Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học "Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức" được nghiên cứu với mục tiêu: Dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức; Xây dựng chặn trên cho chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương; Nghiên cứu về tính ổn định của chỉ số chính quy của iđêan phủ của lớp đồ thị hai phần.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2023
Mở đầu Cho R = k[x1 , . . . , xr ] là vành đa thức của r biến x1 , . . . , xr trên trường k và I là iđêan thuần nhất của R. Đối tượng nghiên cứu trong luận án của chúng tôi là chỉ số chính quy Castelnouvo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chính quy) của iđêan, ký hiệu reg(I). Đối với lũy thừa thường của iđêan I, hàm reg(I n ) không tuân theo một quy luật nào khi n nhỏ. Tuy nhiên, dựa trên tính chất phân bậc chuẩn của đại số Rees của I thì Cutkosky, Herzog, N. V. Trung [9] độc lập với Kodiyalam [33] đã chứng minh rằng reg(I n ) là một hàm tuyến tính khi n đủ lớn. Điều này có nghĩa là, tồn tại các số nguyên không âm d, b và n0 sao cho reg(I n ) = dn + b với mọi n n0 . Trong khi hệ số d đã được mô tả một cách rõ ràng (xem [33], [46]), thì các thông tin về b và n0 còn rất ít. Hơn nữa, hai câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra (xem [9], [33], [14]): 1. Đặc trưng của số b? 2. Tìm chặn tốt cho n0 ? Khi chuyển sang lũy thừa hình thức của iđêan thì dáng điệu của hàm chỉ số chính quy trở nên phức tạp hơn. Nhắc lại rằng, lũy thừa hình thức thứ n của I được định nghĩa I (n) = I n Rp ∩ R. p∈Min(R/I) 1
2 Nói cách khác, lũy thừa hình thức thứ n của I là giao của các thành phần nguyên sơ của I n liên kết với các iđêan nguyên tố tối tiểu của I. Lý do cho sự phức tạp đó là đại số Rees hình thức, được định nghĩa bởi Rs (I) = R ⊕ I (1) ⊕ I (2) ⊕ · · · , không là đại số hữu hạn sinh trên trường k trong trường hợp tổng quát. Cho đến thời điểm hiện tại, chúng ta vẫn chưa có một ví dụ nào về một iđêan thuần nhất I trong vành đa thức mà limn→∞ reg I (n) /n không tồn tại. Từ đó một câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là liệu giới hạn limn→∞ reg I (n) /n có tồn tại với mọi iđêan thuần nhất I trên một vành đa thức (Herzog, L. T. Hoa, N. V. Trung [25, Câu hỏi 2])? Đối với trường hợp I là iđêan đơn thức, theo kết quả của Herzog, Hibi và N. V. Trung [23] thì đại số Rees hình thức là hữu hạn sinh nhưng không nhất thiết là phân bậc chuẩn, do đó hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức I là một hàm tựa tuyến tính khi n đủ lớn. Nhắc lại, một hàm f : N → Q ∪{−∞} được gọi là tựa tuyến tính nếu tồn tại một số nguyên dương N và các số ai ∈ Q ∪{−∞}, bi ∈ Q, với i = 0, . . . , N − 1, sao cho f (n) = ai n + bi , với mọi n ∈ N, n ≡ i (mod N ). Số N nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f . Ta thấy rằng, mặc dù hàm chỉ số chính quy reg I (n) của iđêan đơn thức I là một hàm tựa tuyến tính khi n đủ lớn, nhưng các hệ số đầu ai không nhất thiết bằng nhau. Hay nói cách khác, giới hạn limn→∞ reg I (n) /n chưa hẳn đã tồn tại. Do đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán thứ nhất của luận án như sau. Bài toán 1. Cho I là một iđêan đơn thức trên R. Tồn tại hay không reg(I (n) ) giới hạn lim ? n→∞ n Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương, các tác giả L. T. Hoa, T. N. Trung [30, Định lý 4.9], đã chứng minh được sự tồn
3 tại của giới hạn limn→∞ reg(I (n) )/n. Kết quả chính đầu tiên của luận án chúng tôi đã mở rộng điều này đối với trường hợp I là một iđêan đơn thức bất kì. Công cụ để chúng tôi giải quyết bài toán thứ nhất xuất phát từ lý thuyết của đa diện lồi. Giả sử I có phân tích nguyên sơ thu gọn I = Q1 ∩ · · · ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ · · · ∩ Qt , trong đó Q1 , . . . , Qs là các iđêan nguyên sơ liên kết với các iđêan nguyên tố tối tiểu của I (tức là, Qs+1 , . . . , Qt là các thành phần nguyên sơ nhúng). Ta định nghĩa đa diện lồi liên kết với I như sau: SP(I) = N P (Q1 ) ∩ · · · ∩ N P (Qs ) ⊂ Rr , trong đó N P (Qi ) là các đa diện Newton của Qi . Khi đó, SP(I) là một đa diện lồi trong Rr . Với vectơ v = (v1 , . . . , vr ) ∈ Rr , ký hiệu |v| = v1 +· · ·+vr . Đặt δ(I) = max{|v| | v là một đỉnh của SP(I)}. Từ đó, chúng tôi thu được kết quả sau (xem Định lý 2.5, Định lý 2.7): Với mọi iđêan đơn thức I, d(I (n) ) reg(I (n) ) lim = lim = δ(I). n→∞ n n→∞ n Với kết quả thu được, câu hỏi đặt ra tiếp theo là liệu reg I (n) có phải là một hàm tuyến tính hay không? Tuy nhiên điều này không đúng ngay cả trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương (Ví dụ 2.16). Như vậy chúng ta thấy rằng, nhìn chung reg I (n) không là một hàm tuyến tính đối với iđêan đơn thức I. Do đó, bài toán tiếp theo chúng tôi nghiên cứu như sau. Bài toán 2. Cho I là một iđêan đơn thức. Tìm một chặn tốt cho reg(I (n) ) theo n.
4 Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương, theo các tác giả L. T. Hoa và T. N. Trung (xem [30, Định lý 4.9]), ta có reg(I (n) ) < δ(I)n + dim(R/I) + 1 với mọi n 1. Gần đây, bài toán trên đã có nhiều kết quả khi nghiên cứu đối với một loại iđêan đặc biệt hơn, iđêan cạnh của đồ thị G, ký hiệu I(G). Một số kết quả có thể kể đến như: Gu, Hà, O’Rourke và Skelton [19] xét trong trường hợp iđêan cạnh của một chu trình lẻ I = I(C2s+1 ) thì reg(I (n) ) = reg(I n ) với mọi n 1, và reg(I (n) ) = 2s+1 2n + 3 − 1; theo Fakhari [17], ta có reg(I(G)(n+1) ) max{reg(I(G)) + 2n, reg(I(G)(n+1) + I(G)n )} và trong trường hợp G là đồ thị không có chu trình lẻ nào có độ dài bé hơn hoặc bằng 2k − 1 thì reg(I(G)(n) ) 2n + reg(I(G)) − 2 với mọi n k + 1. Nghiên cứu về bài toán trên, chúng tôi sử dụng công thức Takayama để tính các môđun đối đồng điều địa phương của lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức. Từ đó chúng tôi chuyển về việc nghiên cứu các điểm nguyên của một đa diện lồi trong Rr theo lý thuyết đa diện lồi. Kết quả chúng tôi thu được là một chặn trên tốt cho hàm reg(I (n) ) theo n trong trường hợp iđêan đơn thức không chứa bình phương theo các dữ liệu tổ hợp từ phức đơn hình và siêu đồ thị liên kết với iđêan (Định lý 3.7 và Định lý 3.12). Hơn nữa, chặn này có thể đạt được dấu bằng đối với nhiều lớp iđêan (Ví dụ 3.13). Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu bài toán sau. Bài toán 3. Cho I là iđêan đơn thức. Tìm chặn trên cho b và reg-stab(I). Chú ý rằng, reg-stab(I) là chỉ số ổn định của hàm chỉ số chính quy của iđêan I và được định nghĩa như sau: reg-stab(I) = min{n0 | reg I n = dn + b, với mọi n n0 }. Khi I là một iđêan đơn thức bất kỳ, theo L. T. Hoa [29, Định lý 2.8], trong trường hợp xấu nhất thì các hệ số b và reg-stab(I) bị chặn dưới bởi một hàm mũ của bậc sinh của iđêan với số mũ là khoảng số biến. Đây cũng chính là một trong những lý do tại sao việc nghiên cứu về hệ số b
5 và reg-stab(I) trong các trường hợp tổng quát là rất khó khăn. Gần đây, bài toán đã được nghiên cứu nhiều nhưng rất khó để có được những thông tin cho những lớp iđêan tổng quát và việc nghiên cứu chủ yếu được thực hiện cho các iđêan cạnh của một đồ thị. Một số kết quả có thể kể đến như: Beyarslan, H` và T. N. Trung [5] đã chứng minh rằng nếu G là rừng thì a reg(I n ) = 2n + ν(G) − 1 với mọi n 1, trong đó ν(G) là số ghép cặp cảm sinh của đồ thị G; Công thức này cũng đúng trong trường hợp G là đồ thị Cameron-Walker (xem [3]); Alilooee, Beyarslan và Selvaraja [1] đã chứng minh rằng với bất kì đồ thị unicyclic (mà không phải là một chu trình) ta luôn có reg(I n ) = 2n + reg(I) − 2 với mọi n 1. Trong trường hợp I = J(G) là iđêan phủ của đồ thị, theo một kết quả của N. T. Hang và T. N. Trung [22] khi nghiên cứu đối với lớp đồ thị hai phần G, tồn tại số nguyên không âm b |V (G)| − d(J(G)) − 1 sao cho reg(J(G)n ) = d(J(G))n+b với mọi n |V (G)|+2, tức là reg-stab(J(G)) |V (G)| + 2. Tuy nhiên, khi tiến hành tìm ra các trường hợp xảy ra dấu bằng thì chúng tôi nhận thấy tất cả các reg-stab(J(G)) đều nhận giá trị nhỏ hơn |V (G)| + 2. Do đó, mục tiêu của chúng tôi là làm giảm chặn của reg-stab(I) trong trường hợp này. Chú ý rằng, trong trường hợp đồ thị hai phần thì lũy thừa thường và lũy thừa hình thức trùng nhau. Do đó, chúng tôi sử dụng các kĩ thuật đã dùng trong hai bài toán 1 và 2 nêu trên để giải quyết bài toán 3 đối với lớp iđêan I = J(G) là iđêan phủ của đồ thị hai phần G, và kết quả chúng tôi thu được đã cải tiến được chặn của reg-stab(I) trong [22] (Định lý 4.6). Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu cấu trúc của luận án. Ngoài bảng ký hiệu, mục lục, phần mở đầu, phần kết luận, bảng thuật ngữ, luận án được chia thành bốn chương chính. Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở cần thiết cho toàn bộ luận án. Chương này gồm 5 mục. Mục 1.1, chúng tôi trình bày hai cách định nghĩa về chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Mục 1.2,
6 chúng tôi nêu sơ lược về phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner và đối ngẫu Alexander. Mục 1.3, chúng tôi giới thiệu công thức Hochster và công thức Takayama. Mục 1.4, chúng tôi trình bày sơ lược về một số kiến thức trong lý thuyết đồ thị như đồ thị đơn, ghép cặp trong đồ thị, siêu đồ thị. Mục 1.5, chúng tôi nói về tập lồi đa diện và một số các đa diện lồi. Chương 2, chúng tôi trình bày về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức. Mục 2.1, chúng tôi nghiên cứu đối với hàm bậc sinh (hàm bậc lớn nhất của các phần tử trong một hệ sinh tối tiểu thuần nhất). Mục 2.2, chúng tôi nghiên cứu đối với hàm chỉ số chính quy. Chúng tôi chỉ ra rằng với iđêan đơn thức I bất kì reg(I (n) ) d(I (n) ) luôn tồn tại các giới hạn lim và lim và hai giới hạn này n→∞ n n→∞ n bằng nhau. Đồng thời, chúng tôi cũng mô tả giới hạn chung theo đa diện liên kết với iđêan I (Định lý 2.5 và Định lý 2.7). Mục 2.3, chúng tôi nghiên cứu về lũy thừa hình thức của iđêan phủ của đồ thị và đưa ra một ví dụ về đồ thị mà reg(J(G)(n) ) không là hàm tuyến tính khi n đủ lớn (Ví dụ 2.16). Chương 3, chúng tôi xây dựng chặn trên cho chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương. Cụ thể trong mục 3.1, chúng tôi thu được chặn trên cho chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan Stanley-Reisner (Định lý 3.7). Đây là một chặn có thể xảy ra dấu bằng đối với nhiều lớp iđêan (Ví dụ 3.13). Đồng thời, chúng tôi mở rộng kết quả đó trong trường hợp siêu đồ thị (Định lý 3.12). Cuối cùng, trong mục 3.2 chúng tôi áp dụng các chặn được xây dựng trong mục 3.1 cho trường hợp iđêan cạnh của một đồ thị G (Định lý 3.18). Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của chỉ số chính quy của iđêan phủ của lớp đồ thị hai phần. Với G là một đồ thị hai phần và J(G) là iđêan phủ của đồ thị, chúng tôi đã đưa ra được một chặn trên cho chỉ số ổn định reg-stab(J(G)) (Định lý 4.6).
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về chỉ số chính quy, phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner và lý thuyết đồ thị nhằm giúp cho việc trình bày ở các chương sau được rõ ràng và có hệ thống hơn. Đồng thời chúng tôi cũng nhắc lại một số kiến thức về đa diện lồi, công thức Hochster và công thức Takayama. Đây là những công cụ chủ yếu mà chúng tôi dùng để chứng minh các kết quả chính của luận án. Trong luận án này nếu không nói gì khác thì R = k[x1 , . . . , xr ] là một vành đa thức phân bậc chuẩn của r biến trên trường k. 1.1. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Chúng tôi trình bày lại hai cách định nghĩa về chỉ số chính quy thông qua giải tự do tối tiểu và môđun đối đồng điều địa phương. Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh khác không và F. : · · · −→ Fp −→ Fp−1 −→ · · · −→ F1 −→ F0 −→ 0 là giải tự do tối tiểu của M trên R. Đặt bi (M ) = max{j | βi,j (M ) = 0} (quy ước bi (M ) = −∞ nếu Fi = 0). Khi đó, regR (M ) = max{bi (M ) − i | i 0}. 7
8 Ngoài ra, chỉ số chính quy của M còn được định nghĩa theo môđun đối đồng điều địa phương của M . Với i = 0, . . . , dim(M ), đặt i ai (M ) = max{t | Hm (M )t = 0}. Khi đó, regR (M ) = max{ai (M ) + i | i = 0, . . . , dim(M )}. 1.2. Phức đơn hình và iđêan Stanley-Reisner Mục này chúng tôi mô tả về phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình và một số khái niệm liên quan. 1.3. Công thức Hochster - Công thức Takayama Trong phần này, chúng tôi mô tả hai công thức được xem là những công cụ hữu ích dùng để tính chỉ số chính quy của một iđêan đơn thức theo giải tự do tối tiểu và môđun đối đồng điều địa phương. 1.3.1. Công thức Hochster Cho I là một iđêan đơn thức khác không tùy ý trong R. Công thức Hochster cho phép ta xác định số Betti đa phân bậc của iđêan I theo bổ đề sau. Bổ đề 1.3 ([35], Định lý 1.34). Với mọi i 0 và α ∈ Nr , βi,α (I) = dimk Hi−1 (K α (I); k). Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương (iđêan Stanley-Reiser), công thức Hochster về chuỗi Hilbert của môđun đối đồng i điều địa phương Hm (R/I∆ ) được phát biểu như sau. Bổ đề 1.4 ([35], Định lý 13.13). Cho ∆ là phức đơn hình. Khi đó, i x−1 j Hilb(Hm (R/I∆ ); x) = dimk Hi−|F |−1 (lk∆ (F ); k) . F ∈∆ j∈F 1 − x−1 j
9 1.3.2. Công thức Takayama Công thức Takayama là một mở rộng của công thức Hochster trong trường hợp iđêan đơn thức không chứa bình phương. Với mỗi α = (α1 , . . . , αr ) ∈ Zr , đặt Gα := {i | αi < 0} và RF = R[x−1 | i i ∈ F ]. Phức đơn hình ∆α (I) được xác định: ∆α (I) := {F \ Gα | Gα ⊆ F ⊆ V và xα ∈ IRF }. / Công thức Takayama được phát biểu như sau. i Bổ đề 1.7. dimk Hm (R/I)α = dimk Hi−|Gα |−1 (∆α (I); k). Trong trường hợp lũy thừa hình thức, nhờ một kết quả sau đây của N. C. Minh và N. V. Trung (2009) chúng ta có một công cụ hữu hiệu để tính (n) phức ∆α (I∆ ). Bổ đề 1.8 ([36], Bổ đề 1.3). Cho ∆ là một phức đơn hình và α ∈ Nr . Khi đó, (n) F(∆α (I∆ )) = F ∈ F(∆) | αi n−1 . i∈F / (n) Trong trường hợp α ∈ Zr , ta có thể xác định ∆α (I∆ ) theo bổ đề. Bổ đề 1.10 ([31], Bổ đề 1.3). Cho ∆ là một phức đơn hình và α ∈ Zr . Khi đó,     (n) F(∆α (I∆ )) = F ∈ F(lk∆ (Gα )) | αi n−1 .   i∈F ∪Gα / 1.4. Lý thuyết đồ thị Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính chất về đồ thị đơn, đồ thị hai phần và siêu đồ thị. Đồng thời, chúng tôi cũng
10 nêu về một số các bất biến trong đồ thị và siêu đồ thị như ghép cặp trong đồ thị, trội cạnh thành phần . . . . 1.5. Đa diện lồi Lý thuyết về đa diện lồi là một trong những công cụ chính dùng trong chứng minh các kết quả của luận án. 1.5.1. Tập lồi đa diện Trong mục này, chúng tôi giới thiệu khái niệm về tập lồi đa diện, đa diện lồi và một số tính chất liên quan. 1.5.2. Phức bậc và đa diện (n) i Giả sử Hm (R/I∆ )α = 0, 0 i dim(R/I∆ ) và α = (α1 , . . . , αr ) ∈ Nr . Giả sử F(∆) = {F1 , . . . , Ft } với t 1, và (n) F(∆α (I∆ )) = {F1 , . . . , Fs }, trong đó 1 s t. Với mỗi số nguyên m 1, Pm là đa diện lồi trong Rr , được xác định bởi hệ các bất phương trình tuyến tính      xi m − 1 với j = 1, . . . , s, i∈Fj /  Pm : x m với j = s + 1, . . . , t, (1.1) i∈F i / j    x1 0, . . . , xr 0,  và đa diện lồi Cm trong Rr được xác định bởi:      xi m với j = 1, . . . , s, i∈Fj /  Cm : x m với j = s + 1, . . . , t, (1.2) i∈F i / j    x1 0, . . . , xr 0. 
11 1.5.3. Đa diện hình thức Cho I là iđêan đơn thức và có phân tích nguyên sơ tối tiểu I = Q1 ∩ · · · ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ · · · ∩ Qt , trong đó Q1 , . . . , Qs là các iđêan nguyên sơ liên kết với các iđêan nguyên tố tối tiểu (tức là, Qs+1 , . . . , Qt là các thành phần nguyên sơ nhúng). Với mỗi n 1, đa diện hình thức thứ n của I được xác định: s SP n (I) = N P (Qn ), i i=1 trong đó N P (Qn ) là đa diện Newton của Qn . i i Cấu trúc của đa diện lồi SP n (I) được mô tả theo bổ đề sau. Bổ đề 1.28. Cho {v1 , . . . , vd } là tập các đỉnh của SP(I). Khi đó SP n (I) = n SP(I) = n conv{v1 , . . . , vd } + Rr . + Một số thông tin về các mặt cực đại của SP n (I) được xác định thông qua bổ đề. Bổ đề 1.29. Đa diện SP(I) là tập nghiệm trong Rr của một hệ các bất phương trình tuyến tính có dạng {x ∈ Rr | aj , x bj , j = 1, 2, . . . , q}, trong đó với mỗi j, các điều kiện sau thỏa mãn: (i) 0 = aj ∈ Nr , bj ∈ N; (ii) |aj | r2 d(I)r−1 ; (iii) Phương trình aj , x = bj xác định một mặt cực đại của SP(I).
Chương 2 Dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy Chương này, chúng tôi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức trên vành đa thức. Chúng tôi chỉ ra rằng với một iđêan đơn thức I bất kì, luôn tồn tại giới hạn lim reg(I (n) )/n và mô tả cụ thể giới hạn này theo đa diện liên kết với n→∞ iđêan I. Hơn nữa, chúng tôi đồng thời chỉ ra reg(I (n) ) không là một hàm tuyến tính khi n đủ lớn, thậm chí ngay cả trong trường hợp iđêan đơn thức không chứa bình phương. Kết quả của chương này chủ yếu được dựa trên bài báo [12]. Trước tiên, chúng tôi xét đối với hàm bậc sinh lớn nhất của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức. 2.1. Hàm bậc sinh lớn nhất Giả sử v = (v1 , . . . , vr ) ∈ Rr , kí hiệu |v| = v1 + . . . + vr . Đặt δ(I) = max{|v| | v là đỉnh của SP(I)}. (2.1) Cho I là iđêan đơn thức và α = (α1 , . . . , αr ) ∈ Nr . Khi đó, (i) xα ∈ I (n) nếu và chỉ nếu α ∈ SP n (I), và 12
13 (ii) nếu xα ∈ I thì xα là một phần tử của hệ sinh tối tiểu của I khi và chỉ khi với mọi i mà αi ≥ 1 thì xα−ei ∈ I. / Dựa trên cấu trúc của đa diện lồi SP(I), chúng tôi xây dựng được chặn cho d(I (n) ) như sau: δ(I)n − rρ(1 + s(r − 1)d(I)) d(I (n) ) δ(I)n + r + r(r − 1)d(I), trong đó ρ = r2 d(I)r−1 . Từ đó chúng tôi thu được kết quả chính trong phần này. Định lý 2.5. d(I (n) ) lim = δ(I). n→∞ n 2.2. Hàm chỉ số chính quy Nhắc lại, với M là một môđun phân bậc hữu hạn sinh và i ≥ 0 tùy ý, bi (M ) = sup{j | βi,j = 0}. Từ công thức Hochster và cấu trúc đa diện lồi SP(I), ta thu được chặn trên cho bất biến bi (M ) như sau: Bổ đề 2.6. Với mọi i 0, bi (I (n) ) δ(I)n + 2r + r(r2 d(I)r−1 + (r − 1)d(I)). Từ Bổ đề 2.6 và Định lý 2.5, ta thu được định lý chính của mục này. Định lý 2.7. reg(I (n) ) lim = δ(I). n→∞ n
14 2.3. Tính không tuyến tính của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức Cho G là đồ thị trên [r] = {1, . . . , r} và J(G) là iđêan phủ của đồ thị. Khi đó, đa diện SP(J(G)) được xác định bởi hệ các bất phương trình:  xi + xj 1, với {i, j} ∈ E(G), x 0, . . . , x 0. 1 r Bổ đề sau cho ta một cách hữu ích trong việc xác định các đỉnh của đa diện SP(J(G)). Bổ đề 2.13. Cho G là đồ thị không có điểm cô lập trên [r], và α = (α1 , . . . , αr ) ∈ Rr là đỉnh của SP(J(G)). Khi đó, αi ∈ {0, 1/2, 1} với mọi i = 1, . . . , r. Đặt S0 = {i : αi = 0}, S1 = {i : αi = 1} và S1/2 = {i : αi = 1/2}. Các khẳng định sau là đúng: (i) S0 là một tập độc lập của G; (ii) S1 = N (S0 ); (iii) Đồ thị con cảm sinh của G trên tập S1/2 không có thành phần hai phần; (iv) Nếu v là một lá không nằm trên S0 và N (v) = {u} thì u ∈ S1 . / Trong trường hợp J = J(G), kết hợp Công thức (2.1) và Bổ đề trên ta có định lý sau. Định lý 2.14. Cho G là một đồ thị không có đỉnh cô lập trên [r], và J = J(G). Khi đó, |G \ N [S]| δ(J) = max |N (S)| + | S ∈ ∆(G) và G \ N [S] không có 2 thành phần hai phần r |N (S)| − |S| = + max | S ∈ ∆(G) và G \ N [S] không có 2 2 thành phần hai phần .
15 Xét Km là một đồ thị đầy đủ m đỉnh và G = cor(Km , s) (m 3, s 2) là đồ thị thu được từ Km bằng cách thêm s cạnh treo vào mỗi đỉnh của đồ thị Km . Bổ đề 2.15. Với m 3 và s 2, 1 δ(J(cor(Km , s))) = m(s + 1). 2 Từ kết quả trong Bổ đề 2.15, chúng tôi có thể xây dựng được những ví dụ chỉ ra rằng hàm chỉ số chính quy reg(I (n) ) không là hàm tuyến tính trong trường hợp iđêan đơn thức không chứa bình phương. Ví dụ 2.16. Xét đồ thị G = cor(K3 , 2). Đặt J = J(G) là iđêan phủ của đồ thị G. Theo Bổ đề 2.15, ta có δ(J) = 9/2. Điều này chỉ ra rằng, reg(J(G)(n) ) không là một hàm tuyến tính theo n
Chương 3 Chặn trên của hàm chỉ số chính quy Chương này chúng tôi đưa ra một chặn trên tốt của hàm chỉ số chính quy reg(I (n) ), với I là iđêan đơn thức không chứa bình phương. Chặn này được mô tả theo các dữ liệu tổ hợp từ phức đơn hình và siêu đồ thị liên kết với iđêan. Trong trường hợp I là iđêan cạnh của một đồ thị G, chúng tôi đưa ra chặn trên của reg(I (n) ) theo số ghép cặp có thứ tự của G. Kết quả của chương này được dựa trên bài báo [28]. 3.1. Iđêan đơn thức không chứa bình phương Cho ∆ là một phức đơn hình trên [r] và I∆ là iđêan Stanley-Reisner. Sử dụng Công thức Takayama và một số tính chất thu được từ các đa diện lồi Pm , Cm (xem mục 1.5.2.), ta thu được chặn trên cho bất biến ai . Định lý 3.5. Cho I là iđêan đơn thức không chứa bình phương. Khi đó với mọi i 0, ai (R/I (n) ) δ(I)(n − 1). Chỉ số chính quy của iđêan đơn thức không chứa bình phương còn có thể được xác định theo sự triệt tiêu của đồng điều rút gọn của phức đơn hình. Kết hợp với Định lý 3.5 chúng tôi thu được kết quả chính sau. 16
17 Định lý 3.7. Cho ∆ là phức đơn hình. Khi đó, (n) reg(I∆ ) δ(I∆ )(n − 1) + b, với mọi n 1, trong đó b = max{reg(IΓ ) | Γ là một phức con của ∆ với F(Γ) ⊆ F(∆)}. Hệ quả 3.8. Cho I là iđêan đơn thức không chứa bình phương. Khi đó, reg(I (n) ) δ(I)(n − 1) + dim(R/I) + 1, với mọi n 1. Như chúng ta biết có một sự tương ứng giữa iđêan đơn thức không chứa bình phương trong vành R = k[x1 , . . . , xr ] và siêu đồ thị đơn trên tập đỉnh V = {x1 , . . . , xr }. Do đó, từ Định lý 3.7, chúng tôi xây dựng một chặn trên cho hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương theo các tính chất tổ hợp của siêu đồ thị liên kết với iđêan. Định lý 3.12. Cho H là một siêu đồ thị. Khi đó, reg(I(H)(n) ) δ(I(H))(n − 1) + |V (H)| − (H∗ ), với mọi n 1. Chú ý rằng siêu đồ thị H∗ trong Định lý 3.12 là đối ngẫu Alexander của siêu đồ thị H. Ví dụ sau chỉ ra rằng, chặn trên của chỉ số chính quy trong Định lý 3.7 là một chặn tốt với mọi n, tức là chặn có dấu bằng xảy ra. Ví dụ 3.13. Cho ∆ là phức matroid và không là nón. Khi đó, (n) reg(I∆ ) = δ(I∆ )(n − 1) + b, với mọi n 1, trong đó b = max{reg(IΓ ) | Γ là phức con của ∆ với F(Γ) ⊆ F(∆)}. Trong trường hợp này ta xác định được: δ(I) = d(I) và b = dim(R/I∆ ) + 1. 3.2. Iđêan cạnh của đồ thị G Trong phần này, chúng tôi áp dụng Định lý 3.7 để nghiên cứu hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan cạnh của một đồ thị. Để
18 xây dựng chặn cho hệ số b trong Định lý 3.7 chúng tôi xét hàm số số học sau. Định lý 3.14. Cho ∆ là phức đơn hình trên [r] và đặt Simp(∆) = {lk∆ (σ) | σ ∈ ∆}. Giả sử f : Simp(∆) → N là hàm số thỏa mãn các tính chất sau: (i) Nếu Λ ∈ Simp(∆) là một đơn hình thì f (Λ) = 0; (ii) Với mọi Λ ∈ Simp(∆) và mọi v ∈ V (Λ) sao cho Λ không là nón trên v thì f (lkΛ (v)) + 1 f (Λ). Khi đó, với mọi phức con Γ của ∆ mà F(Γ) ⊆ F(∆) thì reg(IΓ ) f (∆)+1. Áp dụng hàm số số học ở trên cho trường hợp đồ thị và xét trong trường hợp I là iđêan cạnh của đồ thị, chúng tôi xây dựng được chặn trên cho reg(I (n) ) theo số ghép cặp có thứ tự của đồ thị. Định lý 3.18. Cho đồ thị G. Khi đó, reg(I(G)(n) ) 2n + ord-match(G) − 1, với mọi n 1. Hệ quả 3.20. Cho G là đồ thị có tính chất ord-match(G) = ν(G). Khi đó, reg(I(G)(n) ) = 2n + ν(G) − 1, với mọi n 1. Một ví dụ cho lớp đồ thị có tính chất như trong Hệ quả trên là đồ thị Cameron-Walker (Đồ thị G được gọi là Cameron-Walker nếu đồ thị đó có số ghép cặp cảm sinh bằng số ghép cặp của đồ thị).
Chương 4 Tính ổn định của hàm chỉ số chính quy Trong chương hai chúng ta thấy rằng hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan phủ của một đồ thị trong trường hợp tổng quát không phải là một hàm tuyến tính khi n đủ lớn. Đối với lớp đồ thị hai phần, lũy thừa hình thức cũng chính là lũy thừa thường, hàm chỉ số chính quy của lũy thừa của iđêan phủ của đồ thị là một hàm tuyến tính khi n đủ lớn. Theo N. T. Hang và T. N. Trung [22], tồn tại số nguyên không âm b sao cho reg(J(G)n ) = d(J(G))n + b với mọi n |V (G)| + 2. Mục tiêu của chương này, chúng tôi chỉ ra một chặn tốt hơn cho chỉ số ổn định reg-stab J(G) của đồ thị hai phần. Kết quả trình bày của chương được dựa trên bài báo [20]. 4.1. Đa diện nguyên ứng với đồ thị hai phần Trước hết chúng tôi định nghĩa các đa diện lồi Pn , Cn theo mục 1.5.2. trong trường hợp đồ thị. Trong trường hợp này, các đa diện lồi là các đa diện nguyên. Hơn nữa, Bổ đề 4.3. Nếu Pn = ∅, thì Pn+1 = ∅ và bn bn+1 . Gọi l là độ dài của đường đi đơn dài nhất trong G. Trong bổ đề sau, 19