Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Điều kiện để mọi nghiệm giới nội của phương trình vi phân hàm là ổn định mạnh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về không gian Banach, lý thuyết phổ của lớp các hàm số bị chặn trên nửa đường thẳng. Chương 2 trình bày ứng dụng lý thuyết phổ của hàm số bị chặn trên R + với dáng điệu tiệm cận đối với nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hóa trên nửa đường thẳng. Chương 3 trình bày ứng dụng của lý thuyết phổ của hàm số bị chặn trên R + với dáng điệu tiệm cận đối với nghiệm đủ tốt của phương trình vi phân hàm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Điều kiện để mọi nghiệm giới nội của phương trình vi phân hàm là ổn định mạnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI ———————————– LÊ THẾ SẮC ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỌI NGHIỆM GIỚI NỘI CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM LÀ ỔN ĐỊNH MẠNH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Hà Bình Minh Hà Nội - 2011 i
Mục lục 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Toán tử đóng trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phổ của toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Phổ của toán tử vi phân trên không gian thương . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Lớp các không gian con F + . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Toán tử vi phân cảm sinh trên không gian thương . . . . . . 8 1.3.4 Tính chất của toán tử vi phân trên không gian thương . . . 8 1.4 Phổ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Định nghĩa phổ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Không gian hàm sinh ra từ phổ hàm số . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Toán tử vi phân trên không gian ΛF (X) . . . . . . . . . . . 10 1.4.4 Điều kiện phổ để hàm số thuộc một không gian hàm cho trước 10 2 Điều kiện để nghiệm giới nội của phương trình vi phân là ổn định mạnh 12 2.1 Định nghĩa nghiệm đủ tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Tính chất phổ của nghiệm đủ tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Điều kiện phổ để nghiệm đủ tốt là ổn định tiệm cận . . . . . . . . . 17 3 Điều kiện để nghiệm giới nội của phương trình vi phân hàm ổn định mạnh 18 3.1 Định nghĩa nghiệm đủ tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Tính chất phổ của nghiệm đủ tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Điều kiện phổ để nghiệm đủ tốt là ổn định tiệm cận . . . . . . . . . 25 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ii
Lời mở đầu Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về không gian Banach, lý thuyết phổ của lớp các hàm số bị chặn trên nửa đường thẳng. Trong chương này chúng tôi trình bày một phương pháp tiếp cận mới về phổ hàm số được đưa ra trong bài báo [7] của GS. Nguyễn Văn Minh. Phương pháp này liên quan đến toán tử vi phân d D := trên không gian hàm BU C(R+ , X). Thông qua kỹ thuật này ta thiết lập dt được mối quan hệ giữa phổ của hàm số và phổ của toán tử vi phân D, với kết quả chính là Định lý 1. Định lý này là một công cụ quan trọng để chứng minh các kết quả trong Chương 2 và Chương 3. Chương 2: Trình bày ứng dụng lý thuyết phổ của hàm số bị chặn trên R+ với dáng điệu tiệm cận đối với nghiệm đủ tốt của phương trình tiến hóa trên nửa đường thẳng. Chương 3: Trình bày ứng dụng của lý thuyết phổ của hàm số bị chặn trên R+ với dáng điệu tiệm cận đối với nghiệm đủ tốt của phương trình vi phân hàm. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Hà Bình Minh thuộc khoa Toán trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy về sự giúp đỡ khoa học mà thầy đã dành cho tôi và đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn. Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy phản biện, những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên Xemina thuộc Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN và trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã phân tích, đóng góp rất nhiều ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn tốt hơn. Cuối cùng, tôi cũng xin cám ơn các thầy cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để tôi ngày một hoàn thiện hơn về chuyên môn. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 iii
Danh mục các ký hiệu 1. R: Tập hợp các số thực; 2. R+ : Tập hợp các số thực không âm; 3. C: Tập hợp các số phức; 4. Reλ: Phần thực của số phức λ; 5. L(X): Không gian Banach bao gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X; 6. BC(R+ , X): Không gian các hàm f : R+ → X liên tục, bị chặn; 7. BU C (R+ , X) := f ∈ BC (R+ , X) : f liên tục đều ; n o 8. C0 (R+ , X) := f ∈ BC (R+ , X) : lim f (t) = 0 ; t→∞ 9. Y := BU C(R+ , X)/F; 10. A: Toán tử tuyến tính; 11. σ(A): Phổ của toán tử A; 12. ρ(A): Tập giải của A; 13. R(λ, A): Giải thức của A; d 14. D: Toán tử đạo hàm D := ; dt ˜ Toán tử vi phân cảm sinh bởi toán tử D; 15. D: 16. sp+ F (f ): Phổ rút gọn của f theo F; 17. ΛF (X) := f˜ ∈ Y : spF (f˜) ⊂ Λ, lim αR(α + iξ, D) + ˜ f˜= ˜0, ∀ξ ∈ Λ ; α↓0 ˜ trên ΛF (X). 18. DΛ : Toán tử hạn chế của toán tử D iv
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử đóng trong không gian Banach Định nghĩa 1. Một không gian véc-tơ X được gọi là một không gian định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có một số thực không âm được gọi là chuẩn của x, ký hiệu là kxk, thỏa mãn các tính chất sau: 1. kxk > 0, kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0; 2. kλxk = |λ|kxk, ∀λ ∈ C hoặc R; 3. kx + yk 6 kxk + kyk. Một không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu nó đầy đủ, nghĩa là mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Trong luận văn này chúng ta sẽ sử dụng các không gian hàm Banach sau đây: Ví dụ 1. 1. Ta ký hiệu BC(R, X) là không gian các hàm f : R → X liên tục, bị chặn, và có chuẩn sup được định nghĩa như sau: kf k := sup kf (t)k, ∀f ∈ BC(R, X). (1.1) t∈R Khi đó BC(R, X) là một không gian Banach. 2. Tương tự, không gian BU C (R, X) := f ∈ BC (R, X) : f liên tục đều cũng là không gian Banach với chuẩn sup được định nghĩa trong (1.1). 1
3. Ta ký hiệu BC(R+ , X) là không gian các hàm f : R+ → X liên tục, bị chặn và có chuẩn kf k := sup kf (t)k, ∀f ∈ BC(R+ , X). (1.2) t∈R+ Khi đó BC(R+ , X) cũng là một không gian Banach. Tương tự, các không gian sau đây sẽ là không gian Banach với chuẩn sup được định nghĩa trong (1.2): BU C R+ , X := f ∈ BC R+ , X : f liên tục đều , n o + + C0 R , X := f ∈ BC R , X : lim f (t) = 0 . t→∞ Định nghĩa 2. Cho X là không gian Banach phức, A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, D(A) là không gian véc tơ con của X. Số λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu tồn tại toán tử nghịch đảo bị chặn (A − λI)−1 : X → D(A) xác định trên toàn không gian X. Tập các giá trị chính quy của A được gọi là tập giải của A, kí hiệu ρ(A). Tập σ(A) = C \ ρ(A) được gọi là phổ của A. Định nghĩa 3. Toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X được gọi là toán tử đóng nếu từ các điều kiện {xn } ⊂ D(A), xn → x, Axn → y ta suy ra được x ∈ D(A) và Ax = y. Mệnh đề 1. Nếu toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X không có phổ là toàn mặt phẳng phức C thì A là toán tử đóng. Chứng minh. Giả sử λ ∈ ρ(A) và B = (A − λI)−1 ∈ L(X), B : X → D(A). Từ giả thiết {xn }n ⊂ D(A) : xn → x, Axn → y khi n → ∞, ta cần chứng minh x ∈ D(A), Ax = y. Đặt hn = (A − λI)xn . Khi đó, lim hn = lim (A − λI)xn = y − λx. n→∞ n→∞ Từ đó suy ra B(y − λx) = lim Bhn = lim (A − λI)−1 (A − λI)xn = lim xn = x ∈ D(A), n→∞ n→∞ n→∞ đồng thời ta cũng có (A − λI)x = (A − λI)B(y − λx) = y − λx ⇒ Ax = y. Do đó A là toán tử đóng. 2
1.2 Phổ của toán tử vi phân Việc nghiên cứu phổ của toán tử vi phân đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết phổ của hàm số. Mục này sẽ dành để khảo sát các tính chất phổ của toán tử vi phân. Định nghĩa 4. D(D) là tập tất cả các hàm khả vi f ∈ BU C(R+ , X) sao cho f 0 ∈ BU C(R+ , X). Toán tử D được xác định bởi: Df = f 0 , ∀f ∈ D(D). Mệnh đề 2. D là toán tử đóng trên BU C(R+ , X) với σ(D) = iR. Hơn nữa, với mỗi ξ ∈ R, Reλ 6= 0 ta có  ∞ R λ(t−s)  e   f (s)ds, Reλ > 0, t ∈ R+ , t R(λ, D)f (t) = Rt (1.3)  − eλ(t−s) f (s)ds, Reλ < 0, t ∈ R+ .   0 Chứng minh. Trước tiên, ta chứng minh σ(D) = iR bằng cách chỉ ra rằng σ(D) ⊂ iR và σ(D) ⊃ iR. Bước 1: Ta sẽ chỉ ra rằng σ(D) ⊂ iR. Điều này tương đương với nếu λ ∈ / iR thì λ ∈ / σ(D). Số λ ∈ / σ(D) chính là giá trị chính quy của D, tức là với mọi f ∈ BU C(R+ , X) thì phương trình sau đây Dx − λx = f (1.4) có duy nhất nghiệm x ∈ BU C(R+ , X). Giả sử rằng λ ∈ / iR. Ta sẽ chia ra làm 2 trường hợp: 1. Trường hợp Reλ > 0: Trong trường hợp này, phương trình (1.4) sẽ có nghiệm duy nhất thuộc BU C(R+ , X) được cho bởi công thức sau: Z∞ xλ,f (t) := − f (s)eλ(t−s) ds, t ∈ R+ . t Thật vậy, trước tiên ta sẽ chứng minh công thức trên là nghiệm của phương trình (1.4). (1.4) ⇔ x0 (t) = λx(t) + f (t). (1.5) 3
Ta viết lại xλ,f (t) dạng: Z∞ xλ,f (t) = −eλt e−λs f (s) ds. t Sử dụng công thức tính đạo hàm của tích phân có cận thay đổi ta được: Z∞ x0λ,f (t) = −λeλt e−λs f (s) ds + eλt e−λt f (t) = λxλ,f (t) + f (t) . t Do đó xλ,f là nghiệm của phương trình (1.4). Tiếp theo ta sẽ chỉ ra xλ,f (t) bị chặn. Thật vậy, do f bị chặn trên R+ nên |f (s)| 6 M, ∀s > 0. Từ đó ta sẽ có đánh giá sau: Z∞ Z∞ ZA
xλ,f (t)
6
f (s)
e(t−s)Reλ ds 6 M e(t−s)Reλ ds = M lim e(t−s)Reλ ds A→∞ t t t M
A M M =− lim e(t−s)Reλ
=− lim e(t−A)Reλ − 1 = .
Reλ A→∞ s=t Reλ A→∞ Reλ Cuối cùng ta sẽ chỉ ra rằng xλ,f (t) liên tục đều trên R+ . Thật vậy, với mọi ε ε > 0 cho trước, tồn tại số δ = sao cho với mọi t1 , t2 ≥ 0 thỏa mãn M kt1 − t2 k < δ ta có:
t