Tóm tắt luận văn thạc sĩ Khoa học: Các hàm trong lý thuyết số và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> ĐẶNG THỊ MỸ LINH<br /> <br /> CÁC HÀM TRONG LÝ THUYẾT<br /> SỐ VÀ ỨNG DỤNG<br /> <br /> Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> Mã số :<br /> 60.46.40<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2012<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Gia Định<br /> <br /> Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu<br /> <br /> Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng<br /> <br /> Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa<br /> học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 12 năm 2012.<br /> <br /> * Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> − Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> − Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lịch sử, tính thời sự của vấn đề và sự liên quan đến các<br /> lĩnh vực khác<br /> Khoảng 4 thập niên gần đây, sự phát triển của Tin học đã làm thay đổi nhiều<br /> ngành truyền thống của lý thuyết số (ở đây chúng ta thường dùng thuật ngữ "số<br /> học"). Ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của số học có ứng dụng trực tiếp vào<br /> các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính... và việc sử<br /> dụng rộng rãi máy tính trong nghiên cứu số học đã tạo nên một phương hướng<br /> mới của số học, đó là: số học và thuật toán. Số học ngày nay đã trở thành một<br /> khoa học thực nghiệm.<br /> Trong lý thuyết số, các hàm số học đóng một vai trò rất quan trọng, có nhiều<br /> ứng dụng của chúng trong nhiều ngành của toán học và khoa học máy tính. Một<br /> trong những kiến thức nâng cao mà học sinh cần hiểu biết thấu đáo để có thể áp<br /> dụng giải những bài toán số học là về các hàm số học. Ngoài ra, các hàm số học<br /> như hàm π , hàm li và hàm ζ Riemann cũng có một vai trò hết sức quan trọng<br /> trong các bài toán liên quan đến số nguyên tố. Hàm π xác định bởi π(x) là số<br /> các số nguyên tố không vượt quá số thực x. Năm 1793, Gauss đưa ra dự đoán:<br /> lim<br /> <br /> x→+∞<br /> <br /> π(x)<br /> x<br /> log x<br /> <br /> = 1,<br /> <br /> được gọi là Định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem). Các nhà toán<br /> học Gauss, Legrendre, Chebyshev, Riemann đã cố gắng chứng minh định lý này<br /> nhưng không thành công. Chứng minh đầu tiên của định lý này vào năm 1896<br /> bởi Hadamard và Vallée-Poussin. Đây là kết quả quan trọng nhất trong lý thuyết<br /> số cho đến thời điểm này. Năm 1980, Selberg và Erdos đưa ra một chứng minh<br /> ¨<br /> sơ cấp khác. Năm 1980, D.J. Newman đưa ra một chứng minh đơn giản hơn<br /> và trong chứng minh của mình, Newman sử dụng cơ sở giải tích phức. Nhờ vào<br /> x<br /> Định lý số nguyên tố, trong thực tế, người ta thường xấp xỉ π(x) bởi hàm<br /> .<br /> log x<br /> Gần đây, người ta sử dụng hàm li:<br /> x<br /> <br /> li(x) =<br /> 2<br /> <br /> dt<br /> log t<br /> <br /> 2<br /> <br /> để nhận được xấp xỉ tốt hơn cho hàm π(x). Đối với hàm ζ , vào năm 1737, Euler<br /> đưa ra định nghĩa :<br /> +∞<br /> 1<br /> ζ(s) =<br /> ns<br /> n=1<br /> <br /> với mọi số thực s > 1. Năm 1859, Riemann xét hàm ζ với giá trị phức để chứng<br /> minh Định lý số nguyên tố (nhưng bất thành!). Từ đó hàm ζ có một vai trò<br /> khá lớn trong số học và nhận được một số tính chất quan trọng trong số học.<br /> Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài "Các hàm<br /> trong lý thuyết số và ứng dụng" với hy vọng sẽ tìm hiểu sâu về lý thuyết<br /> và ứng dụng của các hàm trong số học nhằm góp phần làm phong phú thêm các<br /> kết quả trong lĩnh vực này. Chúng tôi hy vọng đây là một tài liệu tham khảo tốt<br /> cho những người bắt đầu tìm hiểu về các hàm quan trọng trong lý thuyết số và<br /> ứng dụng của chúng trong các bài toán của số học và hy vọng các ví dụ minh<br /> họa và các bài toán ứng dụng góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong<br /> lĩnh vực này.<br /> <br /> 2. Mục đích nghiên cứu<br /> Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các hàm quan trọng trong lý thuyết số<br /> thể hiện qua phần lý thuyết và phần ứng dụng để giải một số lớp bài toán hay<br /> và khó trong số học.<br /> <br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các hàm: hàm M¨bius, hàm Euler, hàm<br /> o<br /> Mangoldt, hàm Liouville, τ -hàm, σ -hàm suy rộng, hàm Legendre, π -hàm, li-hàm,<br /> ζ -hàm Riemann.<br /> Phạm vi nghiên cứu của đề tài là lý thuyết và ứng dụng các hàm trong lý<br /> thuyết số.<br /> <br /> 4. Phương pháp nghiên cứu<br /> Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, đánh giá, tổng hợp và tham gia các<br /> buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu.<br /> <br /> 3<br /> <br /> 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài<br /> Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Các hàm<br /> trong lý thuyết số và ứng dụng nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những<br /> ai muốn nghiên cứu về các hàm quan trọng trong lý thuyết số và ứng dụng của<br /> chúng trong các bài toán của số học.<br /> Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như xây dựng một hệ<br /> thống các bài toán cùng lời giải với các mức độ khó dễ khác nhau nhằm làm cho<br /> người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập.<br /> <br /> 6. Cấu trúc của luận văn<br /> Chương 1 - Các hàm số học, nghiên cứu về các hàm số học thường sử dụng<br /> trong lý thuyết số, như hàm Mobius, hàm Euler, hàm Mangoldt, hàm Liouville,<br /> τ -hàm, σ -hàm suy rộng, hàm Legrendre và các khái niệm dẫn xuất cùng các tính<br /> chất liên quan.<br /> Chương 2 - Các hàm π , li và ζ Riemann, khảo sát các hàm số thực có vai trò<br /> quan trọng trong số học là π -hàm, li-hàm, ζ -hàm Riemann và trình bày các tính<br /> chất cơ bản của các hàm này, như là Định lý số nguyên tố và các hằng đẳng<br /> thức đối với ζ -hàm Riemann.<br /> Chương 3 - Các bài toán liên quan đến các hàm trong lý thuyết số, ứng dụng<br /> để giải các bài toán liên quan đến các hàm trong Chương 1 và Chương 2.<br /> <br /> CHƯƠNG<br /> <br /> 1<br /> <br /> CÁC HÀM SỐ HỌC<br /> Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liệu<br /> [1], [2] và [3].<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Hàm số học và tích chập Dirichlet<br /> <br /> Định nghĩa 1.1. Ánh xạ f : N∗ → C được gọi là một hàm số học.<br /> Như vậy, hàm số học cũng là một dãy số phức {cn }∞ với cn = f (n). Tuy<br /> n=1<br /> nhiên, do người ta muốn khai thác các tính chất hàm nhiều hơn tính chất dãy<br /> <br />