Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN HIỂN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019
Công trình được hoàn thành tại trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Nguyễn Huy Chiêu 2. PGS. TS. Đinh Huy Hoàng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường Đại học Vinh vào hồi ... ngày ... tháng ... năm ... Có thể tìm hiểu luận án tại: 1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát các bài toán tối ưu và bài toán liên quan, đầu những năm 1960, R. T. Rockafellar và J.-J. Moreau đề xuất và nghiên cứu khái niệm dưới vi phân cho hàm lồi. Giữa thập niên 1970, F. H. Clarke và B. S. Mordukhovich độc lập đưa ra các khái niệm dưới vi phân cho hàm có thể không lồi. Đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ đa trị xuất hiện vào đầu thập niên 1980. Bên cạnh đó, nhiều khái niệm vi phân suy rộng khác cũng đã được giới thiệu và nghiên cứu. Năm 1998, R. T. Rockafellar và R. J.-B. Wets xuất bản cuốn sách chuyên khảo “Variational Analysis” trên cơ sở tổng hợp, hệ thống hóa và bổ sung những kết quả cơ bản theo hướng nghiên cứu này, đánh dấu sự ra đời của Giải tích biến phân. Đến nay, giải tích biến phân bậc nhất đã khá hoàn thiện, trong khi đó giải tích biến phân bậc hai đang được nghiên cứu mạnh và phát triển nhanh. Lĩnh vực này thu hút được sự chú ý của nhiều nhà toán học trong thời gian gần đây. Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm trong giải tích biến phân và ứng dụng. Đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào, luôn có hai vấn đề cơ bản được đặt ra một cách tự nhiên: thứ nhất là cấu trúc đó phản ánh được tính chất nào của hàm số, ánh xạ hay tập hợp; thứ hai là làm thế nào để tính toán hoặc ước lượng cấu trúc đó theo dữ liệu ban đầu của bài toán. Thực tế là để giải quyết thấu đáo mỗi vấn đề này người ta đều cần đến thông tin về tính chính quy nào đó của hàm số, ánh xạ hay tập hợp có liên quan. Chính vì vậy, các tính chất chính quy là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giải tích biến phân. Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quy đáng chú ý trong giải tích biến phân bậc nhất. Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân bậc hai. Tuy vậy, vai trò của tính chất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cần được khảo sát thêm. Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là “Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng”.
4 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vào việc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tích biến phân, đạo hàm đồ thị dưới gradient, tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chất tĩnh lặng cô lập (isolated calmness). 4. Phạm vi nghiên cứu - Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng của đạo hàm đồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho các bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề. Đồng thời, luận án cũng quan tâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyến ràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện dưới chính quy mêtric với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tục hai lần. - Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồ thị dưới gradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric và sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kĩ thuật của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm về quy tắc tính toán trong giải tích biến phân; đồng thời, luận án cũng đề xuất cách tiếp cận mới nghiên cứu tính ổn định xiên, cải thiện được một số kết quả về tính ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến; qua đó làm rõ hơn vai trò của tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng. Luận án là tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu và ứng dụng. 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Các tính chất chính quy đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân và ứng dụng. Một mặt, những tính chất này được dùng để thiết lập điều kiện cực trị và nghiên cứu vấn đề ổn định cho các bài toán tối ưu và bài toán liên quan. Mặt khác, chúng được sử dụng để phát triển hệ thống quy tắc tính toán trong giải tích biến phân. Ngoài ra, tính chất chính quy cũng được dùng để khảo sát sự hội tụ của các thuật toán trong tối ưu số. Trong giải tích biến phân, các nhà toán học đã đề xuất và nghiên cứu nhiều khái niệm chính quy khác nhau cho cả tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đa trị. Một trong những tính chất chính quy rất quan trọng trong các nghiên cứu điều kiện tối ưu và quy tắc tính toán của các cấu trúc vi phân suy rộng là tính dưới chính
5 quy mêtric. Năm 1979, A. D. Ioffe sử dụng tính chất này để định nghĩa khái niệm điểm chính quy và thiết lập điều kiện cần tối ưu bậc nhất cho một lớp bài toán tối ưu. Thuật ngữ “dưới chính quy mêtric” được đề xuất năm 2004 bởi A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar. Tính dưới chính quy mêtric của ánh xạ đa trị tương đương với tính chất tĩnh lặng (calmness) của ánh xạ ngược. Năm 2008, A. D. Ioffe và J. V. Outrata đã thiết lập được hệ thống quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu với điều kiện dưới chính quy mêtric. Gần đây, các nhà nghiên cứu cũng đã thiết lập được nhiều quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng bậc hai với giả thiết dưới chính quy mêtric. Đạo hàm đồ thị (graphical derivative) của ánh xạ đa trị tại điểm thuộc đồ thị là ánh xạ đa trị có đồ thị là nón tiếp tuyến của đồ thị ánh xạ đa trị đã cho tại điểm được xem xét. Khái niệm này được J. -P. Aubin đề xuất năm 1981 với tên gọi là đạo hàm contingent. Thuật ngữ đạo hàm đồ thị đã được sử dụng trong cuốn sách chuyên khảo “Variational Analysis” xuất bản năm 1998 của R. T. Rockafellar và R. J. -B. Wets và hiện nay nó là thuật ngữ thông dụng để chỉ khái niệm trên. Đạo hàm đồ thị là công cụ mạnh trong giải tích biến phân. Nó đã được dùng để nghiên cứu tính ổn định của các hệ ràng buộc, hệ biến phân và tổng quát hơn là các phương trình suy rộng. Đạo hàm đồ thị còn có thể sử dụng để đặc trưng một số tính chất tốt của ánh xạ đa trị như tính chính quy mêtric, tính chất Aubin, tính chất tĩnh lặng cô lập và tính dưới chính quy mêtric mạnh. Mặc dù là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biến phân, tính toán đạo hàm đồ thị nói chung là bài toán khó. Nó đã được nhiều người nghiên cứu trong thời gian dài và nhiều kết quả thú vị theo hướng này đã được thiết lập. Xét tập Γ cho bởi công thức Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ , trong đó q : Rn → Rm , q(x) = (q1 (x), q2 (x), ..., qm (x)), là ánh xạ khả vi liên tục hai lần và Θ ⊂ Rm là tập đóng khác rỗng. Đặt Mq (x) := q(x) − Θ với x ∈ Rn . Nếu Θ = Rm − thì Γ là miền ràng buộc của quy hoạch phi tuyến và, trong trường hợp này, chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) đúng tại x ¯ ∈ Γ khi và chỉ khi ánh xạ Mq chính quy mêtric quanh (¯ x, 0). Hơn nữa, nếu thêm giả thiết qi : Rn → R, i = 1, 2, ..., m, là các hàm lồi, thì điều kiện Slater đúng khi và chỉ khi Mq chính quy mêtric. Nếu Θ là nón lồi đóng thì Γ chính là miền ràng buộc của quy hoạch nón và khi đó chuẩn hóa ràng buộc Robinson (RCQ) là tương đương với tính chính quy mêtric của Mq . Điều kiện Slater, MFCQ và RCQ đều là các chuẩn hóa ràng buộc rất quan trọng trong lý thuyết tối ưu và ứng dụng. Những điều kiện này về bản chất chính là tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị Mq . Do đó, có thể gọi chung các điều kiện này là chuẩn hóa ràng buộc chính quy mêtric. Năm 2015, với Γ là miền ràng buộc của quy hoạch phi tuyến, H. Gfrerer và B. S. Mordukhovich đã giới thiệu khái niệm chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ), đó là điều kiện Mq là dưới chính quy mêtric. Sau đó, khái niệm này đã được mở rộng cho Θ là tập đóng bất kỳ. Trong luận án này, chúng tôi quan tâm vấn đề tính đạo hàm đồ thị DNΓ của ánh xạ nón pháp tuyến NΓ : Rn ⇒ Rn , x 7→ NΓ (x), với Θ là tập lồi đa diện. Kết quả đầu tiên về tính đạo hàm DNΓ được thiết lập vào năm 1996 bởi A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar, ở đó các tác giả này đã mô tả được chính xác đồ thị của DNΓ , với giả thiết Γ là tập lồi đa diện, theo dữ liệu đầu vào của bài toán. Kết quả này sau đó đã được dùng để tính dưới vi phân bậc hai qua giới hạn của hàm chỉ của Γ. Dựa vào một số quy tắc tính toán có sẵn của giải tích biến phân, năm 2013,
6 R. Henrion cùng các cộng sự đã giới thiệu công thức tính đạo hàm DNΓ với giả thiết Mq (x) := q(x) − Θ chính quy mêtric quanh điểm được xem xét. Năm 2014, H. Gfrerer và J. V. Outrata đã chứng minh được công thức tính đạo hàm đồ thị của R. Henrion cùng các cộng sự vẫn đúng nếu Θ := Rm − và điều kiện chính quy mêtric được thay bởi điều kiện yếu hơn là tính dưới chính quy mêtric đúng tại điểm được xem xét và một tính chính quy mêtric đều đúng quanh điểm này. Một đóng góp rất quan trọng của H. Gfrerer và J. V. Outrata là việc đề xuất được lược đồ chứng minh trực tiếp công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp, mở đường giải quyết một cách thỏa đáng bài toán tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến. Sử dụng lược đồ này cho trường hợp Θ := {0Rm1 } × Rm−m − 1 với chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric, năm 2015, H. Gfrerer và B. S. Mordukhovich đã chứng tỏ rằng kết quả tương tự vẫn đúng nếu thay điều kiện chính quy mêtric đều bởi điều kiện yếu hơn, đó là tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP) được thỏa mãn. Kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar và các kết quả thiết lập về sau nói chung là độc lập với nhau. Tuy nhiên, về bản chất, chúng đều có giả thiết là thỏa mãn chuẩn hóa dưới chính quy mêtric và một tính chất nào đó thêm vào. Điều này dẫn tới câu hỏi tự nhiên như sau: Liệu chúng ta có thể hợp nhất các kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến bằng cách bỏ tính chất thêm vào được không? Nói cách khác, các công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến đã đề cập ở trên có còn đúng không nếu chỉ giả thiết Mq dưới chính quy mêtric? Trong Chương 2, với giả thiết Mq dưới chính quy mêtric tại điểm được xem xét và Θ là tập lồi đa diện, bỏ tính chất thêm vào, chúng tôi chứng minh được công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến như trên vẫn đúng và như vậy trả lời được một cách khẳng định cho câu hỏi nêu trên. Để thiết lập công thức này, chúng tôi đã sử dụng lược đồ chứng minh của H. Gfrerer và J. V. Outrata kết hợp với một ý tưởng của A. D. Ioffe và J. V. Outrata. Nhờ công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến, chúng tôi thu được công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nghiệm và đặc trưng được tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng. Kết quả của chúng tôi hợp nhất được nhiều kết quả liên quan theo hướng nghiên cứu này. Ổn định xiên (tilt stability) là một tính chất của cực tiểu địa phương đảm bảo điểm này sẽ dịch chuyển kiểu Lipschitz khi hàm mục tiêu của bài toán tối ưu chịu nhiễu tuyến tính nhỏ. Khái niệm ổn định xiên được R. A. Poliquin và R. T. Rockafellar giới thiệu cho bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu là hàm giá trị thực mở rộng. Tính ổn định xiên về cơ bản tương đương với điều kiện tăng trưởng bậc hai đều cũng như tính chính quy mêtric mạnh của ánh xạ dưới vi phân. Đặc trưng đầu tiên của tính ổn định xiên bằng cách dùng vi phân suy rộng bậc hai được R. A. Poliquin và R. T. Rockafellar thiết lập vào năm 1998. Khi đó, các tác giả này đã chứng minh được rằng đối với bài toán tối ưu không ràng buộc mà hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân, một điểm dừng là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu và chỉ nếu dưới vi phân qua giới hạn bậc hai của hàm mục tiêu là xác định dương tại điểm được xem xét. Hơn nữa, sử dụng kết quả này cùng với công thức của A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar về tính dưới vi phân qua giới hạn bậc hai của hàm chỉ của tập lồi đa diện, R. A. Poliquin và R. T. Rockafellar đã
7 thu được đặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên của bài toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc tuyến tính. Năm 2012, nhờ thiết lập các công thức tính dưới vi phân bậc hai mới, B. S. Mordukhovich và R. T. Rockafellar đã thu được đặc trưng bậc hai của cực tiểu địa phương ổn định xiên cho một số lớp bài toán tối ưu có ràng buộc. Đặc biệt, các tác giả này đã cho thấy rằng một điểm dừng của quy hoạch phi tuyến thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu và chỉ nếu điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) đúng. Cũng trong năm 2012, với quy hoạch phi tuyến thỏa mãn cả MFCQ và CRCQ, B. S. Mordukhovich và J. V. Outrata đã chứng minh SSOSC là điều kiện đủ để một điểm dừng là cực tiểu địa phương ổn định xiên. Năm 2015, B. S. Mordukhovich và T. T. A. Nghia đã cho thấy SSOSC không phải là điều kiện cần cho tính ổn định xiên và sau đó đã giới thiệu điều kiện đủ bậc hai đều (USOSC) để đặc trưng tính ổn định xiên khi cả MFCQ và CRCQ đúng. Gần đây, H. Gfrerer và B. S. Mordukhovich đã thu được một số điều kiện đủ bậc hai cho cực tiểu ổn định xiên của bài toán quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ và BEPP. Hơn nữa, khi thêm điều kiện không suy thoái hoặc 2-chính quy vào thì họ đã thu được đặc trưng bậc hai cho cực tiểu địa phương ổn định xiên. Thay vì sử dụng các dưới vi phân bậc hai, chúng tôi sử dụng đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới gradient để đặc trưng tính ổn định xiên. Đây là cách tiếp cận nghiên cứu ổn định xiên chưa từng được sử dụng bởi các tác giả khác. Lợi thế của cách tiếp cận này là hiện nay đã có sẵn các công thức tính đạo hàm đồ thị dưới gradient trong nhiều trường hợp với giả thiết khá nhẹ. Hơn nữa, một số kết quả về tính ổn định xiên đã được thiết lập dựa trên tính toán đạo hàm đồ thị dưới gradient như là một bước trung gian. Các quan sát này dẫn đến các câu hỏi tự nhiên như sau: Liệu chúng ta có thể sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient để đặc trưng tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân được không? Nếu có thì đặc trưng này có thể giúp chúng ta cải thiện các kết quả đã thiết lập về tính ổn định xiên cho bài toán quy hoạch phi tuyến được không? Giả thiết chính quy gần kề có bỏ được không? Chương 3 của luận án sẽ trả lời các câu hỏi trên một cách đầy đủ, cụ thể: Chúng tôi thiết lập được đặc trưng tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient; áp dụng kết quả này vào quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ, chúng tôi thu được các điều kiện cần, đủ cho cực tiểu địa phương ổn định xiên. 7.2. Cấu trúc luận án Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức chuẩn bị, làm cơ sở cho việc giới thiệu các kết quả chính của luận án trong hai chương sau. Chương 2 tập trung nghiên cứu công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến cho trường hợp Θ là tập lồi đa diện với Mq là dưới chính quy mêtric và các áp dụng của công thức này. Mục 2.1 được dành để thiết lập công thức tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến. Mục 2.2 cung cấp các kết quả về tính đạo hàm đồ thị và đặc trưng tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng chứa tham số.
8 Chương 3 được dành để trình bày các kết quả về tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu. Mục 3.1 nghiên cứu đặc trưng tính ổn định xiên của bài toán tối ưu không ràng buộc thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient. Dựa vào kết quả thu được ở mục 3.1, mục 2.1 và một số kết quả của các tác giả khác, mục 3.2 thiết lập các điều kiện cần, đủ để một điểm dừng của bài toán quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ là cực tiểu địa phương ổn định xiên.
9 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận án này, nếu không giải thích gì thêm, các không gian được sử dụng là không gian Ơclit Rn với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn Ơclit k · k thông thường. 1.1 Một số khái niệm và tính chất bổ trợ Mục này nhắc một số khái niệm trong giải tích biến phân được sử dụng trong các chương tiếp theo, các định nghĩa này chủ yếu được trích từ các cuốn chuyên khảo Variational Analysis and Applications của B. S. Mordukhovich và Variational Analysis của R. T. Rockafellar và R. J. -B. Wets. 1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ F biến mỗi x ∈ Rn thành một và chỉ một tập F (x) ⊂ Rm được gọi là ánh xạ đa trị từ Rn vào Rm và được kí hiệu bởi F : Rn ⇒ Rm . Nếu với mọi x ∈ Rn tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ Rn vào Rm . Khi đó người ta sử dụng kí hiệu thông thường F : Rn → Rm . Miền hữu hiệu, ảnh và đồ thị của ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được định nghĩa tương ứng bởi domF := x ∈ Rn | F (x) 6= ∅ , rgeF := y ∈ Rm | ∃x ∈ Rn sao cho y ∈ F (x) , gphF := (x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x) . Ánh xạ ngược F −1 : Rm ⇒ Rn được định nghĩa bởi F −1 (y) = x ∈ Rn | y ∈ F (x) , với mọi y ∈ Rm . 1.1.2 Định nghĩa. Cho Ω là tập con khác rỗng của Rn . (i) Nón tiếp tuyến (Bouligand-Severi)/contingent của Ω tại x¯ ∈ Ω kí hiệu là TΩ (¯ x) và được định nghĩa bởi x) := v ∈ Rn | tồn tại tk ↓ 0, vk → v với x¯ + tk vk ∈ Ω với mọi k ∈ N . TΩ (¯ (ii) Nón pháp tuyến chính quy (Fréchet) của Ω tại x¯ ∈ Ω kí hiệu là N bΩ (¯ x) và
10 được cho bởi hv, x − x¯i x) := v ∈ Rn | lim sup N bΩ (¯ ≤0 , Ω x→¯x kx − x¯k Ω ở đây x → x ¯ theo nghĩa x → x¯ với x ∈ Ω. (iii) Nón pháp tuyến qua giới hạn/cơ sở (Mordukhovich) của Ω tại x¯ ∈ Ω kí hiệu là NΩ (¯ x) và được định nghĩa bởi x) = v ∈ Rn | tồn tại xk → x¯ và vk ∈ N NΩ (¯ bΩ (xk ) với vk → v . ¯ 6∈ Ω thì ta quy ước NΩ (¯ Nếu x x) = N x) := ∅. bΩ (¯ 1.1.4 Định nghĩa. Cho F : Rn ⇒ Rm là ánh xạ đa trị với domF 6= ∅. (i) Với x¯ ∈ domF, đạo hàm đồ thị của F tại x¯ đối với y¯ ∈ F (¯ x) là ánh xạ đa trị n m x|¯ DF (¯ y ) : R ⇒ R được định nghĩa bởi y )(v) := w ∈ Rm | (v, w) ∈ TgphF (¯ x, y¯) với mọi v ∈ Rn , DF (¯x|¯ x|¯ nghĩa là, gphDF (¯ y ) := TgphF (¯ x, y¯). (ii) Đối đạo hàm chính quy của F tại điểm (¯ x, y¯) ∈ gphF là ánh xạ đa trị b∗ D F (¯ m n x, y¯) : R ⇒ R được định nghĩa bởi b ∗ F (¯x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −y ∗ ) ∈ N x, y¯) với mọi y ∗ ∈ Rm . D bgphF (¯ Trong trường hợp F (¯ x) = {¯ y }, ta viết DF (¯ b ∗ F (¯ x) và D x|¯ x) thay cho DF (¯ y ) và b ∗ F (¯ D x, y¯), tương ứng. Chú ý rằng, nếu F : Rn → Rm là ánh xạ đơn trị khả vi tại x x) = ∇F (¯ ¯, thì DF (¯ x) ∗ ∗ b x) = ∇F (¯ và D F (¯ x) . 1.1.6 Định nghĩa. Giả sử ϕ : Rn → R := R∪{±∞}, x ¯ ∈ Rn với y¯ := ϕ(¯ x) hữu hạn. (i) Dưới vi phân chính quy của ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi b x) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ∂ϕ(¯ bepiϕ (¯ x, y¯) , ở đây epiϕ := (x, α) ∈ Rn × R | α ≥ ϕ(x) là trên đồ thị của ϕ. (ii) Dưới vi phân qua giới hạn của ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi x) := x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ Nepiϕ (¯ ∂ϕ(¯ x, y¯) . Nếu |ϕ(¯x)| = ∞ thì người ta quy ước ∂ϕ(¯ b x) := ∅. x) = ∂ϕ(¯ b x) ⊂ ∂ϕ(¯ Chú ý rằng ∂ϕ(¯ x) và nếu ϕ là hàm lồi thì cả ∂ϕ(¯ b x) và ∂ϕ(¯ x) trùng với dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi: x) = x∗ ∈ Rn | hx∗ , x − x¯i ≤ ϕ(x) − ϕ(¯ x) với mọi x ∈ Rn . ∂ϕ(¯ b x) = ∂ϕ(¯
11 1.1.8 Định nghĩa Cho hàm giá trị thực suy rộng f : Rn → R. (i) Miền hữu hiệu của f được định nghĩa bởi domf := x ∈ Rn | f (x) < ∞ . (ii) Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn . (iii) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu lim inf f (u) ≥ f (x). u→x (iv) Hàm f được gọi là chính quy gần kề tại x ¯ ∈ dom f đối với v¯ ∈ ∂f (¯ x) nếu tồn tại r, ε > 0 sao cho với mọi x, u ∈ Bε (¯ x) với |f (u) − f (¯ x)| < ε, ta có r f (x) ≥ f (u) + hv, x − ui − kx − uk2 (1.1) 2 với mọi v ∈ ∂f (x) ∩ Bε (¯v ). (v) Hàm f được gọi là liên tục dưới vi phân tại x ¯ đối với v¯ ∈ ∂f (¯ x) nếu với mọi dãy xi → x ¯ và vi → v¯, với vi ∈ ∂f (xi ), ta có f (xi ) → f (¯x). 1.2 Tính chất chính quy và điều kiện chuẩn hóa Trước hết, chúng tôi nhắc lại một tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị được biết đến với tên gọi tính chính quy mêtric như sau. 1.2.1 Định nghĩa. Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi là chính quy mêtric quanh x, y¯) ∈ gph F với môđun κ > 0 nếu tồn tại lân cận U của x¯ và V của y¯ sao cho (¯ dF −1 (y) (x) ≤ κdF (x) (y) với mọi (x, y) ∈ U × V ; (1.2) Tính chất chính quy kiểu mêtric được quan tâm nhiều trong luận án là tính dưới chính quy mêtric, tính chất này được A. D. Ioffe đưa ra và có định nghĩa như sau. 1.2.5 Định nghĩa. Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi là dưới chính quy mêtric x, y¯) ∈ gphF nếu tồn tại κ, r > 0 sao cho tại (¯ dF −1 (¯y) (x) ≤ κdF (x) (¯ y ) với mọi x ∈ Br (¯ x). (1.3) Kí hiệu: x|¯ subreg F (¯ y ) := inf κ ∈ R+ | ∃ r > 0 sao cho (1.3) đúng . Sử dụng tính chất dưới chính quy mêtric, H. Gfrerer và B. S. Mordukhovich đã giới thiệu chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric cho bài toán quy hoạch phi tuyến và trên cơ sở đó chúng tôi đã giới thiệu cho trường hợp tổng quát sau. 1.2.8 Định nghĩa Xét tập ràng buộc Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ}, ở đây q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần và Θ là tập con đóng, khác rỗng của Rm . Ta nói chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ) đúng tại x¯ ∈ Γ nếu ánh xạ Mq (x) := q(x) − Θ dưới chính quy mêtric tại (¯ x, 0). Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số điều kiện chuẩn hóa đã biết trong quy hoạch phi tuyến. 1.2.9 Định nghĩa Xét Γ là miền ràng buộc của bài toán quy hoạch phi tuyến Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Rm − ,
12 ở đây q(x) := q1 (x), ..., qm (x)) với qi : Rn → R là các ánh xạ khả vi liên tục hai lần, với mọi i = 1, 2..., m. ¯ ∈ Γ nếu (i) Chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) đúng tại x n tồn tại véctơ d ∈ R sao cho h∇qi (¯ x), di < 0 với mọi i ∈ I(¯ x), x) := i ∈ {1, . . . , m} | qi (¯ ở đây I(¯ x) = 0 là tập chỉ số hoạt tại x¯ ∈ Γ. (ii) Chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng (CRCQ) đúng tại x ¯ ∈ Γ nếu tồn tại lân cận U của x¯ sao cho hệ gradient {∇qi (x)| i ∈ J} có hạng bằng nhau trên U với bất kì tập chỉ số J ⊂ I(¯ x). ¯ ∈ Γ nếu hệ (iii) Chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) thỏa mãn tại x {∇qi (¯ x), i ∈ I(¯ x)} độc lập tuyến tính. (iv) Miền ràng buộc Γ được gọi là có tính chất điểm cực biên bị chặn (BEPP) ¯ ∈ Γ nếu tồn tại số thực κ > 0 và r > 0 sao cho tại x E(x, x∗ ) ⊂ κkx∗ kB với mọi x ∈ Γ ∩ Br (¯ x) và x∗ ∈ Rn , ở đây E(x, x∗ ) là kí hiệu tập tất cả các điểm cực biên của Λ(x, x∗ ), với Λ(x, x∗ ) là tập nhân tử được định nghĩa bởi Λ(x, x∗ ) := λ ∈ Rm T ∗ + | ∇q(x) λ = x , λ i = 0 với i ∈ / I(x) .
13 CHƯƠNG 2 ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC Chương này trình bày công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dưới chính quy mêtric cùng với các ứng dụng của nó. 2.1 Tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến Trong mục này ta giả sử Γ := {x | q(x) ∈ Θ}, ở đây q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi hai lần và Θ là tập lồi đa diện trong Rm −. ∗ ¯ ∈ Γ và x¯ ∈ NΓ (¯ Với x x), đặt Λ := {λ ∈ NΘ (¯ x)T λ = x¯∗ }, y ) | ∇q(¯ trong đó y¯ := q(¯ x). Kí hiệu x) := {i = 1, 2, . . . , ` | hbi , y¯i = αi } Iq (¯ là tập chỉ số hoạt của Γ tại x ¯ và x∗ }⊥ x) ∩ {¯ K := TΓ (¯ là nón tới hạn của Γ tại x ¯. Để đi đến kết quả chính trong mục này, trước hết ta cần kết quả sau, bổ đề này cung cấp một công thức hữu ích để tính nón pháp tuyến qua giới hạn của nón tới hạn theo các dữ kiện ban đầu. 2.1.1 Bổ đề. Giả sử MSCQ đúng tại x ¯ và y¯ := q(¯ x). Khi đó, với mỗi v ∈ K và λ ∈ Λ, ta có x)T µ | µT ∇q(¯ NK (v) = ∇q(¯ x)v = 0, µ ∈ TNΘ (¯y) (λ) , (2.1) y ) = pos{bi | i ∈ Iq (¯ ở đây NΘ (¯ x) và TNΘ (¯y) (λ) = pos{bi | i ∈ Iq (¯ x) − R+ λ. Vì vậy, với v ∈ K, ta có    X  T ∗ ⊥ NK (v) = ti bi ∇q(¯x) − t0 x¯ | t0 , ti ∈ R+ , i ∈ Iq (¯ x) ∩ v . (2.2)   i∈Iq (¯ x)
14 Bây giờ, chúng tôi trình bày kết quả chính của mục này, kết quả này đưa ra công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến NΓ trong trường hợp Θ là lồi đa diện với điều kiện đặt ra rất yếu (MSCQ). 2.1.10 Định lý. Giả sử MSCQ thỏa mãn tại x ¯ ∈ Γ, x¯∗ ∈ NΓ (¯ x). Khi đó, ta có x, x¯∗ ) = (v, v ∗ ) ∈ Rn × Rn | ∃λ TgphNΓ (¯ ∗ 2 T ∈ Λ(v) : (2.3) v ∈ ∇ λ q (¯ x)v + NK (v) . Vì thế, đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến NΓ (x) được cho bởi x∗ )(v) = ∇2 λT q (¯ x|¯ DNΓ (¯ x)v | λ ∈ Λ(v) + NK (v), (2.4) ở đây Λ(v) là tập nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính LP(v) và nón NK (v) được cho bởi (2.2). Với Γ là tập điểm chấp nhận được của bài toán quy hoạch phi tuyến, có thể xảy ra trường hợp các giả thiết của Định lý 2.1.10 thỏa mãn, trong khi BEPP không thỏa mãn. Ví dụ sau cho thấy điều đó. 2.1.12 Ví dụ. Giảsử q : R2 ⇒ R2 được cho bởi q(x) := (−x1 , x1 − x21 x22 ), Θ := {(0, 0)}, Γ := x ∈ R2 | q(x) ∈ Θ = {0} × R và x¯ := (0, 0). Khi đó, các giả thiết của Định lí 2.1.10 thỏa mãn, trong khi BEPP không thỏa mãn tại x ¯. Kết quả tiếp theo cung cấp một công thức tính đối đạo hàm chính quy của ánh xạ nón pháp, nó là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.1.10. 2.1.13. Hệ quả. Dưới các giả thiết của Định lý 2.1.10, ta có n ∗ x, x¯ )(u ) = u | hu, vi − u∗ , ∇2 λT q (¯ ∗ ∗ D NΓ (¯ b x)v ≤ 0, o ∗ với mọi v ∈ K, λ ∈ Λ(v), −u ∈ TK (v) . 2.2 Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng Xét phương trình suy rộng có tham số sau: 0 ∈ F (x, y) + NΓ (x), (2.5) ở đây F : Rn × Rs → Rn là ánh xạ khả vi liên tục, x là biến, y là tham số và Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ}, Θ là tập lồi đa diện khác rỗng trong Rm , q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần. Kí hiệu S là ánh xạ nghiệm của phương trình (2.5), được cho bởi S(y) := x ∈ Rn | 0 ∈ F (x, y) + NΓ (x) .
15 2.2.2 Định lý. Cho (¯ y , x¯) ∈ gphS và Mq là dưới chính quy mêtric tại (¯ x, 0). Khi đó, ta có n x, y¯)v + ∇2 λT q (¯ DS(¯ y |¯ x)(z) ⊂ v | − ∇y F (¯ x, y¯)z ∈ ∇x F (¯ x)v : o λ ∈ Λ(v) + NK (v) , (2.6) s với mọi z ∈ R . Bao hàm thức (2.6) xảy ra dấu bằng nếu giả thiết thêm ∇y F (¯ x, y¯) ∗ ⊥ ∗ toàn ánh, ở đây K := TΓ (¯ x) ∩ {¯ x } với x¯ := −F (¯ x, y¯) và Λ(v) là tập nghiệm tối ưu của LP(v). Nếu q là ánh xạ affine thì {∇2 λT q (¯ x)v | λ ∈ Λ(v)} = {0} và Mq tự động dưới chính quy mêtric. Do vậy, trong trường hợp này, công thức (2.6) trở nên đơn giản hơn nhiều. Hệ quả sau cho thấy điều đó. 2.2.3 Hệ quả. Xét phương trình suy rộng (2.5) với q : Rn → Rm là ánh xạ affine. y , x¯) ∈ gphS và x¯∗ := −F (¯ Với mọi (¯ x, y¯), ta có n o DS(¯ y |¯ x)(z) ⊂ v | − ∇y F (¯ x, y¯)z ∈ ∇x F (¯ x, y¯)v + NK (v) , (2.7) với mọi z ∈ Rs . Bao hàm thức (2.7) xảy ra dấu bằng nếu ∇y F (¯ x, y¯) toàn ánh. 2.2.6 Hệ quả. Xét (2.5) với Θ := {0Rm1 } × Rm−m − 1 và (¯y , x¯) ∈ gphS. Giả sử CRCQ thỏa mãn tại x ¯. Khi đó, ta có n o 2 T DS(¯ y |¯ x)(z) ⊂ v | − ∇y F (¯ x, y¯)z ∈ ∇x F (¯ x, y¯)v + ∇ λ q (¯ x)v + NK (v) , (2.8) với mọi z ∈ Rs và λ ∈ Λ. Bao hàm thức (2.8) xảy ra dấu bằng nếu ∇y F (¯ x, y¯) toàn ánh. Tiếp theo, ta xét tính tĩnh lặng cô lập của S. Tính chất này được giới thiệu bởi A. L. Dontchev, nó là một tính chất quan trọng trong giải tích biến phân. 2.2.7 Định nghĩa. Ánh xạ đa trị F : Rs ⇒ Rn được gọi là có tính chất tĩnh lặng y , x¯) ∈ gphF nếu tồn tại κ, r > 0 sao cho cô lập (isolated calmness) tại (¯ F (y) ∩ Br (¯ x) ⊂ {¯ x} + κky − y¯kBRn với mọi y ∈ Br (¯ y ). Định lý sau cho ta một đặc trưng của tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm. y , x¯) ∈ gphS và Mq là dưới chính quy mêtric tại (¯ 2.2.9 Định lý. Cho (¯ x, 0). Giả sử rằng 0 ∈ ∇x L(¯ x, y¯, λ)v + NK (v) ⇒ v = 0, (2.9) λ ∈ Λ(v), v ∈ Rn ở đây L : Rn × Rs × Rm → Rn được cho bởi L(x, y, λ) := F (x, y) + ∇q(x)T λ.
16 Khi đó, S có tính chất tĩnh lặng cô lập tại (¯ y , x¯). Ngược lại, nếu S có tính chất tĩnh y , x¯) và ∇y F (¯ lặng cô lập tại (¯ x, y¯) toàn ánh thì (2.9) đúng. 2.2.10 Hệ quả. Xét phương trình suy rộng (2.5) với Γ := Θ, n = m và q := In là y , x¯) ∈ gphS và x¯∗ := −F (¯ ánh xạ đồng nhất trong Rn . Giả sử (¯ x, y¯). Khi đó, nếu x, y¯) + NK )−1 (0) = {0} (∇x F (¯ (2.10) thì S có tính chất tĩnh lặng cô lập tại (¯ y , x¯). Ngoài ra, nếu rank∇y F (¯ x, y¯) = n thì tính chất (2.10) là điều kiện cần và đủ để S có tính chất tĩnh lặng cô lập tại (¯ y , x¯). Tiếp theo ta xét phương trình suy rộng có tham số. w ∈ F (x, y) + NΓ (x), (2.11) ở đây F : Rn × Rs → Rn là ánh xạ khả vi liên tục, x là biến và p := (y, w) là tham số, Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ} với Θ ⊂ Rm là tập lồi đa diện khác rỗng và q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần. Gọi S : Rs × Rn ⇒ Rn là ánh xạ nghiệm của (2.11), nghĩa là, S(p) := x ∈ Rn | w ∈ F (x, y) + NΓ (x) , (2.12) với mọi p := (y, w) ∈ Rs × Rn . Kết quả sau cho ta đặc trưng tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ S(p). 2.2.11 Định lý. Giả sử (¯p, x¯) ∈ gphS và Mq là dưới chính quy mêtric tại (¯ x, 0). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương. (i) Nếu 0 ∈ ∇x L(¯ x, p¯, λ)v + NK (v), λ ∈ Λ(v), v ∈ Rn thì v = 0, ở đây L : Rn × Rs × Rn × Rm → Rn được định nghĩa bởi L(x, p, λ) := F (x, y) − w + ∇q(x)T λ với p := (y, w). (ii) Ánh xạ nghiệm S(p) có tính chất tĩnh lặng cô lập tại (¯ p, x¯). Cuối cùng, xét bài toán tối ưu có tham số: min g(x, y) − hw, xi | x ∈ Γ , (2.13) ở đây g : Rn × Rs → R là ánh xạ khả vi liên tục hai lần và tập điểm chấp nhận được Γ := {x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ}, Θ là tập lồi đa diện khác rỗng trong Rm , q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần, x là biến, y ∈ Rs và w ∈ Rn là các tham số. Chú ý rằng, ánh xạ đa trị XKKT : Rs × Rn ⇒ Rn được định nghĩa bởi XKKT (p) := x ∈ Rn | 0 ∈ ∇x g(x, y) − w + NΓ (x) , p := (y, w) ∈ Rs × Rn , được gọi là ánh xạ điểm dừng của (2.13). Như đã biết, ánh xạ điểm dừng XKKT (p) là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ đa trị S(p) cho bởi (2.12). Vì vậy, nhờ Định lý 2.2.11, chúng tôi thu được đặc trưng tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ điểm dừng của Bài toán (2.13) như sau.
17 2.2.12 Hệ quả.Giả sử (¯p, x¯) ∈ gphXKKT và Mq là dưới chính quy mêtric tại (¯ x, 0). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương. (i) Nếu 0 ∈ ∇x L(¯ x , p¯, λ)v + NK (v), λ ∈ Λ(v), v ∈ Rn thì v = 0, ở đây L : Rn × Rs × Rn × Rm → Rn được định nghĩa bởi L(x, p, λ) := ∇x g(x, y) − w + ∇q(x)T λ với p := (y, w). (ii) Ánh xạ XKKT (p) có tính chất tĩnh lặng cô lập tại (¯ p, x¯).
18 CHƯƠNG 3 ỔN ĐỊNH XIÊN THÔNG QUA ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ DƯỚI VI PHÂN CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU VỚI GIẢ THIẾT CHÍNH QUY GẦN KỀ Trong chương này, chúng tôi thiết lập đặc trưng bậc hai mới thông qua đạo hàm đồ thị dưới gradient của cực tiểu địa phương ổn định xiên cho bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân. Sau đó, áp dụng đặc trưng được thiết lập ở trên vào quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ, chúng tôi thu được một đặc trưng bậc hai của tính ổn định xiên thông qua điều kiện đủ bậc hai đều nới lỏng và tiếp đó chúng tôi thu được điều kiện đủ bậc hai tại điểm đang xét để điểm dừng của bài toán là cực tiểu địa phương ổn định xiên. Cuối cùng, khi áp dụng cho bài toán quy hoạch toàn phương với một ràng buộc bất đẳng thức toàn phương chúng tôi thu được đặc trưng đơn giản hơn của tính ổn định xiên. 3.1 Đặc trưng bậc hai của tính ổn định xiên cho một lớp bài toán tối ưu không ràng buộc Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa cực tiểu địa phương ổn định xiên, khái niệm này được R. A. Poliquin và R. T. Rockafellar giới thiệu năm 1998. 3.1.1 Định nghĩa.Xét ánh xạ f : Rn → R. Điểm x ¯ ∈ dom f được gọi là cực tiểu địa phương ổn định xiên của f với môđun κ > 0 nếu tồn tại γ > 0 sao cho ánh xạ
Mγ : v 7→ argmin f (x) − hv, xi
x ∈ Bγ (¯ x) đơn trị và liên tục Lipschitz với hệ số κ trên một lân cận của 0 ∈ Rn thỏa mãn Mγ (0) = x¯. Trong trường hợp này, ta kí hiệu tilt (f, x¯) := inf κ| x¯ là cực tiểu ổn định xiên của f với môđun κ > 0 . Định lý dưới đây cung cấp đặc trưng đạo hàm đồ thị dưới gradient của tính ổn định xiên, nó sẽ là công cụ chính trong việc khảo sát tính ổn định độ xiên của bài toán quy hoạch phi tuyến trong phần sau. 3.1.3 Định lý. Cho f : Rn → R là hàm nửa liên tục dưới, chính thường, sao cho x¯ ∈ dom f và 0 ∈ ∂f (¯x). Giả sử f là hàm chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân tại x ¯ đối với v¯ = 0. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương. (i) x ¯ là cực tiểu địa phương ổn định xiên của f với môđun κ > 0.