Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giả Jacobian và tối ưu liên tục

Chia sẻ: Dien_vi09 Dien_vi09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là trình bày một cách có hệ thống, các kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về giả Jacobian. Chứng minh chặt chẽ, chi tiết các định lí, mệnh đề về mối quan hệ giữa Jacobian và các loại đạo hàm suy rộng khác đồng thời xét một số ví dụ điển hình của giả Jacobian trong tối ưu hóa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giả Jacobian và tối ưu liên tục

1 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VIẾT MINH GIẢ JACOBIAN VÀ TỐI ƯU LIÊN TỤC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phan Nhật Tĩnh Phản biện 1 : TS. Lê Hải Trung Phản biện 2 : TS. Hoàng Quang Tuyến Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng 6 năm 2011. TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2011 * Có thể tìm hiểu luận văn tại : - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 3 Mở ñầu 4 Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu các tài liệu về giải tích lồi, giả Jacobian trong và ngoài nước 1. Lý do chọn ñề tài Bài toán tối ưu hóa là hình thức là làm tối ưu (nhỏ nhất hoặc lớn nhất) một hàm mục tiêu với các ràng buộc nhất ñịnh. Công cụ chính ñể nghiên cứu bài toán là phép tính vi phân của các hàm khả vi ñược xây 4. Phương pháp nghiên cứu Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan ñến Giả Jacobian và tối ưu liên tục Tham khảo thêm các tài liệu liên quan ñến ñề tài có trên mạng dựng bởi Leibnitz và Newton vào thế kỉ 17. Trong những năm ñầu của Internet thế kỉ 21, hai nhà toán học V. Jeyakumar và Đ.T. Luc ñã ñề xuất khái 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài niệm giả Jacobian như là một mở rộng của khái niệm Jacobian cho các Luận văn ñã trình bày một cách có hệ thống về một dạng ñạo hàm hàm vectơ liên tục. Đây ñược xem như là một công cụ hiệu quả cho việc suy rộng cho lớp các hàm vectơ liên tục, ñó là giả Jacobian. Đây là một nghiên cứu các bài toán tối ưu liên tục. Như vậy, các vấn ñề về phép dạng ñạo hàm suy rộng có tính tổng quát cao. Ngoài ra luận văn còn ñưa tính các giả Jacobian và các ứng dụng của chúng trong bài toán tối ưu ra các ñiều kiện cực trị cho các bài toán tối ưu. Do ñó, luận văn có thể liên tục thực sự là một vấn ñề hiện ñại trong lý thuyết tối ưu, nó vừa xem như là một tài liệu tham khảo cho sinh viên sư phạm và hệ cử nhân mang tính thời sự, ñồng thời lại mang tính kế thừa sâu sắc và ñạt ñến toán. một trình ñộ khái quát cao. Từ những lí do ñó, chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên: Giả Jacobian và tối ưu liên tục ñể tiến hành nghiên cứu. 2. Mục ñích nghiên cứu Mục ñích của luận văn là trình bày một cách có hệ thống, các kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về giả Jacobian. 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn ñược chia làm 3 chương. Chương 1 sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về giả Jacobian. Trong chương này, ngoài việc chỉ ra các ñạo hàm suy rộng thường gặp như Jacobian suy rộng Clarke, dưới vi phân của hàm lồi vô hướng, dưới vi phân Michel-Penot là những trường hợp riêng của giả Jacobian, Chứng minh chặt chẽ, chi tiết các ñịnh lí, mệnh ñề về mối quan hệ chúng tôi cũng chứng tỏ rằng dưới vi phân của hàm vectơ lồi cũng là giữa Jacobian và các loại ñạo hàm suy rộng khác ñồng thời xét một số một giả Jacobian của hàm vectơ ñó. Đây là kiến thức bổ trợ cho chương ví dụ ñiển hình của giả Jacobian trong tối ưu hóa. 2 và chương 3. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: ñề tài nghiên cứu về giả Jacobian và tối ưu liên tục Chương 2 ñề cập ñến các quy tắc tính toán trong giả Jacobian, ñịnh lí giá trị trung bình, khai triển Taylor và một số tính chất cơ bản của nó. Chương 3 sẽ trình bày các ñiều kiện cực trị (ñiều kiện tối ưu cấp một, ñiều kiện tối ưu cấp hai) cho các bài toán quy hoạch với các ràng buộc khác nhau (ràng buộc ñẳng thức, ràng buộc bất ñẳng thức,…). 5 6 Cho φ : Chương 1 Ma trận giả Jacobian Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức ñã biết có liên quan ñến giải tích lồi, giải tích vectơ ñồng thời nghiên cứu về khái niệm giả Jacobian, một dạng ñạo hàm suy rộng của hàm vectơ liên tục. Bố cục chương này như sau. Trong mục 1.1 chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức ñã biết và ñưa ra ñịnh nghĩa giả Jacobian, sau ñó là các tính chất cơ bản của nó. Mục 1.2 nêu lên mối quan hệ giữa giả Jacobian và một số ñạo hàm suy rộng khác cũng trong mục này ñưa ra khái niệm giả Hessian của hàm vô hướng khả vi liên tục. Các khái niệm giả Jacobian lùi xa và giả Jacobian riêng ñược nêu ở mục 1.3. Mục 1.4 dành cho việc n là một hàm số và x, u ∈ → Dini trên của φ tại x theo hướng u kí hiệu φ + ( x, u ) , ñược xác ñịnh bởi φ ( x + tu ) − φ ( x ) φ + ( x, u ) = lim sup . t ↓0 t Tương tự như vậy, ñạo hàm theo hướng Dini dưới của φ tại x theo hướng u kí hiệu φ − ( x, u ) ; ñược xác ñịnh bởi φ ( x + tu ) − φ ( x ) φ − ( x, u ) = lim inf . t ↓0 t Các giới hạn trên có thể nhận giá trị thực mở rộng - ∞ và + ∞ . Khi φ + ( x, u ) = φ − ( x, u ) , thì các giá trị ñó ñược kí hiệu chung là φ / ( x, u ) và gọi là ñạo hàm theo hướng của φ tại x theo hướng u . Nếu ñiều này ñúng với mọi hướng u thì hàm φ ñược gọi là khả vi theo hướng tại x . n Định nghĩa 1.1.1. Cho f : ∂f ( x ) ⊆ L 1.1. Định nghĩa và một số tính chất cơ bản Cho L ( , m ) là không gian ma trận thực cấp m × n , mỗi ma n trận M là một toán tử tuyến tính từ x∈ n có một ma trận M ( x ) ∈ m → m . Ma trận chuyển vị của M kí hiệu m là M và cũng coi như là một toán tử tuyến tính từ viết vM, với v ∈ L ( n , m m → n , ñôi khi ta ) với chuẩn tuyến tính như sau = Sup M ( x) . trong ñó M1 , M 2 , …, M n ∈ ñóng ñơn vị của không gian L 2 + M2 m ( 2 + ... + M n , m gồm các ma trận cấp m × n ñược gọi là giả ( vf ) ( x, u ) ≤ + sup M ∈ ∂f ( x ) n và với mọi v ∈ m v, M ( u ) . , ta có (1.1) m trong ñó vf là hàm thực xác ñịnh bởi vf := v, f = ∑v f . i i i =1 Mỗi phần tử của ∂f ( x ) ñược gọi là một ma trận giả Jacobian của Mệnh ñề 1.1.2. (i) Một tập ñóng ∂f ( x ) ⊆ L 2 ( n , m ) là một ma trận giả Jacobian của f tại x nếu và chỉ nếu với mọi u ∈ , là n cột của ma trận M . Hình cầu n ) là hàm vectơ liên tục. Tập ñóng Jacobian chính quy của f tại x . Chuẩn ở ñây tương ñương với chuẩn Euclide M1 , m f tại x . Nếu dấu ñẳng thức ở (1.1) xảy ra thì ∂f ( x ) ñược gọi là giả x ≤1 M = m → Jacobian của f tại x nếu với mọi u ∈ thay vì viết M tr ( v ) . Chúng ta trang bị trên M ( n , vì vậy với mỗi vectơ tr . Đạo hàm theo hướng 1.1.1. Giả Jacobian nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ giả Jacobian n n ) ñược kí hiệu bằng B mn . v∈ m , ta có ( vf ) − ( x; u ) ≥ M inf ∈ ∂f ( x ) ( ⊆ L( (ii) Nếu ∂f ( x ) ⊆ L tập con ñóng A n n , , và với mọi (1.2) ) là giả Jacobian của f tại x , thì mọi ) chứa ∂f ( x ) ñều là giả Jacobian của m m v, M ( u ) . n 8 7 Cho u ∈ f tại x . (iii) Nếu {∂ i f ( x )}i =1 ⊆ L( ∞ n , m ) là một dãy giảm các giả Jacobian bị ∞ chặn của f tại x , thì I ∂ i f ( x) cũng là một giả Jacobian của f tại x . i =1 1.1.2. Đạo hàm Gâteaux, ñạo hàm Fréchet và ñạo hàm chặt Giả sử rằng f : n → m , ta nói rằng f khả vi Gâteaux tại x nếu có một ma trận M cấp m × n sao cho với mọi u ∈ , ta có f ( x + tu ) − f ( x) lim = M (u ) . t ↓0 t Khi ñó M ñược gọi là ñạo hàm Gâteaux của f tại x . Nếu f khả vi Gâteaux tại x thì ñạo hàm Gâteaux M của nó trùng với ma trận Jacobian ∇f ( x) của f tại x. f ( x + u ) − f ( x ) − M (u ) = 0 . Nó ñược gọi Khi ma trận M thỏa mãn lim u →0 u là ñạo hàm Fréchet của f tại x và f gọi là khả vi Fréchet tại x . n Mệnh ñề 1.1.3. Cho f : n → m là hàm vectơ liên tục, khả vi Gâteaux tại x , khi ñó {∇f ( x)} là một giả Jacobian của f tại x . Ngược lại, nếu f là một giả Jacobian tại x chỉ gồm một phần tử thì f khả vi Gâteaux tại ñiểm ñó và ñạo hàm Gâteaux của nó trùng với ma trận giả Jacobian này. Mệnh ñề 1.1.4. Cho f : n → m v∈ [ ∇f ( x ) ] tr m có ma trận M (v ) = M tr (v) . , ñạo hàm Clarke theo hướng của hàm số φ tại x theo hướng u ñược ký hiệu φ o ( x; u ) và xác ñịnh bằng φ ( x '+ tu ) − φ ( x ') . φ o ( x; u ) := lim sup t ↓ 0 x '→ x t Dưới vi phân Clarke của φ tại x ñược kí hiệu ∂ Cφ ( x ) và xác ñịnh bởi { } ∂ Cφ ( x ) = ξ ∈ n : ξ , u ≤ φ o ( x; u ) , với u ∈ n . Một chú ý của tính chất dưới vi phân này là một tập lồi, compact trong n và φ o ( x; u ) thỏa mãn φ o ( x; u ) = max ξ , u với mọi u ∈ n . C ξ ∈∂ φ ( x ) n Giả sử f : → m là hàm Lipschitz gần x. Khi ñó Jacobian suy rộng Clarke của f tại x, kí hiệu là ∂ C f ( x ) và xác ñịnh bởi { } ∂ C f ( x ) := co lim ∇f ( xi ) : xi ∈ Ω, xi → x , i →∞ trong ñó Ω là tập tất cả các ñiểm của U mà tại ñó f khả vi. { } Tập hợp ∂ B f ( x ) := lim ∇f ( xi ) : xi ∈ Ω, xi → x , i →∞ ñược gọi là B-dưới vi phân của f tại x. Mệnh ñề 1.1.5. Cho f : n → m là hàm Lipschitz gần x. Khi ñó Jacobian suy rộng Clarke ∂ f ( x ) của f tại x là một giả Jacobian của C f tại ñiểm này. 1.2. Giả vi phân và giả Hessian của những hàm vô hướng là hàm vectơ liên tục, khả vi Gâteaux tại x và ∂f ( x) là một giả Jacobian bị chặn của f tại x , khi ñó với mỗi n của bao lồi co∂f ( x) sao cho Trong trường hợp riêng khi m = 1 ta có ∇f ( x) ∈ co∂f ( x) . 1.1.3. Jacobian suy rộng Clarke Hàm φ : n → ñược gọi là Lipschitz gần x nếu tồn tại lân cận U ñóng ∂f ( x ) ⊆ với mọi x1 , x2 ∈U n n → là hàm liên tục. Ta nói rằng tập con là một giả vi phân của hàm f tại x nếu xem như một tập con của L ( n , ) thì nó là một giả Jacobian của f tại x. Như vậy ∂f ( x ) là một giả vi phân của hàm f tại x khi và chỉ khi f + ( x, u ) ≤ sup ξ , u và f − ( x, u ) ≥ inf ξ , u , ∀u ∈ n . ξ ∈∂f ( x ) ξ ∈∂f ( x ) 1.2.1. Dưới vi phân của hàm lồi Cho f : của x và một hằng số k > 0 sao cho φ ( x1 ) − φ ( x2 ) ≤ k x1 − x2 Định nghĩa 1.2.1. Cho f : n → ∪ {∞} là một hàm vô hướng có giá trị thực mở rộng. Miền xác ñịnh hữu hiệu của f là tập 10 9 { dom( f ) = x ∈ n } và trên ñồ thị của nó là một tập hợp epi( f ) = {( x, t ) ∈ n ∂ MP f ( x ) := {ξ ∈ : f ( x) < +∞ × Mệnh ñề 1.2.4. Cho f : } : f ( x) ≤ t . tập hợp ∂ Dưới vi phân của f (theo ñịnh nghĩa của giải tích lồi) là một tập { ∂ ca f ( x ) = ξ ∈ n : ξ , u ≤ f / ( x; u ) , với mọi u ∈ n }. ñịnh hữu hiệu của f , khi ñó n tồn tại và ñược xác ñịnh bởi f ( x0 + tu ) − f ( x0 ) f ( x0 + tu ) − f ( x0 ) f / ( x0 ; u ) = lim = inf . t ↓0 t >0 t t Mệnh ñề 1.2.3. Giả sử rằng f : n → ∪ {∞} là một hàm lồi và cho x là ñiểm thuộc miền xác ñịnh hữu hiệu của ∂ ca f ( x ) của f tại x trùng với tập của vectơ ξ ∈ f . Dưới vi phân n xác ñịnh ξ ,u ≤ f ( x + u ) − f ( x ) , với mọi u ∈ . Dưới vi phân này cũng trùng với dưới vi phân của Clarke. Do ñó dưới vi phân ∂ ca f ( x ) cũng là một giả vi phân của f tại x. n là một hàm Lipschitz gần x. Khi ñó f ( x ) là một giả vi phân của hàm f tại ñiểm này. hàm ∇f → n là hàm khả vi liên tục. Ánh xạ ñạo n là hàm vectơ liên tục từ ∂ f ( x) ⊆ L ( n , n n vào . Tập con ñóng ) gồm các ma trận vuông cấp n ñược gọi là một giả là hàm liên tục. Đạo hàm theo hướng Michel- Penot trên của f tại x theo hướng u ñược xác ñịnh bởi f ( x + tz + tu ) − f ( x + tz ) f o ( x; u ) := sup limsup t t ↓0 z∈ n và ñạo hàm theo hướng Michel-Penot dưới của f tại x theo hướng u ñược xác ñịnh bởi f o ( x; u ) := infn liminf t ↓0 f ( x + tz + tu ) − f ( x + tz ) t Dưới vi phân Michel-Penot của f tại x là tập hợp này. Giả Hessian cũng có các tính chất như giả Jacobian. Mệnh ñề 1.2.6. Cho f : (i) Nếu ∂ 2 f ( x ) ⊆ L ( n n → , n ) là hàm khả vi liên tục. Khi ñó là một giả Hessian của hàm f tại x , thì mọi tập con ñóng A ⊆ L ( n , n ) chứa ∂ 2 f ( x ) là một giả Hessian của hàm f tại x . { } (ii) Nếu f là khả vi Gâteaux hai lần tại x thì ma trận ∇ 2 f ( x ) là một giả Hessian của hàm f tại x. Hơn nữa, f là khả vi Gâteaux hai lần tại x nếu và chỉ nếu nó có một giả Hessian chỉ gồm một phần tử tại x . 1.3. Ma trận giả Jacobian lùi xa và giả Jacobian riêng 1.2.2. Dưới vi phân Michel-Penot z∈ }. Hessian của hàm f tại x nếu nó là một giả Jacobian của ∇f tại ñiểm ii) Đạo hàm theo hướng của hàm f tại x0 theo hướng u ∈ → → n 1.2.3. Giả Hessian 2 i) f Lipschitz gần x0. n MP : f o ( x; u ) ≥ ξ , u với mọi u ∈ n Định nghĩa 1.2.5. Cho f : Mệnh ñề 1.2.2. Cho f là hàm lồi, x0 là một ñiểm trong của miền xác Cho f : n . 1.3.1. Ma trận giả Jacobian lùi xa Cho A ⊆ n là một tập không rỗng. Nón lùi xa của tập hợp A kí hiệu A∞ và ñược xác ñịnh bởi { } A∞ := lim ti ai : ai ∈ A, ti ↓ 0 . Mỗi phần tử của A∞ gọi là một hướng lùi xa của tập hợp A . Giả sử rằng f : n → m là hàm vectơ liên tục. Cho ∂f ( x ) là giả Jacobian của f tại x. Khi ñó nón lùi xa của ∂f ( x ) , kí hiệu là ( ∂f ( x ) )∞