Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp gần đúng giải phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án nhằm nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic và phương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Để hiểu rõ hơn về đề tài, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết luận án!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp gần đúng giải phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRƯƠNG HÀ HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số : 62.46.30.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học 1. GS.TS Đặng Quang Á 2. TS. Vũ Vinh Quang HÀ NỘI - 2013
PHẦN MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình đạo hàm riêng. Vấn đề giải số hiệu qua phương trình đạo hàm riêng vẫn luôn là một trong những vấn đề được quan tâm nhất trong toán học tính toán, đặc biệt khi hệ số không trơn (gián đoạn trên một mặt phân cách nào đó) hoặc điều kiện biên hỗn hợp mạnh (cả hai điều kiện biên dạng Dirichlet và Neumann đều xuất hiện và chuyển đổi tại một hay nhiều điểm trên biên). Mặc dù đã có rất nhiều công trình nghiên cứu lời giải gần đúng cho các bài toán hệ số gián đoạn và điều kiện biên hỗn hợp mạnh bằng các phương pháp khác nhau, đây vẫn là một vấn đề được các nhà khoa học quan tâm. Các lược đồ sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn, các phương pháp xấp xỉ biên,.. đều trở nên phức tạp hơn khi phải chú ý đến mặt gián đoạn hay sự chuyển đổi của các điều kiện biên. Mặt khác các cấu trúc của hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ không còn đẹp đẽ như các trường hợp hệ số liên tục hay điều kiện biên đơn giản. Khi đó độ phức tạp của thuật toán tăng đáng kể. Trong khoảng 3 thập kỷ gần đây, một hướng tiếp cận mới được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm và có thể giải quyết tốt vấn đề giải số lớp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay hệ số gián đoạn. Đó là phương pháp chia miền với ý tưởng chính là đưa bài toán phức tạp trên miền lớn về các bài toán đơn giản hơn trên các miền con và kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh để sau đó giải các bài toán con này bằng các phần mềm có sẵn. Đây chính là hướng nghiên cứu được lựa chọn để giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic. 2. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận án: Nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic và phương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phương pháp trong giải tích số cho phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp chia miền, phương pháp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toán cấp hai, kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân. Các phương pháp trên sẽ được kết hợp một cách linh hoạt để xây dựng phương pháp mới phù hợp với từng bài toán cụ thể. Để nghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp được đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào toán tử biên thích hợp dẫn bài toán được xét về phương trình với toán tử đối xứng xác định dương hoặc dương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert và áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng. Việc hiện thực hóa các bước lặp này chính là việc giải các bài toán đối với phương trình cấp hai trong các miền hình học đơn giản. 3. Những đóng góp mới của luận án - Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn. - Đề xuất phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải bài toán Motz. - Đề xuất phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. - Giải gần đúng các bài toán vết nứt, bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc hai giá đỡ bên trong. 4. Bố cục của luận án 2
Luận án được bố cục thành 3 chương với nội dung tóm tắt như sau: Chương 1 : Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các nội dung trong luận án và các kết quả xây dựng thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số trong miền chữ nhật. Chương 2 : Trình bày các kết quả nghiên cứu về phát triển phương pháp chia miền kết hợp kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán elliptic cấp hai với hệ số gián đoạn, phương pháp lặp song song giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh cho phép giải bài toán cỡ lớn trên các hệ thống tính toán song song. Chương 3 : Trình bày các kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Giải gần đúng bài toán vết nứt và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong. Trong luận án, các kết quả lý thuyết được kiểm tra, thử nghiệm bằng các chương trình cài đặt trong môi trường Matlab 8.0. Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Phần này giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ sở được tham khảo từ các cuốn sách của các tác giả Aubin, Adams, Cioranescu, Quarteroni và Rectorys: • Không gian Sobolev : Các khái niệm và định nghĩa về miền Lipschitz, không gian Sobolev, định lý vết, bất đẳng thức Poincare, công thức Green. • Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa: Phát biểu các bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất và các công thức yếu tương ứng. Trình bày về toán tử song điều hòa, phương trình song điều hòa và các loại điều kiện biên. • Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp: Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử, định lý cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp. 1.2 Kết quả bổ trợ Với mục đích đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về các bài toán biên hỗn hợp yếu nên nhiệm vụ đầu tiên của luận án là: Xây dựng một thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số. Trên cơ sở của phương pháp thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev, trong phần này giới thiệu tóm tắt về các kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009. Đây là một công cụ quan trọng để thực hiện việc cài đặt các thuật toán được đề xuất trong chương 2 và chương 3. Các kết quả xây dựng thư viện chương trình đã được công bố trong công trình [6]. Kết luận. Chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, các khái niệm và công thức yếu cho các bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất, phương trình song điều hòa và các điều kiện biên thường gặp trong các ứng dụng, lý thuyết về các sơ đồ lặp của Samarskii-Nikolaev và sự hội tụ của các sơ đồ lặp. Đặc biệt, luận án đã đưa ra các kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009 giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu của phương trình elliptic cấp hai với hệ số hằng trong miền chữ nhật với các loại điều kiện biên khác nhau. Đây là một công cụ quan trọng để cài đặt thử nghiệm tất cả các thuật toán được đề xuất để giải các bài toán được xét đến trong các chương sau. Các kết quả đã đưa ra trong 3
chương 1 là nền tảng quan trọng cho việc trình bày các nội dung nghiên cứu về lý thuyết và thực nghiệm trong các chương tiếp theo của luận án. Chương 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách, giải bài toán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn là mô hình toán học của bài toán mặt phân cách và phương pháp lặp song song giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Các kết quả này đã được công bố trong các công trình [1] và [4]. 2.1. Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 2.1.1. Mô hình bài toán mặt phân cách Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) là bài toán biên elliptic, trong đó các hệ số của phương trình hoặc hàm vế phải bị gián đoạn qua một hoặc vài mặt phân cách giữa các vật liệu xuất phát từ tính chất vật lý của bài toán. Bài toán này thường dẫn tới phương trình elliptic dạng: Lu := −∇(k(x)∇u(x)) = f (x), x ∈ Ω, (2.1.1) với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trong đó, x = (x1 , x2 ), Ω là miền giới nội trong R2 với biên ∂Ω, hệ số k(x) = (k1 (x), k2 (x)) là hàm số gián đoạn qua mặt phân cách Γ ⊂ Ω. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu u ∈ H01 của bài toán Dirichlet (2.1.1) đã được đưa ra trong sách của Gilbarg và Trudinger. 2.1.2. Một số hướng tiếp cận Để giải bài toán mặt phân cách, một số các phương pháp khá hiệu quả đã được nghiên cứu như: Các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp sử dụng các phép nhúng,...Phần này trình bày một phương pháp giải bài toán mặt phân cách trên cơ sở phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm trên các biên phân cách, từ đó đưa bài toán mặt phân cách trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toán con trong các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục. Sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh bằng lý thuyết và được thử nghiệm qua nhiều ví dụ. Kết quả này đã được công bố trong công trình [1]. 2.1.3. Phương pháp lặp Phát biểu bài toán Xét bài toán ∂ ∂u ∂ ∂u Lu := − k1 (x) − k2 (x) + a(x)u = f (x), x ∈ Ω, (2.2.1) ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂u [u]Γ = ψ1 , = ψ2 , (2.2.2) ∂νL Γ u = ϕ, x ∈ ∂Ω, (2.2.3) 4
trong đó x = (x1 , x2 ), Ω là miền giới nội trong R2 với biên ∂Ω, các hệ số k1 (x) và k2 (x) gián đoạn qua mặt phân cách Γ, kí hiệu [u]Γ là bước nhảy của u qua mặt phân cách, ∂u/∂νL là đạo hàm theo hướng của u gắn với toán tử L được xác định bởi công thức ∂u ∂u ∂u = k1 cos(n, x1 ) + k2 cos(n, x2 ), ∂νL ∂x1 ∂x2 n là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của biên. Điều kiện trong (2.2.2) mô tả bước nhảy của nghiệm u và đạo hàm của u qua mặt phân cách Γ. Để giải bài toán mặt phân cách (2.2.1)- (2.2.3) dựa trên ý tưởng của phương pháp chia miền, thay vì giải bài toán lớn phức tạp trên một miền, có thể giải một số các bài toán đơn giản hơn trên các miền con. Chia miền Ω thành hai miền con không giao nhau Ω1 và Ω2 với biên phân cách Γ. Ký hiệu Γ1 = ∂Ω1 \Γ, Γ2 = ∂Ω2 \Γ, ui = u |Ωi , fi = f |Ωi k1i = k1 (x), k2i = k2 (x), x ∈ Ωi , i = 1, 2 và ký hiệu ni là pháp tuyến ngoài của Γ so với Ωi . Khi đó đạo hàm pháp tuyến của ui trên Γ là ∂ui ∂ui ∂ui = k1i cos(ni , x1 ) + k2i cos(ni , x2 ). ∂νLi ∂x1 ∂x2 với giả thiết 0 < b1 6 k1 (x), k2 (x) 6 b2 , a(x) > 0. Mô tả phương pháp Xét sơ đồ lặp tìm hàm g = ∂u1 /∂νL1 trên biên Γ. (i) Xuất phát từ một giá trị xấp xỉ g (0) trên Γ, ví dụ, g (0) = 0 trên Γ. (ii) Biết g (k) , (k = 0, 1, 2, ...) trên Γ, giải lần lượt hai bài toán (k) Lu1 = f1 trong Ω1 , (k) u1 = ϕ trên Γ1 , (2.2.6) (k) ∂u1 = g (k) trên Γ, ∂νL1 (k) Lu2 = f2 trong Ω2 , (k) u2 = ϕ trên Γ2 , (2.2.7) (k) (k) u2 = u1 + ψ1 trên Γ. (iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới (k) ∂u g (k+1) = (1 − τ )g (k) − τ 2 + τ ψ2 , (2.2.8) ∂νL2 trong đó τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn. Nghiên cứu sự hội tụ Giả thiết về tính trơn của các dữ kiện như sau: fi ∈ L2 (Ωi ), (i = 1, 2), ϕ ∈ H 1/2 (∂Ω), ψ1 ∈ H 1/2 (Γ), ψ2 ∈ H −1/2 (Γ), trong đó H s (G) là không gian Sobolev. Với các giả thiết này, theo Aubin các bài toán (2.2.6), (2.2.7) có nghiệm duy nhất uki ∈ H 1 (Ωi , L), trong đó H 1 (Ωi , L) = {v ∈ H 1 (Ωi )|Lu ∈ L2 (Ωi )} và theo định lý vết, ta có g (k+1) ∈ H −1/2 (Γ). Giả sử bài toán mặt phân cách 5
(2.2.1)-(2.2.3) có nghiệm duy nhất u và ui = u|Ωi ∈ H 1 (Ωi , L). Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp, ta viết lại công thức (2.2.8) dưới dạng (k) g (k+1) − g (k) ∂u + g (k) + 2 = ψ2 . (2.2.9) τ ∂νL2 (k) (k) Đặt ei = ui − ui , (i = 1, 2) và ξ (k) = g (k) − g , ta có (k) ξ (k+1) − ξ (k) ∂e + ξ (k) + 2 = 0. (2.2.13) τ ∂ν2 Đưa vào toán tử biên Si tác động lên hàm ξ bởi công thức Si ξ = ∂vi /∂νi , (i = 1, 2) trong đó vi là nghiệm của bài toán Lvi = 0 trong Ωi , vi = 0 trên Γi , (2.2.15) vi = ξ trên Γ. Các toán tử này là các toán tử Steklov-Poincare, vi là sự mở rộng toán tử L của ξ từ Γ tới Ωi . Ta viết vi = Li ξ , khi đó toán tử nghịch đảo Si−1 của Si được xác định là Si−1 η = wi , trong đó wi là nghiệm của bài toán Lwi = 0 trong Ωi , wi = 0 trên Γi , (2.2.17) ∂wi = η trên Γ. ∂νi (k) (k) (k) Với cách định nghĩa toán tử như trên ta thu được e1 = S1−1 ξ (k) , S2 e1 = ∂e2 /∂νL2 . Do đó, có (k) thể viết công thức (2.2.13) dưới dạng (ξ (k+1) − ξ (k) )/τ + ξ (k) + S2 e1 = 0. Tác động S1−1 lên hai vế của đẳng thức trên, ta có (k+1) (k) e1 − e1 (k) (k) + e1 + S1−1 S2 e1 = 0. τ Do đó (k+1) (k) e1 = (I − τ B) e1 , (2.2.20) trong đó B = I +S1−1 S2 . Để thiết lập sự hội tụ của quá trình lặp (2.2.6)-(2.2.8), hoặc sơ đồ lặp tương đương (2.2.20) ta xét toán tử B trong một không gian hàm thích hợp. Toán tử Si , (i = 1, 2) tác 1/2 −1/2 động giữa không gian H = H00 (Γ) = {v |Γ : v ∈ H01 (Ω)} và không gian đối ngẫu H0 = H00 (Γ). Từ công thức nghiệm yếu (2.2.15), ta có định nghĩa tương đương của các toán tử Si Z ∂(Li ξ) ∂(Li η) ∂(Li ξ) ∂(Li η) hSi ξ, ηiH,H0 = k1i + k2i dx, ∀ξ, η ∈ H. (2.2.22) Ωi ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 Trong trường hợp, nếu Si ξ ∈ L2 (Γ) ta có hSi ξ, ηiH0 ,H = (Si ξ, η)L2 (Γ) . Do đó, Si là đối xứng và xác định dương (trong 2.2.3). Vì vậy, hS1 ξ, ηiH,H0 xác định một tích vô hướng của ξ, η ∈ H và 6
chuẩn sinh bởi tích vô hướng này là tương đương với chuẩn của H 1/2 (Γ). Ký hiệu tích vô hướng này và chuẩn tương ứng bởi (., .)S1 và k.kS1 . Với (ξ, η)S1 = hS1 ξ, ηiH0 ,H , ta có (Bξ, η)S1 = S1 (I + S1−1 S2 )ξ, η H0 ,H = hS1 ξ, ηiH0 ,H + hS2 ξ, ηiH0 ,H . Vì S1 và S2 là đối xứng, toán tử B là đối xứng. Hơn nữa, giả sử khi chia Ω thành hai miền con Ω1 và Ω2 , tồn tại các hằng số 0 < m 6 M sao cho hS2 ξ, ξiH0 ,H m6 6 M, ∀ξ ∈ H. (2.2.26) hS1 ξ, ξiH0 ,H Khi đó (1 + m)I 6 B 6 (1 + M )I trong không gian năng lượng của S1 . Theo lý thuyết tổng quát của lược đồ lặp hai lớp, nếu 2 0
(k)
(0)
Giá trị này của τ thỏa mãn đánh giá e1
≤ ρ(k) e1
, trong đó Γ S1 Γ S1 M −m ρ= . (2.2.34) 2+m+M Theo các chuẩn tương đương ||.||S1 và ||.||H 1/2 (Γ) , từ (2.2.28) ta thu được
(k) (0)
ei 1 ≤ Cρk e1
, (2.2.35) H (Ωi ) Γ H 1/2 (Γ) Định lý 2.2.1. Theo giả thiết (2.2.26) về các miền con Ω1 và Ω2 , phương pháp lặp (2.2.6)-(2.2.8) giải bài toán (2.2.1)-(2.2.3) hội tụ nếu tham số lặp τ thỏa mãn điều kiện (2.2.27). Và với giá trị tối (k) (k) ưu τopt cho bởi (2.2.32) ta có ước lượng (2.2.35) cho các sai số, trong đó ei = ui − ui và ρ được tính bởi (2.2.34). 2.1.4. Một trường hợp riêng Xét trường hợp khi Ω là miền chữ nhật [0, 1] × [0, b] được chia thành hai miền con Ω1 và Ω2 bởi biên phân cách Γ = {x1 = r, 0 6 x2 6 b}, 0 < r < 1. Các hệ số a(x) = 0 và k1 (x), k2 (x) được cho như sau  k , x ∈ Ω 11 1 k1 (x) = , k2 (x) = 1, x ∈ Ω k , x ∈ Ω 12 2 trong đó k11 , k12 là các hằng số dương. Bằng phương pháp tách biến ta tìm được nghiệm của bài toán và thiết lập được công thức cho tham số lặp tối ưu 2 τopt = . πr  r tanh √ k11  b k11  2+  1 +  π (1 − r)  k12  tanh √ b k12 7
2.1.5. Các ví dụ thử nghiệm Ví dụ 2.1.3. Xét bài toán trong miền Ω = [0, 1] × [0, 1] biết nghiệm đúng là ( (x21 + 1) ex2 trong Ω1 = [0, r] × [0, 1] , u (x1 , x2 ) = (x21 + x1 + 0.5) ex2 trong Ω2 = [r, 1] × [0, 1] . với điều kiện biên Dirichlet và các hệ số là các hằng số ( 2, x ∈ Ω1 k1 (x) = , k2 (x) = 1 trong Ω. 1, x ∈ Ω2 Sự hội tụ của quá trình lặp tương ứng với các trường hợp r = 0.5 và một trường hợp r = 0.3 được cho trong các Bảng 2.1 và Bảng 2.2 cùng với các đồ thị nghiệm tương ứng được cho trong các Hình 2.2 và Hình 2.3 (trong mục 2.2.5 của luận án). Hình 2.3: Đồ thị nghiệm tương ứng với r = 0.3. Ví dụ 2.1.4. Thử nghiệm phương pháp lặp với bài toán trên trong miền hình học phức tạp nhận được kết quả về sự hội tụ với tham số lặp tốt nhất là 0.6 như ví dụ trên. Hình 2.5. Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong miền dạng L. Ví dụ 2.1.5. Áp dụng phương pháp lặp cho mô hình bài toán truyền nhiệt trong môi trường 3 lớp không đồng nhất với lớp cách nhiệt có độ dày hữu hạn (Hình 2.6) thu được nghiệm xấp xỉ sau 7 bước lặp với sai số so với nghiệm đúng là 10−4 . Đồ thị nghiệm xấp xỉ được cho trong Hình 2.7. Kết quả này tương tự như kết quả mà các tác giả Seyidmamedov và Ozbilge đã tìm được bằng phương pháp sai phân trên lưới không đều. Các kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp lặp được đề xuất để giải bài toán mặt phân cách với mục đích đưa bài toán mặt phân cách về một dãy các bài toán trên các miền con đã chứng tỏ được một số ưu điểm: Có thể tận dụng được những thuật toán với độ chính xác cao có sẵn để giải các bài toán con này, sự hội tụ nhanh của phương pháp cũng đã được chứng minh và kiểm tra qua các ví dụ thử nghiệm. Hơn nữa, phương pháp lặp này còn đặc biệt hiệu quả khi miền tính toán bao gồm các hình chữ nhật, khi đó miền tính toán sẽ được chia thành nhiều miền con và mỗi bài toán 8
Hình 2.7. Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán trong môi trường 3 lớp không đồng Hình 2.6. Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ . nhất. bậc hai trong các miền con sẽ được giải bằng các phần mềm hiệu quả có sẵn. 2.2. Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh đối với phương trình elliptic Phần này trình bày một phương pháp lặp song song mới đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về một dãy các bài toán hỗn hợp yếu, dễ giải. Sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh và các thử nghiệm tính toán cũng được thực hiện để kiểm tra hiệu quả của phương pháp. Kết quả đã được công bố trong công trình [4]. 2.2.1. Mô tả phương pháp Trong miền chữ nhật Ω = {(x1 , x2 ) | 0 < x1 < l1 , 0 < x2 < l2 } với biên ∂Ω được cấu thành từ hai phần biên ΓN = {(x1 , 0) | a < x1 < l1 } và ΓD = ∂Ω\ΓN , xét bài toán biên hỗn hợp mạnh có dạng: Lu = f (x), x ∈ Ω, u = g(x), x ∈ ΓD , (2.3.1) ∂u = ϕ(x), x ∈ ΓN . ∂ν trong đó L là toán tử elliptic ∂ ∂u ∂ ∂u Lu ≡ − a1 (x) − a2 (x) , ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ai (x) > ci > 0, (i = 1, 2). Chia miền Ω thành hai miền con Ω1 và Ω2 bởi đường thẳng x1 = a và biên phân cách các miền con là Γ. Ký hiệu biên của miền Ωi bởi ∂Ωi , (i = 1, 2) và ΓD1 = ∂Ω1 ∩ ΓD , ΓD2 = ∂Ω2 ∩ ΓD , u = (u1 , u2 ), với ui là nghiệm trong miền Ωi , νi là pháp tuyến ngoài của ∂Ωi , (i = 1, 2). Bài toán (2.3.1) giải được nếu tìm được ∂u1 /∂ν1 trên Γ. Đặt ∂u1 /∂ν1 = ψ trên Γ, khi đó sơ đồ lặp song song tìm ψ như sau: (i) Cho trước ψ (0) ∈ L2 (Γ), chẳng hạn ψ (0) = 0, x ∈ Γ. (ii) Với mỗi giá trị ψ (k) , k = (0, 1, 2, ...) trên Γ tiến hành giải song song các bài toán hỗn hợp yếu (k) Lu1 = f trong Ω1 , (k) u1 = g trên ΓD1 , (2.3.3) (k) ∂u1 = ψ (k) trên Γ, ∂ν1 9
(k) Lu2 = f trong Ω2 , (k) ∂u2 = ϕ trên ΓN , ∂ν2 (k) (2.3.4) u2 = g trên ΓD2 , (k) ∂u2 = −ψ (k) trên Γ, ∂ν2 (iii) Hiệu chỉnh xấp xỉ mới ψ (k+1) = ψ (k) − τ [u(k) ]Γ trên Γ. (2.3.5) (k) (k) trong đó u(k) Γ = u1 |Γ −u2 |Γ và τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn. 2.2.2. Nghiên cứu sự hội tụ Đưa vào toán tử biên B xác định trên L2 (Γ) bởi công thức Bh = [w]Γ , trong đó [w]Γ = w1 |Γ − w2 |Γ , w1 và w2 là nghiệm của các bài toán     Lw2 = 0 trong Ω2 , Lw1    = 0 trong Ω1 ,   ∂w2 = 0 trên ΓN ,      ∂w  1 = h trên Γ, ∂ν2    ∂ν 1   w2 = 0 trên ΓD2 , w1  = 0 trên ΓD1 ,    ∂w2 = −h trên Γ.   ∂ν2  Mệnh đề 2.2.1. Toán tử B là đối xứng và dương trong L2 (Γ) và B là một ánh xạ hoàn toàn liên tục từ L2 (Γ) vào H 1 (Γ). Tiếp theo, ta đưa bài toán tìm hàm ψ = ∂u1 /∂ν1 trên Γ về một phương trình toán tử với toán tử B . Bψ = F, (2.3.12) Mệnh đề 2.2.2. Hàm ψ = ∂u1 /∂ν1 , trong đó u1 là nghiệm của bài toán (2.3.1) trên Ω1 là nghiệm của phương trình toán tử (2.3.12). Xét lược đồ lặp giải (2.3.12) ψ (k+1) − ψ (k) + Bψ (k) = F, (k = 0, 1, 2, ...) (2.3.14) τ Mệnh đề 2.2.3. Quá trình lặp (2.3.3)-(2.3.5) là sự thực hiện lược đồ lặp (2.3.14). Giả sử f ∈ L2 (Ω), g ∈ H 1 (ΓD ) và ϕ ∈ L2 (ΓN ). Với các kết quả đã chứng minh ở trên về tính chất của toán tử B , ta có định lý: Định lý 2.2.4. Lược đồ lặp (2.3.14) hội tụ trong L2 (Γ) nếu 0 < τ < 2/ kBk. 2.2.3. Một trường hợp riêng Đánh giá ||B|| khi toán tử vi phân L là toán tử Laplace và đặt l1 = l2 = 1. tanh(πa) tanh(π(1 − a)/2) kBk ≤ γ2 (a), với γ2 (a) = + . π π/2 Với bất cứ 0 6 a 6 1 thì γ2 (a) 6 0.7455. Đánh giá trên của kBk và Định lý 2.3.4 bảo đảm rằng, nếu 0 < τ < 2.6826 thì quá trình lặp (2.3.3)-(2.3.5) hội tụ. 10