Tóm tắt luận án Tiến Toán học: Bài toán điều khiển đối với một số lớp hệ tuyến tính dương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của đề tài là nghiên cứu tính ổn định, phân tích hiệu suất, thiết kế điều khiển ổn định hoá và một số bài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống đối với một số lớp hệ dương tuyến tính, bao gồm việc phát triển các kỹ thuật và phương pháp nghiên cứu mới, cải tiến những lược đồ nghiên cứu đã có. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận án Tiến Toán học: Bài toán điều khiển đối với một số lớp hệ tuyến tính dương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— MAI THỊ HỒNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2021
Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện Phản biện 1: GS.TS Cung Thế Anh Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Đỗ Đức Thuận Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Trường Đại học Giáo dục-Đại học Quốc Gia Hà Nội Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội Vào hồi ... giờ ... ngày .... tháng .... năm 2021 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài 1.1. Tổng quan Trong nhiều mô hình ứng dụng, các biến trạng thái như lượng điện tích, mức chất lỏng trong các bình điều khiển, dân số của các loài hay số lượng tế bào v.v luôn là các đại lượng không âm. Các mô hình như vậy thường được mô tả bởi các hệ động lực sinh ra các quỹ đạo nghiệm không âm khi trạng thái ban đầu và tín hiệu đầu vào không âm. Lớp các hệ động lực đó thường được gọi là các hệ dương. Các kết quả nghiên cứu về hệ dương được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ sinh học, sinh thái học và dịch tễ học, mô hình điều khiển dòng khí, các phản ứng hóa học hay các mạng viễn thông. Bên cạnh đó, các hệ dương còn có nhiều tính chất lý thuyết đẹp mà các hệ tổng quát không có như tính vững đối với nhiễu, tính không nhạy đối với trễ hay tính đơn điệu theo quỹ đạo và trạng thái. Dựa trên các đặc tính đó, lý thuyết hệ dương còn được ứng dụng trong việc thiết kế các bộ quan sát dạng khoảng (interval observers), trong các bài toán ước lượng trạng thái (state estimations) hoặc được sử dụng như các hệ so sánh trong phân tích dáng điệu tiệm cận các hệ có trễ phức tạp hay trong các bài toán điều khiển L1 /L∞ . Bởi các ứng dụng cả trong lý thuyết lẫn thực tiễn, vấn đề phân tích định tính và thiết kế đối với các hệ dương ngày càng nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước và nó đã trở thành một trong những chủ đề nghiên cứu rất sôi động trong những năm gần đây. Nghiên cứu tính ổn định là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển hệ thống. Trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu này và những ứng dụng của nó trong việc thiết kế điều khiển được rất nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm. Các bài toán cơ bản được nghiên cứu bao gồm phân tích tính ổn định, điều khiển phản hồi ổn định hóa, điều khiển phản hồi tĩnh theo đầu ra (static output-feedback control), ước lượng trạng thái, thiết kế bộ lọc, bộ quan sát, và đặc biệt là bài toán điều khiển L1 -đạt được (L1 -gain control) (gọi tắt là điều khiển L1 ) và điều khiển L∞ /ℓ∞ -đạt được. Điều khiển L1 là một bài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống các hệ dương. Nó cung cấp một diễn giải về mối liên hệ cân bằng khối lượng với mức cung cấp tuyến tính và các hàm lưu trữ tuyến tính dương, một đặc tính tự nhiên trong lý thuyết tiêu hao của các hệ dương. Bài toán điều khiển L∞ là bài toán đối ngẫu của điều khiển L1 , ở đó người ta quan tâm đến chỉ số về tổng hoặc các đại lượng cực đại đối với hệ dương. Đến nay, lý thuyết điều khiển đối với các hệ dương nói chung, bài toán phân tích hiệu suất (performance analysis) và tổng hợp điều khiển dưới lược đồ điều khiển L1 và L∞ /ℓ∞ , nói riêng, đang là chủ đề được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. 1
1.2. Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu Mặc dù đã có một số kết quả nghiên cứu về lý thuyết điều khiển đối với các hệ dương được công bố, nhiều vấn đề mở liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu này vẫn đang được tiếp tục phát triển. Chẳng hạn, ngay cả đối với lớp hệ dương tuyến tính, các điều kiện đặc trưng cho sự tồn tại (tính giải được) của điều khiển phản hồi trạng thái hay phản hồi tĩnh theo đầu ra cũng chưa có lời giải trọn vẹn. Vấn đề đặc trưng giá trị chính xác chỉ số đạt được L1 /L∞ cho các hệ dương với trễ biến thiên tổng quát cũng đặt ra nhiều thách thức về mặt phương pháp và kỹ thuật, cách tiếp cận. Chính vì vậy, chúng tôi cho rằng lý thuyết điều khiển hệ thống nói chung, điều khiển L1 và L∞ /ℓ∞ nói riêng, đối với một số lớp hệ tuyến tính dương là những chủ đề nghiên cứu có tính thời sự, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Các chủ đề này có triển vọng phát triển nhưng cũng rất cần thiết có những nghiên cứu chuyên sâu. 1.3. Lý do chọn đề tài Điều khiển L1 và L∞ /ℓ∞ là những vấn đề nghiên cứu trọng tâm đối với các hệ động lực dương nói chung, hệ tuyến tính dương có trễ nói riêng. Một số kết quả nghiên cứu lý thuyết điều khiển hệ thống đối với lớp hệ dương nói chung, điều khiển L1 , L∞ /ℓ∞ nói riêng, đã được phát triển trong những năm gần đây. Nhiều vấn đề mở liên quan đến lĩnh vực này cần được tiếp tục nghiên cứu và mở rộng. 1.4. Mục tiêu của đề tài Mục tiêu chính của đề tài là nghiên cứu tính ổn định, phân tích hiệu suất, thiết kế điều khiển ổn định hoá và một số bài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống đối với một số lớp hệ dương tuyến tính, bao gồm việc phát triển các kỹ thuật và phương pháp nghiên cứu mới, cải tiến những lược đồ nghiên cứu đã có. Đối tượng mà chúng tôi hướng tới là một số lớp hệ dương tuyến tính có trễ với cách tiếp cận dựa trên một số kỹ thuật trong tối ưu và thuật toán lồi. 2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu 2.1. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh cho một lớp hệ dương tuyến tính với trễ biến thiên Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định bằng điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh đối với lớp hệ dương có trễ biến thiên x(t) ˙ = Ax(t) + Ad x(t − δt ) + Bu(t), t ≥ 0, (1a) y(t) = Cx(t) + Cd x(t − δt ), (1b) x(t) = φ(t), t ∈ [−δ∗ , 0]. (1c) 2
Trong thực tiễn kỹ thuật, vectơ trạng thái đầy đủ (full-state vector) thường không có sẵn để sử dụng làm thông tin phản hồi. Nói cách khác, thông tin về toàn bộ vectơ trạng thái x(t) không phải luôn đo được liên tục để có thể sử dụng điều khiển u(t) = Kx(t). Dựa trên đầu ra đo được y(t), một điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh, viết tắt là SOFC (static output-feedback controller), sẽ được thiết kế dạng u(t) = −Ky(t) = −K [Cx(t) + Cd x(t − δt )] , (2) ở đó K ∈ Rm×p là ma trận đạt được của điều khiển và sẽ được thiết kế. Tích hợp điều khiển (2), hệ đóng của (1) có dạng x(t) ˙ = (A − BKC) x(t) + (Ad − BKCd ) x(t − δt ), t ≥ 0. (3) | {z } | {z } Ac Adc Các nội dung cụ thể bao gồm: • Phân tích tính ổn định: Tìm các điều kiện cần và đủ đặc trưng cho tính ổn định tiệm cận toàn cục (GAS) của hệ đóng (3). Các điều kiện ổn định đó cần được thiết lập/chuyển đổi dưới các dạng khả dụng hướng tới các kỹ thuật tính toán và kiểm chứng và đặc biệt là cho mục đích nghiên cứu tính giải được của bài toán thiết kế điều khiển. • Sự tồn tại của điều khiển ổn định hóa: Đối với bài toán này, một số phương pháp trong các công trình đã công bố thường đi kèm với một số ràng buộc, hạn chế kĩ thuật hoặc chỉ cho các điều kiện đủ. Chúng tôi phát triển phương pháp tối ưu tuyến tính để tìm điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của điều khiển (2). 2.2. Điều khiển L1 đối với lớp hệ dương tuyến tính đa trễ Trong chương 3 chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển L1 đối với lớp hệ dương tuyến tính đa trễ m X x(t) ˙ = A0 x(t) + Ak x(t − hk ) + Bw w(t), (4a) k=1 m X z(t) = C0 x(t) + Ck x(t − τk ) + Dw w(t), (4b) k=1 x(t) = φ(t), t ∈ [−d, 0]. (4c) Các nội dung cụ thể bao gồm: • Phân tích tính ổn định: Thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của hệ mở (4) với các tính chất ổn định định tiệm cận toàn cục và ổn định L1 . • Đặc trưng chuẩn L1 -cảm sinh: Chúng tôi thiết lập một đặc trưng chuẩn L1 cho toán tử đầu vào-đầu ra Σ : L1 (R+ , Rnw ) −→ L1 (R+ , Rnz ), w 7→ z và chỉ số đạt được L1 3
(chuẩn năng lượng của toán tử Σ) của hệ (4) với điều kiện đầu bằng không cho bởi kzkL1 kΣkL1 = sup = sup kzkL1 . kwkL1 6 0 kwkL1 = kwkL =1 1 Sử dụng biến đổi Laplace kết hợp với một số ước lượng thích hợp chúng tôi tìm đặc trưng của kΣkL1 thông qua các ma trận hệ thống và từ đó tìm điều kiện cần và đủ dạng khả dụng cho bài toán điều khiển đảm bảo hiệu suất L1 mức γ (tức là kΣkL1 < γ ) với một ngưỡng γ > 0 cho trước. • Điều khiển ổn định hóa với hiệu suất mức L1 : Dựa trên kết quả đặc trưng chuẩn kΣkL1 , chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển với hiệu suất mức L1 . 2.3. Điều khiển ℓ∞ cho lớp hệ dương tuyến tính rời rạc với trễ biến thiên dạng khoảng Nội dung nghiên cứu thứ ba trong đề tài, chúng tôi xét bài toán điều khiển ℓ∞ đối vói lớp hệ dương tuyến tính rời rạc đa trễ biến thiên N X x(k + 1) = A0 x(k) + Aj x(k − dj (k)) + Bw w(k), k ≥ 0, (5a) j=1 N X z(k) = C0 x(k) + Cj x(k − hj (k)) + Dw w(k), (5b) j=1 x(k) = φ(k), k ∈ Z[−d, 0]. (5c) Các vấn đề nghiên cứu liên quan bài toán điều khiển ℓ∞ đối với hệ (5) bao gồm. • Phân tích tính ổn định. • Tìm đặc trưng chuẩn ℓ∞ -cảm sinh của toán tử đầu vào-đầu ra Ψ : ℓ∞ (Rnw ) −→ ℓ∞ (Rnz ), w 7→ z. • Ổn định hóa với hiệu suất ℓ∞ : Dựa trên kết quả đặc trưng chuẩn kΨkℓ∞−ℓ∞ , chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển với hiệu suất ℓ∞ mức γ > 0 cho trước. Cụ thể hơn, chúng tôi nghiên cứu tính giải được của bài toán điều khiển ℓ∞ và tìm các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh giải bài toán điều khiển ℓ∞ với hiệu suất mức γ > 0 cho trước. 3. Kết quả đạt được của luận án Luận án đạt được các kết quả chính sau đây. 1. Thiết lập được các điều kiện cần và đủ dạng bài toán quy hoạch tuyến tính cho sự tồn tại của điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh ổn định hóa lớp hệ tuyến tính với trễ biến thiên trên trạng thái và đầu ra. 4
2. Đưa ra đặc trưng chuẩn L1 -cảm sinh của toán tử đầu vào-đầu ra và thiết lập được các điều kiện cần và đủ ổn định hóa L1 -mức đối với lớp hệ tuyến tính dương đa trễ. 3. Đưa ra đặc trưng chuẩn ℓ∞ -cảm sinh của toán tử đầu vào-đầu ra và thiết lập được các điều kiện cần và đủ ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh đối với hệ dương tuyến tính rời rạc đa trễ biến thiên dạng khoảng. Các kết quả trên đây của luận án đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp chí quốc tế có uy tín trong danh mục ISI (Q1, Q2). 4. Phương pháp nghiên cứu 1. Sử dụng tính đơn điệu quỹ đạo và trạng thái cảm sinh bởi tính dương. 2. Phương pháp hàm Lyapunov đối dương. 3. Một số kĩ thuật tối ưu tuyến tính và kĩ thuật đặc thù dựa trên cách tiếp cận bằng các điều kiện quy hoạch tuyến tính dạng bất đẳng thức với biến vectơ. 5. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình đã công bố và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương. Chương 1 trình bày các kết quả bổ trợ về giải tích ma trận, các khái niệm cơ bản và kết quả liên quan đến lý thuyết ổn định Lyapunov cho một số lớp hệ tuyến tính tổng quát và hệ tuyến tính dương. Chương 2 nghiên cứu bài toán ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh cho lớp hệ tuyến tính dương với trễ biến thiên. Dựa trên một số kĩ thuật tối ưu tuyến tính, các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của điều khiển phản hồi ổn định hóa được thiết lâp thông qua các điều kiện khả dụng dạng quy hoạch tuyến tính. Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về bài toán điều khiển L1 cho lớp hệ tuyến tính dương đa trễ. Một đặc trưng chuẩn L1 -cảm sinh được thiết lập dựa trên cách tiếp cận bằng tính đơn điệu và biến đổi Laplace. Kết quả phân tích sau đó được sử dụng để đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của điều khiển phản hồi trạng thái ổn định hóa lớp hệ dương tuyến tính đa trễ với hiệu suất L1 -mức cho trước. Chương 4 nghiên cứu bài toán điều khiển ℓ∞ cho lớp hệ dương tuyến tính rời rạc đa trễ biến thiên dạng khoảng. Dựa trên cách tiếp cận mới sử dụng nguyên lí so sánh và tính đơn điệu quỹ đạo và trạng thái, một đặc trưng chuẩn ℓ∞ -cảm sinh được thiết lập. Phần sau của chương phát triển phương pháp trình bày trong Chương 2 và 3 cho bài toán điều khiển ℓ∞ lớp hệ dương tuyến tính rời rạc đa trễ biến thiên. 5
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tích ma trận và lý thuyết ổn định làm cơ sở cho việc trình bày nội dung các chương sau của luận án. 1.1. Ma trận Metzler và ma trận không âm 1.2. Tính ổn định Lyapunov 1.2.1. Một số khái niệm về ổn định 1.2.2. Tính ổn định và ổn định hóa hệ tuyến tính dừng 1.3. Hệ tuyến tính dương 1.3.1. Phân tích và thiết kế điều khiển 1.3.2. Hiệu suất L1-cảm sinh 1.4. Bổ đề KKM 6
Chương 2 ỔN ĐỊNH HÓA BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI ĐẦU RA TĨNH LỚP HỆ DƯƠNG TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ BIẾN THIÊN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh cho lớp hệ tuyến tính dương chứa trễ biến thiên trên cả trạng thái và đầu ra. Một các tiếp cận mới dựa trên tính đơn điệu cảm sinh bởi tính dương và một số kĩ thuật tối ưu tuyến tính được đề xuất và vận dụng trong việc thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của điều khiển phản hồi đảm bảo tính ổn định của hệ đóng. Nội dung chương này dựa trên bài báo [P1] trong danh mục công trình công bố. 2.1. Phát biểu bài toán Xét lớp hệ tuyến tính có trễ sau đây x(t) ˙ = Ax(t) + Ad x(t − δt ) + Bu(t), t ≥ 0, y(t) = Cx(t) + Cd x(t − δt ), (2.1) x(t) = φ(t), t ∈ [−δ∗ , 0], ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm và y(t) ∈ Rp tương ứng là điều khiển đầu vào và vectơ đo được đầu ra. A, Ad ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C , Cd ∈ Rp×n là các ma trận thực cho trước, δt biểu diễn trễ biến thiên thỏa mãn điều kiện 0 ≤ δt ≤ δ∗ . Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) được gọi là hệ dương nếu với mọi đầu vào không âm u(t) 0, t ≥ 0, và điều kiện đầu không âm φ(t) 0, t ∈ [−δ∗ , 0], quỹ đạo trạng thái và đầu ra luôn không âm, tức là, x(t) 0 và y(t) 0 với mọi t ≥ 0. Mệnh đề 2.1.1. Hệ (2.1) là hệ dương khi và chỉ khi A là ma trận Metzler và các ma trận Ad , B , C , Cd không âm. Đối với hệ (2.1), một điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh (SOFC) được thiết kế dạng u(t) = −Ky(t) = −KCx(t) − KCd x(t − δt ), (2.2) ở đó K ∈ Rm×p là ma trận đạt được của điều khiển. Hệ đóng của (2.1) được cho bởi x(t) ˙ = (A − BKC)(t) + (Ad − BKCd )x(t − δt ), t ≥ 0. (2.3) Mục đích của chương này là thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của điều khiển (2.2) sao cho hệ đóng (2.3) là hệ dương ổn định tiệm cận toàn cục. 7
2.2. Tính ổn định Xét hệ ngưỡng đối với (2.3) xˆ˙ (t) = Ac xˆ(t) + Adc xˆ(t − δ∗ ), t ≥ 0, (2.4) ˆ xˆ(t) = φ(t), t ∈ [−δ∗ , 0]. Điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ (2.4) được cho trong định lí dưới đây. Định lí 2.2.1. Giả sử (2.4) là hệ dương. Các phát biểu sau là tương đương. (a) Hệ (2.4) ổn định tiệm cận toàn cục. (b) Hệ (2.4) ổn định mũ toàn cục (GES), tức là, tồn tại các số dương α, β sao cho nghiệm bất kì xˆ(t) của (2.4) thỏa mãn đánh giá kˆ ˆ ∞ e−αt , x(t)k ≤ βkφk t ≥ 0, ở đó kφk ˆ ∞ = sup −δ∗ ≤t≤0 kφ(t)k∞ . ˆ (c) Tồn tại vectơ ν ∈ Rn , ν ≻ 0, sao cho ν ⊤ (Ac + Adc ) ≺ 0. (d) Tồn tại vectơ η ∈ Rn , η ≻ 0, thỏa mãn điều kiện LP sau (Ac + Adc )η ≺ 0. (2.5) Mệnh đề 2.2.1. Hệ dương (2.3) ổn định tiệm cận toàn cục (tương ứng GES) khi và chỉ khi hệ dương (2.4) ổn định tiệm cận (mũ) toàn cục. Điều kiện này tương đương với điều kiện (c) hoặc (d) cho trong Định lí 2.2.1. 2.3. Sự tồn tại của điều khiển Giả thiết (A): Các ma trận B và C + Cd tương ứng đủ hạng cột và đủ hạng dòng, tức là, rank(B) = m, rank (C + Cd ) = p. Định nghĩa 2.3.1. Bài toán ổn định hóa đối với hệ (2.1) được gọi là giải được nếu tồn tại điều khiển phản hồi (2.2) sao cho hệ đóng (2.3) là hệ dương ổn định. Mệnh đề 2.3.1. Bài toán ổn định hóa đối với hệ (2.1) là giải được nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận K ∈ Rm×p thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau Ac = A − BKC is a Metzler matrix, (2.6a) Adc = Ad − BKCd 0, (2.6b) ∃ν ∈ Rn , ν ≻ 0 : ν ⊤ As − ν ⊤ BKCs ≺ 0, (2.6c) ở đó As = A + Ad và Cs = C + Cd . 8
Nhận xét 2.3.1. Các điều kiện trong (2.6) được thỏa mãn nếu điều kiện LP dưới đây có nghiệm    1 ⊤ B ⊤ ν A − BZ ⊤ C + σˆ In 0,   m    ⊤ ⊤ ⊤  1m B ν Ad − BZ Cd 0,  ν ⊤ As − z ⊤ Cs ≺ 0, (2.7)       Z 1m z ⊤ ,    ν ∈ Rn , ν ≻ 0, σ ˆ ∈ R+ , Z ∈ Rm×p , z ∈ Rp . Hệ bất đẳng thức (2.7) cho một điều kiện đủ đối với bài toán ổn định hóa của hệ (2.1). Ma trận đạt được K cho bởi 1 K= Z ⊤, (B1m )⊤ ν ở đó ν ∈ Rn , ν ≻ 0, và Z ∈ Rm×p xác định bởi nghiệm của (2.7). Ta phân rã C = c1 c2 · · · cn và Cd = cd1 cd2 · · · cdn . Khi đó, điều kiện (2.6a)- (2.6b) được viết lại dạng  m   X   b k ⊤ c j ≤ aij , i ∈ 1, n, j 6= i,  il l l=1 Xm (2.8)     ⊤ bil kl cdj ≤ adij , i, j ∈ 1, n.  l=1 2.3.1. Trường hợp đầu vào và đầu ra một chiều Ta có B = (bi ) ∈ Rn là ma trận cột, C và Cd là các ma trận dòng với các phần tử ci và cdi , i ∈ 1, n và K = k là số thực. Ta xác định các hằng số adij ∗ γd = min : bi cdj 6= 0 . (2.9) i,j∈1,n bi cdj Kí hiệu Ei = ei e⊤ i , ở đó ei ∈ R là vectơ thứ i trong cơ sở chính tắc của R . n n Mệnh đề 2.3.2. Xét hệ dương (2.1) và giả sử Giả thiết (A) được thỏa mãn. Khi đó, các khẳng định sau đây đúng. (i) Nếu tồn tại chỉ số i ∈ 1, n sao cho BC = bi ci Ei , thì bài toán ổn định hóa của hệ (2.1) là giải được khi và chỉ khi ma trận As − γd∗ Fi là ma trận Hurwitz. Nói cách khác, tồn tại vectơ ν ∈ Rn , ν ≻ 0, sao cho ν ⊤ As ≺ γd∗ ν ⊤ Fi , (2.10) ở đó Fi = bi Ei (ci In + 1n Cd ). Giá trị tối ưu của hệ số phản hồi thu được là k = γd∗ . n o (ii) Đặt γa = mini6=j bi cj : bi cj 6= 0 . Bài toán ổn định hóa đối với hệ (2.1) là giải được ∗ aij khi và chỉ khi ma trận As − γ ∗ BCs là ma trận Hurwitz, ở đó γ ∗ = min{γa∗ , γd∗ }. Trong trường hợp này, giá trị tối ưu của hệ số phản hồi là k = γ ∗ . 9
2.3.2. Đầu vào một chiều đầu ra nhiều chiều Trong trường hợp này, K = k ⊤ là ma trận dòng p chiều (i.e. k ∈ Rp ). Giả sử B = (bi ) có ít nhất hai phần tử khác không. Tương tự Mệnh đề 2.3.2, ta xác định các hằng số ∗ aij ∗ adij δja = min : bi 6= 0 , δjd = min : bi 6= 0 , j ∈ 1, n, i6=j bi i∈1,n bi và vectơ h i h i δˆa∗ = δ1a ∗ ∗ δ2a ∗ · · · δna , δˆd∗ = δ1d ∗ ∗ δ2d ∗ · · · δnd . Điều kiện (2.8) được thỏa mãn nếu và chỉ nếu ⊤ k C Cd δˆa∗ δˆd∗ . (2.11) Trên cơ sở điều kiện (2.11), ta xác định đa diện ∆ như sau
∆ = k ∈ Rp
k ⊤ C Cd δˆa∗ δˆd∗ . (2.12) Để ý rằng rank(C + Cd ) ≤ rank[C Cd ], nên (2.12) xác định một đa diện lồi khác rỗng. Gọi S là tập đỉnh của ∆. Với mỗi vectơ χ ∈ Rn , χ ≻ 0, xét hàm ̺χ (k) = k ⊤ Cs χ và bài toán tối ưu hóa (P ) : maximize {̺χ (k) : k ∈ ∆} . (2.13) Dễ kiểm tra rằng tập nghiệm Sol(P ) của (2.13) khác rỗng. Bổ đề 2.3.1. Với mọi k∗ ∈ Sol(P ), tồn tại một đỉnh kv ∈ S sao cho ̺χ (kv ) = ̺χ (k∗ ). Định lí 2.3.1. Với Giả thiết (A), bài toán ổn định hóa đối với hệ dương (2.1) là giải được khi và chỉ khi tồn tại một đỉnh kv ∈ S sao cho As − Bkv⊤ Cs là ma trận Hurwitz. Nói cách khác, tồn tại vectơ η ∈ Rn , η ≻ 0, thỏa mãn điều LP dưới đây As η − B kv⊤ Cs η ≺ 0. (2.14) Nhận xét 2.3.2. Kết quả của Định lí 2.3.1 có thể mở rộng cho trường hợp đầu vào và đầu ra nhiều chiều (MIMO systems), ở đó ma trận B có các dòng trực giao, tức là, mỗi dòng của B có nhiều nhất một phần tử khác không. Cụ thể, ta kí hiệu a∗ aij d∗ adij θlj = min : bil 6= 0 , θlj = min : bil 6= 0 , j ∈ 1, n, l ∈ 1, m, i6=j bil i∈1,n bil h i h i θla∗ = θl1 a∗ θ a∗ · · · θ a∗ , θ d∗ = θ d∗ θ d∗ · · · θ d∗ l2 ln l l1 l2 ln và đa diện ∆l được xác định bởi
∆l = kl ∈ Rp
kl⊤ [C Cd ] [θla∗ θld∗ ] . (2.15) Mệnh đề 2.3.3. Giả sử ma trận B có các dòng trực giao và mỗi cột của B không trực giao. Khi đó, bài toán ổn định hóa đối với hệ (2.1) là giải được khi và chỉ khi tồn tại một đỉnh klv của ∆l , l ∈ 1, m, sao cho As − BKv Cs là ma trận Hurwitz. Giá trị tối ưu của hệ số phản hồi được cho bởi h i⊤ Kv = k1v k2v · · · km v . 10
P Nhận xét 2.3.3. Khi ma trận B có các dòng trực giao, tổng m l=1 bil (kl cj ) suy biến ⊤ thành một số hạng. Vì vậy, ta có thể tổng hợp được từng vectơ kl vì các ma trận B khôn liên kết C . Đặc tính này giúp đơn giản hóa kết quả như trong Mệnh đề 2.3.3. Tuy nhiên, với hệ MIMO tổng quát, tính chất tách tương tự không còn đúng. 2.3.3. Trường hợp đầu vào nhiều chiều, đầu ra một chiều Trong trường hợp này K = (kl ) ∈ Rm là ma trận cột. Đặt aij adij a ˆi = min : cj 6= 0 , a ˆdi = min : cdj 6= 0 , a∗i = min{ˆai , a ˆdi }, i ∈ 1, n, i6=j cj j∈1,n cdj với quy ước min trên tập rỗng được bở qua. Khi đó, điều kiện (2.8) được thỏa mãn khi và chỉ khi k thuộc đa diện ∆ˆ xác định bởi ( m ) X ∆ˆ = x ∈ Rm : bil xl ≤ a∗i , i ∈ 1, n . (2.16) l=1 Kí hiệu Sˆ là tập đỉnh của ∆ ˆ . Ta có kết quả sau. Mệnh đề 2.3.4. Với Giải thiết (A), bài toán ổn định hóa đối với hệ dương (2.1) là giải được nếu và chỉ nếu tồn tại một đỉnh kv ∈ Sˆ sao cho As − Bkv Cs là ma trận Hurwitz. Giá trị tối ưu của điều khiển, đảm bảo tốc độ hội tụ mũ cao nhất của hệ đóng, là một điểm hữu hiệu K = kv∗ của bài toán tối ưu giá trị vectơ m X max klv (b⊤ l Cs ) s.t. kv ∈ Sˆ và As − Bkv Cs là ma trận Hurwitz. (2.17) l=1 2.3.4. Trường hợp đầu vào và đầu ra nhiều chiều Trong mục này chúng tôi xét hệ MIMO dạng (2.1) với đầu ra thuần trễ (tức là C = 0). Do Giải thiết (A), ma trận Cd đủ hạng dòng. Giả sử Cd có dạng chính tắc [C¯d 0p×(n−p)], tức là tồn tại ma trận không suy biến L sao cho LCd = [C¯d 0p×(n−p)], ở đó C¯d ∈ Rp×p không suy biến. Sử dụng phép đổi biến ¯ C¯ −1 L, K=K d (2.18) điều kiện (2.8) được thỏa mãn khi và chỉ khi B K ¯ A¯d , ở đó A¯d là ma trận con của lập bởi p cột đầu của ma trận Ad . Do đó, mỗi cột k¯j của K ¯ thuộc đa diện sau đây ( )
X m
∆j = k¯j ∈ Rm
bil k¯lj ≤ adij , i ∈ 1, n l=1 Kí hiệu S j là tập đỉnh của ∆j , j ∈ 1, p. Định lí 2.3.2. Xét hệ dương (2.1) với C = 0 và Cd có dạng chính tắc [C¯d 0p×(n−p)]. Khi đó, với Giải thiết (A), bài toán ổn định hóa đối với hệ (2.1) là giải được nếu và chỉ nếu 11