Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> NGUYỄN THANH THẢO<br /> <br /> PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY<br /> CỘNG TÍNH VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH<br /> <br /> Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp<br /> Mã số: 60.46.01.13<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2016<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI<br /> <br /> Phản biện 1: PGS. TSKH Trần Quốc Chiến<br /> Phản biện 2: GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu<br /> <br /> Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt<br /> nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng<br /> 8 năm 2016<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 1<br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> Lý thuyết về phương trình hàm là một lĩnh vực được ra đời và<br /> phát triển mạnh mẽ trong lịch sử của ngành Giải tích Toán học.<br /> Trong đó, phương trình hàm Cauchy là một trong những dạng<br /> phương trình hàm cơ bản, đóng vai trò nòng cốt về phương pháp luận<br /> cũng như phương pháp giải cho hầu hết các dạng toán liên quan.<br /> A.M. Legendre được xem như là người đầu tiên đưa ra lời giải của<br /> phương trình hàm Cauchy, đồng thời cũng là người khởi nguồn cho<br /> việc nghiên cứu về lớp hàm cộng tính. Có thể thấy tính chất của hàm<br /> cộng tính có mối liên hệ chặt chẽ đến cách xác định lời giải của<br /> phương trình hàm Cauchy cộng tính. Vì vậy việc nghiên cứu các tính<br /> chất của hàm cộng tính có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết của<br /> phương trình hàm Cauchy nói riêng và phương trình hàm nói chung.<br /> Bên cạnh một số cách tiếp cận phương trình hàm như: nghiên<br /> cứu định tính (xác định một số đặc trưng của hàm số) hoặc nghiên<br /> cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định các dạng nghiệm cụ<br /> thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định<br /> nghiệm liên tục hay gián đoạn... thì tính ổn định nghiệm của phương<br /> trình hàm cũng là một trong số những hướng nghiên cứu chính khi<br /> tiếp cận phương trình hàm.<br /> Chính vì tất cả các lí do nêu trên, tôi chọn đề tài: “Phương trình<br /> hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định” để nghiên cứu.<br /> 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu<br /> – Nghiên cứu các tính chất của hàm cộng tính và mối liên hệ giữa<br /> hàm cộng tính với phương trình hàm Cauchy cộng tính.<br /> <br /> 2<br /> – Nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng<br /> tính.<br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> 3.1. Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm Cauchy cộng tính.<br /> 3.2. Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của hàm cộng tính và tính ổn<br /> định của phương trình hàm Cauchy cộng tính.<br /> 4. Phương pháp nghiên cứu<br /> – Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, các bài<br /> báo khoa học và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của<br /> luận văn) để thu thập thông tin nhằm phục vụ cho việc phân tích, làm<br /> rõ các vấn đề có trong đề tài.<br /> – Nghiên cứu các tài liệu thu thập được, tổng hợp và hệ thống lại,<br /> đồng thời trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của Thầy hướng dẫn,<br /> của chuyên gia và của các đồng nghiệp.<br /> 5. Nội dung<br /> Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo thì<br /> nội dung luận văn gồm hai chương<br /> Chương 1. Phương trình hàm Cauchy cộng tính<br /> Chương 2. Tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính.<br /> <br /> 3<br /> CHƯƠNG 1<br /> PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH<br /> 1.1. GIỚI THIỆU<br /> Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A.M. Legendre –<br /> người đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm<br /> Cauchy<br /> f ( x + y )= f ( x) + f ( y )<br /> <br /> với mọi x, y ∈ . Đến năm 1821, A.L. Cauchy bắt đầu đề xuất những<br /> nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính<br /> trong sách Cours d’Analyse của mình. Hàm cộng tính chính là<br /> nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên. Vì vậy<br /> trong chương này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng<br /> tính.<br /> Đầu tiên ta định nghĩa như thế nào là một phương trình hàm. Sau<br /> đó xem xét phương trình hàm Cauchy cộng tính và chỉ ra rằng những<br /> hàm cộng tính liên tục hoặc khả tích địa phương là tuyến tính. Hơn<br /> nữa, chúng ta nghiên cứu dáng điệu của các hàm cộng tính phi tuyến<br /> không liên tục, từ đó chỉ ra rằng chúng biểu hiện một dáng điệu rất<br /> lạ: đồ thị của chúng trù mật trong mặt phẳng. Tiếp theo, chúng ta đề<br /> cập một cách ngắn gọn về cơ sở Hamel và ứng dụng của nó trong<br /> việc xây dựng lớp hàm cộng tính không liên tục. Chúng ta cũng sẽ<br /> xem xét dưới những tiêu chuẩn khác để nghiệm của phương trình<br /> hàm Cauchy cộng tính là tuyến tính. Bên cạnh đó, chương này cũng<br /> sẽ đề cập đến một số hàm cộng tính phức tạp khác. Kết thúc chương<br /> là tập hợp các nhận xét, nơi chúng ta nêu ra một số vấn đề mở rộng<br /> và phát triển liên quan tới phương trình hàm Cauchy cộng tính.<br /> 1.2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM<br /> <br />