , an0 , 0, 0, . . .q P D, ta xét không gian con phức L C nk pNq . Khi đó, a P L và L X X nk1 Xk là compact và không đa cực ± ± n0 0 0 1 Ck của C trong L. Tiếp theo, chúng tôi cho một ví dụ về tập không đa cực trong không gian ω. Ví dụ 1.4.6. Cho X : 8 j 1 Xj ω với Xj C, j P N. Khi đó, X không đa cực nếu ± và chỉ nếu Xj không đa cực với mọi j P N. Bây giờ, chúng tôi tiếp tục áp dụng các kết quả về tính chất Zorn để khảo sát bài toán về sự hội tụ Tauber cho dãy các đa thức giữa các không gian Fréchet. Chúng tôi xét hai trường hợp cho không gian miền xác định E là Fréchet hạch và Fréchet-Schwartz có cơ sở Schauder tuyệt đối. Định lý 1.4.7. Cho E là một không gian Fréchet hạch vô hạn chiều với tôpô τE sao cho E P pΩr q và F là một không gian Fréchet với tôpô xác định bởi một dãy tăng của các nửa chuẩn p} }n qn¥1 . Khi đó, tồn tại một tập không đa cực B P KpE q sao cho với mỗi hàm liên tục f có giá trị trong F xác định trên B thỏa mãn các điều kiện sau: (i) f chỉnh hình tại 0 P pEB , τE q; (ii) tồn tại một dãy các đa thức ppm qm¥1 trên E với giá trị trong F, deg pm ¤ m, sao cho lim }f pz q pm pz q}1n{m 0, @z P B, @n ¥ 1, m Ñ8 đều có thể thác triển chỉnh hình trên E. Chứng minh tương tự như Định lý 1.4.7, ta nhận được kết quả sau. Định lý 1.4.8. Cho E là một không gian Fréchet-Schwartz có cơ sở Schauder tuyệt đối với tôpô τE sao cho E P pΩ r q và F là một không gian Fréchet với tôpô xác định bởi một dãy tăng các nửa chuẩn p} }n qn¥1 . Khi đó, tồn tại một tập không đa cực B P KpE q sao cho mọi hàm liên tục f xác định trên B, nhận giá trị trong F thỏa mãn các điều kiện sau: (i) f chỉnh hình tại 0 P pEB , τE q; (ii) tồn tại một dãy các đa thức ppm qm¥1 trên E với giá trị trong F , deg pm ¤ m, sao cho lim }f pz q pm pz q}1n{m 0, @z P B, @n ¥ 1, m Ñ8 đều có thể thác triển chỉnh hình trên E. 12
Chương 2 Hội tụ Tauber trong không gian có trọng của các hàm chỉnh hình Các kết quả của chương này được trích từ Công trình [64]. 2.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản Định nghĩa 2.1.1 ([2]). Cho F là không gian lồi địa phương và W F 1. Tập W được gọi là (i) tách điểm nếu upxq 0 với mọi u P W suy ra x 0; (ii) xác định tính bị chặn nếu mọi tập con B F là bị chặn khi upB q bị chặn trong C với mọi u P W. Nhận xét 2.1.2. (i) Nếu W F 1 xác định tính bị chặn trên F thì W là tách điểm. (ii) W F 1 tách điểm nếu và chỉ nếu spanW trù mật trong F 1 theo tôpô yếu. (iii) W F 1 xác định tính bị chặn nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn theo tôpô σ pF, W q thì bị chặn. Định nghĩa 2.1.3. Cho E và F là các không gian lồi địa phương và D là một miền trong E. Một trọng v : D Ñ p0, 8q là một hàm liên tục, dương thực sự. Ký hiệu Hv pD, F q : tfP H pD, F q : pv.f qpDq bị chặn trên Du HG,v pD, F q : tf P HG pD, F q : pv.f qpDq bị chặn trên Du Nhận xét 2.1.4. Không gian Hv pD, F q được trang bị tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn p} }v,pqpPcspF q. Khi đó Hv pD, F q đầy đủ nếu F đầy đủ, đặc biệt, Hv pD, F q là Banach khi F là Banach. Dễ dàng kiểm tra rằng Hv pD, F q lim ÐÝ Hv pD, Fpq, P p q p cs F trong đó Fp là bổ sung đầy đủ của không gian định chuẩn chính tắc F { ker p. 13
2.2 Tuyến tính hóa các hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng Ý tưởng chính của tuyến tính hóa là nhằm cho phép "đồng nhất" lớp các hàm F -giá trị xác định trên một tập mở trong E với lớp các ánh xạ F -giá trị tuyến tính liên tục từ một không gian nhất định, trong đó E và F là các không gian lồi địa phương. Các công trình gần đây của Carando và Zalduendo [12], và của Mujica [55] đã đưa ra các kết quả tuyến tính hóa cho các không gian (không trọng) của các hàm liên tục/chỉnh hình giữa các không gian lồi địa phương; và công trình của Beltrán [7] cho các (LB)-không gian có trọng của các hàm nguyên trên các không gian Banach. Cho Av pDq (tương ứng, AG,v pDq ) là không gian con của Hv pDq (tương ứng, HG,v pDq) sao cho hình cầu đơn vị đóng là compact với tôpô compact mở τ0 . Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu định lý tuyến tính hóa trong các không gian có trọng của các hàm F -giá trị theo nghĩa yếu Av pD, F q : tf : D Ñ F : u f P Av pDq, @u P F 1u. Chúng tôi nhận được kết quả sau đây. Định lý 2.2.1. Cho v là một trọng trên một miền D trong không gian lồi địa phương khả mêtric E và Av pDq là không gian con của Hv pDq sao cho hình cầu đơn vị đóng là τ0 - compact. Khi đó, tồn tại một không gian Banach PAv pDq và một ánh xạ δD P H pD, PAv pDq q có tính chất phổ dụng sau: Với mỗi không gian lồi địa phương đầy đủ F, một hàm f P Av pD, F q nếu và chỉ nếu tồn tại duy nhất một ánh xạ Tf P LpPAv pDq , F q sao cho Tf δD f. Ở đây PAv pDq xác định duy nhất sai khác một phép đẳng cấu đẳng cự. Vì J là đẳng cấu tôpô nên không gian PAv pDq được gọi là tiền đối ngẫu của Av pDq. Tiếp theo, chúng tôi xem xét các kết quả trên cho các hàm chỉnh hình Gâteaux có trọng. Cho D là một tập con mở của không gian lồi địa phương khả mêtric E. Ký hiệu F pE q là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E. Theo Định lý 2.2.1, với mỗi Y P F pE q, tồn tại duy nhất một ánh xạ pY P LpPAv pDXY q , PAv pDq q sao cho biểu đồ sau là giao hoán DXY id /D (2.3) δDXY δD pY PAv pDXY q / PAv pDq trong đó id là ánh xạ đồng nhất và PAv pDXY q là tiền đối ngẫu của Av pD X Y q. Nếu Y, Z P F pE q sao cho Y Z thì theo Định lý 2.2.1 tồn tại duy nhất một ánh xạ 14