Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án gồm 4 chương được trình bày như sau: Một số kiến thức chuẩn bị; ổn định hóa Navier-Stokes-Voigt ba chiều; ổn định hóa g-Navier-Stokes hai chiều; tính ổn định nghiệm của hệ g-Navier-Stokes ngẫu nhiên hai chiều với trễ hữu hạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC S× PHM H NËI 2 NGUYN VIT TUN TNH ÊN ÀNH V ÊN ÀNH HÂA ÈI VÎI MËT SÈ PH×ÌNG TRNH TIN HÂA TRONG CÌ HÅC CHT LÄNG Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ h M¢ sè: 9 46 01 02 TÂM TT LUN N TIN S TON HÅC H Nëi - 2019
Luªn ¡n ÷ñ ho n th nh t¤i: Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2 Ng÷íi h÷îng d¨n khoa hå : PGS.TS. Cung Th¸ Anh Ph£n bi»n 1: Ph£n bi»n 2: Ph£n bi»n 3: Luªn ¡n s³ ÷ñ b£o v» tr÷î Hëi çng h§m luªn ¡n §p Tr÷íng håp t¤i Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2 v o hçi .... gií .... ng y .... th¡ng .... n«m ..... Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i: Th÷ vi»n Què Gia Vi»t Nam ho° Th÷ vi»n Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H Nëi 2
M U 1. Là h sû v§n · v l½ do hån · t i C¡ ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa lo¤i paraboli xu§t hi»n nhi·u trong ¡ qu¡ tr¼nh õa vªt l½ v sinh hå , h¯ng h¤n trong ì hå h§t läng, ¡ qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t v khu¸ h t¡n, ¡ mæ h¼nh qun thº trong sinh hå ,. . . . Vi» nghi¶n ùu nhúng lîp ph÷ìng tr¼nh n y â þ ngh¾a quan trång trong khoa hå v æng ngh». Ch½nh v¼ vªy nâ ¢ v ang thu hót ÷ñ sü quan t¥m õa nhi·u nh khoa hå tr¶n th¸ giîi. Sau khi nghi¶n ùu t½nh °t óng õa b i to¡n, vi» nghi¶n ùu d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m khi thíi gian ra væ òng r§t quan trång v¼ nâ ho ph²p ta hiºu v dü o¡n xu th¸ ph¡t triºn õa h» ëng lü trong t÷ìng lai, tø â ta â thº â nhúng i·u h¿nh th½ h hñp º ¤t ÷ñ k¸t qu£ mong muèn. Mët trong nhúng ¡ h ti¸p ªn hi»u qu£ ho v§n · n y l nghi¶n ùu sü tçn t¤i v t½nh ên ành õa nghi»m døng. V· m°t to¡n hå , nghi»m døng t÷ìng ùng vîi tr¤ng th¡i døng õa qu¡ tr¼nh, v l nghi»m õa b i to¡n ellipti t÷ìng ùng. Khi nghi»m døng õa h» khæng ên ành, ng÷íi ta t¼m ¡ h ên ành hâa nâ b¬ng ¡ h dòng ¡ i·u khiºn th½ h hñp â gi¡ b¶n trong mi·n ho° â gi¡ tr¶n bi¶n, ho° dòng nhúng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp. Trong nhúng n«m gn ¥y, b i to¡n ên ành v ên ành hâa nghi»m døng ¢ ÷ñ nghi¶n ùu nhi·u ho ph÷ìng tr¼nh Navier- Stokes v mët v i lîp ph÷ìng tr¼nh paraboli phi tuy¸n. Tuy nhi¶n, ¡ k¸t qu£ t÷ìng ùng èi vîi ¡ lîp ph÷ìng tr¼nh kh¡ trong ì hå h§t läng v ¡ h» ph÷ìng tr¼nh paraboli v¨n án ½t. Khi â xu§t hi»n nhúng khâ kh«n mîi v· m°t to¡n hå , do h» ang x²t â §u tró phù t¤p ho° do sü t÷ìng t¡ giúa ¡ sè h¤ng phi tuy¸n trong h». ¥y ang l v§n · thíi sü, â nhi·u þ ngh¾a v thu hót ÷ñ sü quan t¥m õa nhi·u nh to¡n hå tr¶n th¸ giîi. D÷îi ¥y, hóng ta iºm qua mët sè lîp h» ph÷ìng tr¼nh trong ì hå h§t läng ÷ñ nghi¶n ùu nhi·u trong nhúng n«m gn ¥y. 1
u ti¶n, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes-Voigt (trong mët sè t i li»u án vi¸t l Voight) ba hi·u trong mi·n trìn bà h°n vîi i·u ki»n bi¶n Diri hlet thun nh§t sau ¥y:   ut − ν∆u − α2 ∆ut + (u · ∇)u + ∇p = f trong O × R+ ,  O × R+ ,  ∇ · u = 0 trong (1)   u(x, t) = 0 tr¶n ∂O × R+ ,  u(x, 0) = u0 (x) O.  trong Trong nhúng n«m gn ¥y, ¡ v§n · to¡n hå li¶n quan ¸n h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes-Voigt ba hi·u ¢ thu hót ÷ñ sü hó þ õa nhi·u nh to¡n hå . Sü tçn t¤i v d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m thæng qua sü tçn t¤i tªp hót õa h» ph÷ìng tr¼nh Navier- Stokes-Voigt ba hi·u trong mi·n bà h°n ho° khæng bà h°n nh÷ng thäa m¢n b§t ¯ng thù Poin ar² ÷ñ nghi¶n ùu rëng r¢i trong ¡ æng tr¼nh õa C.T. Anh v P.T. Trang (2013), A.O. Celebi, V.K. Kalantarov v M. Polat (2009), J. Gar ½a-Luengo, P. Mar½n-Rubio v J. Real (2012). Tè ë ph¥n r¢ õa ¡ nghi»m õa h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n to n bë khæng gian ÷ñ nghi¶n ùu trong ¡ æng tr¼nh õa C.T. Anh v P.T. Trang (2016), C.J. Ni he (2016), C. Zhao v H. Zhu (2015). Mö ½ h u ti¶n õa hóng tæi trong luªn ¡n n y l nghi¶n ùu t½nh ên ành v b i to¡n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh õa h» (1). Ti¸p theo, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh g-Navier-Stokes hai hi·u â d¤ng nh÷ sau: ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f trong O × R+ , ∂t     ∇ · (gu) = 0 O × R+ ,  trong (2) +     u(x, t) = 0 tr¶n ∂O × R ,  u(x, 0) = u0 (x), trong O.  Trong thªp ni¶n vøa qua, sü tçn t¤i v d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m thæng qua sü tçn t¤i tªp hót õa h» ph÷ìng tr¼nh 2
g-Navier-Stokes hai hi·u ¢ ÷ñ nghi¶n ùu rëng r¢i ð £ hai tr÷íng hñp æ-tæ-næm v khæng æ-tæ-næm (xem mët sè æng tr¼nh gn ¥y õa C.T. Anh v D.T. Quyet (2012), J. Jiang, Y. Hou v X. Wang (2011), J. Jiang v X. Wang (2013), H. Kwean v J. Roh (2005), D. Wu v J. Tao (2012)...). Tuy nhi¶n, v¨n án nhi·u v§n · mð n ÷ñ nghi¶n ùu li¶n quan ¸n h» (2), h¯ng h¤n: 1) Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh. 2) B i to¡n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh. 3) B i to¡n ên ành hâa d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m khi thíi gian ra væ òng. Cuèi òng, hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n sau ¥y:    du = [ν∆u − (u · ∇)u − ∇p + f + F (u(t − ρ(t)))]dt   +G(u(t − ρ(t)))dW (t), x ∈ O, t > 0,     ∇ · (gu) = 0, x ∈ O, t > 0, (3)       u(x, t) = 0, x ∈ ∂O, t > 0,  u(x, t) = ϕ(x, t), x ∈ O, t ∈ [−τ, 0].  Sü tçn t¤i v t½nh ên ành õa nghi»m døng õa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes hai hi·u t§t ành â tr¹ ¢ ÷ñ nhi·u t¡ gi£ nghi¶n ùu trong nhúng n«m gn ¥y, xem v½ dö, Caraballo v Han (2014, 2015), Caraballo v Real (2001, 2003), Chen (2012), Garrido-Atienza v Mar½n-Rubio (2006), Mar½n-Rubio, Real v Valero (2011), Wan v Zhou (2011). Tr÷íng hñp h» Navier-Stokes ng¨u nhi¶n â tr¹ ÷ñ nghi¶n ùu trong ¡ æng tr¼nh õa Chen (2012), Wan v Zhou (2011). Sü tçn t¤i v t½nh ên ành õa nghi»m døng õa h» g-Navier- Stokes hai hi·u khæng/ â tr¹ ¢ ÷ñ nghi¶n ùu trong ¡ æng tr¼nh gn ¥y (C.T. Anh v D.T. Quyet (2012), D.T. Quyet (2014)). Tuy nhi¶n, theo hiºu bi¸t õa hóng tæi, h÷a â k¸t qu£ n o v· t½nh ên ành nghi»m õa h» (3). 3
2. Mö ½ h nghi¶n ùu Luªn ¡n nghi¶n ùu v· v§n ·: T½nh ên ành v ên ành hâa õa mët sè ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n trong ì hå h§t läng. 3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n ùu • èi t÷ñng nghi¶n ùu: T½nh ên ành v ên ành hâa õa mët sè ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n trong ì hå h§t läng, ö thº l h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u, h» g-Navier-Stokes hai hi·u, h» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n. • Ph¤m vi nghi¶n ùu õa Luªn ¡n bao gçm ¡ nëi dung sau: Nëi dung 1: H» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u: 1) Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh. 2) Ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp. Nëi dung 2: H» g-Navier-Stokes hai hi·u: 1) Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh. 2) Ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u. 3) Ên ành hâa d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian. Nëi dung 3: H» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n: 4
1) Sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t ành. 2) T½nh ên ành m theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ên ành m hu h hn õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u nhi¶n. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu • Nghi¶n ùu sü tçn t¤i nghi»m v sü tçn t¤i nghi»m døng: Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Galerkin v ph÷ìng ph¡p ompa t. • Nghi¶n ùu t½nh ên ành õa nghi»m døng v nghi»m tun ho n: Sû döng ¡ ¡nh gi¡ n«ng l÷ñng v b§t ¯ng thù kiºu Gronwall. • Nghi¶n ùu b i to¡n ên ành hâa: C¡ ph÷ìng ph¡p õa L½ thuy¸t i·u khiºn to¡n hå v Gi£i t½ h ng¨u nhi¶n. 5. K¸t qu£ õa luªn ¡n Luªn ¡n ¢ ¤t ÷ñ nhúng k¸t qu£ h½nh sau ¥y: • èi vîi h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u trong mi·n bà h°n: Chùng minh ÷ñ t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh; hùng minh ÷ñ i·u ki»n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp. ¥y l nëi dung õa Ch÷ìng 2. • èi vîi h» g-Navier-Stokes hai hi·u trong mi·n bà h°n: Chùng minh ÷ñ sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh; hùng minh ÷ñ i·u ki»n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u; hùng minh ÷ñ i·u ki»n ên ành hâa d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian. ¥y l nëi dung õa Ch÷ìng 3. 5
• èi vîi h» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n trong mi·n bà h°n: Chùng minh ÷ñ sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t õa nghi»m døng y¸u õa h» t§t ành; hùng minh ÷ñ t½nh ên ành m theo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ên ành m hu h hn õa nghi»m y¸u õa h» ng¨u nhi¶n. ¥y l nëi dung õa Ch÷ìng 4. 6. C§u tró õa luªn ¡n Ngo i phn mð u, k¸t luªn, danh mö ¡ æng tr¼nh ÷ñ æng bè v danh mö t i li»u tham kh£o, luªn ¡n gçm 4 h÷ìng: • Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thù hu©n bà. • Ch÷ìng 2. Ên ành hâa h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u. • Ch÷ìng 3. Ên ành hâa h» g-Navier-Stokes hai hi·u. • Ch÷ìng 4. T½nh ên ành nghi»m õa h» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n. 6
Ch÷ìng 1 MËT SÈ KIN THÙC CHUN BÀ Trong h÷ìng n y, hóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ li¶n quan ¸n ¡ khæng gian h m, ¡ to¡n tû, Gi£i t½ h ng¨u nhi¶n, ¡ ¡nh gi¡ n thi¸t º xû l½ sè h¤ng phi tuy¸n trong ph÷ìng tr¼nh v mët sè k¸t qu£ th÷íng dòng ( ¡ b§t ¯ng thù , ¡ bê · ompa t) ÷ñ sû döng trong hùng minh ¡ k¸t qu£ h½nh õa luªn ¡n ð ¡ h÷ìng sau. 1.1. C¡ khæng gian h m Trong phn n y, ta nh l¤i mët sè k¸t qu£ v· ¡ khæng gian h m s³ ÷ñ sû döng trong luªn ¡n nh÷: Khæng gian Sobolev p m m (khæng gian L (O), khæng gian H (O), khæng gian H0 (O)), p khæng gian L (0, T ; Y ) v C([0, T ]; Y ). B¶n ¤nh â, hóng tæi ng tr¼nh b y v· ¡ khæng gian h m H v V dòng º nghi¶n ùu h» Navier-Stokes-Voigt; ¡ khæng gian h m Hg v Vg dòng º nghi¶n ùu h» g-Navier-Stokes. 1.2. C¡ to¡n tû 1.2.1. To¡n tû A, B °t to¡n tû Stokes A:V →V′ x¡ ành bði (Au, v) = ((u, v)), vîi måi u, v ∈ V. Ta ành ngh¾a to¡n tû B :V ×V →V′ x¡ ành bði (B(u, v), w) = b(u, v, w), vîi måi u, v, w ∈ V, 3 ∂vj Z P trong â b(u, v, w) = ui wj dx. i,j=1 ∂xi O 7
Bê · 1.1. Ta â  1/4 3/4 1/4 3/4 c|u| kuk kvk|w| kwk , ∀u, v, w ∈ V,   |b(u, v, w)| ≤ cλ−1/4 kukkvkkwk, ∀u, v, w ∈ V,  ckukkvk1/2 |Av|1/2 |w|, ∀u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H,  trong â c l ¡ h¬ng sè th½ h hñp. 1.2.2. To¡n tû Ag , Bg v Cg °t Ag : Vg → Vg′ l to¡n tû x¡ ành bði hAg u, vig = ((u, v))g , ∀u, v ∈ Vg . Ta k½ hi»u η1 l gi¡ trà ri¶ng u ti¶n õa to¡n tû Ag . ′ Ta ành ngh¾a to¡n tû Bg : Vg × Vg → Vg x¡ ành bði hBg (u, v), wig = bg (u, v, w), ∀u, v, w ∈ Vg , trong â 2 Z X ∂vj bg (u, v, w) = ui wj gdx. i,j=1 O ∂xi °t Cg : V g → H g l to¡n tû x¡ ành bði ∇g ∇g (Cg u, v)g = (( · ∇)u, v)g = bg ( , u, v), ∀v ∈ Vg . g g Bê · 1.2. Ta â 1/2 1/2 1/2 1/2   c1 |u|g kukg kvkg |w|g kwkg ,  c |u|1/2 kuk1/2 kvk1/2 |A v|1/2 |w| ,  2 g g g g g g |bg (u, v, w)| ≤ 1/2 1/2   c3 |u|g |Ag u|g kvkg |w|g , 1/2 1/2  c4 |u|g kvkg |w|g |Ag w|g ,  trong â ci , i = 1, . . . , 4, l ¡ h¬ng sè x¡ ành. 8
Bê · 1.3. Cho u ∈ L (0, T ; V ). Khi â h m C u x¡ ành bði 2 g g ∇g ∇g (Cg u(t), v)g = (( · ∇)u, v)g = bg ( , u, v), ∀v ∈ Vg , g g thuë L2(0, T ; Hg ), v do â ng thuë L2 (0, T ; Vg′). Hìn núa, |Cg u(t)|g ≤ |∇g|∞ m0 · ku(t)kg , vîi h.k. t ∈ (0, T ), v kCg u(t)k∗ ≤ |∇g|∞ 1/2 · ku(t)kg , vîi h.k. t ∈ (0, T ). m0 η1 1.3. Mët sè k¸t qu£ v· gi£i t½ h ng¨u nhi¶n Trong mö n y, hóng ta nh l¤i mët sè k¸t qu£ v· l½ thuy¸t x¡ su§t, huyºn ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener v t½ h ph¥n ng¨u nhi¶n s³ ÷ñ sû döng trong luªn ¡n. 1.4. Mët sè k¸t qu£ th÷íng dòng Trong mö n y, hóng tæi nh l¤i mët sè b§t ¯ng thù sì §p nh÷ng r§t quan trång v th÷íng xuy¶n ÷ñ sû döng trong luªn ¡n. Chóng tæi ng tr¼nh b y l¤i mët sè bê · v ành l½ quan trång th÷íng ÷ñ sû döng º hùng minh ¡ k¸t qu£ õa luªn ¡n nh÷: Bê · ompa t Aubin-Lions, H» qu£ õa ành l½ iºm b§t ëng Brouwer, ành l½ iºm b§t ëng Ty honoff. 9
Ch÷ìng 2 ÊN ÀNH HO H NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHIU Trong h÷ìng n y, hóng tæi x²t h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes- Voigt ba hi·u trong mi·n trìn bà h°n vîi i·u ki»n bi¶n Diri hlet thun nh§t. Tr÷î ti¶n, hóng tæi nghi¶n ùu i·u ki»n £m b£o t½nh duy nh§t v ên ành m õa nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n. Sau â hóng tæi h¿ ra r¬ng nghi»m døng m¤nh khæng ên ành b§t k¼ õa h» â thº ÷ñ ên ành hâa b¬ng ¡ h sû döng mët i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ õ lîn b¶n trong mi·n ho° mët nhi¹u Ito nh¥n t½nh â ÷íng ë õ m¤nh. Nëi dung õa h÷ìng n y düa tr¶n b i b¡o 3 trong Danh mö æng tr¼nh khoa hå õa t¡ gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n. 2.1. °t b i to¡n Cho O l mi·n bà h°n trong R3 vîi bi¶n trìn ∂O. Chóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes-Voigt ba hi·u nh÷ sau:    ut − ν∆u − α2 ∆ut + (u · ∇)u + ∇p = f trong O × R+ ,  O × R+ ,  ∇ · u = 0 trong (2.1)    u(x, t) = 0 tr¶n ∂O × R+ ,  u(x, 0) = u0 (x) O,  trong trong â u = u(x, t) = (u1 , u2 , u3 ), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, α l tham sè ° tr÷ng ho ë n hçi õa h§t läng, f = f (x) l h m ngo¤i lü v u0 l vªn tè ban u. 2.2. T½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng ành ngh¾a 2.1. Gi£ sû f ∈ (L2 (O))3 ho tr÷î . H m u∗ ∈ D(A) ÷ñ gåi l nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (2.1) n¸u νAu∗ + B(u∗ , u∗ ) = f trong (L2 (Ω))3 . (2.2) 10
ành l½ sau ¥y l k¸t qu£ h½nh trong mö n y. ành l½ 2.1. Gi£ sû f ∈ (L (O)) . Khi â 2 3 a) Tçn t¤i ½t nh§t mët nghi»m døng m¤nh u∗ õa b i to¡n (2.1) thäa m¢n 1 ku∗ k ≤ 1/2 |f |. (2.3) λ1 ν b) Hìn núa, n¸u i·u ki»n sau ¥y thäa m¢n c0 |f | ν2 > 3/4 , (2.4) λ1 trong â c0 l h¬ng sè nhä nh§t thäa m¢n b§t ¯ng thù trong Bê · 1.1, th¼ nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (2.1) l duy nh§t v ên ành m to n ö . 2.3. Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n Chóng ta x²t h» i·u khiºn Navier-Stokes-Voigt ba hi·u sau:   ut − ν∆u − α2 ∆ut + (u · ∇)u + ∇p  O × R+ ,      = 1ω h + f trong ∇·u=0 trong O × R+ , (2.5)  ∂O × R+ ,     u(x, t) = 0 tr¶n  u(x, 0) = u0 (x) trong O,  trong â 1ω l h m ° tr÷ng õa mi·n on ω ⊂ O vîi bi¶n trìn ∂ω , f ∈ (L2 (O))3 v u0 ∈ V ho tr÷î , h = h(x, t) l h m i·u khiºn. Ta °t Oω = O\ω, Vω = u ∈ (C0∞ (Oω ))3 : ∇ · u = 0 . 11
Gåi Aω l to¡n tû Stokes ành ngh¾a tr¶n Oω . Ta k½ hi»u λ∗1 (ω) l gi¡ trà ri¶ng u ti¶n õa to¡n tû Aω . X²t i·u khiºn ph£n hçi h = −k(u − u∗ ), k ∈ R+ , v h» âng t÷ìng ùng    ut − ν∆u − α2 ∆ut + (u · ∇)u  +∇p + 1ω k(u − u∗ ) = f O × R+ ,  trong     ∇·u=0 trong O × R+ , (2.6)  ∂O × R+ ,      u(x, t) = 0 tr¶n  u(x, 0) = u0 (x) trong O.  Ta °t γ ∗ (u∗ ) := sup {|b(u, u∗ , u)| : |u| = 1} ≤ γ ku∗ kH α . Ta tr¼nh b y k¸t qu£ h½nh õa mö n y trong ành l½ sau ¥y. ành l½ 2.2. Gi£ sû u ∗ ∈ V ∩ (H β (O))3 , β > 5/2, l nghi»m døng m¤nh b§t k¼ õa (2.1) thäa m¢n νλ∗1 (ω) > γ ∗ (u∗ ). Khi â, vîi méi u0 ∈ V v k ≥ k0 õ lîn nh÷ng ë lªp vîi u0 , tçn t¤i nghi»m y¸u u ∈ C([0, ∞); V ) õa (2.6) thäa m¢n ku(t) − u∗ kα ≤ e−ηt ku0 − u∗ kα , ∀t ≥ 0, vîi η > 0 n o â. ¥y kuk2α := |u|2 + α2 kuk2 . Nhªn x²t 2.1. Bði b§t ¯ng thù Poin ar², ta â −2 λ∗1 (ω) ≥C sup dist(x, ∂O) . x∈Oω V¼ vªy λ∗1 (ω) â thº l§y lîn tuý þ b¬ng ¡ h l§y mi·n h¼nh khuy¶n Oω = O \ ω ¯ õ mäng. Do â, tø ành l½ 2.2 nghi»m døng m¤nh ∗ b§t k¼ u â thº ên ành m n¸u Oω õ mäng . 12
2.4. Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng nhi¹u Ito nh¥n t½nh Ta x²t h» Navier-Stokes-Voigt ng¨u nhi¶n ba hi·u sau ¥y    d(u − α2 ∆u) + [−ν∆u + (u · ∇)u+ ∇p]dt  2 ∗ O × R+ ,   = f dt + σ(I − α ∆)(u − u )dWt trong    ∇·u=0 trong O × R+ , (2.7)  ∂O × R+ ,      u(x, t) = 0 tr¶n  u(x, 0) = u0 (x) trong O,  trong â σ > 0, Wt : Ω → R, t ∈ R, l qu¡ tr¼nh Wiener mët hi·u. ành l½ 2.3. N¸u r −3/4 σ 2 α2 σ 2 α2 ν> c0 |f |λ1 + − , (2.8) 4 4 trong â c0 l h¬ng sè nhä nh§t thäa m¢n b§t ¯ng thù trong Bê · 1.1, th¼ nghi»m u∗ õa b i to¡n (2.7) ên ành m to n ö . Tù l , tçn t¤i N ⊂ Ω vîi P(N ) = 0, sao ho vîi ω ∈/ N â T (ω) º vîi nghi»m b§t k¼ u(t) õa b i to¡n (2.7), ¡nh gi¡ sau ¥y thäa m¢n ku(t) − u∗ k2α ≤ ku(0) − u∗ k2α e−ℓt , ∀t ≥ T (ω), vîi ℓ > 0 n o â. Nhªn x²t 2.2. Nh÷ vªy, nhi¹u Ito nh¥n t½nh ên ành hâa nghi»m døng m¤nh u∗ vîi ν trong kho£ng r σ 2 α2 σ 2 α2 q i −3/4 −3/4 c0 |f |λ1 + − , c0 |f |λ1 . 4 4 Tham sè σ ng lîn, mi·n ên ành õa nghi»m u∗ ng d i hìn. Hìn núa, vîi b§t k¼ ν>0 ho tr÷î , ta luæn â thº hån gi¡ trà õa σ sao ho (2.8) thäa m¢n. 13
Ch÷ìng 3 ÊN ÀNH HO H g-NAVIER-STOKES HAI CHIU Chóng tæi x²t h» ph÷ìng tr¼nh g-Navier-Stokes trong mi·n hai hi·u O trìn, bà h°n. Thù nh§t, hóng tæi nghi¶n ùu sü tçn t¤i v t½nh ên ành m õa nghi»m døng m¤nh vîi mët sè i·u ki»n nh§t ành. Thù hai, hóng tæi hùng minh r¬ng nghi»m døng m¤nh khæng ên ành b§t k¼ â thº ÷ñ ên ành hâa b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mët tªp on mð ω ⊂ O thäa m¢n O\ω õ nhä ho° b¬ng i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u. Cuèi òng, hóng tæi ên ành hâa d¡ng i»u ti»m ªn õa nghi»m b¬ng ngo¤i lü dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian b¬ng ¡ h h¿ ra trong tr÷íng hñp n y tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m tun ho n theo thíi gian v måi nghi»m ti¸n dn tîi nghi»m tun ho n n y khi thíi gian ti¸n ra væ òng. Nëi dung õa h÷ìng n y düa tr¶n ¡ b i b¡o 1 v 4 trong Danh mö æng tr¼nh khoa hå õa t¡ gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n. 3.1. °t b i to¡n Cho O l mi·n bà h°n trong R2 vîi bi¶n trìn ∂O. Chóng ta x²t h» g-Navier-Stokes hai hi·u sau: ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f trong O × R+ , ∂t     ∇ · (gu) = 0 O × R+ ,  trong (3.1) +     u(x, t) = 0 tr¶n ∂O × R ,  u(x, 0) = u0 (x), trong O.  trong â u = u(x, t) = (u1 , u2 ), p = p(x, t) t÷ìng ùng l h m ve tì vªn tè v h m ¡p su§t n t¼m, ν > 0 l h» sè nhît, u0 l vªn tè ban u. Ta gi£ sû h m g thäa m¢n gi£ thi¸t sau: 14
(G1) g ∈ W 1,∞ (O) thäa m¢n 1/2 0 < m0 ≤g(x)≤M0 ∀x = (x1 , x2 ) ∈ O, v |∇g|∞ < m0 η1 , trong â η1 > 0 l gi¡ trà ri¶ng u ti¶n õa to¡n tû g-Stokes trong O (to¡n tû Ag ÷ñ ành ngh¾a trong Ch÷ìng 1). 3.2. Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m õa nghi»m døng ành ngh¾a 3.1. Gi£ sû ngo¤i lü f ∈ L2 (Ω, g) ho tr÷î . Nghi»m ∗ døng m¤nh õa b i to¡n (3.1) l phn tû u ∈ D(Ag ) thäa m¢n νAg u∗ + νCg u∗ + Bg (u∗ , u∗ ) = f trong L2 (O, g). ành l½ 3.1. N¸u f ∈ L (O, g) th¼ b i to¡n 2 (3.1) â ½t nh§t mët nghi»m døng m¤nh u thäa m¢n ∗ 1 ku∗ kg ≤ |f |g . (3.2) 1/2 |∇g|∞ η1 ν 1− 1/2 m0 η1 Hìn núa, n¸u i·u ki»n sau ¥y thäa m¢n !2 |∇g|∞ c1 |f |g ν2 1 − 1/2 > , (3.3) m0 η1 η1 trong â c1 l h¬ng sè trong Bê · 1.2, th¼ nghi»m døng m¤nh õa b i to¡n (3.1) l duy nh§t v ên ành m to n ö . 15
3.3. Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi â gi¡ b¶n trong mi·n Chóng ta x²t h» i·u khiºn g-Navier-Stokes hai hi·u sau: ∂u    − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p    ∂t O × R+ ,     = 1ω hg + f trong ∇ · (gu) = 0 trong O × R+ , (3.4)   u(x, t) = 0 ∂O × R+ ,  tr¶n      u(x, 0) = u 0 trong O, trong â 1ω l h m ° tr÷ng õa tªp on ω ⊂ O vîi bi¶n trìn ∂ω , f ∈ L2 (O, g) v u0 ∈ Hg ho tr÷î , hg = hg (x, t) l h m i·u khiºn. Ta °t Oω = O\ω, Vgω = u ∈ (C0∞ (Oω ))2 : ∇ · (gu) = 0 . Gåi Agω l to¡n tû g-Stokes x¡ ành tr¶n Oω . Ta k½ hi»u η1∗ (ω) l gi¡ trà ri¶ng u ti¶n õa to¡n tû Agω . X²t i·u khiºn ph£n hçi hg = −k(u − u∗ ), k ∈ R+ , v h» âng t÷ìng ùng ∂u    − ν∆u + (u · ∇)u    ∂t +1ω k(u − u∗ ) + ∇p = f O × R+ ,  trong    ∇ · (gu) = 0 trong O × R+ , (3.5)   u(x, t) = 0 ∂O × R+ ,  tr¶n      u(x, 0) = u (x) 0 trong O. Ta °t γg∗ (u∗ ) = sup {|bg (u, u, u∗ )| : |u|g = 1} ≤ γg ku∗ kD(Ag ) . 16
ành l½ 3.2. Gi£ sû u ∗ ∈ D(Ag ) l nghi»m døng m¤nh õa (3.4) thäa m¢n ! |∇g|∞ ν 1− 1/2 η1∗ (ω) > γg∗ (u∗ ). (3.6) m0 η1 Khi â, vîi méi u0 ∈ Hg v k ≥ k0 õ lîn nh÷ng ë lªp vîi u0 , tçn t¤i nghi»m y¸u u ∈ C([0, +∞); Hg ) ∩ L2loc (0, +∞; Vg ) õa (3.5) thäa m¢n |u(t) − u∗ |g ≤ e−δt |u0 − u∗ |g , ∀t ≥ 0, vîi δ > 0 n o â. Nhªn x²t 3.1. Bði b§t ¯ng thù Poin ar², ta â −2 η1∗ (ω) ≥C sup dist(x, ∂O) . x∈Oω V¼ vªy η1∗ (ω) â thº l§y lîn tuý þ b¬ng ¡ h l§y mi·n h¼nh khuy¶n Oω = O \ ω ¯ õ mäng. Do â, tø ành l½ 3.2, nghi»m døng m¤nh ∗ b§t k¼ u â thº ên ành m n¸u mi·n Oω õ mäng . 3.4. Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u Chóng ta x²t h» i·u khiºn g-Navier-Stokes hai hi·u vîi to¡n tû nëi suy Ih nh÷ sau: ∂u    − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p    ∂t = −µIh (u − u∗ ) + f O × R+ ,  trong    ∇ · (gu) = 0 trong O × R+ , (3.7)   u(x, t) = 0 ∂O × R+ ,  tr¶n      u(x, 0) = u 0 trong O, trong â f = f (x) ∈ Hg ho tr÷î . 17
Ta gi£ sû r¬ng i·u khiºn ph£n hçi Ih : Vg → Hg l to¡n tû nëi suy x§p x¿ to¡n tû çng nh§t vîi sai sè §p h, tù l , nâ thäa m¢n ¡nh gi¡ sau ¥y M0 2 2 |ϕ − Ih (ϕ)|2g ≤ c0 h kϕk2g , ∀ϕ ∈ Vg . (3.8) m0 ành l½ 3.3. Gi£ sû f ∈ H v u∗ l nghi»m døng m¤nh õa g (3.1) nhªn ÷ñ trong ành l½ 3.1. Gi£ sû r¬ng Ih thäa m¢n (3.8), µ v h l ¡ tham sè d÷ìng thäa m¢n 2ν|∇g|2∞ 2c21 |f |2g M0 2 2 µc h < ν m0 0 v µ> m20 + 2 . (3.9) η1 ν 3 1 − |∇g|1/2 ∞ m0 η1 Khi â, vîi méi u0 ∈ Hg ho tr÷î , tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u u õa h» (3.7) sao ho vîi måi T > 0, du u ∈ C([0, T ]; Hg ) ∩ L2 (0, T ; Vg ), ∈ L2 (0, T ; Vg′ ), dt v |u(t) − u∗ |2g ≤ e−ηt |u0 − u∗ |2g , ∀t ≥ 0, (3.10) |∇g|2∞ c21 |f |2g trong â η = µ − 2ν m20 −2 2 > 0 bði i·u |∇g|∞ η1 ν 3 1 − 1/2 m0 η1 ki»n (3.9). 3.5. Ên ành hâa b¬ng ngo¤i lü dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian Trong mö n y, hóng ta x²t h» sau ¥y  ∂u  ∂t − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = F (x, ω0 t)   trong O × R+ , ∇ · (gu) = 0 trong O × R+ , (3.11)   u(x, t) = 0 ∂O × R+ .  tr¶n Ta ÷a ra gi£ thi¸t sau ¥y v· ngo¤i lü . 18