Tuyển chọn một số bài toán nâng cao lớp 7

Ọ Ể

Ộ Ố Ầ Ạ Ố Ớ TUY N CH N M T S BÀI TOÁN NÂNG CAO L P 7 A.PH N Đ I S :

Bài toán 1. So sánh:

20092009 . 10

ỉ ố Bài toán 2. Tính t s t:ế , bi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

A

...

1 2008

1 2009

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

B

...

1 2007 2006 3

2 2007

1 2008

2009 và 20 A B 1 1 2 3 2008 1

1 4 2007 2 Bài toán 3. Cho x, y, z, t (cid:0) N * .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ự ả ị ứ ằ có giá tr không ph i là s t nhiên. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y y

z

x

t

y

t

x

t

z z

t z

x y x t: ế

3x y = x

Ch ng minh r ng: M = Bài toán 4. Tìm x; y (cid:0) Z bi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

2(2

2(5

3

16

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

4

2

6

a. 25 – 2y = 8( x – 2009) b. 3y + 1997 c. x + y + 9 = xy – 7. tế : Bài toán 5. Tìm x bi )3 )3 2 a. b. .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

...

ứ Bài toán 6. Ch ng minh r ng ằ : < 1

3 2 2.1

5 2 3.2

7 2 4.3

19 2 10.9

ỗ ố ứ ế ặ ằ ị

1.x2 + x2.x3

ậ Bài toán 7. Cho n s xố 1, x2, ..., xn m i s nh n giá tr 1 ho c 1. Ch ng minh r ng n u x + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia h t cho 4. ứ Bài toán 8. Ch ng minh r ng:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

...

(cid:0) S = < 0,2

1 n 4

1 2002

1 2004

ế ằ 1 6 2

1 2 2

1 4 2

2 1 4 2

2

(cid:0) (cid:0) ị ủ ứ ể

x

(cid:0) x

01

nx +

Bài toán 9. Tính giá tr c a bi u th c A = gi ả ử s .

2 1 nx

(cid:0) ể ứ ủ . Bài toán 10. Tìm max c a bi u th c:

43 2 (cid:0) x

ng. Ch ng minh r ng ằ : Bài toán 11. Cho x, y, z là các s d

(cid:0) (cid:0) (cid:0) D = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x y

ố ươ z x

y

x

y

x

2 z ệ ố ủ

ậ ượ

z ổ

ỏ ấ ể ặ c sau khi b d u ngo c trong bi u th c ứ :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ố

a

3 2 a

5

2002

2004

2005

: và a + 3 =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

ỏ ng th a mãn ứ : 2006 ị ủ ...

2006

1 x 1 ứ y 3 z 4 ứ Bài toán 12. Tìm t ng các h s c a đa th c nh n đ A(x) = ( 3 4x + x2 )2004 .( 3 + 4x + x2 )2005 ươ Bài toán 13. Tìm các s a, b, c nguyên d Bài toán 14. Cho x = 2005. Tính giá tr c a bi u th c 2003

(cid:0) ể x 2006 xx

2

(cid:0) (cid:0) ể ọ

x

12

3

Bài toán 15. Rút g n bi u th c ứ : N = (cid:0) (cid:0)

8

20

ố ươ ỗ ố ộ ố

x ố

ạ ộ

x ỏ ng, 1 s âm và m t s 0. H i m i s đó thu c lo i nào

3 (cid:0)

(cid:0)

x

y

2 zy

tế :

2009

ủ ổ : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

33

3 x (cid:0)

y

ủ ể Bài toán 16. Trong 3 s ố x, y, z có 1 s d bi ữ ố ậ Bài toán 17. Tìm hai ch s t n cùng c a t ng sau B = 3 ... 3 Bài toán 18. Cho 3x – 4y = 0. Tìm min c a bi u th c ứ : M = .

(cid:0) (cid:0)

x

z

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài toán 19. Tìm x, y, z bi tế : .

x 2

y 3

z 4

y 5

(cid:0) Bài toán 20. Tìm x, y bi ế ằ : x 2 + y 2 + t r ng = 4

1 2 x

1 2 y

ố ồ ữ ố ố ồ ữ ố

+ 1 ch s 1, c là s g m n ch s 6.

ằ ứ ữ ố ố ố ồ ng.

+ b + c + 8 là s chính ph ọ ố ự ớ

ồ ạ ố ự ứ ằ ươ nhiên a, t n t i s t nhiên b sao cho ab

+ 4 là s ố

ươ ng. (cid:0) ữ ố ế ề ệ ằ ỏ thì

ab

cd

:

ca :

(cid:0) ứ . Bài toán 21. Cho a là s g m 2n ch s 1, b là s g m n Ch ng minh r ng a Bài toán 22. Ch ng minh r ng v i m i s t chính ph Bài toán 23. Ch ng minh r ng n u các ch s a, b, c th a mãn đi u ki n abbb

bbbc

ca :

:

(cid:0) (cid:0) ế ằ ố ự Bài toán 24. Tìm phân s ố khác 0 và s t nhiên k, bi t r ng .

m n

km nk ố ố

ổ ả ẫ ằ ỗ

m n nhiên a và b (a < b). Tìm t ng các phân s t

i gi n có m u b ng 7, m i

ơ ố ớ ỏ ơ ố ự ư

ươ ẻ ứ ng (n l ).

+ 3 + 5 + 7 + ... + n là s chính ph

3 n 2 + 2n + 7 chia h t cho n

(cid:0)n

ế ằ

(cid:0) ươ ế ợ ố ớ ố 2 + 1. ọ ố ằ t r ng: n ằ là h p s v i m i s nguyên d ng n.

2

3

3 1)111 . (n 2 1)333 cho n.

ế ể n + 2n + 3n + 4n chia h t cho 5.

nhiên n đ 1 ằ ế ế

6 – 1 chia h t cho 7.

ệ

ứ (cid:0) (cid:0)

x

z

2

7

5

2 – 1) + (y – z)2 = 16.

Bài toán 25. Cho hai s t phân s l n h n a nh ng nh h n b. Bài toán 26. Ch ng minh r ng: A = 1 Bài toán 27. Tìm n bi ứ Bài toán 28. Ch ng minh r ng: B = ố ư Bài toán 29. Tìm s d khi chia (n ố ự Bài toán 30. Tìm s t ộ ố ủ ứ Bài toán 31. a. Ch ng minh r ng: N u a không là b i s c a 7 thì a b. Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có ít nh t 4 nghi m. ấ c. Ch ng minh r ng: a 5 – a chia h t cho 10. ế 4 ị ủ i (xạ ứ t y ằ

2004

ộ ố (cid:0) ể ố không th là s nguyên. b. M = (cid:0) ằ ể Bài toán 32. Tính giá tr c a bi u th c: A = ứ Bài toán 33. Ch ng minh r ng: a. 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) là m t s nguyên. 1 1

1986 1000

2004

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ướ ạ ậ ữ ố ấ

81,0

c. Khi vi ố ữ ỉ i d ng th p phân thì s h u t t d có ít nh t 4000 ch s 0 (cid:0) (cid:0)

9 11

ẩ

tế :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A = và B = . ấ ầ đ u tiên sau d u ph y. Bài toán 34. So sánh A và B bi 1 2 101

1 103

1 104

1 105

1 7.5.3.2

Bài toán 35. Tìm x bi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

7

5

(cid:0) a.

1 102 tế : 7 57

131

ề ở

ậ ố ủ ế ứ ứ ấ ườ ứ ứ ả ờ b. (4x – 3)4 = (4x – 3)2 ừ Bài toán 36. Ba ô tô cùng kh i hành t ô tô th hai là 3km/h. Th i gian ô tô th nh t, th hai, th ba đi h t qu ng đ ậ ố ủ A đi v phía B. V n t c c a ô tô th nh t kém v n t c c a ầ ượ ứ ấ t là ng AB l n l

ỗ ờ gi gi , ờ 40 phút,

5 8

ậ ố ủ . Tính v n t c c a m i ô tô. 2 + a (a (cid:0)

Z+) là s vô t . ỉ ố ậ ằ ợ (cid:0) a2 + a ; b (cid:0) và (cid:0) b2 + b ; b (cid:0) b ng nhau.

ứ

ỏ nhiên a, b, c, d, e th a mãn : ab = bc = cd = de = ea.

ứ

5 9 ứ ằ Bài toán 37. Ch ng minh r ng ố ự Bài toán 38. Cho các s th c a, b sao cho t p h p ằ : a = b. Ch ng minh r ng Bài toán 39. Cho năm s t Ch ng minh r ng Bài toán 40. Tìm x, y bi

ố ự ằ : a = b = c = d = e. t:ế

ầ a. 5x – 17y = 2xy và x – y = 5; 2x + 3y = xy. b. x + 2y – 3z = 5xyz và (x – 2y)(y + 7) – x = 192 .( xyz > 0) ọ B. Ph n hình h c

ẳ ạ i A bi ế ườ t đ ỉ ng th ng d đi qua đ nh A và chai tam

(cid:0) ấ ạ ế i A, trung tuy n AM. L y E BC. BH, CK (cid:0) AE (H, K (cid:0) (cid:0) MHK vuông cân.

ắ ạ i

ứ ấ ằ : BN = MC.

ẽ ủ ằ ABC có góc ABC = 50 0 ; góc BAC = 70 0 . Phân giác trong góc ACB c t AB t ể 0 . Ch ng minh r ng ABC. V ra phía ngoài c a tam giác này các tam giác vuông cân (cid:0) ạ ứ ở A là ABE và ể ườ i O. Ch ng minh r ng ằ O là trung đi m c a EF.

ẽ ườ

ứ ự ạ ẳ BC. Đ ng th ng AH c t EF t ẳ ắ ẳ ớ ủ ắ ẽ ạ ng th ng xy // BC. T đi m M trên c nh BC v các ằ : ứ i D và E. Ch ng minh r ng ừ ể t ng th ng song song v i AB, AC chúng c t xy theo th t

ộ ườ

ng th ng AM, BD, CE cùng đi qua m t đi m. ạ ể ấ ạ ể i A. Trên c nh BC l y hai đi m M và N sao cho BM = BA ; ABC vuông t

 NAM

ẽ ộ ườ ừ ẳ = 90 0 (AB < AC), phân giác AD. T D v m t đ ng th ng vuông

ạ ớ i M. Tính .

ẳ ộ ủ Bài toán 41. Tính Aˆ c a tam giác ABC cân t giác ABC thành hai tam giác cân. Bài toán 42. Cho (cid:0) ABC vuông cân t ứ AE). Ch ng minh r ng Bài toán 43. Cho (cid:0) M. Trên MC l y đi m N sao cho góc MBN = 40 Bài toán 44. Cho (cid:0) ẽ ACF. V AH Bài toán 45. Cho (cid:0) ABC. Qua A v đ ườ đ a. (cid:0) ABC = (cid:0) MDE ẳ b. Ba đ Bài toán 46. Cho (cid:0) CN = CA. Tính  Bài toán 47. Cho (cid:0) ABC có A ắ góc v i AC c t AC t Bài toán 48. (cid:0) ạ = 60 o . Kéo dài BC m t đo n th ng CD sao cho CD = BC.

 DBM  = 75 o ; C

 ABC có B

1 2

ạ ấ = 80 0 . Trên c nh BC l y đi m I sao cho

 ABC cân, A

ể ạ ẳ ạ ể ắ

 IAB ứ

 (cid:0)KBA

030

. Hai đo n th ng AI và BK c t nhau t ạ ằ (cid:0) i H. Ch ng minh r ng = 50 0 ; trên c nh AC HIK

ạ ọ ạ ấ i A. G i M là m t đi m n m trên c nh BC sao cho MB < MC. L y ằ  ể ˆ (cid:0) ứ ể ẳ ằ

 Tính BDA Bài toán 49. Cho (cid:0) ấ l y đi m K sao cho cân. Bài toán 50. Cho (cid:0) ABC cân t ộ ạ đi m O trên đo n th ng AM. Ch ng minh r ng

COABOA

ể ấ ầ ượ t các đi m A và B sao cho OA + OB =

ị ị ạ ể

ủ ạ ạ ể ữ ằ

ờ ẳ ẽ ộ ử ằ ở ỉ đ nh O b ng 45 ặ 0 . Tìm vị

ủ ể ấ

ủ ắ ạ = 100 0 , tia phân giác c a góc B c t AC t ứ i D. Ch ng minh

 A

+ AD.

ể ạ ấ i có AC = 3AB. Trên AC l y các đi m D và E sao cho AD = DE

Bài toán 51. Cho xOy. Trên hai c nh Ox và Oy l y l n l 2a. Xác đ nh v trí c a A và B đ cho AB đ t min. ẳ Bài toán 52. Cho đo n th ng MN = 4cm, đi m O n m gi a M và N. Trên cùng m t n a m t ỉ ph ng b MN v các tam giác cân đ nh O là OMA và OMB sao cho góc ộ ỏ trí c a O đ AB min. Tính đ dài nh nh t đó. Bài toán 53. Cho (cid:0) ABC cân t ạ i A có ằ r ng BC = BD Bài toán 54. Cho (cid:0) ABC vuông t =

ứ AEB + ACB = 45 0 .

0 , BC = 2cm. Trên c nh AC l y đi m D sao cho

ạ ể ạ ấ ằ EC. Ch ng minh r ng Bài toán 55. Cho tam giác ABC cân t i A, Â = 30

ộ

ạ ứ ẻ ằ ớ CBD = 60 0 . Tính đ dài AD. Bài toán 56. Cho tam giác ABC cân t i A, = 75 0 . K CH vuông góc v i AB. Ch ng minh r ng

 B

CH = .

AB 2

ạ ồ ạ ể ằ ộ i B và t n t i m t đi m M n m trong tam giác sao

 BMA

. ạ ủ ề ộ ộ ỏ ệ 2 + b2 > 5c2 thì c

ạ ỏ

ế ạ ấ i A. Trên trung tuy n BD l y E sao cho cho DAE = ABD.



(cid:0) ứ ằ Bài toán 57. Cho tam giác ABC vuông cân t cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3. Tính ế Bài toán 58. N u a, b, c là đ dài ba c nh c a m t tam giác th a mãn đi u ki n a ấ là c nh nh nh t. Bài toán 59. Cho tam giác ABC cân t Ch ng minh r ng: .

BCEEAD

ể ọ ươ ứ ng ng trên AC

Bài toán 60. Cho (cid:0) ABC có BAC = 40 0 , ABC = 60 0 . G i D và E là các đi m t và

(cid:0) ạ ắ i F. Ch ng minh r ng: AF BC.

ẳ ứ ừ ả ử s BD c t CE t ế

ắ ẳ ạ ể ừ ẽ ườ ằ ẽ ườ ng th ng vuông góc ớ i O. ng th ng vuông góc v i AB c t AN t (cid:0) ằ ứ BC.

ạ ỏ ế ườ ắ ng phân giác CD c t nhau t i I th a mãn IB =

(cid:0) ẻ ứ ằ BC. Ch ng minh r ng IM = IH.

ọ ể

i A. G i M là trung đi m c a BC, G là đi m trên ạ ể ẳ ườ ắ

ườ ạ ủ ạ ạ ẳ ọ ứ ể ằ ủ ng th ng GM và CA c t nhau t i D. Đ ng th ng qua M i K. G i P là giao đi m c a DE và GK. Ch ng minh r ng:

ả ử ể ạ ằ i A. Gi s D là đi m n m bên trong tam giác sao

AB sao cho CBD = 40 0 ; BCE = 70 0 . Gi Bài toán 61. Cho tam giác ABC, trung tuy n AM, phân giác AN. T N v đ ạ ắ ớ v i AN c t AB, AM t i hai đi m P và Q. T Q v đ Ch ng minh r ng QO Bài toán 62. Cho (cid:0) ABC. Trung tuy n BM và đ IC. ừ T A k AH Bài toán 63. Cho tam giác ABC vuông cân t ạ c nh AB sao cho GB = 2GA. Các đ ắ ớ vuông góc v i CG t i E và c t AC t a. DE = BC b. PG = PE. Bài toán 64. Cho tam giác ABC vuông cân t cho

ờ ẳ ặ ứ ườ ẳ ng th ng AC

ẳ ể ể ử ứ

ườ ạ ng phân giác CD c t nhau t

ỏ ề ứ ắ ằ

ế ng trung tuy n AM, AB = 6cm, AC = 8cm, và AM =

ườ ằ ng phân giacstrong CD và đ ng

o, đ ọ

ạ ừ ườ ắ ỏ i K th a mãn KB = KC. G i H là chân đ ườ ủ A c a tam ng cao h t

ứ ằ

ạ ấ tam giác ABD cân và ADB = 150o. Trên n a m t ph ng không ch a D có b là đ ề ấ l y đi m E sao cho tam giác ACE đ u. Ch ng minh 3 đi m B, D, E th ng hàng. ế ườ ng trung tuy n BM và đ Bài toán 65. Cho tam giác ABC, đ i J ớ ạ ẻ ừ ệ th a mãn đi u ki n JB = JC. T A k AH vuông góc v i c nh BC. Ch ng minh r ng JM = JH. ườ Bài toán 66. Cho tam giác ABC có đ 3 cm. ố a. Tính s đo góc BAC b. Tính BC c. Tính di n tích tam giác ABC. ệ Bài toán 67. Cho tam giác ABC có góc BAC b ng 105 ạ ế trung tuy n BM c t nhau t giác ABC. a. Ch ng minh r ng HA = HB b. Tính góc ABC và góc ACB.’ Bài toán 68. Cho tam giác ABC cân. Trên c nh đáy BC l y đi m ể D sao cho CD = 2BD. So sánh s ố

đo hai góc BAC và CAD.

1 2

ọ ủ ể ng cao. Đ ng

ạ ắ ườ ẳ ạ ớ ọ i N. G i K và G l n l ng th ng BE t ườ ườ ể t là trung đi m

ủ ườ ể ẳ ọ Bài toán 69. G i P là trung đi m c nh BC c a tam giác ABC và BE, CF là hai đ ầ ượ ẳ th ng qua A, vuông góc v i PE, c t đ c a ủ BM và CN. G i H là giao đi m c a đ ng th ng KF là GE. CMR: AH (cid:0) EF.

(cid:0) ạ ẻ i D, có EK là phân giác. K KM EF, kéo dài KM c t đ ắ ườ ng

ẳ ạ Bài toán 70. Cho (cid:0) DEF vuông t th ng DE t i I. Ch ng minh:

ứ a/ DK = KM ; DE = EM. b/ EK (cid:0) IF.

ủ ể ế ứ c/ N u cho M là trung đi m c a EF. Ch ng minh: .