Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC<br /> VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM<br /> <br /> HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ<br /> <br /> ……..….***…………<br /> <br /> TRẦN ĐÌNH HÙNG<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP HỆ VÔ HẠN GIẢI GẦN ĐÚNG<br /> MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH<br /> TRONG MIỀN KHÔNG GIỚI NỘI<br /> <br /> Chuyên ngành: Toán ứng dụng<br /> Mã số: 62 46 01 12<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Hà Nội – 2016<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Đặng Quang Á<br /> <br /> Phản biện 1: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn<br /> Phản biện 2: PGS. TS. Hoàng Văn Lai<br /> Phản biện 3: TS. Nguyễn Công Điều<br /> <br /> Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học<br /> viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ<br /> Việt Nam vào hồi … giờ …, ngày … tháng … năm 201….<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận án tại:<br /> - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ<br /> - Thư viện Quốc gia Việt Nam<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Nhiều bài toán vật lý, cơ học, môi trường, . . . được đặt ra trong các miền không<br /> giới nội (hay còn gọi là các miền vô hạn), chẳng hạn, bài toán truyền nhiệt trong<br /> thanh dài vô hạn hoặc nửa vô hạn, bài toán lan truyền khí thải trong khí quyển,<br /> bài toán thăm dò địa chất bằng điện trường, bài toán lan truyền sóng trong các<br /> lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý chất rắn, hải dương học, khí tượng học,<br /> điện từ, ... Để giải quyết các bài toán này, người ta thường hạn chế xét bài toán<br /> trong miền giới nội và sử dụng nhiều phương pháp đã có để tìm nghiệm chính xác<br /> hoặc nghiệm gần đúng trong miền hữu hạn này. Khi đó một loạt vấn đề đặt ra là<br /> xét miền rộng bao nhiêu là đủ và đặt điều kiện trên biên ảo như thế nào để thu<br /> được nghiệm gần đúng xấp xỉ tốt nghiệm của bài toán trong miền không giới nội.<br /> Cách làm đơn giản nhất là chuyển nguyên điều kiện biên tại vô cùng vào biên ảo.<br /> Cách làm thô thiển này tất nhiên có thể dẫn đến sự sai khác lớn của nghiệm bài<br /> toán gốc. Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên điều kiện biên người ta tìm cách<br /> đặt điều kiện biên thích hợp trên biên ảo. Những điều kiện biên này được gọi là<br /> điều kiện biên nhân tạo hay điều kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing<br /> boundary condition) khi một số "năng lượng" bị hấp thụ trên biên. Hiện nay, hầu<br /> hết các kỹ thuật được áp dụng để thiết lập ABC có thể chia thành hai cách thực<br /> hiện: Cách thứ nhất (ABC toàn cục), ABC thường được cho dưới dạng các biểu<br /> thức tích phân trên biên ảo. ABC toàn cục thường đạt được độ chính xác cao và<br /> thuật toán số tin cậy nhưng lại khá phức tạp và khó thực hiện tính toán. Cách<br /> thứ hai (ABC địa phương), ABC thường được cho dưới dạng một phương trình<br /> trên biên ảo. ABC địa phương có thuật toán đơn giản, dễ dàng thực hiện giải<br /> số tuy nhiên chúng lại có độ chính xác không cao bằng. Tsynkov đã thực hiện<br /> so sánh một số bài toán đánh giá sự khác biệt của hai cách thực hiện trên. Nếu<br /> nghiệm xấp xỉ hạn chế trên miền giới nội trùng với nghiệm chính xác trên miền<br /> không giới nội thì các ABC này được gọi là các ABC chính xác hay điều kiện biên<br /> trong suốt (transparent boundary condition).<br /> Trong các bài toán về phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địa chấn,...),<br /> ABC thường được đề cập đến như các điều kiện biên không phản xạ (NRBC)<br /> (non-reflecting boundary condition). Chúng được xây dựng với mục đích xấp xỉ<br /> nghiệm chính xác của bài toán trong miền không giới nội giới hạn trong miền giới<br /> nội. Sử dụng NRBC, miền không giới nội được chia thành hai phần, miền hữu<br /> hạn tính toán và miền vô hạn còn lại. Điều kiện biên đặc biệt được thiết lập trên<br /> ABC đảm bảo nghiệm trong miền hữu hạn là duy nhất và không có (hoặc rất<br /> ít) sự phản xạ của sóng ảo xảy ra từ ABC. Đây là hướng nghiên cứu được rất<br /> 1<br /> <br /> nhiều nhà toán học, cơ học, vật lý quan tâm. Các ABC chính xác được nghiên<br /> cứu cho phương trình truyền nhiệt, phương trình khuếch tán-truyền tải, phương<br /> trình Schrodinger, ...<br /> Trong các bài toán trong miền không giới nội sử dụng ABC, có một nhận xét<br /> rằng trong các giả thiết của bài toán gốc, hàm vế phải và các điều kiện biên ban<br /> đầu thông thường được giả thiết có giá compact trong không gian. Đây là điều<br /> kiện quan trọng trong việc chia miền không giới nội thành hai miền tính toán con<br /> giới nội và không giới nội trong các phương pháp sử dụng ABC.<br /> Gần đây một số nhà toán học Nga đã đề xuất một cách xử lý mới các bài toán<br /> trong miền vô hạn, đó là sử dụng lưới tính toán tựa đều. Phương pháp này dựa<br /> trên việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tới miền giới nội. Một lưới<br /> đều trong miền bị chặn ánh xạ tới một lưới không đều được gọi là lưới tựa đều<br /> trong miền vô hạn. Theo lưới tựa đều, điều kiện biên tại vô cùng được xử lý một<br /> cách dễ dàng. Ý tưởng của phương pháp này xuất hiện từ những năm bảy mươi<br /> của thế kỷ trước nhưng việc sử dụng nó để giải các bài toán trong miền không<br /> giới nội chỉ mới cách đây hơn một thập kỷ.<br /> Khác với các cách làm trên, chúng tôi tiếp cận tới các bài toán biên tuyến tính<br /> trong miền không giới nội bởi hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Nói<br /> chính xác hơn là chúng tôi xây dựng lược đồ sai phân của bài toán trong toàn<br /> miền không giới nội và giải hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính thu được<br /> thông qua việc chặt cụt hệ phương trình vô hạn, thu được nghiệm của bài toán sai<br /> phân với sai số cho trước. Một số kết quả đối với các bài toán ô nhiễm khí quyển<br /> dừng và một số bài toán không dừng một chiều không gian đã được công bố. Gần<br /> đây, chúng tôi đã phát triển thành công phương pháp cho một bài toán elliptic<br /> trong nửa dải. Cụ thể là, sau khi rời rạc hóa bài toán bởi phương pháp sai phân,<br /> sử dụng ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểu diễn tổng chúng tôi đã đưa<br /> được hệ vô hạn phương trình véc tơ ba điểm về các hệ phương trình sai phân vô<br /> hướng ba điểm và thu nhận được nghiệm gần đúng của bài toán với sai số cho<br /> trước. Cần nhấn mạnh ở đây rằng, trong phương pháp này các hàm vế phải và<br /> các điều kiện ban đầu không cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên quyết<br /> trong các phương pháp sử dụng ABC. Có thể nói đây là một phương pháp mới,<br /> áp dụng có hiệu quả đối với các bài toán trong miền không giới nội mà phương<br /> trình cuối được đưa về dạng hệ phương trình vô hạn ba điểm. Phương pháp này<br /> cũng có thể được sử dụng một cách linh hoạt khi kết hợp với các phương pháp<br /> khác như phương pháp chia miền giải các bài toán biên hỗn hợp mạnh trong miền<br /> không giới nội. Hơn nữa, thuật toán số có thể dễ dàng lập trình tính toán trên<br /> máy tính điện tử. Tuy nhiên chúng tôi mới chỉ áp dụng thành công phương pháp<br /> này cho các bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội.<br /> Những đóng góp mới của luận án:<br /> - Đề xuất phương pháp hệ vô hạn giải một số bài toán một chiều trong nửa trục.<br /> - So sánh phương pháp hệ vô hạn trên lưới không đều có cấu trúc và phương pháp<br /> lưới tựa đều.<br /> - Thiết lập sự ổn định và hội tụ của một phương trình elliptic trong nửa dải, đề<br /> xuất phương pháp đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ phương trình vô<br /> hướng ba điểm.<br /> 2<br /> <br /> - Đề xuất phương pháp lặp giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh<br /> trong nửa dải.<br /> - Đề xuất một phương pháp số giải một bài toán song điều hòa trong nửa dải.<br /> Nội dung luận án gồm 3 chương:<br /> Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một<br /> số kiến thức cơ bản về phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vô hướng ba<br /> điểm, hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa đều và giới thiệu về thư<br /> viện chương trình giải số bài toán elliptic với các điều kiện biên hỗn hợp yếu. Các<br /> kiến thức cơ bản và kết quả thu được trong chương 1 sẽ đóng vai trò rất quan<br /> trọng, làm nền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong chương 2 và chương<br /> 3.<br /> Chương 2 đề xuất phương pháp hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính<br /> và trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa đều giải một số bài toán một chiều<br /> trên nửa trục là mô hình của các quá trình vật lý như truyền nhiệt dừng, truyền<br /> nhiệt không dừng, bài toán mô phỏng hiện tượng sóng, so sánh phương pháp hệ<br /> vô hạn trên lưới đều, lưới không đều với các nút lưới tăng dần và phương pháp<br /> lưới tựa đều.<br /> Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về giải gần đúng một số bài toán<br /> hai chiều trong miền không giới nội. Đầu tiên chúng tôi giải một bài toán elliptic<br /> trong nửa dải, trong đó sử dụng ý tưởng của Polozhii trong phương pháp biểu<br /> diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm về hệ phương trình vô hướng<br /> ba điểm. Tiếp theo chúng tôi giải bài toán biên hỗn hợp mạnh trong nửa dải,<br /> trong đó có một điểm trên biên vô hạn phân cách các loại điều kiện biên, sử dụng<br /> phương pháp chia miền đưa về hai bài toán elliptic trong miền giới nội và miền<br /> không giới nội. Đồng thời trong chương này cũng trình bày phương pháp số giải<br /> bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu trong nửa dải thông qua<br /> việc giải hai bài toán cấp hai trong nửa dải.<br /> Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm<br /> tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính Intel Core<br /> i7-2670QM CPU 2.2GHz.<br /> <br /> 3<br /> <br />