zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Về phương trình vi phân không địa phương trên không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

19
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Về phương trình vi phân không địa phương trên không gian Hilbert trình bày những nét chính về hướng nghiên cứu có tính thời sự này, đi tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm địa phương cho bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về phương trình vi phân không địa phương trên không gian Hilbert

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG nghiên cứu có tính thời sự này, đi tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm địa phương cho Cho trước T  0 , ta xét bài toán Cauchy: bài toán (1)-(2). d  dt  u  k *[u  u (0)]  2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU   Au  f  t , u (t )  , t  (0, T ] (1) u (0)  u , (2) Sử dụng lí thuyết phương trình tích phân  0 Volterra, ước lượng tiên nghiệm và nguyên lí  ánh xạ co. với u lấy giá trị trong không gian Hilbert tách được H ,   0, k  L1loc (  ) , A là toán tử 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU tuyến tính trên H và f : (0, T ]  H  H là 1. Kiến thức chuẩn bị hàm phi tuyến, dữ kiện đầu u0  H . d Trong mục này, ta kí hiệu E là không gian Trong vế trái của (1),  k *[u  u (0)] là Banach với chuẩn ||  || . dt đạo hàm theo biến thời gian, được lấy qua 1.1. Tích chập: tích chập k *[u  u (0)] , nghĩa là nó không Định nghĩa 1. Tích chập của hai hàm k và tính trực tiếp tại một thời điểm cụ thể của  với k  L1 (  ),   L1 (  , E ) là một hàm hàm trạng thái mà cần thông tin từ thời điểm được kí hiệu và xác định như sau: đầu cho đến thời điểm lấy đạo hàm. Do đó, t nó gọi là đạo hàm không địa phương. Phương k  (t )   k (t  s)( s)ds, trình (1) xuất hiện một cách tự nhiên khi mô 0 hình hóa nhiều quá trình, chẳng hạn như quá tích phân ở đây hiểu theo nghĩa Bochner. trình truyền nhiệt trong các vật liệu có nhớ; 1.2. Đạo hàm phân thứ Caputo bậc : quá trình thuần nhất hóa dòng một pha trong môi trường xốp (xem [2] và các tài liệu trích Định nghĩa 3. Cho f  C N [0, T ], E  . dẫn). Trong trường hợp tuyến tính, tính đặt - Đạo hàm bậc   ( N  1; N ) theo nghĩa đúng của bài toán cho một vài trường hợp Caputo được xác định bởi riêng đã được quan tâm bởi một số tác giả 1 t ( N   ) 0 C  (xem [1] và [2]). Gần đây, trong [3], các tác D0 f (t )  (t  s) N  1 f N ( s)ds giả đã trình bày những kết quả đặt nền móng cho hướng nghiên cứu hệ tổng quát nói trên - Đạo hàm phân thứ có trọng theo nghĩa khi   0 . Tiếp đó, [5] đã nghiên cứu về tính Caputo được xác định bởi e  t t dN hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho lớp C D0 , f (t )   (t  s ) N  1 N  e s f ( s)  ds phương trình (1)-(2) khi   0 và hàm ngoại ( N   ) 0 ds lực f chỉ phụ thuộc vào u . Từ đó, tôi đặt Nhận xét:   0 , thì đạo hàm phân thứ có vấn đề trình bày những nét chính về hướng trọng là đạo hàm phân thứ. 45
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 1.3. Phương trình tích phân Volterra: d d  t s    k *[u  u(0)]    [u(t  s)  u(0)]ds    Cho   0, l  L1loc   là một hàm liên dt dt  0 (1   )  tục trên (0, ) , xét các phương trình Volterra t s  d t   u (t  s )ds  [u (0)  u (0)] 0  (1   ) dt (1   ) s(t )    l  s  (t )  1 (3) t 1 r (t )    l  r  (t )  l (t ) (4) =  (t  s) u(s)ds  C D0 u (1   ) 0 trong [4] các tác giả đã chỉ ra sự tồn tại và tức là bài toán trở thành hệ vi phân phân thứ duy nhất nghiệm. Tuy nhiên tính dương của kiểu Caputo. Tương tự , k (t )  e  t g1 (t ), thì các nghiệm s (,  ) và r (,  ) đòi hỏi chúng ta ta được đạo hàm phân thứ có trọng. cần thêm các giả thiết trên nhân l . Cụ thể, 1 nhân l được gọi là hoàn toàn dương nếu  Khi k (t )   g  (t ) d  ta được phương s (,  ) và r (,  ) nhận giá trị không âm với 0 mỗi   0 . Năm 1981, Clément và Nohel đã trình mô tả phương trình mô tả quá trình chỉ ra rằng: l là hoàn toàn dương tương khuếch tán siêu chậm.   m đương với việc tồn tại   0 và k  L1loc    k (t )   i g1i (t ), i  (0,1), i  0 thì ta i 1 là hàm không âm, không tăng thỏa mãn có phương trình phân thứ đa hạng tử. Các lớp  l  l  k  1 . Từ đó, để nghiên cứu hệ đã phương trình này đã thu hút sự quan tâm cho, ta cần giả thiết sau đáng kể của các nhà toán học.   (K) Hàm k  L1loc   không âm và không 3. Công thức nghiệm nhẹ và một số tăng, hơn nữa tồn tại một hàm l  L1loc     hướng nghiên cứu sao cho  l  l  k  1 trên (0, ) . Trong mục này, ta xét hệ tuyến tính d Xét phương trình vô hướng:   u  k *[ u  u (0)]   Au  h (t ), t  (0, T ](6)  u  k * u  u  h(t ) (5)  dt  u (0)  u 0 , (7) Chập hai vế với hàm l , ta được ( l  k * l )  u   u  l  h  l Nhằm đưa ra công thức nghiệm nhẹ của bài toán, ta cần giả thiết sau về toán tử A:  1  u  u  l  h  l  u   u  l  u (0)  h  l. (A) Toán tử A là toán tử tuyến tính xác Từ đó, nghiệm của phương trình vô hướng định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với là u (t )  s ( , t )u (0)   r ( , )  h  (t ). giải thức compact. Tính chất quan trọng của s (,  ) và r (,  ) Khi đó, ta xét cơ sở của H gồm các hàm được trình bày trong Mệnh đề 2.1 ở [3]. riêng trực chuẩn {en }n 1 của toán tử A và  2. Tính trừu tượng của bài toán Av   nvnen , trong đó Aen  nen , n  0 n 1 Tính tổng quát của mô hình thể hiện thông và 0  1  2    n   khi n   . d qua hạng tử  u  k *[u  u (0)] . Giả sử: dt     Khi k  0 , hệ trở thành hệ Parabolic nửa u (t )   un (t )en , u0   u0,n en ,h(t )   hn (t )en . tuyến tính; n 1 n 1 n 1 d Thay vào hệ (6)-(7), ta thấy un là nghiệm  Khi   0 , hạng tử  k *[u  u (0)] cho dt của phương trình vô hướng (5). ta đạo hàm phân thứ Caputo nếu chọn nhân Từ đó, ta được:   t k đặc biệt. Cụ thể, khi u (t )   sn (t , n )u0,n en    r (t   ,n ) hn ( ) d  en k (t )  g1 (t ),  (0,1) thì: n 1 n 1 0 46
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 Do vậy, ta định nghĩa hai toán tử Chứng minh: Xét ánh xạ như sau  t S (t )v   s (t , n )vn en , t  0, v  H ,  (u )(t ) : S (t )u0   R (t   ) f ( , u ( )) d trên n 1 0  C ([0, T ], H ) . Lấy   || u0 || và u  B là hình R(t )v   r (t , n )vn en , t  0, v  H . n 1 cầu tâm tại gốc và bán kính  , ta có: Các toán tử này là tuyến tính. Một số tính t  (u )(t )  s(t , 1 ) || u0 ||   r (t   , 1 ) f ( , u ( )) d chất quan trọng của hai toán tử này được 0 trình bày trong Mệnh đề 2.3 ở [3]. 1  s (t , 1 ) Dựa vào các toán tử này, ta có định nghĩa  || u0 ||   L (  )   sup f (t ,0)  1 sau vì s (t , 1 ) là hàm giảm và s (0, 1 )  1 , nên Định nghĩa 4. Hàm u  C [0, T ], H  được tồn tại t0*  (0, T ) sao cho  ( B )  B , với gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (3)-(4) trên t với B  C ([0, t0* ], H ) . Tiếp theo, với mọi 0,T  nếu u (t )  S (t )u0   R(t   )h( )d . 0 t  [0, t0* ] , ta có: Nhận xét: Từ định nghĩa, ta thấy với mỗi  (u1 )(t )   (u2 )(t ) hàm h  C [0, T ], H  thì bài toán có nghiệm t nhẹ. Trong [3], các tác giả nghiên cứu về tính   r (t   , 1 ) f ( , u1 ( ))  f ( , u1 ( )) d chính qui của nghiệm này. 0 t Dựa vào Định nghĩa 4, ta có khái niệm   r (t   , 1 ) L(  ) u1  u2 d nghiệm nhẹ cho bài toán phi tuyến. 0 Định nghĩa 5. u  C [0, T ], H  được gọi 1  s (t , 1 ) .  L(  ) u1  u2 là nghiệm nhẹ của bài toán (1)-(2) trên  0,T  1 t Lấy t  (0, t0* ] * sao cho nếu u (t )  S (t )u0   R(t   ) f ( , u ( ))d . 1  s(t , 1 )  1, t  [0, t ] . Ta được  là * 0 L(  ) 1 Một số hướng nghiên cứu:  Nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm; ánh xạ co trên B  C([0, t* ]; H ) .Vậy bài toán  Nghiên cứu tính chính qui của nghiệm; có duy nhất nghiệm trên [0, t * ] .  Nghiên cứu đặc điểm của nghiệm (tính phân rã, tính tuần hoàn tiệm cận); 4. KẾT LUẬN  Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm Sử dụng lí thuyết về phương tình tích phân (tính ổn định, ổn định yếu, hút, tán xạ). Volterra và đặc điểm của không gian Hilbert Trong các vấn đề trên, ta có thể nghiên cứu khả li, chúng tôi có biểu diễn nghiệm nhẹ cho cho bài toán với trễ khác nhau. hệ vi phân không địa phương- một hệ vi phân Bằng nguyên lí ánh xạ co, ta có kết quả sau. có chứa nhữn lớp hệ vi phân phân thứ quan Định lí 2. Giả sử các giả thiết (K) và (A) trọng, và thu được kết quả tồn tại nghiệm địa được thỏa mãn và hàm phi tuyến liên tục và phương bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương: co. Trình bày một số hướng nghiên cứu cho || f (t , v1 )  f (t , v2 ) ||  L(  ) || v1  v2 ||, lớp hệ này. với mọi v1 , v2  B , t  0 , trong đó B là hình cầu đóng tâm tại gốc và bán kính  . Khi đó 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO tồn tại số t *  (0, T ) sao cho bài toán (1)-(2) [1] A. Ashyralyev, (2011), Well-posedness of the Basset problem in spaces of smooth có nghiệm trên [0, t * ] . functions, Appl. Math. Lett., 24, 1176-1180. 47

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.