zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Về sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

42
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho f(x) là một đa thức trên vành giao hoán bài viết này nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của f (x) khi xem xét nó trên các vành mở rộng của A. Trong trường hợp hệ tử cao nhất của f (x) là 1, chúng tôi đã xây dựng được một vành B A ⊇ sao cho f (x) có nghiệm trong B. Ngoài ra, bài báo còn đưa thêm một số ví dụ để chứng tỏ có một số khác biệt giữa sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán so với đa thức trên các trường.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán

Khoa hoïc - Coâng ngheä VEÀ SÖÏ TOÀN TAÏI NGHIEÄM CUÛA ÑA THÖÙC TREÂN VAØNH GIAO HOAÙN Nguyễn Tiến Mạnh Trường Đại học Hùng Vương Tóm tắt Cho f ( x) là một đa thức trên vành giao hoán Bài báo này nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của f ( x) khi xem xét nó trên các vành mở rộng của A. Trong trường hợp hệ tử cao nhất của f ( x) là 1, chúng tôi đã xây dựng được một vành B ⊇ A sao cho f ( x) có nghiệm trong B. Ngoài ra, bài báo còn đưa thêm một số ví dụ để chúng tỏ có một số khác biệt giữa sự tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán so với đa thức trên các trường. 1. Mở đầu Các vấn đề liên quan đến nghiệm của một đa thức hay một phương trình đại số trên một trường thường thu hút nhiều sự quan tâm đối với cả hai lĩnh vực: đại số cổ điển và đại số hiện đại. Do tính chất không có ước của không, mỗi đa thức khác 0 trên một trường hay trên một miền nguyên đều có số nghiệm (tính cả số bội) không vượt quá bậc. Bên cạnh đó, lí thuyết mở rộng trường đã chứng tỏ mọi đa thức bậc dương trên một trường đều có đầy đủ các nghiệm trong một trường mở rộng nào đó [2]. Hơn nữa, công thức Viéte cho ta mối liên hệ giữa các biểu thức đối xứng của các nghiệm với các hệ tử. Vượt lên trên tất cả, nhà toán học vĩ đại E. Galois (1811-1832) đưa ra điều kiện cần và đủ để một phương trình đại số tổng quát bậc n giải được bằng căn thức kèm với nó là một lí thuyết nổi tiếng: Lí thuyết Galois [3]. Khi xem xét đa thức trên một vành là đối tượng rộng hơn, thì nhìn chung nhiều kết quả đã biết về nghiệm của đa thức trên các trường không còn đúng nữa. Vậy các kết quả đó thay đổi như thế nào? Trong bài viết nhỏ này, chúng tôi muốn đề cập đến một vài sự thay đổi đối với vấn đề tồn tại nghiệm của một đa thức trên vành giao hoán. 2. Nội dung 2.1. Trường đóng đại số Như chúng ta đã biết, mỗi đa thức f ( x) có bậc dương trên một trường  có thể không có nghiệm trong . Tuy nhiên luôn tồn tại một trường mở rộng  ⊇  sao cho f ( x) có nghiệm trong  [2]. Do số nghiệm của f ( x) không vượt quá degf ( x) nên sau một số bước mở rộng, ta sẽ được một trường chứa đầy đủ các nghiệm của f ( x). Qua đó chúng ta thấy mọi đa thức bậc dương trên một trường đều có đầy đủ các nghiệm nếu ta xét chúng trong một trường “đủ rộng”. Một câu hỏi đặt ra là tồn tại hay không một trường sao cho mọi đa thức bậc dương trên đó đều có đầy đủ các nghiệm hay nói cách khác chúng được phân rã hoàn toàn thành tích các phân tử bậc nhất. Để trả lời cho câu hỏi này, người ta đã đưa ra khái niệm sau. Định nghĩa 2.1.1. Cho  là một trường. Ta gọi  là trường đóng đại số nếu mọi đa thức f ( x) ∈ [x], degf ( x) > 0 đều có nghiệm trong � [3]. Ví dụ 2.1.2. Trường số phức  là đóng đại số. Từ định nghĩa của trường đóng đại số, bằng quy nạp ta có khẳng định dưới đây. 8 Ñaïi hoïc Huøng Vöông - K hoa hoïc Coâng ngheä
Khoa hoïc - Coâng ngheä Mệnh đề 2.1.3. Cho  là một trường đóng đại số. Khi đó mọi đa thức f ( x1 , x2 , , xn ) ∈ [x1 , x2 , , xn ], degf ( x1 , x2 , , xn ) > 0 đều có nghiệm trong  n . Định lí sau chỉ ra sự tồn tại phổ biến của một trường đóng đại số. Định lí 2.1.4. Cho  là một trường. Khi đó tồn tại một trường  là mở rộng đại số của  sao cho  là một trường đóng đại số [3]. Cho trước một trường, khi đó có thể tồn tại nhiều trường đóng đại số là mở rộng của nó. Tuy nhiên trong thực tế người ta chỉ cần một mở rộng đóng đại số “vừa đủ”. Điều này dẫn chúng ta đến khái niệm sau. Định nghĩa 2.1.5. Trường  trong Định lí 2.1.4 được gọi là một bao đóng đại số của  [3]. Định lí 2.1.4 đã chỉ ra sự tồn tại của các bao đóng đại số đối với một trường cho trước. Tính duy nhất của chúng về mặt cấu trúc là nội dung của định lí dưới đây. Định lí 2.1.6. Các bao đóng đại số của cùng một trường thì đẳng cấu với nhau [3]. Ví dụ 2.1.7. Trường số phức  là một bao đóng đại số của trường số thực . . Tuy nhiên  không phải là một bao đóng đại số của  vì nó không phải là một mở rộng đại số của  . Như đã nói ở trên, trường đóng đại số là đủ rộng đối với bài toán tồn tại nghiệm của đa thức tùy ý. Mệnh đề sau sẽ cho thấy rõ hơn về lực lượng của loại trường này. Mệnh đề 2.1.8. Mọi trường đóng đại số đều có vô số phần tử. = {a1 , a2 , , an } . Xét đa thức Chứng minh: Giả sử  là một trường hữu hạn � n f ( x)= ∏ ( x − a ) + 1. k =1 n . Vậy  không là một trường đóng đại số. Dễ thấy đa thức này không có nghiệm trong � 2.2. Sự tồn tại nghiệm của đa thức trong vành mở rộng Cho số nguyên dương n, A là một vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 và phương trình f ( x) = x n + a1 x n −1 +  + an −1 x + an = 0. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét sự tồn tại nghiệm của phương trình đã cho trong một vành mở rộng nào đó của A. Nếu A là một miền nguyên thì A chứa trong trường các thương hay còn gọi là trường phân thức của A. Khi đó phương trình đã cho có nghiệm trong bao đóng đại số của trường này. Trong trường hợp tổng quát, gọi I là iđêan trong A[x] sinh bởi đa thức f ( x). Xét đồng cấu: A[ x] ϕ:A→ ,a  a = a + I. I A[ x] Dễ thấy rằng ϕ là một đơn cấu nên ta có thể coi A như một vành con của vành thương . Khi I A[ x] đó rõ ràng f ( x) nhận x ∈ làm nghiệm. Từ các khẳng định này, ta được định lí: I Định lí 2.2.1. Cho n là một số nguyên dương, A là một vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0. Khi đó tồn tại một vành mở rộng B của A sao cho phương trình x n + a1 x n −1 +  + an −1 x + an = 0 có nghiệm trong B. Giả sử α ∈ B là một nghiệm của f ( x). Theo Bezout ta có Ñaïi hoïc Huøng Vöông - Khoa hoïc Coâng ngheä 9
Khoa hoïc - Coâng ngheä f ( x) = ( x − α ) g ( x), g ( x) = x n −1 + b1 x n − 2 +  + bn − 2 x + bn −1 ∈ B[x]. Lại áp dụng định lí trên cho g ( x) ta suy ra có vành C là một mở rộng của B để g ( x) có nghiệm trong C. Tiếp tục quá trình này với chú ý rằng sau mỗi bước đa thức được xét có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức bước trước đó, sau đúng n bước ta nhận được kết quả sau. Định lí 2.2.2. Cho n là một số nguyên dương, A là một vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0. Khi đó luôn tồn tại một vành mở rộng B của A và các phần tử α1 , α 2 , , α n ∈ B sao cho phương trình 0 tương đương với ( x − α1 )( x − α 2 ) ( x − α n ) = x n + a1 x n −1 +  + an −1 x + an = 0. Các ví dụ tiếp theo sẽ cho thêm một số thông tin để qua đó thấy được sự khác biệt giữa vấn đề tồn tại nghiệm của đa thức trên vành giao hoán so với đa thức trên các trường. Ví dụ 2.2.3. Cho 1 ,  2 là hai trường. Gọi 1 ,  2 lần lượt là hai bao đóng đại số của 1 ,  2 . Xét vành 1 ×  2 . Dễ thấy đây là một vành giao hoán với phần tử đơn vị là (1,1) và phần tử không là (0,0). Tuy nhiên nó không phải là một miền nguyên vì (1, 0), (0,1) ∈ 1 ×  2 \ {(0, 0)} nhưng (1, 0)(0,1) = (0, 0). Xét đa thức f ( x) (a1n , a2 n ) x n + (a1n −1 , a2 n −1 ) x n −1 +  + (a10 , a20 ) ∈ ( 1 ×  2 ) [x]. = f ( x) (a1n , 0) x n + (a1n −1 , 0) x n −1 +  + (a10 , 0) Ta có = +(0, a2 n ) x n + (0, a2 n −1 ) x n −1 +  + (0, a20 ) ∈ ( 1 ×  2 ) [x]. ) (a1n , 0) x n + (a1n −1 , 0) x n −1 +  + (a10 , 0), f1 ( x= Đặt f10 ( x= ) a1n x n + a1n −1 x n −1 +  + a10 , ) (0, a2 n ) x n + (0, a2 n −1 ) x n −1 +  + (0, a20 ), f 2 ( x= f 20 ( x= ) a2 n x n + a2 n −1 x n −1 +  + a20 . Ta có f1 ( x) ∈ 1[x], f 2 ( x) ∈  2 [x]. Giả sử deg f1 ( x), deg f 2 ( x) > 0. Do tính chất đóng đại số của 1 ,  2 , f1 ( x) và f 2 ( x) đều lần lượt phân rã thành tích các nhân tử bậc nhất trên 1 ,  2 . Cho α ∈ 1 , β ∈  2 theo thứ tự là nghiệm của f1 ( x) và f 2 ( x). Khi đó chúng ta hoàn toàn có thể chứng minh được các khẳng định sau: (i) (α , λ2 ), ∀λ2 ∈  2 đều là nghiệm của f10 ( x) và (λ1 , β ), ∀λ1 ∈ 1 đều là nghiệm của f 20 ( x). (ii) (α , β ) ∈ 1 ×  2 là nghiệm của f ( x). (iii) Nếu (λ , µ ) ∈ 1 ×  2 là nghiệm của f ( x) thì λ , µ lần lượt là nghiệm của f1 ( x) và f 2 ( x). (iv) Nếu f ( x) ≠ 0 và deg f1 ( x) deg f 2 ( x) = 0 thì f ( x) không có nghiệm trong 1 ×  2 . n n (v) Giả sử deg f1 ( x)= deg f 2 ( x)= n > 0 và f1 ( x) =a1n ∏ ( x − α i ), f 2 ( x) =a2 n ∏ ( x − β i ), ở đây =i 1 =i 1 n α1 , , α n ∈ 1 , β1 , , β n ∈  2 . Thì = ta có f ( x) (a1n , a2 n )∏ [ x − (α i , β i ) ] . i =1 Chú ý 2.2.4. (i) Khẳng định (v) trong Ví dụ 2.2.3 cho thấy sự phân tích một đa thức thành nhân tử 10 Ñaïi hoïc Huøng Vöông - K hoa hoïc Coâng ngheä
Khoa hoïc - Coâng ngheä trong vành giao hoán nhìn chung không duy nhất (sai khác các phần tử khả nghịch và thứ tự các nhân tử). (ii) Các kết luận trong Ví dụ 2.2.3 hoàn toàn có thể được mở rộng một cách tương tự cho trường hợp gồm hữu hạn trường 1 ,  2 , ,  m cho trước. Ví dụ 2.2.5. Xét vành  2 =  2 ×  2 × ×  2 × = {(a1 , a2 , , an ,) | ak ∈  2 , k = 1, , n,} với hai phép toán: +) phép cộng: (a1 , a2 , , an ,) + (b1 , b2 , , bn ,) =(a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ,) +) phép nhân: (a1 , a2 , , an ,)(b1 , b2 , , bn ,) = (a1b1 , a2b2 , , anbn ,) . Rõ ràng  2 là một vành giao hoán vô hạn với phần tử không 0 = (0, 0, , 0,), phần tử đơn ) x 2 + x nhận mọi phần tử của  2 làm nghiệm. Thật vậy: vị 1 = (1,1, ,1,). Đa thức f ( x= f (a ) = a 2 + a = (a12 + a1 , a22 + a2 , , an2 + an ,) = (0, 0, , 0,) = 0. [1]. 3. Kết luận Sự tồn tại nghiệm của đa thức trên một trường đã được trình bày một cách hệ thống trong nhiều tài liệu. Tuy nhiên, đối với đa thức trên một vành giao hoán vấn đề này còn ít được đề cập đến. Nội dung bài viết chứng tỏ trên vành giao hoán, bài toán tồn tại nghiệm trong vành mở rộng khi đa thức đang xét có hệ tử bậc cao nhất bằng 1 xảy ra tương tự như đối với đa thức trên một trường. Tuy nhiên nhiều vấn đề liên quan như số nghiệm, tính duy nhất của sự phân tích thành nhân tử,… lại có nhiều sự thay đổi. Cụ thể là tồn tại lớp vành giao hoán mà trên đó có những đa thức bậc dương với vô số nghiệm, thậm chí có đa thức bậc dương trên vành giao hoán vô hạn nhận tất cả các phần tử của vành cơ sở làm nghiệm. Ngoài ra, sự phân tích thành nhân tử nhìn chung cũng không đảm bảo tính duy nhất (sai khác các phần tử khả nghịch và thứ tự các nhân tử). Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tiến Mạnh, Nguyễn Huyền Trang (2012), Về mối quan hệ giữa đa thức và hàm đa thức trên vành giao hoán, (preprint). [2] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục. [3] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lí thuyết Galois, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm. SUMMARY ON THE EXISTENCE OF ROOTS OF POLYNOMIALS OVER COMMUTATIVE RINGS Nguyen Tien Manh Hung Vuong University Let f ( x) be a polynomial over a commutative ring A. This paper investigates the existence of roots of f ( x) in extended rings of A. In the case that the coefficient of monomial of highest degree in f ( x) is 1, we build a commutative ring B ⊇ A such that f ( x) has some roots in B. Moreover, this paper shows some examples to prove that there are some differences between the existence of roots of polynomials over commutative rings and the existence of roots of polynomials over fields. Ñaïi hoïc Huøng Vöông - Khoa hoïc Coâng ngheä 11

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.