intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích dao động tự do tấm FGM trên nền đàn hồi sử dụng phương pháp không lưới và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST
Báo xấu
21
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kết cấu của Luận văn này gồm có 3 chương: Chương 1 - Giới thiệu tổng quan về đề tài nghiên cứu tấm FGM và các phương pháp số; Chương 2 - Cơ sở lý thuyết của phương pháp số Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT); Chương 3 - Kiểm chứng số; Chương 4 - Kết luận và kiến nghị. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích dao động tự do tấm FGM trên nền đàn hồi sử dụng phương pháp không lưới và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN CAO THẮNG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO TẤM FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI VÀ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG TP. HỒ CHÍ MINH 2020
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN CAO THẮNG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO TẤM FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI VÀ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số : 8.58.02.01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.KS. VŨ TÂN VĂN TP. HỒ CHÍ MINH 2020
  3. MỤC LỤC TÓM TẮT LUẬN VĂN ............................................................................. 1 PHẦN MỞ ĐẦU ......................................................................................... 2 CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU BIẾN ĐỔI CHỨC NĂNG (FGM) VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ ........................... 3 1. Giới thiệu tổng quan về tấm FGM (Functionally Graded Material) 3 1.1. Khái niệm: ........................................................................................... 3 1.2. Mục tiêu nghiên cứu: ............................................................................ 3 1.3. Phương pháp nghiên cứu: ..................................................................... 4 1.4. Ý nghĩa của đề tài ................................................................................. 4 1.5. Tóm tắt chương trong luận văn ............................................................ 4 2. Các phương pháp số.............................................................................. 4 2.1. Lý thuyết tấm cổ điển (Classical Plate Theory - CTP) ......................... 4 2.2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-orther Shear Deformation Theory - FSDT) ............................................................................................ 5 2.3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-orther Shear Deformation Theory - HSDT)............................................................................................ 5 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP SỐ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN (S-FSDT). ......... 7 1. Tính chất vật liệu của tấm FGM .......................................................... 7 1.1. Tấm phân loại chức năng (FGM) ......................................................... 7 1.2. Xây dựng S-FSDT dựa trên Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) 8 2. Phân tích tấm FGM trên nền đàn hồi theo phương pháp không lưới .............................................................................................................. 10 2.1. Hàm dạng Move Kriging (MK).......................................................... 10 2.2. Các phương trình rời rạc .................................................................... 12 2.3. Lý thuyết tấm trên nền đàn hồi:.......................................................... 13 CHƯƠNG 3: KIỂM CHỨNG SỐ ........................................................... 17 Ví dụ 3.1. Khảo sát tần số dao động riêng của tấm có điều kiện biên khác nhau: ................................................................................................. 17 Ví dụ 3.2: Phân tích sự ảnh hưởng của thông số nền Kw và Ks lên tần số dao động riêng của tấm. ....................................................................... 18 Ví dụ 3.3: Phân tích sự ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm lên tần số dao động riêng của tấm. ........................................................................... 21 Ví dụ 3.4. So sánh sự ảnh hưởng của cấu trúc vật liệu tấm FGM lên tần dao động riêng của tấm. ........................................................................... 19 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................... 20 1. Kết luận ................................................................................................ 20 2. Kiến nghị .............................................................................................. 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................
  4. I/ DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 3.1. Tần số dao động đầu tiên không thứ nguyên của tấm FGM………………… Bảng 3.2. Tần số dao động riêng không thứ nguyên đầu tiên của tấm FGM với điều kiện biên có 4 cạnh gối tựa đơn (SSSS)…………………………………………………….. Bảng 3.3.1. Sự ảnh hưởng tỷ lệ b⁄a của tấm (vừa) lên tần số dao động riêng 𝜔 ̅……… Bảng 3.3.2. Sự ảnh hưởng tỷ lệ b⁄a của tấm (mõng) lên tần số dao động riêng 𝜔̅……. Bảng 3.4. Bảng so sánh tần số dao động riêng của tấm FGM 1 và tấm FGM 2……… II/ DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Hình 2.1.1. Ký hiệu hình học và tọa độ của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi………… Hình 2.1.2. Mối quan hệ giữa 𝑉𝑐 và tỷ lệ chiều dày z/h của tấm theo chỉ số 𝑛………... Hình 2.3.1: Mô hình nền biến dạng đàn hồi một hệ số (mô hình nền Winkler)……….. Hình 2.3.2: Mô hình nền biến dạng đàn hồi hai hệ số (mô hình nền Pasternak)…….. Hình 3.1. Dạng dao động riêng của tấm có điều kiện biên: (a) SCSC, (b) SFSF, (c) SSSS ứng với tỷ số a/b=1,; a/h = 0.1, chỉ số 𝑛 = 1, thông số nền 𝐾𝑤 = 100, 𝐾𝑠 = 10………………………………………………………………………………………………… Hình 3.2. Mối quan hệ giữa 𝐾 ̅𝑤 và 𝐾̅𝑠 ảnh hưởng đến tần số dao động riêng của tấm. Hình 3.3.1. Sự ảnh hưởng của tỷ lệ b⁄a lên tần số dao động đầu tiên của tấm (với a⁄h = 10)……………………………………………………………………………………….. Hình 3.3.2. Sự ảnh hưởng của b⁄a lên tần số doa động đầu tiên của tấm ……………... Hình 3.4. Tần số dao động đầu tiên của tấm FGM 1 (AL/Al2O3) và tấm FGM 2 (Al/ZrO2)………………………………………………………………………………………...
  5. 1 TÓM TẮT LUẬN VĂN Luận văn này phân tích dao động tự do của tấm vật liệu biến đổi chức nămg FGM trên nền đàn hồi dựa trên mô hình nền Winkler, lý thuyết biến dạng cắt bậc cao thu gọn và phương pháp Meshless sử dụng hàm nội suy Moving Kriging (MK). Tấm vật liệu FGM được mô hình như một tấm vật liệu hỗn hợp với các đại lượng cơ học thay đổi theo chiều dày tấm với quy luật hàm mũ liên tục. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao thu gọn sử dụng ý tưởng phân tích chuyển vị đứng trong lý thuyết biến dạng cắt bậc cao truyền thống thành hai thành phần chuyển vị đứng do uốn và chuyển vị đứng do cắt gây ra. Phương trình chủ đạo phân tích ứng xử cơ học của tấm vật liệu chức năng được thiết lập và áp dụng phương pháp không lưới nội suy Moving Kriging để giải phương trình này. Một chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải quyết bài toán này; kết quả từ chương trình này cũng có kiểm chứng với một số kết quả từ nghiên cứu khác. Các khảo sát số được thực hiện để nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử chịu uốn của tấm vật liệu chức năng như: điều kiện biên, tỷ lệ cạnh dài/ ngắn, qui luật vật liệu khác nhau.
  6. 2 PHẦN MỞ ĐẦU Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Materials – FGM) là hỗn hợp của hai vật liệu thành phần với tỉ lệ nhất định để đạt được một chức năng mong muốn tùy theo mục đích sử dụng. Vật liệu FGM có tính chất cơ lý thay đổi liên tục trong vật thể nhằm nâng cao đặc tính kỹ thuật. Các tính chất của FGM biến đổi trơn từ bề mặt này sang bề mặt khác nên tránh được sự tập trung ứng suất thường gặp ở các kết cấu bằng vật liệu composite lớp. Để tính toán và thiết kế các loại kết cấu tấm và vỏ làm bằng vật liệu FG, nhiều mô hình tính toán đã được đề xuất và phát triển. Các lý thuyết tính toán này có thể chia làm ba nhóm chính: Lý thuyết tấm cổ điển ( Classical Plate Theory - CPT), Lý thuyết tấm bậc nhất (First-orther Shear Deformation Theory - FSDT) và Lý thuyết tấm bậc cao (Higher-orther Shear Deformation Theory - HSDT). Do ảnh hưởng của biến dạng cắt đối với tấm dày hoặc tấm FGM lớn hơn so với tấm đẳng hướng và đồng nhất. Vì vậy các lý thuyết biến dạng cắt được áp dụng để dự đoán đáp ứng của tấm FGM. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) sử dụng trường chuyển vị bậc cao ở trong mặt phẳng dọc theo chiều dày của tấm, hoặc theo mặt phẳng ngang của tấm nhằm xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang. Tuy nhiên, việc phân tích ứng xử của tấm trên các lý thuyết HSDT này rất phức tạp. Để giảm được số lượng ẩn số, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản (S-FSDT) được đề xuất với hàm chuyển vị gồm 4 ẩn số để phân tích dao động của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi. Vì vậy việc phân tích dao động tấm FGM tựa trên nền đàn hồi sử dụng phương pháp không lưới và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn sẽ đem lại kết quả chính xác và đơn giản hơn.
  7. 3 CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU BIẾN ĐỔI CHỨC NĂNG (FGM) VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ 1. Giới thiệu tổng quan về tấm FGM (Functionally Graded Material) 1.1. Khái niệm: Vật liệu biến đổi chức năng (Functionally Graded Material) đã xuất hiện vào năm 1984 do một nhóm nhà khoa học Nhật Bản [1] đã tìm ra một mô hình vật liệu mới với những tính năng vượt trội so với các loại vật liệu trước đây. Tính ưu việt của nó thông qua sự làm việc của kết cấu dạng dầm, tấm hay vỏ khi chịu tải trọng cơ học, nhiệt độ, độ ẩm…Với những thuộc tính ưu việt của FGM trong nhiều ứng dụng thực tiển như vậy nên FGM đã được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm và đào sâu nghiên cứu bằng nhiều phương pháp khác nhau như: Bằng các thí nghiệm vật liệu để xác định các đặc trưng vật liệu của chúng, Bằng các thí nghiệm kết cấu dạng tấm hay dầm để biết các nguyên lý ứng xử của kết cấu, Bằng các mô hình mô phỏng vật liệu hay kết cấu để rút ra được các nguyên tắc ứng xử chung hay Bằng các mô hình toán lý thuyết nhằm thuần túy thông qua phân tích sự làm việc của các kết cấu cụ thể để từ đó có được cái nhìn tổng quát nhất. FGM là một loại hỗn hợp của nhiều loại vật liệu với nhiều tính năng vượt trội như có khả năng chịu được môi trường nhiệt độ cao và loại bỏ được hiện tượng tập trung ứng suất tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp vật liệu khác nhau. FGM phổ biến thường gồm hai thành phần là gốm (Ceramic) và kim loại (Metal) với những đặc trưng cơ học như: Đối với Gốm - Chịu nhiệt cao, Chống oxy hóa cao, Dẫn nhiệt thấp; Nhôm- Tính năng chịu lực cao, Hệ số dẫn nhiệt cao, Độ dẻo dai cao. Vật liệu gốm được chọn cho vùng tiếp xúc mặt nóng với nhiệt độ cao lên tới 2000k trong môi trường oxy hóa; và vùng tiếp xúc mặt lạnh với nhiệt độ 1000k thì vật liệu kim loại được chọn vì có tính năng dẫn nhiệt, bền và dẻo. Vật liệu FGM được ứng dụng nhiều trong các ngành lĩnh vực hàng không như chế tạo thân vỏ máy bay, các ngành chế tạo máy, động cơ, chế tạo các thiết bị tiếp xúc với nguồn điện công suất lớn, xây dựng, trong ngành y tế được dùng để chế tạo xương nhân tạo, trong xây dựng… 1.2. Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là phân tích dao động tự do của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi.
  8. 4 1.3. Phương pháp nghiên cứu: Mô hình hóa các phương trình cơ bản của tấm trên nền đàn hồi bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT) kết hợp với phương pháp không lưới (MK) và sử dụng phương pháp số (phần mền Matlab) để kiểm chứng và đánh giá kết quả. 1.4. Ý nghĩa của đề tài Nghiên cứu, phân tích dao động của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi, trong đó lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản (S-FSDT) được xây dựng dựa trên HSDT kết hợp với phương pháp không lưới được đề xuất với hàm chuyển vị chỉ gồm 04 ẩn số để phân tích dao động của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi nhằm giảm được số lượng ẩn số so với các lý thuyết biến dạng khác. Việc đề xuất các mô hình tính toán chính xác, hiệu quả và đáng tin cậy trong phân tích dao động của tấm tựa trên nền đàn hồi luôn là một thách thức trong tính toán cơ học. Kết quả nghiên cứu này sẽ tạo cơ sở làm tiền đề cho các nghiên cứu sâu thêm về phân tích dao động của tấm tựa trên nền đàn hồi với các ẩn số đơn giản hơn nhưng cho kết quả chính xác. 1.5. Tóm tắt chương trong luận văn Tóm tắt luận văn. Phần mở đầu. Chương 1: Giới thiệu tổng quan về đề tài nghiên cứu tấm FGM và các phương pháp số. Chương 2: Cơ sở lý thuyết của phương pháp số Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu gọn (S-FSDT). Chương 3: Kiểm chứng số. Chương 4: Kết luận và kiến nghị. Chương này trình bày ngắn gọn các kết luận dựa trên kết quả tính toán đạt được đồng thời nêu ra những kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo. 2. Các phương pháp số. 2.1. Lý thuyết tấm cổ điển (Classical Plate Theory - CTP) Mô hình tính toán dựa trên giả thuyết của Love – Kirchhoff [2], không xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang đến ứng xử của tấm mỏng. Khi chiều dày tấm tăng lên, biến dạng cắt ngang có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng của tấm. Trường chuyển vị của lý thuyết tấm cổ điển được thể hiện như sau:
  9. 5 𝜕𝑤 𝑢1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝑢2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑦 𝑢3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤(𝑥, 𝑦) Trong đó 𝑢, 𝑣, 𝑤 là các thành phần chuyển vị theo 𝑥, 𝑦, 𝑧 tại vị trí mặt trung hòa. 2.2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-orther Shear Deformation Theory - FSDT) Là lý thuyết cải tiến từ Lý thuyết tấm cổ điển (CPT) trong đó xét đến ảnh hưởng biến dạng cắt bằng cách xây dựng trường chuyển vị tuyến tính bậc nhất trong mặt phẳng dọc theo chiều dày của tấm. Tuy nhiên các phương trình cân bằng dựa trên lý thuyết này đều không thỏa mãn được điều kiện biên về sự triệt tiêu ứng suất ở mặt trên và mặt dưới của tấm. Để khắc phục nhược điểm này Mindlin R.D. (1951) [3], Reissner E. (1945) [4] đã đưa ra một hệ số hiệu chỉnh biến dạng cắt được sử dụng để điều chỉnh mối quan hệ kết hợp giữa ứng suất cắt và biến dạng cắt ngang và giá trị hệ số này phụ thuộc vào các thông số như: hình học, tải trọng tác dụng, điều kiện biên của tấm. Trường chuyển vị của tấm (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) được biểu diễn như sau: 𝜕𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) 𝑢1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) 𝑢2 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑦 𝑢3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤(𝑥, 𝑦) Trong đó 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦), 𝑤(𝑥, 𝑦) là những ẩn số chuyển vị của mặt giữa của tấm theo phương 𝑥, 𝑦, 𝑧 tương ứng; 𝜑𝑥 (𝑥, 𝑦), 𝜑𝑦 (𝑥, 𝑦) là các góc xoay của pháp tuyến của mặt phẳng giữa tấm theo trục 𝑥, 𝑦. 2.3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-orther Shear Deformation Theory - HSDT) Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) là phần mở rộng của nhóm lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, ưu điểm của lý thuyết này là khắc phục nhược điểm của FSDT, không sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt để tính toán các thành phần ứng suất cắt trong tấm, do thành phần
  10. 6 biến dạng cắt không phải là hằng số theo chiều dày tấm và mặt biến dạng là mặt cong theo chiều dày tấm. Các phương trình cân bằng, ổn định dựa trên trường chuyển vị đã thỏa mản tất cả các điều kiện biên. Tuy nhiên tính chính xác cũng như mức độ hiệu quả của phương pháp này phụ thuộc vào việc lựa chọn hàm dạng biến dạng cắt, việc phân tích ứng xử của tấm dựa trên các lý thuyết HSDT này rất phức tạp do số lượng biến số ở các phương trình cân bằng, ổn định tăng lên. Chẳng hạn hàm chuyển vị được xây dựng trên lý thuyết HSDT được đề xuất bởi Pradyumna và Bandyopadhyay [5], Neves và cộng sự [6,7,8] sử dụng 9 ẩn số; Reddy [9] đã phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 (Thirt-orther Shear Deformation Theory - TSDT) với các thành phần chuyển vị màng biến thiên theo hàm bậc 3 và một số lý thuyết HSDT sử dụng hàm chuyển vị gồm 5 ẩn số tương tự như lý thuyết FSDT như: Lý thuyết biến bạng cắt hàm sin [10], Lý thuyết biến dạng cắt hàm lượng giác [11-13]. Trường chuyển vị của tấm (𝑢, 𝑣, 𝑤) (theo Reddy [14]) được biểu diễn như sau: 4𝑧 3 4𝑧 3 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢0 + (𝑧 − ) 𝜃 − 𝜑 3ℎ2 𝑦 3ℎ2 𝑥 4𝑧 3 4𝑧 3 ℎ ℎ 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣0 − (𝑧 − 3ℎ2 ) 𝜃𝑥 − 3ℎ2 𝜑𝑦 (− 2 ≤ 𝑧 ≤ 2 ) 𝑤(𝑥, 𝑦, 0) = 𝑤0 Trong đó, ℎ là chiều dày của tấm 𝑢0 , 𝑣0 , 𝑤0 là các chuyển vị tại điểm giữa của tấm; 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 là các góc xoay quanh trục 𝑥, 𝑦 tương 𝜕𝑤0 𝜕𝑤0 ứng 𝜑𝑥 = , 𝜑𝑦 = là góc xoay ảo theo trục 𝑥, 𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦
  11. 7 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP SỐ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT THU GỌN (S-FSDT) 1. Tính chất vật liệu của tấm FGM 1.1. Tấm phân loại chức năng (FGM) Xét một tấm FG nằm trên nền đàn hồi với các ký hiệu hình học theo tọa độ Cartesian được thể hiện như trong Hình 2.1.1. Tấm được chế tạo từ 02 loại vật liệu khác nhau gồm kim loại và gốm có chiều dày là ℎ. Tỷ số Poisson 𝑣 trong bài luận văn này được giả định là không đổi, môđun Young 𝐸(𝑧) và mật độ khối lượng 𝜌(𝑧) được giả định là thay đổi liên tục thông qua chiều dày ℎ của tấm. Có ba loại vật liệu phân loại chức năng (FGM) thường dùng gồm: tấm đẳng hướng (tấm loại A), tấm Sandwich sử dụng lõi vật liệu phân loại chức năng (FG) và đa đẳng hướng (tấm loại B) và ngược lại (tấm loại C). Hình 2.1.1. Ký hiệu hình học và tọa độ của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi Tấm FG có mặt dưới và mặt trên được giả định là hoàn toàn bằng kim loại và gốm, tương ứng [15],[17-20]. Các tính chất của vật liệu được tính toán bằng luật phân phối công suất với quy tắc hỗn hợp Voigh. Do đó môđun Young’s 𝐸(𝑧), mật độ khối lượng 𝜌(𝑧) và hệ số tỷ lệ Poisson 𝑣(𝑧) được xác định như sau: 𝐸(𝑧) = 𝐸𝑚 + (𝐸𝑐 − 𝐸𝑚 )𝑉𝑐 (𝑧) (1) 𝜌(𝑧) = 𝜌𝑚 + (𝜌𝑐 − 𝜌𝑚 )𝑉𝑐 (𝑧) (2) 𝑣(𝑧) = 𝑣𝑚 + (𝑣𝑐 − 𝑣𝑚 )𝑉𝑐 (𝑧) Trong đó các chỉ số 𝑚 và 𝑐 là đại diện cho các thành phần kim loại và gốm tương ứng; Với 𝑉𝑐 = (0.5 + 𝑧/ℎ)𝑛 là phần thể tích của gốm; và 𝑛 là chỉ số của hàm mũ, thể hiện sự gia tăng tỷ lệ của thành phần thể tích, 𝑧 là biến tọa độ theo chiều dày −0.5ℎ ≤ 𝑧 ≤
  12. 8 0.5ℎ. Sự thay đổi trong khối lượng gốm tương ứng với tỷ lệ độ dày cho các giá trị khác nhau của chỉ số 𝑛 [15] qua Hình 2.1.2. Hình 2.1.2. Mối quan hệ giữa 𝑉𝑐 và tỷ lệ chiều dày z/h của tấm theo chỉ số 𝑛 0,5 n=0.1 0,3 n=0.3 n=0.5 0,1 z/h n=1 -0,1 n=3 n=5 -0,3 n=10 -0,5 00 00 00 00 00 01 01 01 01 01 01 Vc Hình 2.1.2 biểu diễn sự thay đổi của thể tích thành phần gốm 𝑉𝑐 , đối với tỷ số chiều dày tấm FGM khi trị số 𝑛 thay đổi. Đối với giá trị rất lớn 𝑛 > 100 thì 𝑉𝑐 rất bé nên có thể xem như vật liệu của tấm chỉ bao gồm là kim loại. Đối với giá trị 𝑛 rất bé 𝑛 < 0.01 có thể xem như vật liệu của tấm chỉ bao gồm là gốm. Sự thay đổi của việc kết hợp giữa hai vật liệu kim loại và gốm là tuyến tính khi 𝑛 = 1. 1.2. Xây dựng S-FSDT dựa trên Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Đặt 𝛺 là miền trong ℝ2 có được từ mặt phẳng giữa của tấm. Các chuyển vị của tấm theo các hướng 𝑥, 𝑦 và 𝑧 được quy ước bởi các ký hiệu lần lượt là 𝑢, 𝑣 và 𝑤, tương ứng. Theo Lý thuyết tấm tinh chế (RPT) được đề xuất bởi Shenthilnathan [16], trường chuyển vị của tấm có thể được biểu thị theo năm biến số chưa biết như sau: 𝜕𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) (3a) 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢0 (𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) (−ℎ/2 ≤ 𝑧 ≤ ℎ/2) (3b) 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣0 (𝑥, 𝑦) − 𝑧 𝜕𝑦 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) + 𝑤𝑠 (𝑥, 𝑦) (3c) Trong đó 𝑢0 𝑦), 𝑣0 𝑦) là các chuyển vị tại mặt giữa của (𝑥, (𝑥, tấm theo hướng 𝑥 và 𝑦, trong khi đó 𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦), 𝑤𝑠 (𝑥, 𝑦) là các thành phần uốn và cắt của chuyển vị ngang theo hướng 𝑧. Ngoài ra, các trường chuyển vị có thể được biểu thị dưới dạng thu gọn như sau:
  13. 9 ̂ = 𝐮0 + 𝑧𝐮1 𝐮 (4) Trong đó: −𝜕𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) 𝑢0 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 (5) 𝐮0 = { 𝑣0 (𝑥, 𝑦) } 𝐮1 = −𝜕𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) 𝑤𝑏 (𝑥, 𝑦) + 𝑤𝑠 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 { 0 } Giả định rằng biến dạng là nhỏ nên các mối quan hệ của chuyển vị có được có thể viết lại dưới dạng sau: 𝑇 𝑇 (6a,b) 𝜀 = {𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 } = 𝜀0 + 𝑧𝜀1 ; 𝛾 = {𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧 } = 𝜀𝑠 với 𝜕𝑢0 −𝜕 2 𝑤𝑏 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 𝜕𝑤𝑠 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑣0 −𝜕 2 𝑤𝑏 𝜕𝑥 (7a,b,c) 𝜀0 = 𝜀1 = 𝜀𝑠 = 𝜕𝑤 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑦 2 𝑠 𝜕𝑢0 𝜕𝑣0 𝜕 2 𝑤𝑏 { 𝜕𝑦 } + −2 { 𝜕𝑦 𝜕𝑥 } { 𝜕𝑥𝜕𝑦} ′ (𝑧) Đặt 𝑓 là đạo hàm đối với trục 𝑧. Dạng dao động tự do của mô hình tấm FGM tựa trên nền đàn hồi được mô tả ở dạng phương trình sau: (8) ∫ 𝛿𝜀 𝑇 𝐃𝜀 𝜀𝑑𝛺 + ∫ 𝛿𝜀𝑠𝑇 𝐃𝑠 𝜀𝑠 𝑑𝛺 + ∫ 𝛿𝐮𝑇 𝐦𝐮̈ 𝑑𝛺 𝛺 𝛺 𝛺 + ∫ 𝛿𝜀𝑘𝑇 𝐾𝑠 𝜀𝑘 𝑑𝛺 + ⋯ + ∫ 𝛿(𝑤𝑏 + 𝑤𝑠 )𝐾𝑤 (𝑤𝑏 + 𝑤𝑠 )𝑑𝛺 = 0 𝛺 𝛺 Trong đó, 𝐾𝑤 và 𝐾𝑠 là các hệ số độ cứng của nền. Với 𝛻 𝑇 = [𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦]𝑇 là toán tử Gradient, và: 𝜀0 ℎ/2 𝐀 𝐁 (9) 𝜀 = [𝜀 ]; 𝐃𝜀 = [ ]; 𝐃𝑠 = ∫ 𝐃𝑠 (𝑧)𝑑𝑧 1 𝐁 𝐂 −ℎ2 Khi đó: ℎ/2 ℎ/2 (10a,b) 𝐴𝑖𝑗 , 𝐵𝑖𝑗 , 𝐶𝑖𝑗 = ∫−ℎ2 [1, 𝑧, 𝑧 2 ]𝑄𝑖𝑗 𝑑𝑧; 𝐷𝑖𝑗𝑠 = ∫ 𝐺𝑖𝑗 𝑑𝑧 −ℎ2 Và phương trình ma trận vật liệu có dạng sau:
  14. 10 1 𝑣(𝑧) 0 𝐸(𝑧) 1 0 (11a,b) [𝑣(𝑧) 1 0 ]; 𝐸(𝑧) 𝐐= 1− 𝑣(𝑧)2 𝐆= [ ] 1−𝑣(𝑧) 2(1 + 𝑣(𝑧)) 0 1 0 0 2 và ℎ 𝐼 𝐼 𝐮0 (12) 𝐦 = [ 0 1 ]; (𝐼0 , 𝐼1 , 𝐼2 ) = ∫2ℎ 𝜌(𝑧) [1, 𝑧, 𝑧 2 ]𝑑𝑧; 𝐮 = {𝐮 } 𝐼1 𝐼2 − 2 1 2. Phân tích tấm FGM trên nền đàn hồi theo phương pháp không lưới 2.1. Hàm dạng Move Kriging (MK) Các hàm dạng của phương pháp nội suy MK và các dẫn xuất của chúng được giới thiệu một cách ngắn gọn trong bài luận văn này. Để hiểu rõ hơn về phương pháp và các thuộc tính toán học của nó, có thể tham khảo [21, 22]. Hàm phân phối 𝑢(𝑥𝑖 ) trong một miền phụ 𝛺𝑥 do đó 𝛺𝑥 ⊆ 𝛺 . Giả sử rằng các giá trị của nó có thể được nội suy dựa trên các giá trị nút 𝑥𝑖 (𝑖 ∈ [1, 𝑛]), trong đó 𝑛 là tổng số nút trong 𝛺𝑥 . Hàm gần đúng 𝒖ℎ (𝑥) có thể được biểu thị như sau: 𝑛 ℎ (𝑥) (13) 𝒖ℎ (𝑥) = [𝑷𝑇 (𝑥)𝑨 + 𝒓𝑇 (𝑥)𝐵]𝒖(𝑥) hoặc 𝒖 = ∑ 𝜙𝐼 (𝑥)𝒖𝐼 𝐼=1 Khi đó 𝜙𝐼 (𝑥) là hàm dạng MK và được xác định như sau: 𝑚 𝑛 𝜙𝐼 (x) = ∑ 𝑃𝑗 (𝑥)𝐴𝑗𝐼 + ∑ 𝑟𝑘 (𝑥)𝐵𝑘𝐼 (14) 𝑗=1 𝑘=1 Trong đó 𝑨 và 𝑩 là các ma trận được tính bằng: 𝑨 = (𝑷𝑇 𝑹−1 𝑷)−1 𝑷𝑇 𝑹−1 𝑩 = 𝑹−1 (𝑰 − 𝑷𝑨) (15 a,b) Khi 𝑰 là ma trận đơn vị và véctơ 𝑷(𝑥) trong biểu thức (13) là một đa thức với 𝑚 là hàm cơ sở. 𝐏 𝑇 (𝑥) = [𝑝1 (𝑥), 𝑝2 (𝑥), 𝑝3 (𝑥) … . , 𝑝𝑚 (𝑥)] (16) Ma trận 𝑷(𝑛×𝑚) là kết quả tổng hợp các giá trị của các hàm cơ sở của đa thức sau: 𝑝1 (𝑥1 ) 𝑝2 (𝑥1 ) ⋯ 𝑝𝑚 (𝑥1 ) 𝑝1 (𝑥2 ) 𝑝2 (𝑥2 ) … 𝑝𝑚 (𝑥2 ) 𝐏= [ ] (17) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑝1 (𝑥𝑛 ) 𝑝2 (𝑥𝑛 ) ⋯ 𝑝𝑚 (𝑥𝑛 )
  15. 11 Và 𝒓(𝑥) trong phương trình (15) được đề xuất bởi 𝒓𝑇 (𝑥) = [𝑅(𝑥1 , 𝑥), 𝑅(𝑥2 , 𝑥), … . , 𝑅(𝑥𝑛 , 𝑥) ] (18) Trong đó 𝑅(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ) là hàm tương quan giữa các cặp nút 𝑥𝑖 và 𝑥𝑗 , đó là phương sai của giá trị 𝑢(𝑥): 𝑅(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ) = 𝑐𝑜𝑣[𝑢(𝑥𝑖 ), 𝑢(𝑥𝑗 )] và 𝑅(𝑥𝑖 , 𝑥) = 𝑐𝑜𝑣[𝑢(𝑥𝑖 ), 𝑢(𝑥)]. Trong luận văn này, hàm Gaussian được sử dụng làm hàm tương quan và một tham số 𝜃 > 0 là tham số tương quan được đưa ra để phù hợp với mô hình [21,22]. 2 𝑅 (𝑥 , 𝑥 ) = 𝑒 −𝜃𝑟𝑖𝑗 (19) 𝑖 𝑗 Trong đó, 𝑟𝑖𝑗 = ‖𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ‖. Tuy nhiên, kết quả có được của các hàm dạng MK lại phụ thuộc rất nhiều vào tham số tương quan 𝜃 [22] thường gây ra sự ổn định trong mô hình số và giá trị tối ưu của nó vẫn còn nhiều nghi vấn. Trong thực tế, giá trị hợp lý của nó có thể được xác định thông qua các kiểm tra số để đảm bảo tính chính xác và nhất quán của giải pháp dựa trên các thuộc tính của từng loại vấn đề. Để khắc phục nhược điểm này, luận văn này trình bày hàm tương quan đa biến mới, chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa điểm nguồn và điểm đích. Nó dẫn đến chức năng hàm dạng MKI ổn định và không thay đổi với nút lưới và tham số tương quan 𝜃, như sau: 2 1 𝑅(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ) = √( ) + 𝑟𝑖2𝑗 (20) 2𝐼𝑐2 Trong đó: 𝐼𝑐 là hệ số chiều dài bên trong của mô hình, có thể được lấy làm khoảng cách trung bình giữa các nút trong mô hình. Rõ ràng là các hàm tương quan mới không phụ thuộc vào tham số tương quan. Ma trận tương quan 𝑹[𝑅(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ]𝑛×𝑛 được đưa ra bởi: 1 𝑅(𝑥1, 𝑥2 ) ⋯ 𝑅(𝑥1, 𝑥𝑛 ) 𝑅(𝑥2, 𝑥1 ) 1 … 𝑅(𝑥2, 𝑥𝑛 ) 𝑹 [𝑅(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 )] = (21) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ [𝑅(𝑥𝑛, 𝑥1 ) 𝑅(𝑥𝑛, 𝑥2 ) ⋯ 1 ] Đối với các vấn đề về tấm mỏng, không chỉ các đạo hàm bậc nhất của các hàm dạng được yêu cầu, mà cả các đạo hàm bậc hai cũng cần được tính toán, các đạo hàm này có được bằng cách phân loại trực tiếp phương trình (14), như sau: 𝑚 𝑛 𝜙𝐼.𝑖 (𝑥) = ∑ 𝑃𝑗,𝑖 (𝑥)𝐴𝑗𝐼 + ∑ 𝑟𝑘,𝑖 (𝑥)𝐵𝑘𝐼 (22) 𝑗 𝑘
  16. 12 𝑚 𝑛 𝜙𝐼.𝑖𝑖 (𝑥) = ∑ 𝑃𝑗,𝑖𝑖 (𝑥)𝐴𝑗𝐼 + ∑ 𝑟𝑘,𝑖𝑖 (𝑥)𝐵𝑘𝐼 (23) 𝑗 𝑘 Trong các phương pháp không lưới [22], miền ảnh hưởng thường là một hình tròn hoặc hình cầu, được xác định bởi bán kính và tập trung tại điểm quan tâm. Miền này được sử dụng để xác định các nút phân tán được sử dụng để nội suy. Biểu thức sau đây được thực hiện để tính kích thước của miền hỗ trợ 𝑑𝑚 = 𝛼𝑑𝑐 (24) Trong đó xác định độ dài đặc trưng liên quan đến khoảng cách nút gần điểm quan tâm và 𝛼 là một yếu tố tỷ lệ. Cần lưu ý rằng hàm dạng tại nút cho nút nội suy sở hữu thuộc tính hàm delta. 1 𝑘ℎ𝑖 𝐼 = 𝑗 𝜙𝐼 (𝑥𝑗 ) = 𝛿𝐼𝑗 = { (25) 0 𝑘ℎ𝑖 𝐼 ≠ 𝑗 2.2. Các phương trình rời rạc Trong miền tham số theo phương pháp không lưới, các chuyển vị tổng quát ở bề mặt giữa của tấm được tính gần đúng bằng phương trình (15) 𝑇 𝐮ℎ = [𝑢ℎ 𝑣 ℎ 𝑤𝑏ℎ 𝑤𝑠ℎ ] và 𝐮𝐼 = [𝑢1 𝑣1 𝑤𝑏𝐼 𝑤𝑠𝐼 ]𝑇 (26) Bằng cách thay thế phương trình (12) vào phương trình (6), mối quan hệ giữa trong mặt phẳng/cắt và chuyển vị có thể có được như sau: 𝑛 𝑛 𝑛 𝜀0 = ∑ 𝐁𝐼𝑚 𝐮𝐼 𝜀1 = ∑ 𝐁𝐼𝑏 𝐮𝐼 𝜀𝑠 = ∑ 𝐁𝐼𝑠 𝐮𝐼 (27a,b,c) 𝐼=1 𝐼=1 𝐼=1 Với 𝜙𝐼,𝑥 0 0 0 0 0 − 𝜙𝐼,𝑥𝑥 0 𝐁𝐼𝑚 = [ 0 𝜙𝐼,𝑦 0 0] 𝑏 𝐁𝐼 = [0 0 −𝜙𝐼,𝑦𝑦 0] (28 a,b,c) 𝜙𝐼,𝑦 𝜙𝐼,𝑥 0 0 0 0 −2𝜙𝐼,𝑥𝑦 0 0 0 0 𝜙𝐼,𝑥 𝐁𝐼𝑆 = [ ] 0 0 0 𝜙𝐼,𝑦 Tương tự, thay thế phương trình (12) vào phương trình (5), các trường chuyển vị có thể được thể hiện như sau: 𝑛 𝑛 𝐮0 = ∑ 𝐍𝐼0 𝐮𝐼 𝐮1 = ∑ 𝐍𝐼1 𝐮𝐼 (29a,b,c,d) 𝐼=1 𝐼=1 Với
  17. 13 𝜙𝐼 0 0 0 0 0 − 𝜙𝐼,𝑥 0 𝐍𝐼0 = [ 0 𝜙𝐼 0 0] 𝐍𝐼1 = [0 0 − 𝜙𝐼,𝑦 0] 0 0 𝜙𝐼 𝜙𝐼 0 0 0 0 Và các dẫn xuất của các chuyển vị được đề xuất bởi 𝜕𝑤 𝑛 𝜕𝑥 𝑔 𝑔 0 0 𝜙𝐼,𝑥 𝜙𝐼,𝑥 (30) 𝜕𝑤 = ∑ 𝐁 𝐼 𝐮𝐼 Khi 𝐁 𝐼 = [ ] 0 0 𝜙𝐼,𝑦 𝜙𝐼,𝑦 𝐼=1 { 𝜕𝑦 } Thế phương trình (29) vào phương trình (8), ta có thể viết lại dạng dao động tự do của tấm FGM tựa trên nền đàn hồi như sau: (𝐊 − 𝜔2 𝐌)𝐮 = 0 (31) Khi đó 𝜔 là tần số tự nhiên và 𝜆𝑐𝑟 giá trị khóa tới hạn tương ứng. Ma trận độ cứng tổng quát 𝑲 có được như sau: 𝑇 𝐁𝑚 𝐀 𝐁 𝐁𝐼𝑚 (32) 𝐊 = ∫ { 𝐼𝑏 } [ ] { 𝑏 } 𝑑𝛺 + ∫ (𝐁𝐼𝑠 )𝑇 𝐃𝑠 𝐁𝐼𝑠 𝑑𝛺 𝛺 𝐁𝐼 𝐁 𝐂 𝐁𝐼 𝛺 𝑔 𝑔 + ∫ (𝐁𝐼 )𝑇 𝐾𝑠 𝐁𝐼 𝑑𝛺 + ∫ 𝐍𝐼𝑇 𝐾𝑤 𝐍𝐼 𝑑𝛺 𝛺 𝛺 Ma trận khối lượng tổng quát 𝑴 được thể hiện bởi 𝑇 (33) 𝐍0 𝐼 𝐼 𝐍0 𝐌 = ∫ { 𝐼1 } [ 0 1 ] { 𝐼1 } 𝑑𝛺 𝛺 𝐍𝐼 𝐼1 𝐼2 𝐍𝐼 Và 𝐏 𝑇 (𝑥) = {1 𝑥 𝑦 𝑥 2 𝑥𝑦 𝑦 2 } (34) Một hàm cơ bản đa thức bậc hai (𝑚 = 6) được sử dụng để xây dựng các phép nội suy MK. Một lưới nền Gauss với 4𝑥4 điểm được sử dụng. 2.3. Lý thuyết tấm trên nền đàn hồi: Dạng của phương trình vi phân cân bằng của tấm trên nền đàn hồi phụ thuộc vào dạng mô hình nền. Khi tính kết cấu tiếp xúc với nền đàn hồi thường sử dụng mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ: mô hình nền đàn hồi một hệ số (mô hình nền Winkler) và mô hình nền hai hệ số (mô hình nền Pasternak). Đặc trưng cơ bản của mô hình nền một hệ số (mô hình nền Winkler), là nền chỉ biến dạng trong phạm vi bề mặt tiếp xúc của kết
  18. 14 cấu với nền, coi hệ số nền là hằng số với mỗi loại đất là chưa phù hợp với thực tế, vì nó còn phụ thuộc cả vào kích thước của kết cấu tiếp xúc với nền. Hệ số nền chỉ mang tính chất quy ước mà không có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Coi biến dạng của nền là cục bộ trong phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu với nền là bỏ qua tính ma sát và tính dính của đất nền. Mô hình này tương đối thích hợp và sát thực tế đối với nền đất yếu, đất ẩm hoặc bão hòa nước; đặc biệt đối với môi trường chất lỏng thì mô hình này là chính xác. Hình 2.3.1. Mô hình nền biến dạng đàn hồi một hệ số (mô hình nền Winkler) Mô hình nền 2 hệ số là mô hình trong đó hệ số nền K w đặc trưng cho sự làm việc chịu nén và hệ số nền K s đặc trưng cho sự làm việc chịu cắt. Như vậy, lực tương tác giữa kết cấu với đất nền ngoài phản lực pháp tuyến còn có phản lực tiếp tuyến. Hình 2.3.2. Mô hình nền biến dạng đàn hồi hai hệ số (mô hình nền Pasternak) Mô hình nền hai hệ số Pasternak chỉ khác với mô hình nền
  19. 15 Winkler ở hệ số nền kể đến ứng suất tiếp giữa các cột đất trong nền. Chính ứng suất này đã gây ra biến dạng của nền ở ngoài phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu với đất nền. Mô hình này phản ánh sự làm việc của đất nền sát với thực tế hơn. Đây là mô hình trung gian giữa hai mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ và bán không gian đàn hồi. Khi không kể đến ứng suất tiếp thì mô hình này trở về mô hình nền Winkler. Mô hình nền hai hệ số có nhược điểm là giá trị của các hệ số K w và K s được xác định tùy thuộc vào quan niệm và cách xác định khác nhau. Vì vậy, khi sử dụng mô hình này, các kết quả tính toán cần được kiểm tra lại bằng thực nghiệm. Mô hình nền hai hệ số được xây dựng từ giả thuyết: phản lực nền r(x,y) bao gồm phản lực pháp tuyến p(x,y) tương ứng với sự làm việc chịu nén của nền và phản lực tiếp tuyến t(x,y) tương ứng với sự làm việc chịu cắt của nền. r(x,y) = p(x,y) + t(x,y) (35) Trong đó:   2 w  x, y   2 w  x, y   t ( x, y )   K s    (36)  x 2 y 2  Kết hợp với phản lực nền trong mô hình nền Winkler, tỷ lệ bậc nhất với chuyển vị w(x,y) qua hệ số nền K w , như sau: p( x, y )  K w w( x, y) (37) Phản lực nền với mô hình nền hai hệ số có dạng:   2 w  x, y   2 w  x, y   r ( x, y)  p( x, y)  t ( x, y)  K w w( x, y)  K s    (38)  x 2 y 2  Thay vào phương trình vi phân cân bằng của tấm – phương trình Sophi Giecman dưới dạng toán tử:
  20. 16 Dp22 w( x, y )  q( x, y ) (39) Được phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền hai hệ số dưới dạng toán tử Laplat có dạng:   2 w  x, y   2 w  x, y   Dp  w( x, y)  K w w( x, y)  K s  2 2    q( x, y) (40)  x 2 y 2 
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
207 tài liệu
1474 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2