Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hoá của một số lớp hệ 2-D rời rạc chứa tham số ngẫu nhiên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của Luận án nhằm đưa ra điều kiện cho sự tồn tại của điều khiển phản hồi tối ưu giải bài toán điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu của lớp hệ 2-D phi tuyến ngẫu nhiên dựa trên các kết quả đạt được về Định lí kiểu LaSalle. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hoá của một số lớp hệ 2-D rời rạc chứa tham số ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— NGUYỄN THỊ LAN HƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HOÁ CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ 2-D RỜI RẠC CHỨA THAM SỐ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2020
Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện PGS.TS Ngô Hoàng Long Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Khuất Văn Ninh Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 Phản biện 3: GS Cung Thế Anh Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội Vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 20... Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu định tính các hệ động lực mô tả bởi các phương trình vi phân. Trải qua lịch sử hơn 100 năm, cho đến nay, lý thuyết này vẫn đang là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động, được phát triển ngày càng sâu rộng và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật. Hệ 2-D nảy sinh trong nhiều mô hình vật lí, kỹ thuật, mà ở đó sự lan truyền thông tin/trạng thái xảy ra theo hai hướng độc lập. Mô hình hệ 2-D đã được ứng dụng để mô tả và phân tích tính chất của nhiều lớp hệ trong thực tiễn kỹ thuật như các hệ trong mạng viễn thông, xử lí ảnh, xử lí và truyền tín hiệu và đặc biệt trong việc thiết kế các lọc tín hiệu số đa chiều. Các mô hình ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật thường xuất hiện sai số trong xử lí số liệu, xấp xỉ tuyến tính, lỗi hoặc mất dữ liệu do truyền tải hay nhiễu từ môi trường. Các nhiễu này thường được mô tả bởi các quá trình tất định hoặc ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, do cấu trúc của hệ 2-D, việc nghiên cứu định tính các hệ 2-D có chứa nhiễu ngẫu nhiên trở nên khó khăn và phức tạp hơn nhiều so với các hệ phương trình vi-sai phân thường tương ứng. Hơn nữa, các mô hình trong thực tiễn kĩ thuật thường xuất hiện độ trễ thời gian. Sự xuất hiện của các độ trễ làm thay đổi dáng điệu nghiệm cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ, một đặc tính quan trọng có tính phổ dụng của các mô hình ứng dụng. Vì vậy, chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ứng dụng trong các mô hình điều khiển các hệ phương trình vi phân có trễ đã và đang là vấn đề nghiên cứu thu hút sự quan tâm của giới toán học và kỹ sư trong vài thập kỉ gần đây. Nhiều vấn đề mở vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu và phát triển. Luận án tập trung nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa của các lớp hệ 2-D với thời gian rời rạc có chứa tham số ngẫu nhiên. 1
2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu 2.1. Điều khiển `2 -`∞ bằng tín hiệu quan sát cho mô hình hệ 2-D mất dữ liệu ngẫu nhiên Xét hệ 2-D được mô tả bởi mô hình dạng Roesser " # " # xh (i + 1, j) xh (i, j) =A + B1 u(i, j) + B2 w(i, j) xv (i, j + 1) xv (i, j) " # (1) xh (i, j) y(i, j) = C + F w(i, j) xv (i, j) trong đó xh (i, j) ∈ Rnh , xv (i, j) ∈ Rnv là các vectơ trạng thái theo phương ngang và dọc; u(i, j) ∈ Rnu là điều khiển đầu vào, w(i, j) ∈ Rnd là nhiễu ngoại cảnh, y(i, j) ∈ Rno là vectơ đo được đầu ra và A, B1 , B2 , C, F là các h ma trận với số chiều i> thích hợp. Trong thực tiễn kĩ thuật, vectơ trạng thái x(i, j) = xh> (i, j) xv> (i, j) ∈ Rn (n = nh + nv ) không phải bao giờ cũng đo và lưu trữ được đầy đủ mà có thể chỉ quan sát được một phần x(i, j), tức là điều khiển phản hồi dạng u(i, j) = Kx(i, j) là không khả dụng. Chính vì vậy, từ tín hiệu đo được đầu ra, ta thường khuếch đại thành tín hiệu quan sát và phản hồi dạng u(i, j) = K xˆ(i, j). Trong chương này, chúng tôi thiết kế điều khiển dựa vào quan sát dạng Luenberger 2-D như sau " # " # xˆh (i + 1, j) xˆh (i, j) =A + L [y(i, j) − yˆ(i, j)] xˆv (i, j + 1) xˆv (i, j) (2) yˆ(i, j) = C xˆ(i, j) trong đó L ∈ Rn×no là ma trận đạt được của hàm quan sát và sẽ được thiết kế. Do hiện tượng mất dữ liệu ngẫu nhiên, tín hiệu điều khiển thực có dạng u(i, j) = ξ¯ij K xˆ(i, j) (3) ở đó ξ¯ij là dãy các biến ngẫu nhiên 2-D có phân phối Bernoulli nhận các giá trị {0, 1} với các xác suất tương ứng P[ξ¯ij = 1] = E[ξ¯ij ] = ρ P[ξ¯ij = 0] = 1 − E[ξ¯ij ] = 1 − ρ 2
trong đó ρ là hằng số dương. Tích hợp điều khiển bằng tín hiệu quan sát (2)-(3), hệ đóng của (1) được viết dưới dạng " # η h (i + 1, j) = (Ac + ξij Aˆc Πη(i, j) + Bw(i, j) Π η v (i, j + 1) (4) h i x(i, j) = J 0n×nv η(i, j) trong đó " # " # " # A ρB1 K 0 B1 K B2 Ac = , Aˆc = ,B = LC A − LC 0 0 LF " # " # Inh 0 0 J 0n×nv J= ,Π = . 0 0 Inv 0n×nh J Kí hiệu l2 và l∞ là không gian các dãy với các chuẩn tương ứng kwk2l2 = ∞ 2 P i,j=0 kw(i, j)k và kwk2l∞ = supi,j≥0 E kw(i, j)k2 . Chúng tôi thiết kế các ma trận đạt được K , L sao cho hệ đóng (4) khi không có nhiễu w là ổn định ngẫu nhiên và với một mức γ > 0 cho trước, dưới điều kiện ban đầu bằng 0, chuẩn trong l2 -l∞ của ánh xạ vào-ra Σ : w 7→ x của hệ (4) thoả mãn kxkl∞ kΣkl2 −l∞ , sup < γ. 06=w(·)∈l2 kwkl2 2.2. Tính ổn định `2 -`∞ của lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên EP (energy-to- peak) cho lớp hệ 2-D dạng Roesser với trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính trên cả vectơ trạng thái và vectơ đầu ra " # xh (i + 1, j) = Ax(i, j) + Ad xd (i, j) + Bw(i, j) xv (i, j + 1) ˆ j) + Aˆd xd (i, j) + Bw(i, ˆ + ξij Ax(i, j) (5a) z(i, j) = Cx(i, j) + Dxd (i, j) + F w(i, j) ˆ ˆ d (i, j) + Fˆ w(i, j) + θij Cx(i, j) + Dx (5b) ở đó xh (i, j) ∈" Rnh là# vectơ trạng thái v nv " ngang và x#(i, j) ∈ R là vectơ trạng thái xh (i, j) xh (i − dh (i), j) dọc, x(i, j) = và xd (i, j) = , w(i, j) ∈ Rno là nhiễu đầu vào xv (i, j) xv (i, j − dv (j)) thuộc không gian l2 , z(i, j) ∈ Rnz là vectơ đo được đầu ra. Trong mô hình (5a)-(5b), (1) (2) (n) (1) (2) (n ) (p) (q) ξij = diag{ξij , ξij , . . . , ξij } và θij = diag{θij , θij , . . . , θij z }, ở đó ξij và θij là các 3
nhiễu ngẫu nhiên 2-D độc lập với kì vọng bằng 0 và thoả mãn E[ξij(p) ξkl (p) (q) (q) ] = σp2 δik δjl , E[θij θkl ] = σ ˆq2 δik δjl (6) ở đó σp (p = 1, . . . , n) và σˆq (q = 1, . . . , nz ) là các hằng số dương cho trước, δik là hàm delta Kronecker. Các đại lượng trễ biến thiên theo hướng dh (i) and dv (j) thoả mãn dh ≤ dh (i) ≤ dh , dv ≤ dv (j) ≤ dv (7) ở đó dh , dh và dv , dv là các số nguyên biểu thị cận trên và cận dưới của trễ theo hai hướng ngang và dọc. Dựa trên lược đồ phân tích ổn định ở chương 3, chúng tôi đưa ra các điều kiện LMIs phụ thuộc trễ đảm bảo cho hệ (5a)-(5b) với nhiễu ngẫu nhiên (6) là ổn định ngẫu nhiên EP. 2.3. Tính ổn định và ổn định hoá của một số lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến: Cách tiếp cận bằng Định lí dạng LaSalle Xét lớp hệ 2-D ngẫu nhiên được mô tả bởi mô hình Roesser sau " # " # ! xh (i + 1, j) xh (i, j) =F (i, j), , u(i, j), βij (8a) xv (i, j + 1) xv (i, j) xh (0, j) = φ(j), xv (i, 0) = ψ(i) (8b) ở đó xh (i, j) ∈ Rnh là vectơ trạng thái ngang và xv (i, j) ∈ Rnv là vectơ trạng thái dọc, u(i, j) ∈ Rnc là điều khiển đầu vào, và βij là dãy vectơ ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) nhận giá trị trong Rd . Hàm phi tuyến F : N20 × Rn × Rnc × Rd → Rn là hàm đo được thoả mãn F (., 0, 0, .) = 0 (n = nh + nv ) và φ, ψ là các dãy xác định điều kiện ban đầu của hệ. Đối với hệ (8), điều khiển phản hồi trạng thái có dạng " #! xh (i, j) u(i, j) = u (9) xv (i, j) ở đó u là trường vectơ từ Rn vào Rnc với u(0) = 0. Khi đó, hệ đóng của (8) được viết lại dưới dạng " # " # ! xh (i + 1, j) xh (i, j) = Fu (i, j), , βij (10) xv (i, j + 1) xv (i, j) trong đó " # ! " # " #! ! xh (i, j) xh (i, j) xh (i, j) Fu (i, j), , βij =F (i, j), ,u , βij . xv (i, j) xv (i, j) xv (i, j) 4
Trong các hệ (8) và (10), dãy βij được xem như một quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số. Chúng tôi thiết lập các điều kiện để hệ đóng (10) là ổn định tiệm cận hầu chắc chắn. Cụ thể, áp dụng các Định lí giới hạn trong lý thuyết martingale, chúng tôi thiết lập Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D phi tuyến ngẫu nhiên được mô tả bởi mô hình Roesser. Trường hợp đặc biệt, chúng tôi đưa ra được Định lí kiểu Lyapunov cho sự hội tụ hầu chắc chắn của quỹ đạo nghiệm. Áp dụng các kết quả đạt được vào bài toán thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến và lớp hệ 2-D tuyến tính có chứa các đại lượng không chắc chắn và nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính. 4. Kết quả đạt được của luận án Luận án đạt được các kết quả chính sau đây 1. Dựa trên lược đồ phân tích ổn định kiểu Lyapunov cho lớp hệ 2-D với thời gian rời rạc, chúng tôi đưa ra các điều kiện ổn định khả dụng và thiết kế điều khiển bằng tín hiệu quan sát đảm bảo cho lớp hệ 2-D có nhiễu cảm sinh và nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính là `2 -`∞ ổn định với một biểu diễn cho trước. 2. Thiết lập lược đồ phân tích tính ổn định cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên có trễ biến thiên. Từ đó, chúng tôi đưa ra các điều kiện LMIs phụ thuộc trễ để đảm bảo cho hệ đã cho là ổn định ngẫu nhiên EP. 3. Chứng minh một Định lí kiểu LaSalle cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến dựa trên các Định lí hội tụ martingale rời rạc. Như một trường hợp riêng, chúng tôi đưa ra Định lí kiểu Lyapunov cho sự ổn định tiệm cận hầu chắn chắn của quỹ đạo nghiệm. 4. Đưa ra điều kiện cho sự tồn tại của điều khiển phản hồi tối ưu giải bài toán điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu của lớp hệ 2-D phi tuyến ngẫu nhiên dựa trên các kết quả đạt được về Định lí kiểu LaSalle. Từ đó, chúng tôi thiết lập các điều kiện thiết kế khả dụng cho vấn đề ổn định đảm bảo giá trị tối ưu cho các lớp hệ 2-D tuyến tính không chắc chắn có nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính. 5. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình đã công bố và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương. 5
Chương 1 trình bày các kết quả bổ trợ về giải tích ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, giải tích ma trận, cấc khái niệm cơ bản và kết quả liên quan đến lý thuyết ổn định Lyapunov cho một số lớp hệ với thời gian rời rạc. Chương 2 thiết lập điều khiển `2 -`∞ bằng tín hiệu quan sát cho lớp hệ 2-D dạng Roesser. Tín hiệu điều khiển chịu ảnh hưởng của hiện tượng mất dữ liệu ngẫu nhiên và hệ đóng được biểu diễn bởi lớp hệ 2-D có chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính xuất hiện đồng thời ở vectơ trạng thái và vectơ đầu ra. Cụ thể, áp dụng một số kĩ thuật trong lược đồ đánh giá của phương pháp hàm Lyapunov, chúng tôi đưa ra điều kiện phân tích ổn định và thiết kế điều khiển bằng tín hiệu quan sát dựa trên các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Chương 3 trình bày vấn đề ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính. Chúng tôi đưa ra lược đồ phân tích tính ổn định cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên có trễ. Kết quả này là một mở rộng của phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii. Chương 4 thiết lập Định lí kiểu LaSalle ngẫu nhiên cho lớp hệ 2-D phi tuyến chứa tham số ngẫu nhiên. Áp dụng các kết quả đạt được vào bài toán thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D ngẫu nhiên phi tuyến dạng Roesser. Trường hợp riêng, chúng tôi thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho lớp hệ 2-D tuyến tính không chắc chắn chứa nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính. 6
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về tính ổn định Lyapunov đối với hệ phương trình sai phân thường, hệ 1-D chứa tham số ngẫu nhiên, sơ lược về giải tích ngẫu nhiên và một số Bổ đề bổ trợ làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án trong các chương sau. 1.1. Biến ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên 1.2. Kì vọng 1.3. Kì vọng có điều kiện 1.4. Martingales 1.5. Lý thuyết ổn định 1.6. Phương pháp hàm Lyapunov 1.7. Lý thuyết Lyapunov đối với hệ 1-D ngẫu nhiên, rời rạc 1.8. Bổ đề phụ trợ 7
Chương 2 ĐIỀU KHIỂN `2 -`∞ BẰNG TÍN HIỆU QUAN SÁT CHO MÔ HÌNH HỆ 2-D TUYẾN TÍNH MẤT DỮ LIỆU NGẪU NHIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển `2 -`∞ bằng tín hiệu quan sát cho lớp hệ 2-D tuyến tính dạng Roesser. Tín hiệu điều khiển chịu ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tích do hiện tượng mất dữ liệu ngẫu nhiên trong quá trình truyền tải dữ liệu. Bên cạnh đó, do cấu trúc đặc thù của các hệ 2-D, vectơ trạng thái được đặc trưng bởi hai biến lan truyền thông tin theo hai hướng khác nhau nên việc thiết để điều khiển gặp nhiều phức tạp và thách thức so với các kết quả đã có. 2.1. Mô tả mô hình và phân tích sơ bộ Xét lớp hệ 2-D trong mô hình Roesser sau " # " # xh (i + 1, j) xh (i, j) =A + B1 u(i, j) + B2 w(i, j) xv (i, j + 1) xv (i, j) " # (2.1) xh (i, j) y(i, j) = C + F w(i, j) xv (i, j) trong đó xh (i, j) ∈ Rnh là vectơ trạng thái ngang và xv (i, j) ∈ Rnv là vectơ trạng thái dọc; u(i, j) ∈ Rnu là điều khiển đầu vào, w(i, j) ∈ Rnd là nhiễu ngoại cảnh, y(i, j) ∈ Rno là vectơ đo được đầu hra và A, B1 , B2 , C,iF là các ma trận với số chiều thích hợp. > Kí hiệu x(i, j) = xh> (i, j) xv> (i, j) ∈ Rn (n = nh + nv ) là vectơ trạng thái của hệ (2.1). Trong thực tế, không phải mọi trạng thái đều đo được, tức là vectơ x(i, j) không có sẵn để thiết kế điều khiển phản hồi dạng u(i, j) = Kx(i, j), ở đó K là ma trận đạt được cần thiết kế. Khi đó, việc thiết kế điều khiển dựa bằng tín hiệu quan sát có dạng u(i, j) = K xˆ(i, j), ở đó xˆ(i, j) là vectơ quan sát. Trong chương này, chúng tôi xét hệ quan sát 2-D dạng Luenberger sau " # " # xˆh (i + 1, j) xˆh (i, j) =A + L [y(i, j) − yˆ(i, j)] xˆv (i, j + 1) xˆv (i, j) (2.2) yˆ(i, j) = C xˆ(i, j) với L ∈ Rn×no là ma trận đạt được của hàm quan sát và sẽ được thiết kế. 8
Các mô hình ứng dụng từ thực tiễn kĩ thuật thường xảy ra hiện tượng mất dữ liệu ngẫu nhiên. Khi đó, tín hiệu điều khiển thực có dạng u(i, j) = ξ¯ij K xˆ(i, j) (2.3) trong đó ξ¯ij là dãy các biến ngẫu nhiên 2-D Bernoulli nhận giá trị trong {0, 1} với các xác suất tương ứng P[ξ¯ij = 1] = E[ξ¯ij ] = ρ P[ξ¯ij = 0] = 1 − E[ξ¯ij ] = 1 − ρ ở đó ρ là một hằng số cho trước. Đặt η = col{xh , xˆh , xv , xˆv } và ξij = ξ¯ij − ρ. Để thuận tiện, ta kí hiệu σ = p ρ(1 − ρ) khi đó E[ξij2 ] = σ 2 . Kết hợp với điều khiển bằng tín hiệu quan sát (2.2)-(2.3), hệ đóng của (2.1) được viết lại dưới dạng " # η h (i + 1, j) = (Ac + ξij Aˆc Πη(i, j) + Bw(i, j) Π η v (i, j + 1) (2.4) h i x(i, j) = J 0n×nv η(i, j) ở đó " # " # " # A ρB1 K 0 B1 K B2 Ac = , Aˆc = ,B = LC A − LC 0 0 LF " # " # Inh 0 0 J 0n×nv J= ,Π = . 0 0 Inv 0n×nh J Gọi l2 và l∞ là không gian các dãy với chuẩn tương ứng ∞ X kwk2l2 = kw(i, j)k2 và kwk2l∞ = sup E{kw(i, j)k2 }. i,j≥0 i,j=0 Mục đích chính là thiết kế các ma trận đạt được K , L sao cho hệ đóng (2.4) khi không có nhiễu ngoại cảnh là ổn định ngẫu nhiên và với một mức γ > 0 cho trước, dưới điều kiện ban đầu không, chuẩn trong l2 -l∞ của ánh xạ vào-ra Σ : w 7→ x của hệ (2.4) thoả mãn kxkl∞ kΣkl2 −l∞ , sup < γ. 06=w(·)∈l2 kwkl2 9
2.2. Phân tích ổn định Vì ma trận Π là khả nghịch, Π−1 = Π> nên hệ (2.4) được nhúng vào lớp các hệ 2-D có nhiễu ngẫu nhiên nhân tính sau " # " # η h (i + 1, j) η h (i, j) ˆ = (A + βij A) ˆ + (B + βij B)w(i, j) η v (i, j + 1) η v (i, j) " # (2.5) η h (i, j) ˆ z(i, j) = (C + ζij C) ˆ + (D + ζij D)w(i, j) η v (i, j) trong đó w biểu thị nhiễu ngoại cảnh thuộc không gian l2 , z(i, j) ∈ Rnz là vectơ đầu ra, A, Aˆ ∈ Rn×n , B , Bˆ ∈ Rn×nd , C , Cˆ ∈ Rnz ×n và D, D ˆ ∈ Rnz ×nd là các ma trận cho trước. n o n o (1) (n) βij = diag βij , . . . , βij và ζij = diag ζij(1) , . . . , ζij(nz ) , ở đó βij(p) (p = 1, 2, . . . , n) và (q) ζij (q = 1, 2, . . . , nz ) là các biến ngẫu nhiên 2-D độc lập với kì vọng 0 thoả mãn h i h i (p) (p) (q) (q) E βij βkl = σp2 δik δjl , E ζij ζkl ˆq2 δik δjl =σ (2.6) trong đó σp (p = 1, . . . , n) và σˆq (q = 1, . . . , nz ) là các hằng số dương cho trước. δik là hàm delta Kronecker. Điều kiện ban đầu của (2.5) được xác định bởi η h (0, j) = φ(j), η v (i, 0) = ψ(i), i, j ∈ N0 (2.7) trong đó φ(.) và ψ(.) là các dãy cho trước trong l2,E , nghĩa là, ∞ X E kφ(k)k2 + kψ(k)k2 < ∞. E(φ, ψ) , k=0 Hệ (2.5) khi w = 0 được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu với nghiệm bất kì x(i, j) của (2.5)-(2.6) thoả mãn ∞ X 2 E kη(i, j)k < ∞. (2.8) i,j=0 Định nghĩa 2.2.1 (`2 -`∞ ổn định). Hệ (2.5) với điều kiện ban đầu (2.7) được gọi là `2 -`∞ ổn định nếu sup E z > (i, j)z(i, j) < ∞ i,j≥0 với mọi nhiễu w ∈ l2 . Giả sử hệ (2.5) là `2 -`∞ ổn định. Chuẩn trong l∞ của z 1/2 kzkl∞ = sup E kz(i, j)k2 i,j≥0 là giá trị ngưỡng của z . Năng lượng của w ∈ l2 là chuẩn trong l2 của w. Do đó, với kzkl∞ điều kiện bằng 0 (i.e. φ = ψ = 0), đại lượng sup06=w∈l2 kwkl2 biểu diễn hiệu suất chuyển hóa năng lượng đầu vào-đầu ra của hệ (2.5). 10
Định nghĩa 2.2.2 (`2 -`∞ ổn định mức γ ). Cho trước γ > 0, hệ (2.5) được gọi là `2 -`∞ ổn định mức γ nếu biểu diễn EP không vượt quá γ . Nói cách khác, với điều kiện ban đầu không, khẳng định sau đúng với mọi nhiễu w ∈ l2 kzkl∞ ≤ γkwkl2 . Trong phần này, chúng tôi đưa ra các điều kiện để hệ (2.5) khi w = 0 là ổn định ngẫu nhiên và với γ > 0 cho trước, hệ đã cho là `2 -`∞ ổn dịnh mức γ . Định lí sau đưa ra lược đồ phân tích tính ổn định `2 -`∞ của hệ (2.5). Định lí 2.2.1. Với γ > 0 cho trước, giả sử tồn tại các hàm Vh (η h ), Vv (η v ) và các hằng số dương c1 , c2 , c3 thoả mãn các điều kiện sau (i) c1 kηk2 ≤ V (η) ≤ c2 kηk2 , ở đó η = [η h> η v> ]> và V (η) = Vh (η h ) + Vv (η v ); (ii) Sai phân riêng của hàm Vh (η h ) và Vv (η v ) dọc quỹ đạo nghiệm của hệ (2.5) thoả mãn E Vh (η h (i + 1, j))|Gij − Vh (η h (i, j)) + E [Vv (η v (i, j + 1))|Gij ] − Vv (η v (i, j)) ≤ w> (i, j)w(i, j) − c3 kη(i, j)k2 , (2.9) ở đó Gij là σ -đại số sinh bởi {βkl , ζkl } với (k, l) ∈ Ωij được định nghĩa bởi {(k, l) ∈ N20 : k ≤ i, l ≤ j}\{(i, j)}; (iii) Với nhiễu w khác không, khẳng định sau là đúng 2 E 2 kz(i, j)k − V (η(i, j))|Gij < w> (i, j)w(i, j). 2 γ Khi đó, hệ (2.5) là `2 -`∞ ổn định mức γ . Định lí 2.2.2. Với γ > 0 cho trước, giả sử tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Ph ∈ S+ + nh và Pv ∈ Snv thoả mãn các điều kiện LMI sau " # Ψ11 Ψ12 Ψ, 12 Ψ22 " # −Λ11 Λ12 Λ, 2 12 − γ2 I2nz ở đó " # n C D X (p) (p) Λ11 = diag{P, Ind }, Λ> 12 = , Ψ11 = A> P A + σp2 Aˆ> En P En Aˆ − P, Jσˆ Cˆ Jσˆ D ˆ p=1 11
n X n (p) (p) ˆ X (p) (p) > Ψ12 = A P B + σp2 Aˆ> En P En B, > Ψ22 = B P B + σp2 Bˆ> En P En Bˆ − Ind p=1 p=1 σq }, P = diag{Ph , Pv } Jσˆ = diag{ˆ và với p = 1, 2, . . . , n, En(p) là ma trận chéo mà chỉ thành phần thứ p bằng 1 còn lại bằng 0. Khi đó, hệ (2.5) là `2 -`∞ ổn định mức γ . 2.3. Thiết kế điều khiển Trong phần này, chúng tôi trình bày vấn đề thiết kế điều khiển bằng tín hiệu quan sát u(i, j) = ξ¯ij K xˆ(i, j), ở đó vectơ quan sát trạng thái xˆ(i, j) được xác định như trong (2.2) để đảm bảo cho hệ đóng(2.4) là `2 -`∞ ổn định và kΣkl2 −l∞ < γ với mức γ > 0 cho trước. Định lí 2.3.1. Giả sử ma trận C và phần bù trực giao F ⊥ của F tương ứng đủ hạng dòng và hạng cột. Khi đó, tồn tại điều khiển bằng tín hiệu quan sát (2.2) để hệ đóng (2.4) là `2 -`∞ ổn định nếu với γ > 0 cho trước, các điều kiện LMIs sau đây thỏa mãn với X ∈ D+ nu ×n và Z ∈ Rn×n n (nh , nv ), Z1 ∈ R 2   −X ∗ ∗ ∗  0 −(F ⊥ )> F ⊥ ∗   ∗    (CC > )−1 là nghịch đảo phải của C . 12
Chương 3 TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN EP CỦA LỚP HỆ 2-D TUYẾN TÍNH DẠNG ROESSER CÓ TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ biến thiên và nhiễu ngẫu nhiên dạng nhân tính trên cả vectơ trạng thái và vectơ đầu ra. Chúng tôi xây dựng lược đồ dạng tổng quát phân tích tính ổn định ngẫu nhiên EP cho lớp hệ này và đưa ra các điều kiện phụ thuộc độ trễ dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính cho tính ổn định của hệ. 3.1. Mô tả mô hình Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ và nhiễu ngẫu nhiên sau đây " # xh (i + 1, j) = Ax(i, j) + Ad xd (i, j) + Bw(i, j) xv (i, j + 1) ˆ + ξij [Ax(i, j) + Aˆd xd (i, j) + Bw(i, ˆ j)] (3.1a) z(i, j) = Cx(i, j) + Dxd (i, j) + F w(i, j) ˆ + θij [Cx(i, ˆ d (i, j) + Fˆ w(i, j)] j) + Dx (3.1b) ở đó xh (i,"j) ∈ Rn#h là vectơ trạng v nv " thái ngang và# x (i, j) ∈ R là vectơ trạng thái dọc, xh (i, j) xh (i − dh (i), j) x(i, j) = và xd (i, j) = , w(i, j) ∈ Rno là nhiễu đầu vào thuộc xv (i, j) xv (i, j − dv (j)) l2 , z(i, j) ∈ Rnz là vectơ đầu ra, A, Ad , Aˆ, Aˆd ∈ Rn×n (n = nh +nv ), B , B ˆ ∈ Rn×no , C , D, Cˆ , Dˆ ∈ Rnz ×n và F, Fˆ ∈ Rnz ×no là các ma trận cho trước. ξij = diag{ξ (1) , ξ (2) , . . . , ξ (n) } ij ij ij (1) (2) (n ) (p) (q) và θij = diag{θij , θij , . . . , θij z }, trong đó ξij and θij là các đại lượng “ồn trắng” 2-D độc lập có kì vọng 0 và thoả mãn E[ξij(p) ξkl (p) (q) (q) ˆq2 δik δjl ] = σp2 δik δjl , E[θij θkl ] = σ (3.2) ở đó σp (p = 1, . . . , n) và σˆq (q = 1, . . . , nz ) là các hằng số dương cho trước, δik là hàm delta Kronecker. Các trễ biến thiên dh (i) và dv (j) thoả mãn dh ≤ dh (i) ≤ dh , dv ≤ dv (j) ≤ dv (3.3) 13
Điều kiện đầu của hệ (3.1) được xác định xh (i, j) = φ(i, j), i ∈ Z[−dh , 0], j ∈ N0 xv (i, j) = ψ(i, j), i ∈ N0 , j ∈ Z[−dv , 0] (3.4) ở đó φ(i, .), i ∈ Z[−dh , 0], và φ(., j), j ∈ Z[−dv , 0] là các dãy thoả mãn ∞ X E kφ(., k)k2 + kψ(k, .)k2 < ∞ E(φ, ψ) , (3.5) k=0 trong đó kφ(., k)k = max kφ(i, k)k và kψ(k, .)k = max kψ(k, j)k. i∈Z[−dh ,0] j∈Z[−dv ,0] Định nghĩa 3.1.1 (Ổn định ngẫu nhiên). Hệ 2-D có trễ và nhiễu ngẫu nhiên nhân tính (3.1a)-(3.1b) khi w = 0 được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu nghiệm x(i, j) của (3.1a)-(3.1b) với điều kiện ban đầu (3.5) thoả mãn ∞ hX i > E x (i, j)x(i, j) < ∞. (3.6) i,j=0 Định nghĩa 3.1.2 (Hiệu suất EP). Cho trước hằng số γ > 0. Ta nói hệ (3.1a)-(3.1b) có hiệu suất EP mức γ (γ -EP) nếu tồn tại hằng số κ > 0 sao cho khẳng định sau đúng với mọi nhiễu w kzk2l∞ < γ 2 kwk2l2 + κE(φ, ψ). (3.7) Nhận xét 3.1.1. Kí hiệu Twz là toán tử vào-ra w đến z . Điều kiện (3.7) có thể được viết lại như sau. Với số dương γ > 0 và điều kiện ban đầu không (tức là φ = ψ = 0), chuẩn của Twz trong l2 -l∞ thoả mãn kzkl∞ kTwz kl2 −l∞ = sup < γ. 06=w(·)∈l2 kwkl2 Định nghĩa 3.1.3 (Ổn định ngẫu nhiên EP). Hệ (3.1a)-(3.1b) được gọi là ổn định ngẫu nhiên EP nếu hai điều kiện sau thoả mãn (i) Hệ (3.1a)-(3.1b) khi w = 0 là ổn định ngẫu nhiên và; (ii) Với hằng số γ > 0 cho trước, hệ (3.1a)-(3.1b) có hiệu suất γ -EP. 3.2. Lược đồ phân tích tính ổn định ngẫu nhiên EP eh (i, j) = {xh (i + k, j) : k ∈ Z[−dh , 0]} và x Để thuận tiện, kí hiệu x ev (i, j) = {xv (i, j + l) : l ∈ Z[−dv , 0]} là dãy vectơ trạng thái dọc theo hai hướng. Với hàm η : Z × Z → Rn , ta đặt ∂1 η(i, j) = η(i + 1, j) − η(i, j) và ∂2 η(i, j) = η(i, j + 1) − η(i, j). 14
eh (i, j)), Định lí 3.2.1. Giả sử với γ là số dương cho trước, tồn tại các hàm Vh (i, j) , Vh (x ev (i, j)) và các số dương λ1 , λ2 , λ3 thoả mãn các điều kiện sau Vv (i, j) , Vv (x (i) λ1 kxh (i, j)k2 ≤ Vh (i, j) ≤ λ2 sup−dh ≤k≤0 kxh (i + k, j)k2 , λ1 kxv (i, j)k2 ≤ Vv (i, j) ≤ λ2 sup−dv ≤k≤0 kxv (i, j + k)k2 . (ii) Sai phân riêng của các hàm Vh (i, j) và Vv (i, j) dọc quỹ đạo nghiệm của hệ (3.1a)- (3.1b) thoả mãn
E Vh (i + 1, j) + Vv (i, j + 1)
Fij − V (i, j) ≤ w> (i, j)w(i, j) − λ3 kx(i, j)k2 (3.8) ở đó V (i, j) = Vh (i, j) + Vv (i, j) và Fij là σ -đại số sinh bởi {ξkl , θkl }, (k, l) ∈ Ωij = {(k, l) ∈ N20 : k ≤ i, l ≤ j}\{(i, j)} (iii) Với nhiễu w khác 0 thì h2
i E 2 z (i, j)z(i, j) − V (i, j)