Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn là cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhóm trong các không gian hàm và lý thuyết nhiễu của nửa nhóm vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân có nhiễu trong không gian Banach, từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM NHƯ THÀNH VỀ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015
Mở Đầu Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lý thuyết định tính của các phương trình vi phân trong không gian Banach được phát triển mạnh mẽ. Các kết quả nhận được về tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Banach có thể ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân hàm. Đồng thời sử dụng trong việc nghiên cứu của các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron thần kinh, trong vật lý và cơ học. Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiều người quan tâm, nghiên cứu là áp dụng phương pháp nửa nhóm cho các phương trình tiến hóa trừu tượng, từ đó ứng dụng vào mô hình dân số. Mục đích chính của luận văn là cố gắng tìm hiểu phương pháp nửa nhóm trong các không gian hàm và lý thuyết nhiễu của nửa nhóm vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân có nhiễu trong không gian Banach, từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh một số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, về tán xạ và một số dạng khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh. Trong phần này, các nội dung được trình bày dựa trên kiến thức được học ở chuyên đề "Giải tích hàm nâng cao" của TS. Trần Đức Long. Chương hai trình bày bài toán nhiễu của nửa nhóm, tính chất của họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh, sự tương đương tiệm cận và các định lý liên quan; từ đó đưa ra bài toán mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi. Nội dung được trình bày chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [8]. Riêng mục 2.5 nội dung được trình bày dựa trên các kiến thức được học ở chuyên đề " Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân" của PGS.TS. Đặng Đình Châu. Mục 2.6 được tham khảo từ bài báo [5]. Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đặng Đình 1
Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn. Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua. Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian còn bị hạn chế nên bản luận văn còn để lại nhiều thiếu sót về lỗi ấn loát và các lỗi khi bỏ qua một số trình bày chi tiết việc chứng minh lại các kết quả trong chương 1 cũng như trong một vài ví dụ ứng dụng. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Phạm Như Thành 2
Chương 1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach và toán tử sinh của chúng 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh Định nghĩa 1.1. Một họ (T (t))t≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1. T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0. 2. T (0) = I . 3. lim T (t)x = T (t0 )x với mọi x ∈ X, t ≥ 0. t→t0 Định lý 1.1. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó có một hằng số w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t > 0. (1.1) 1.2 Khái niệm về toán tử sinh và một số kết quả bổ trợ Định nghĩa 1.2. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử 1 Ax = ξ˙x (0) = lim (T (h)x − x) (1.2) h→0 h + 3
xác định với mọi x trong miền xác định của nó D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }. (1.3) 1.3 Định lý về toán tử sinh của nửa nhóm Định lý 1.2. Định lý toán tử sinh ( Hille-Yosida) Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương. (a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh. (b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và ||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.4) (c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi ∀λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và 1 ||R(λ, A)|| ≤ . (1.5) Reλ Hệ quả 1.1. Giả sử w ∈ R, (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương. (a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh thỏa mãn ||T (t)|| ≤ ewt t ≥ 0. (1.6) (b) (A, D(A)) đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > w ta có λ ∈ ρ(A) và ||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1. (1.7) (c) (A, D(A)) là đóng, xác định trù mật, với mỗi λ ∈ C mà Reλ > w, ta có λ ∈ ρ(A) và 1 ||R(λ, A)|| ≤ . (1.8) Reλ − w 1.4 Khái niệm về tán xạ và định lý Lunner-Phillips Định nghĩa 1.3. Toán tử tuyến tính (A, D(A)) trên không gian Banach X gọi là tán xạ nếu ||(λI − A)x|| > λ.||x||, ∀λ > 0, ∀x ∈ D(A). (1.9) Định lý 1.3. (Lunner-Phillips) Đối với tán xạ xác định trù mật (A, D(A)) trên không gian Banach X các mệnh đề sau tương đương: (a) Bao đóng A của A sinh ra nửa nhóm co. (b) R(λI − A) trù mật trong X với một λ > 0 nào đó (và do đó với mọi λ > 0). 4
Hệ quả 1.2. Giả sử (A, D(A)) là toán tử xác định trù mật trên không gian Banach X. Nếu cả A và toán tử liên hợp A∗ tán xạ thì bao đóng A của A sinh ra một nửa nhóm co trên X. Định lý 1.4. Giả sử (A, D(A)) là tán xạ trên không gian Banach X sao cho (λI − A) là toàn ánh với λ > 0 nào đó. Khi đó phần A| của A trong không gian con X0 = D(A) là xác định trù mật và sinh ra nửa nhóm co trong X0 . Ví dụ 1.1. Sau đây ta nêu ra ví dụ về một tán xạ có miền xác định không trù mật. Giả sử X = C[0,1] , xét toán tử Af = −f 0 với miền xác định D(A) được xác định như sau: 1 D(A) = {f ∈ C[0,1] : f (0) = 0}. A là toán tử đóng. A là tán xạ. 1.5 Một số ví dụ khác nhau của nửa nhóm liên tục mạnh 1.5.1 Nửa nhóm liên tục đều Định nghĩa 1.4. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong L(X) nếu ánh xạ R+ 3 t → T (t) ∈ L(X) liên tục đối với tô pô chuẩn (tô pô đều) trong L(X), tức là: lim ||T (t + h) − T (t)|| = 0, ∀t ≥ 0. (∗) h→0+ Rõ ràng nửa nhóm liên tục đều là liên tục mạnh. Vì thế điều kiện (∗) tương đương với điều kiện sau lim ||T (h) − I|| = 0. h→0+ 1.5.2 Nửa nhóm đồng dạng Giả sử V là phép đẳng cự từ không gian Y lên không gian X và (S(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi S(t) = V −1 T (t)V, 5
trong đó (T (t))t≤0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X . Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t))t≥0 là B = V −1 AV với miền xác định D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)}, trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≤0 . Ta có σ(A) = σ(B) và giải thức của B là: R(λ, B) = V −1 R(λ, A)V với λ ∈ ρ(A). 1.5.3 Nửa nhóm điều chỉnh Nửa nhóm điều chỉnh (eµt T (αt))t≥0 , µ ∈ C, α > 0 có toán tử sinh là B = αA + µI với miền xác định D(B) = D(A). 1.5.4 Nửa nhóm nhân Ta bắt đầu với việc xét không gian Banach (với chuẩn sup) Kí hiệu: C0 (Ω) := {f ∈ C(ω) : ∀ ε > 0 tồn tại tập compact Kε ⊂ Ω sao cho |f (s) < ε| ∀ s ∈ Ω\Kε }. đây là không gian các hàm phức, liên tục trên không gian compact địa phương Ω, triệt tiêu tại vô cùng. Với hàm liên tục bất kì q : Ω → C ta liên kết một toán tử tuyến tính Mq định nghĩa trên miền xác định tối đại của nó D(Mq ) trong C0 (Ω) . Định nghĩa 1.5. Toán tử nhân Mq ∈ C0 (Ω) với q : Ω → C liên tục định nghĩa bởi: Mq f = q.f ∀f ∈ C0 (Ω) với miền xác định D(Mq ) = {f ∈ C0 (Ω) : q.f ∈ C0 (Ω)}. Định nghĩa 1.6. Giả sử q : Ω → C là hàm liên tục thỏa mãn: supReq(s) < +∞. s∈Ω Khi đó nửa nhóm (Tq (t))t>0 cho bởi: Tq (t)f = etq f, với t > 0, f ∈ C0 (Ω) được gọi là nửa nhóm nhân sinh bởi toán tử nhân Mq (hoặc hàm q) trên C0 (Ω). Định lý 1.5. Nửa nhóm nhân (Tq (t))t>0 sinh bởi q : Ω → C là liên tục đều nếu và chỉ nếu q bị chặn. 6
1.6 Bài toán Cauchy đặt chỉnh Xét bài toán Cauchy trừu tượng với giá trị ban đầu: ( u(t) ˙ = Au(t) ∀t ≥ 0, (ACP) u(0) = x. trong đó t là biến độc lập biểu diễn thời gian, u(.) là hàm nhận giá trị trong không gian Banach X , A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, x ∈ X là giá trị ban đầu. Định nghĩa 1.7. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy trừu tượng (ACP) nếu u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và thỏa mãn (ACP ). Mệnh đề 1.1. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó, với mọi x ∈ D(A), hàm u : t 7→ u(t) = T (t)x là nghiệm (cổ điển) duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng. Định nghĩa 1.8. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán Rt Cauchy trừu tượng nếu 0 u(s)ds ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và Z t u(t) = A u(s)ds + x. 0 Mệnh đề 1.2. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 .Khi đó, với mọi x ∈ X , ánh xạ quỹ đạo u : t 7→ T (t)x là nghiệm suy rộng duy nhất của bài toán Cauchy trừu tượng. Định nghĩa 1.9. (Bài toán Cauchy đặt chỉnh ) Bài toán Cauchy trừu tượng ( u(t) ˙ = Au(t) ∀t ≥ 0, (ACP) u(0) = x với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X được gọi là đặt chỉnh nếu với mọi x ∈ D(A) tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của bài toán Cauchy trừu tượng (ACP), A có miền xác định trù mật, đồng thời với mọi dãy {xn }∞ n=0 ⊂ D(A) : lim xn = 0,ta n→∞ có: lim u(t, xn ) = 0 đều trên [0, t0 ]. n→∞ 7
Chương 2 Tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa trừu tượng và ứng dụng 2.1 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh Việc kiểm tra các điều kiện đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co hoặc nửa nhóm liên tục mạnh là một công việc khó khăn và đối với nhiều toán tử quan trọng không thể thực hiện một cách trực tiếp. Nhiễu là phương pháp cơ bản giúp ta tiếp cận việc giải quyết vấn đề này. Trước khi xét bài toán nhiễu của nửa nhóm ta xét bài toán sau. Bài toán: Cho A : D(A) ⊆ X → X là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 và xét toán tử thứ hai B : D(B) ⊆ X → X . Tìm điều kiện để A + B sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 nào đó. Chúng tôi xin nhắc lại, tổng A + B được định nghĩa như sau: (A + B)x = Ax + Bx, với x ∈ D(A + B) = D(A) ∩ D(B). Khi đó ta nói A là toán tử sinh của B và B là nhiễu của A. Nói chung, tập xác định D(A + B) có vai trò quan trọng cho tính chất của tổng A + B . Trong một số trường hợp D(A + B) có thể là {0}. Định lý 2.1. (Định lý về nhiễu bị chặn) Cho (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh T(t) trên không gian Banach X thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M eωt với mọi t > 0 8
trong đó w ∈ R, M ≥ 1. Nếu B ∈ L(X) thì C := A + B với D(C) := D(A) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh trên (S(t))t≥0 thỏa mãn ||S(t)|| ≤ M e(ω+M ||B||)t với mọi t ≥ 0. Chứng minh. Trước hết ta giả sử w = 0, M = 1. Khi đó λ ∈ ρ(A) với mọi λ > 0, và λ − C có thể phân tích được thành λ − C = λ − A − B = (I − BR(λ, A))(λ − A). (2.1) Từ λ − A là song ánh, ta kết luận được λ − C là song ánh, tức là, λ ∈ ρ(C), nếu và chỉ nếu I − BR(λ, A) là khả nghịch trong L(X). Trong trường hợp đó ta có R(λ, C) = R(λ, A)[I − BR(λ, A)]−1 . (2.2) Bây giờ chọn Reλ > ||B||. Khi đó ||BR(λ, A)|| ≤ ||B||/Reλ < 1 theo định lý toán tử sinh, và do đó λ ∈ ρ(A) với ∞ X R(λ, C) = R(λ, A) (BR(λ, A))n . (2.3) n=0 Ta ước lượng 1 1 1 ||R(λ, C)|| ≤ . = Reλ 1 − ||B||/Reλ Reλ − ||B|| với mọi Reλ > ||B|| và từ hệ quả II.3.6 (xem [8], trang 76) ta có C là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 thỏa mãn ||S(t)|| ≤ e||B||t với t ≥ 0. Với w ∈ R, M ≥ 1, việc đầu tiên chúng ta làm thay đổi để được w = 0. Giống như Bổ đề II.3.10 (xem [8], trang 78), ta xây dựng chuẩn mới |||x||| := sup||T (t)x|| t≥0 trên X . Chuẩn này thỏa mãn ||x|| ≤ |||x||| ≤ M ||x||, và do đó |||Bx||| ≤ M ||B||.||x|| ≤ M ||B||.|||x||| 9
với mọi x ∈ X . Bằng cách chứng minh ở phần đầu, tổng C := A + B là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh S(t) thỏa mãn công thức |||S(t)||| ≤ e|||B|||t ≤ eM ||B||t . Do đó ||S(t)|| ≤ |||S(t)x||| ≤ eM ||B||t |||x||| ≤ M eM ||B||t ||x|| với mọi t ≥ 0, điều đó khẳng định cho w = 0. 2.2 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán với giá trị ban đầu sau đây   du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > t0 dt (2.4) u(t ) =u 0 0 trong đó −A là một toán tử sinh của C0 − nửa nhóm T (t), t ≥ 0, trong không gian Banach X và f : [t0 , T ] × X → X là ánh xạ liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u ([?]). Nếu bài toán (2.4) có nghiệm cổ điển thì tương ứng với phương trình (2.4) ta sẽ xét phương trình tích phân Z t u(t) = T (t − t0 )u0 + T (t − s)f (s, u(s))ds. (2.5) t0 Nói chung nghiệm của (2.5) có khi không là nghiệm của (2.4) và chúng ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 2.1. Một nghiệm liên tục u của phương trình tích phân (2.5) được gọi là nghiệm đủ tốt của bài toán Cauchy (2.4). Chúng ta sẽ bắt đầu với việc nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của nghiệm đủ tốt của phương trình (2.4) thông qua định lý sau đây. Định lý 2.2. Cho hàm f : [t0 , T ] × X → X liên tục theo t trên [t0 , T ] và liên tục Lipschitz đều (với hằng số L) trên X. Khi đó, nếu −A là toán tử sinh của C0 − nửa nhóm (T (t))t≥0 trong không gian Banach X, thì với mỗi u0 ∈ X, bài toán với giá trị ban đầu (2.4) có duy nhất một nghiệm đủ tốt u ∈ C([t0 , T ] : X). Chứng minh. Trước hết chúng ta nhắc lại rằng (T (t))t≥0 là liên tục mạnh nên tồn tại M0 > 0 sao cho ||T (t)|| ≤ M0 ewt , w>0 10
với mỗi u0 ∈ X. Đồng thời f : [t0 , T ] × X → X thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều trên X nên tồn tại L > 0 sao cho với mọi u, v ∈ X ta có ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ L||u − v||. Với mỗi u0 ∈ X ta xét ánh xạ F : C([t0 , T ] : X) → C([t0 , T ] : X), được xác định bởi Z t (F u)(t) = T (t − t0 )u0 + T (t − s)f (s, u(s))ds, t0 ≤ t ≤ T. (2.6) t0 Xét hiệu Z t (F u)(t) − (F v)(t) = T (t − t0 )(u0 − v0 ) + T (t − s)[f (s, u(s)) − f (s, v(s))]ds. t0 Ta có Z t w(t−t0 ) ||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ M0 e ||u0 − v0 || + M0 ew(t−s) L||u(s) − v(s)||ds t0 Z t ≤ M L||u(s) − v(s)||ds t0 trong đó M = M0 ewT . Do đó ||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ M L(t − t0 )||u − v||∞ , (2.7) Tiếp tục bằng phương pháp truy hồi ta có n n (M L(t − t0 ))n ||(F u)(t) − (F v)(t)|| ≤ ||u − v||∞ , n! nên (M LT )n ||F n u − F n v|| ≤ ||u − v||∞ . (2.8) n! (M LT )n Với n đủ lớn ta có < 1. Bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ co trong n! không gian Banach ta suy ra F có điểm bất động duy nhất u trong không gian C([t0 , T ] : X). Điểm bất động này là nghiệm của phương trình tích phân (2.5). Do đó bài toán với giá trị ban đầu (2.4) tồn tại nghiệm duy nhất u trong không gian C([t0 , T ] : X). Định lý được chứng minh. Từ định lý được chứng minh ta có thể xác định một ánh xạ u0 → u từ X vào C([t0 , T ] : X). Một trong những tính chất của ánh xạ này là tính liên tục Lipschitz. Khái niệm về tính liên tục Lipschitz được cho bởi định nghĩa sau đây. 11
Định nghĩa 2.2. Ánh xạ f : X → C([t0 , T ], X) được xác định bởi f : x → f (t, x) được gọi là ánh xạ liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số M1 dương sao cho với mọi x, y ∈ X ta có ||f (t, x) − f (t, y)||∞ ≤ M1 ||x − y||. Từ định lý 2.2 ta có hệ quả sau. Hệ quả 2.1. Ánh xạ u0 → u được xác định theo định lý 2.2 là liên tục Lipschitz từ X vào C([t0 , T ] : X). Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự như trong định lý 2.2 chúng ta nhận được các hệ quả sau. Hệ quả 2.2. Nếu A và f thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.2 khi đó với mỗi g ∈ C([t0 , T ] : X) phương trình tích phân Z t w(t) = g(t) + T (t − s)f (s, w(s))ds (2.9) t0 có nghiệm duy nhất w ∈ C([t0 , T ] : X). Chúng ta biết rằng giả thiết về sự thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều của hàm f trong định lý 2.2 bảo đảm cho sự tồn tại nghiệm trên toàn cục (tức là nghiệm xác định trên toàn đoạn [t0 , T ]). Nếu chúng ta giả thiết rằng f chỉ thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo u, bị chặn đều theo t trên đoạn bị chặn, có nghĩa 0 0 là đối với mỗi t và một hằng số c > 0 thì tồn tại một hằng số L(c, t ) sao cho 0 ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ L(c, t )||u − v|| (2.10) 0 thỏa mãn đối với mọi u, v ∈ X sao cho ||u|| < c, ||v|| < c và t ∈ [0, t ], khi đó chúng ta có một phiên bản địa phương của định lý 2.2 như sau. Định lý 2.3. Cho f là liên tục Lipschitz địa phương theo u, đều theo t trên mỗi đoạn bị chặn bất kỳ, giả sử −A là toán tử sinh của C0 − nửa nhóm (T (t)) trên X. Khi đó với mỗi u0 ∈ X tồn tại một tmax sao cho bài toán với giá trị ban đầu   du(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t ≥ 0 dt (2.11) u(0) =u 0 là có nghiệm đủ tốt u trên [0, tmax ]. Tuy nhiên, nếu tmax < ∞ thì lim ||u(t)|| = ∞. t→t− max 12
Nói chung, nếu hàm f chỉ thỏa mãn các định lý 2.2 và định lý 2.3 thì nghiệm đủ tốt của (2.4) không phải là nghiệm cổ điển hoặc nghiệm mạnh của (2.4). Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ tốt của (2.4) cũng là nghiệm cổ điển. Định lý 2.4. Giả sử −A là toán tử sinh của C0 - nửa nhóm (T (t)) trên X. Khi đó nếu f : [t0 , T ] × X → X là khả vi liên tục từ [t0 , T ] × X vào X thì nghiệm đủ tốt của (2.5) với u0 ∈ D(A) là nghiệm cổ điển của bài toán với giá trị ban đầu. Để làm rõ khả năng ứng dụng của bài toán bị nhiễu chúng tôi sẽ phát biểu định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa dạng Z t u(t) = T (t − t0 ) + T (t − t0 )f (τ, u(τ ))dτ với t ≥ t0 , u(.) ∈ X. (2.12) t0 Ở đây (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh, f : R+ × X → X là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện: ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ α(t)||u − v|| với t ∈ R+ , u, v ∈ X. Hàm α : R+ → R là liên tục bị chặn. Định lý 2.5. Giả sử α : R+ → R là liên tục thỏa mãn điều kiện Z ∞ α(t) ≤ +∞. 0 Khi đó ta có các khẳng định sau đây: i) Nếu (T (t))t≥0 là bị chặn đều trên R+ thì tất cả các nghiệm của (2.12) là bị chặn. ii) Nếu (T (t))t≥0 là ổn định mũ trên R+ thì tất cả các nghiệm u = u(t) của (2.12) đều hội tụ đến không khi t → ∞, tức là: lim ||u(t)|| = 0. t→+∞ Nhận xét 2.1. Nếu hàm f : R+ × X → X trong định lý 2.3 thỏa mãn thêm điều kiện f (t, 0) = 0 và thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.5 thì ta có thể chỉ ra rằng: - Nghiệm tầm thường u(t) = 0 của (2.11) là ổn định nếu (T (t))t≥0 bị chặn đều. - Nghiệm tầm thường u(t) = 0 của (2.11) là ổn định tiệm cận nếu (T (t))t≥0 là ổn định tiệm cận. 13
2.3 Khái niệm họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh và một vài tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach Giả sử X là không gian Banach và J ⊂ R là một khoảng hữu hạn hay vô hạn trên trục thực R. Với mỗi t ∈ J ta xét toán tử tuyến tính A(t) : D(A(t)) ⊂ X → X và hàm f (t) xác định trên J nhận giá trị trong không gian Banach X (f : J → X). Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán với giá trị ban đầu   dx(t) = A(t)x(t) + f (t) với t ∈ J dt (2.13) x(s) = x. Bài toán với giá trị ban đầu (2.13) được gọi là bài toán tiến hóa. Nếu không có giả thiết gì thêm thì sau đây chúng ta giả thiết rằng hàm f (t) (f : J → X) và A(t) (A : J → L(X)) là đo được mạnh và khả tích Bochner trên mỗi đoạn hữu hạn của tập J. Trước tiên ta cố định s = t0 ∈ J . Khi đó mỗi nghiệm x = x(t) của (2.13) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với t0 ∈ J, x0 ∈ X cũng là nghiệm khả vi liên tục của phương trình tích phân sau đây Z t Z t x(t) = x0 + A(τ )x(τ )dτ + f (τ )dτ (2.14) t0 t0 ở đây x0 = x(t0 ). Trong trường hợp đặc biệt nếu f (t) là liên tục và A(t) là liên tục mạnh (xem [?]) thì nghiệm của phương trình (2.14) là khả vi liên tục tại mỗi t ∈ J, do đó đẳng thức của phương trình (2.13) thỏa mãn trên toàn bộ tập J. Trong trường hợp tổng quát hơn chúng ta có thể xét phương trình tích phân Volterra có dạng sau đây: Z t x(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ, (2.15) t0 ở đây, hàm g(t) (g : J → X) là liên tục trên J và A(t) là đo được mạnh và khả tích Bochner trên J., khi đó đối với (2.15) chúng ta có bổ đề sau đây Bổ đề 2.1. Giả sử các hàm g : J → X , A: J → L(X) là đo được mạnh và khả tích theo Bochner trên J . Khi đó phương trình (2.15) có nghiệm duy nhất xác 14
định trên đoạn [a; b] ⊂ J (a, b bất kỳ). Nghiệm này có thể biểu diễn dưới dạng: Z t x(t) = g(t) + A(t1 )g(t1 )dt1 t0 ∞ Z tZ X tn Z t2 + ... A(tn )A(tn−1 )...A(t1 )g(t1 )dt1 ...dtn−1 dtn n=2 t0 t0 t0 (2.16) hay: ∞ X x(t) = g(t) + gk (t) k=1 trong đó: Z t gk (t) = A(τ )gk−1 (τ )dτ, g0 (t) = g(t), (k = 1, 2, . . . ). t0 Chú ý rằng với giả thiết A: J → L(X) là đo được mạnh và khả tích Bochner đồng thời do tính chất bất biến của tích phân khi hoán đổi vị trí các biến số t1 , t2 , ..., tn nên ta có Z t Z t Z t2 hZ t in 1 ... ||A(tn )|| ||A(tn−1 )|| ||A(t1 )||dt1 ...dtn−1 dtn = ||A(τ )||dτ . t0 tn t0 n! t0 (2.17) Sử dụng đẳng thức (2.17) ta có thể suy ra hệ quả sau: Hệ quả 2.3. Nếu các giả thiết của bổ đề 2.1 được thỏa mãn thì ta có đánh giá sau: nZ b o |||x||| ≤ |||g||| exp ||A(τ )||dτ . (2.18) a Sử dụng kết quả của bổ đề 2.1 ta có định lý sau: Định lý 2.6. Giả sử A : [t0 , T ] → L(X) là đo được mạnh và khả tích Bochner trên [t0 , T ] và f ∈ C([t0 , T ], X). Khi đó phương trình (2.14) có nghiệm liên tục duy nhất. Trong trường hợp đặc biệt khi f (t) = 0 và A(t) thỏa mãn các điều kiện của định lý 2.6 ta xét bài toán với giá trị ban đầu (Bài toán Cauchy):  dx  = A(t)x(t), dt (2.19) x(t ) = x . 0 0 15
Tương ứng với nó là phương trình tích phân Z t x(t) = x0 + A(τ )x(τ )d(τ ). t0 Nghiệm của phương trình này có thể nhận được từ biểu thức (2.16) bằng cách, đặt g(t) ≡ x0 . Từ đó chúng ta có biểu thức sau: Z t x(t) = x0 + A(t1 )x0 dt1 t0 ∞ Z X t Z tn Z t2 + ... A(tn )A(tn−1 )...A(t1 )x0 dt1 ...dtn−1 dtn . n=2 t0 t0 t0 Với mỗi t ∈ [t0 , T ], xét toán tử tuyến tính U (t, t0 ) : x → x(t) được xác định bởi phương trình tích phân: Z t x(t) = x0 + A(τ )x(τ )d(τ ). t0 Với giả thiết A : [t0 , T ] → L(X) là đo được mạnh và khả tích Bochner, ta có thể sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman để chỉ ra rằng với mỗi t ∈ [t0 , T ] ta có: ||U (t, t0 )x|| = ||x(t)|| < M < +∞ với mọix ∈ X. Như vậy U (t, t0 ) ∈ L(X). Trong không gian Banach L(X) ta xét chuỗi toán tử Z t U (t, t0 ) = I + A(t1 )dt1 t0 ∞ Z t Z tn X Z t2 + ... A(tn )A(tn−1 )...A(t1 )dt1 ...dtn−1 dtn . (2.20) n=2 t0 t0 t0 Bằng lý luận tương tự như trong bổ đề (2.1) chúng ta có thể chỉ ra chuỗi toán tử đang xét là hội tụ. Chú ý rằng, chuỗi ở vế phải của biểu thức (2.20) được làm ra bởi chuỗi: ∞ n X 1 hZ T in o 1+ ||A(τ )||dτ . n! t0 ) n=1 Giả sử s, t là các giá trị tùy ý thỏa mãn điều kiện 0 ≤ s ≤ t ≤ T. Chúng ta xét bài toán giá trị ban đầu thuần nhất dạng:   du(t) = A(t)u(t) với 0 ≤ s < t ≤ T, dt (2.21) u(s) = x. 16
Để thuận tiện cho việc xác lập một vài tính chất nghiệm đầu tiên của bài toán (2.21), trước hết chúng ta xét trường hơp toán tử A(t) thỏa mãn các điều kiện sau đây: với mỗi t ∈ [0, T ], toán tử tuyến tính A(t) là toán tử giới nội trong X, và hàm A : t → A(t) là liên tục theo tô pô đều trong L(X) tức là A ∈ C([0, T ], L(X)). Từ kết quả của định lý 2.6 ta có hệ quả sau đây. Hệ quả 2.4. Cho X là không gian Banach và A ∈ C([0, T ], L(X)), khi đó với mỗi x ∈ X bài toán giá trị ban đầu (2.21) có duy nhất một nghiệm cổ điển u. Bổ đề 2.2. ([?])(Bất đẳng thức Gronwall - Bellman) Giả sử: Zt ϕ(t) ≤ c + h(τ )ϕ(τ )dτ (t ≥ t0 ) (2.22) t0 với h(t) là một hàm liên tục không âm. Khi đó: Rt h(τ )dτ ϕ(t) ≤ ce t0 . (2.23) Để thuận tiện cho việc biểu diễn nghiệm và nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình (2.13) chúng ta sẽ xác định một toán tử tuyến tính U (t, s) từ X vào X mà ta gọi là "toán tử nghiệm" của bài toán với giá trị ban đầu (2.21), toán tử này được xác định như sau. U (t, s) : x → u(t) với 0 ≤ s ≤ t ≤ T, U (t, s)x = u(t) với 0 ≤ s ≤ t ≤ T. (2.24) ở đây u(t) là nghiệm của (2.21). U (t, s) là họ toán tử tiến hóa phụ thuộc vào hai tham số. Với T > 0 bất kỳ ta ký hiệu ∆T = {(t, s)|0 ≤ s ≤ t ≤ T }, định lý sau đây cho ta một số tính chất cơ bản của họ toán tử tuyến tính bị chặn U : ∆T → L(X) được xác định bởi phương trình (2.21). Định lý 2.7. Giả sử A(t) thỏa mãn các điều kiện của định lý (2.4) tức là A ∈ C(J, L(X)). Khi đó với mỗi (t, s) ∈ ∆T toán tử U (t, s) là một toán tử tuyến tính bị chặn và Rt (i) ||U (t, s)|| ≤ exp( ||A(τ )||dτ ). s (ii) U (t, t) = I, U (t, s) = U (t, r)U (r, s), với 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T. (iii) (t, s) → U (t, s) là liên tục theo tô pô đều với 0 ≤ s ≤ t ≤ T. 17
∂U (t, s) (iv) = A(t)U (t, s), với 0 ≤ s ≤ t ≤ T. ∂t ∂U (t, s) (v) = −U (t, s)A(s), với 0 ≤ s ≤ t ≤ T. ∂s tính chất (i) của định lý được thỏa mãn, hơn nữa ta có: Định nghĩa 2.3. Một họ hai tham số của toán tử tuyến tính bị chặn U (t, s), 0 ≤ s ≤ t ≤ T, trên X được gọi là một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) U (s, s) = I, U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với 0 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T. (ii) Ánh xạ (t, s) → U (t, s) là liên tục mạnh với 0 ≤ s ≤ t ≤ T. Một số tính chất liên quan tới họ đó chúng ta sẽ xét trong các phần tiếp theo. 2.4 Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi (A, D(A)) và B(.) ∈ C(J, Ls (X)) với J = [0, T ], ta xét họ các toán tử tiến hoá U (t, s) : X → X xác định bởi : Z t u(t) = T (t − s)x + T (t − ξ)B(ξ)u(ξ)dξ (2.25) s trong đó x ∈ X, (t, s) ∈ ∆J bất kỳ, B(.) ∈ Cb ([0, t1 ], Ls (X)). Bổ đề 2.3. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh, B(.) ∈ Cb ([0, t1 ], Ls (X)). Khi đó phương trình tiến hóa (2.25) có nghiệm duy nhất. Tương ứng với phương trình (2.25) với mỗi (t, s) ∈ ∆J ta xác định toán tử U (t, s) : X → X xác định bởi U (t, s) : x → u(t). Từ (2.25) ta có: ||U (t, s)x|| = ||u(t)|| trong đó Z t ||u(t)|| ≤ M1 + M1 M2 ||u(ξ)||dξ. s Sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman ta có: ||u(t)|| ≤ M1 eM1 M2 T < +∞. 18