zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Về sự không tồn tại nghiệm của một bất đẳng thức parabolic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

57
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đưa ra một chứng minh đơn giản về sự không tồn tại nghiệm dương của bất đẳng thức parabolic ut −∆u ≥ u p trong không gian R n ×R. Chứng minh của chúng tôi dựa trên một lập luận mới về nguyên lý cực đại.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về sự không tồn tại nghiệm của một bất đẳng thức parabolic

04(41) (2020) 94-96 Về sự không tồn tại nghiệm của một bất đẳng thức parabolic On the nonexistence of solutions of a parabolic inequality Nguyễn Trung Hiếua,b , Phan Quốc Hưnga,b , Mai Ti Naa,b,∗ Hieu Nguyena,b , Quoc Hung Phana,b , Tina Maia,b,∗ a. Viện Nghiên cứu và Phát triển Công nghệ Cao, Trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, Việt Nam b. Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Duy Tân, Đà Nẵng, Việt Nam a. Institute of Research and Development, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam b. Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam (Ngày nhận bài: 01/07/2020, ngày phản biện xong: 20/07/2020, ngày chấp nhận đăng: 20/08/2020) Tóm tắt Chúng tôi đưa ra một chứng minh đơn giản về sự không tồn tại nghiệm dương của bất đẳng thức parabolic u t − ∆u ≥ u p trong không gian Rn × R. Chứng minh của chúng tôi dựa trên một lập luận mới về nguyên lý cực đại. Từ khóa: Kết quả Fujita; định lý kiểu Liouville; bất đẳng thức parabolic. Abstract We put forward a simple proof of the nonexistence of positive solutions of a parabolic inequality u t − ∆u ≥ u p in Rn × R. Our proof is based on a new argument of maximum principle. Keywords: Fujita result, Liouville-type theorem; parabolic inequality. 1. Mở đầu trong toàn bộ không gian RN ×R hoặc nửa không gian RN × R+ . Trong những năm gần đây, định lý Chúng tôi nghiên cứu định lý kiểu Liouville kiểu Liouville trở thành một trong những công cho nghiệm cổ điển của bất đẳng thức parabolic cụ quan trọng để nghiên cứu các bài toán biên và u t − ∆u ≥ u p , (1) các bài toán giá trị ban đầu của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, bởi vì rất nhiều tính chất trong không gian RN ×R. Số mũ p được xét ở đây định tính của nghiệm là hệ quả của định lý kiểu là số mũ thực tùy ý. Bất đẳng thức (1) đã được Liouville (xem [5]). nghiên cứu rộng rãi và được xem là một trong những bài toán cơ bản nhất của phương trình đạo Đối với bài toán (1), kết quả Fujita khẳng hàm riêng phi tuyến, xem [1, 2, 3, 4]. định sự không tồn tại nghiệm không tầm thường Định lý kiểu Liouville cho bài toán parabolic trên nửa không gian RN ×R+ với điều kiện số mũ là sự không tồn tại nghiệm không tầm thường 1 < p ≤ NN+2 , xem [1] và [2, 6, 7, 8]. Kết quả ∗ Corresponding Author: Tina Mai; Institute of Research and Development, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam; Faculty of Natural Sciences, Duy Tan University, Da Nang, 550000, Vietnam. Email: maitina@duytan.edu.vn
Hieu Nguyen, Quoc Hung Phan, Tina Mai / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 04(41) (2020) 94-96 95 trên chứng minh sự không tồn tại nghiệm không dương của bài toán (1) trong RN ×R với điều kiện âm không tầm thường của bài toán (1) trong toàn của số mũ là không gian RN × R với điều kiện 1 < p ≤ NN+2 . p ∈ (−∞, 1) ∪ (1, (N + 2)/N ]. Khi p > NN+2 , kết quả trong [9, Example 1] chỉ ra rằng hàm số Sau đây ta sẽ đi vào chứng minh Định lý 1. − 1 2 ( kt p−1 exp(−γ 1+|x| t ) t > 0, x ∈ RN , 2. Chứng minh Định lý 1 u(x, t ) = 0 t ≤ 0, x ∈ RN (2) Giả sử phản chứng rằng bài toán (1) có là một nghiệm không âm không tầm thường của nghiệm dương u trong RN × R. (1) trong RN × R, với k và γ là các hằng số được Đặt z := u −1 , khi đó bài toán (1) trở thành chọn sao cho |∇z|2 −z t + ∆z − 2 ≥ z 2−p . (4)  1 z  2N (p−1) < γ ≤ 14 , N ³ ´ 1 Chọn φ ∈ C c∞ (R © × R) là2 hàm cut-off thỏa mãn 0 < k ≤ 2N γ − 1 p−1 . φ = 1 trên tập (x, t ) : |x| + |t | ≤ 1 ª và φ = 0 trên p−1 2 © ª (x, t ) : |x| + |t | > 2 . Với mỗi R > 0, ta đặt Khi p = 1, dễ thấy rằng hàm số u(x, t ) = e t là ( φR (x, t ) = φm x/R, t /R 2 , ¡ ¢ một nghiệm dương của (1) trong RN × R. Ngoài ra, khi 0 < p < 1, hàm số z R (x, t ) = z(x, t )φR (x, t ), ( 1 với m > 0 sẽ được chọn phù hợp. Dễ thấy rằng t 1−p nếu t > 0, u(x, t ) = (3) C m−1 C m−2 0 nếu t ≤ 0 |∂t φR | ≤ φ m và |∆φR | ≤ φ m . (5) R2 R R2 R là một nghiệm không âm không tầm thường của Do giá của hàm z R là compact, nên tồn tại (1) trong RN × R. Từ đây, ta có định lý Liouville (x R , t R ) ∈ RN × R sao cho tối ưu cho nghiệm không âm của bài toán (1) z R (x R , t R ) = max z R (x, t ). như sau. RN ×R Định lý A. Giả sử p > 0, khi đó bài toán (1) Theo tính chất cực trị địa phương, tại điểm không có nghiệm không âm không tầm thường (x R , t R ) ta có trong RN × R nếu và chỉ nếu 1 < p ≤ NN+2 .  ∂t z R = 0,   Chú ý rằng kết quả Liouville cho nghiệm ∇z R = 0, dương khác biệt so với nghiệm không âm. Ta thấy  ∆z ≤ 0.  R nghiệm được xây dựng ở (3) (tương ứng ở (2)) cho trường hợp p ∈ (0, 1) (tương ứng p > NN+2 ) Ta suy ra được rằng có không điểm khi t ≤ 0. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là có tồn tại hay không nghiệm dương của z∂t φR z∇φR zt = − , ∇z = − (6) bài toán (1) trong trường hợp p ∈ (−∞, 1) hoặc φR φR p > NN+2 . Trong bài báo này chúng tôi đưa ra câu và trả lời cho trường hợp p ∈ (−∞, 1). Kết quả chính (2∇z.∇φR + z∆φR ) − ≥ ∆z (7) của chúng tôi như sau. φR Định lý 1. Bài toán (1) không có nghiệm dương tại (x R , t R ). Bằng cách thay thế (6) và (7) vào trong RN × R nếu p < 1. trong (4), tại điểm (x R , t R ) ta có Dựa vào kết quả của Định lý 1 và Định lý A, z∂t φR (2∇z.∇φR + z∆φR ) ∇z z∇φR ta thu được kết quả về sự không tồn tại nghiệm − +2 . ≥ z 2−p . φR φR z φR
96 Hieu Nguyen, Quoc Hung Phan, Tina Mai / Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Duy Tân 04(41) (2020) 94-96 Điều này tương đương với Tài liệu tham khảo [1] Hiroshi Fujita. On the blowing up of solutions of the z∂t φR − z∆φR ≥ z 2−p φR (8) Cauchy problem for u t = ∆u +u 1+α . J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I, 13:109–124 (1966), 1966. tại (x R , t R ). Kết hợp (5) với (8), ta suy ra tại điểm [2] Vasilii V. Kurta. A Liouville comparison principle (x R , t R ) rằng for solutions of semilinear parabolic inequalities in the whole space. Adv. Nonlinear Anal., 3(2):125–131, C ³ m−1 m−2 ´ C m−2 2014. z 2−p φR ≤ 2 z φR m + φR m ≤ 2 zφRm . (9) R R [3] Pavol Quittner and Philippe Souplet. Superlinear parabolic problems: Blow-up, global existence and 2 steady states. Basler Lehrb¨ucher. Birkh¨auser Verlag, Chọn m = 1−p , khi đó (9) trở thành Basel, 2007. C [4] Steven D. Taliaferro. Blow-up of solutions of nonlin- 2−p z 2−p φR ≤ zφR (10) ear parabolic inequalities. Trans. Amer. Math. Soc., R2 361(6):3289–3302, 2009. [5] Peter Poláˇcik, Pavol Quittner, and Philippe Souplet. tại (x R , t R ). Do đó, Singularity and decay estimates in superlinear prob- lems via Liouville-type theorems. II. Parabolic equa- 1−p C zR (x R , t R ) ≤ . (11) tions. Indiana Univ. Math. J., 56(2):879–908, 2007. R2 [6] Pierre Baras and Michel Pierre. Critère d’existence de solutions positives pour des équations semi-linéaires Cho R → ∞ trong (11) và chú ý 1 − p > 0, ta có non monotones. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 2(3):185–212, 1985. z R (x R , t R ) → 0 khi R → ∞. [7] Enzo Mitidieri and Stanislav I. Pohozaev. A priori es- timates and the absence of solutions of nonlinear par- Vì z R (x R , t R ) → sup z khi R → ∞, ta suy ra rằng tial differential equations and inequalities. Tr. Mat. RN ×R Inst. Steklova, 234:1–384, 2001. [8] Ross G. Pinsky. Existence and nonexistence of global sup z = 0. solutions for u t = ∆u + a(x)u p in Rd . J. Differential RN ×R Equations, 133(1):152–177, 1997. [9] Vasilii V. Kurta. A Liouville comparison principle Điều này mâu thuẫn với z > 0. Định lý được for solutions of quasilinear singular parabolic inequal- chứng minh. ities. Adv. Nonlinear Anal., 4(1):1–11, 2015.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.