11 Đề thi HK 2 Toán lớp 11 - THPT Trần Phú (2010-2011)

Chia sẻ: Lê Thị Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

161
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Củng cố kiến thức với 11 đề thi học kì 2 Toán lớp 11 - THPT Trần Phú (2010-2011) dành cho các bạn học sinh lớp 11 đang chuẩn bị thi học kì 2, giúp các em ôn tập và phát triển tư duy, năng khiếu môn Toán. Chúc các bạn đạt được điểm cao trong kì thi này nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 11 Đề thi HK 2 Toán lớp 11 - THPT Trần Phú (2010-2011)

THPT Trần Phú ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 1 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: 3x2  2x  1 x3 a) lim b) lim x1 3  x3 x 1 x3 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  2 :  2x2  3x  2   khi x  2 f ( x)   2x  4 3 khi x  2 2  Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2x  3 a) y  b) y  (1  cot x)2 x2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ACD. a) Chứng minh: CD  BH. b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK  (BCD). c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD). II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: cos2 x  x  0 Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x)   x3  3x2  9x  2011 có đồ thị (C). a) Giải bất phương trình: f ( x)  0 . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm nằm trong khoảng (1; 2) : ( m2  1) x2  x3  1  0 2 x2  x  1 Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  có đồ thị (C). x 1 a) Giải phương trình: y  0 . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. --------------------Hết------------------- 1
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 24 WWW.VNMATH.COM Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) 2 3x  2x  1 ( x  1)(3x  1) lim  lim 0,50 x1 3 x1 ( x  1)( x2  x 1 x  1) 3x  1 4  lim  0,50 x1 x2  x 1 3 b)  lim( x  3)  0   x 3  Viết được ba ý  x  3  x  3  0 0,75  lim( x  3)  6  0  x3  x3 Kết luận được lim   0,25  x 3 x3 2  2x2  3x  2   khi x  2 f ( x)   2x  4 3 khi x  2 0,25 2  3 Tập xác định D = R. Tính được f(2) = 2 2 2 x  3x  2 ( x  2)(2x  1) 2x  1 5 lim f ( x)  lim  lim  lim  0,50 x 2 x 2 2x  4 x 2 2( x  2) x 2 2 2 Kết luận hàm số không liên tục tại x = 2. 0,25 3 a) 2x  3 1 y  y'  0,50 x2 ( x  2)2 b)  1  y  (1  cot x)2  y  2(1  cot x)  2   2(1  cot x)(1  cot 2 x) 0,50  sin x  4 a) 0,25 a) AB  AC, AB  AD AB  (ACD)  AB  CD (1) 0,25 AH  CD (2). Từ (1) và (2)  CD  (AHB)  CD  BH 0,50 2
b) AK BH, AK  CD (do CD  (AHB) (cmt) 0,50  AK (BCD) 0,50 c) Ta có AH  CD, BH  CD   (BCD ),( ACD )   AHB 0,25 CD a 2 Khi AB = AC = AD = a thì AH =  0,25 2 2 a2 a 6 BH = AB2  AH 2  a2   0,25 2 2 AH 1 cos AHB   0,25 BH 3 5a   Đặt f(x) = cos2 x  x  f(x) liên tục trên (0; )  f(x) liên tục trên  0;  0,25  2      f (0)  1, f      f (0). f    0 0,50  2 2 2   Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên  0;  0,25  2 6a a) y  f ( x)   x3  3x2  9x  2011  f ( x)  3x2  6 x  9 0,25 BPT f ( x)  0  3x2  6x  9  0 0,25  x  3   0,50 x  1 b) x0  1  y0  2016 , f (1)  0 0,50 Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2016 0,50 5b Đặt f(x) = (m2  1) x2  x3  1  f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [  1; 2] 0,25 f ( 1)  m2  1, f (0)  1  f (1). f (0)  0, m R 0,50  phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 0)   1; 2  (đpcm) 0,25 6b a) 2 x2  x  1 2 x2  4 x  2 y , TXĐ : D = R\{1}, y '  0,50 x 1 ( x  1)2  x  1 2 Phương trình y’ = 0  2 x2  4x  2  0  x2  2x  1  0   0,50  x  1 2  b) Giao của ( C) với Oy là A(0; –1) 0,25 x0  0, y0  1, k  f (0)  2 0,20 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  2x  1 0,50 3
THPT Trần Phú ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 2 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: x3 x2  5  3 a) lim b) lim x3 x2  2x  3 x2 x2 Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2:  x2  7x  10  khi x  2 . f ( x)   x2 4  a  khi x  2 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 2 3  2 x2  1  a) y  ( x  1)( x  2) b) y     x2  3    Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a, CB = b, mặt bên AABB là hình vuông. Từ C kẻ CH  AB, HK // AB (H  AB, K  AA). a) Chứng minh rằng: BC  CK, AB  (CHK). b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AABB) và (CHK). c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau: 1. Theo chương trình Chuẩn 1  2  22  ...  2n Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim . 1  3  32  ...  3n Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y  sin(sin x) . Tính: y ( ) . b) Cho (C): y  x3  3x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng lập thành một cấp số cộng, với: x  a2  bc , y  b2  ca , z  c2  ab . Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y  x.sin x . Chứng minh rằng: xy  2( y  sin x)  xy  0 . b) Cho (C): y  x3  3x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng d: y =  x  1 . 3 1
--------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) x3 x3 lim  lim 0.50 x3 x2  2x  3 x3 ( x  3)( x  1) 1 1  lim  0.50 x3 x  1 4 b) x2  5  3 ( x  2)( x  2) lim  lim 0.50 x2 x2 x2 ( x  2)  x2  5  3 x2 4 2  lim   0.50 x2 x2  5  36 6 3 2  x2  7x  10  khi x  2 f ( x)   x2 4  a  khi x  2 0,50 2 x  7x  10 ( x  2)( x  5) lim f ( x)  lim  lim  lim( x  5)  3 x 2 x 2 x2 x2 x2 x2 f(2) = 4 – a f ( x ) liên tục tại x = 2  lim f ( x)  f (2)  4  a  3  a  7 0,50 x 2 Kết luận với a = 7 thì hàm số liên tục tại x = 2. 3 a) y  ( x2  1)( x3  2)  y  x5  x3  2x2  2 0,50  y '  5x4  3x2  4x 0,50 b) 4 3  2 x2  1   2 x2  1  14x y   y'  4  0,50  x2  3   x2  3  ( x2  3)2     56x(2x2  1)3  y'  0,50 ( x2  3)5 4 0,25 a) Chứng minh rằng: BC  CK, AB  (CHK). 0,25 BC  AC, BC  AA  BC  (AA CC)  BC  CK AB  A B, KH A ' B  KH  AB ', CH  AB '  AB '  (CHK ) 0,50 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AABB) và (CHK). Có AB '  (CHK ), AB '  ( AA ' B ' B)  ( AA ' B ' B)  (CHK ) 0,50 2
(( AA ' B ' B),(CHK ))  900 0,50 c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK). Ta đã có AB '  (CHK )(cmt ) tại H nên d( A,(CHK ))  AH 0,25 AC  BC(gt ), CC '  AC( gt : lt )  AC  (CC ' B ' B)  AC  CB ' 0,25 AB  AC2  BC2  a2  b2 , AB '  AB 2  2a2  2b2 0,25 Trong ACB’ vuông tại C: CH  AB  AC 2  AH .AB AC 2 a2 a2 0,25  AH    AB ' AB 2 2(a2  b2 ) 5a 2n1  1 2 n 1. 1  2  2  ...  2 2 1  lim  lim 0,50 2 n n1 1  3  3  ...  3 3 1 1. 31 n1  2 2 n1 2.    2.2  2 3 n1 lim  lim   3 0 0,50 n1 1 3 1 1 3n1 6a a) Cho hàm số y  sin(sin x) . Tính: y ( ) . 0,50 y '  cos x.cos(sin x)  y "   sin x.cos(sin x)  cos x.cos x sin(sin x)  y "   sin x.cos(sin x)  cos2 x.sin(sin x)  y "( )  0 0,50 b) Cho (C): y  x3  3x2  2 . 0,25 y  3x2  6x . Giao của ( C) với trục Ox là A(1; 0), B 1  3; 0 ,C 1  3; 0 Tiếp tuyến tại A(1; 0) có hệ số góc là k = –3 nên PTTT: y  3x  3 0,25 Tiếp tuyến tại B 1  3; 0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y  6x  6  6 3 0,25 Tiếp tuyến tại C 1 3; 0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y  6x  6  6 3 0,25 5b CMR nếu ba số a, b, c lập thành CSC thì ba số x, y, z cũng lập thành CSC, với: x  a2  bc , y  b2  ca , z  c2  ab . 0,50 a, b, c là cấp số cộng nên a  c  2b Ta có 2y = 2b2  2ca, x  z  a2  c2  b(a  c)  x  z  (a  c)2  2ac  2b2  4b2  2ac  2b2  2b2  2ac  2y (đpcm) 0,50 6b a) Cho hàm số y  x.sin x . Chứng minh rằng: xy  2( y  sin x)  xy  0 . Ta có y '  sin x  x cos x  y "  cos x  cos x  x sin x  2cos x  y 0,50  xy  2( y  sin x)  xy  xy  2(sin x  x cos x  sin x)  x(2cos x  y) 0,25 0 0,25 b) 1 Cho (C): y  x3  3x2  2 , d: y =  x  1 . 3 0,25 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với d: y =  x  1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 3 3 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. 0,25  y ( x0 )  3  3x0  6 x0  3  0  x0  1  2; x0  1  2 2 Với x0  1  2  y0  2  PTTT : y  3x  4 2  3 0,25 3
Với x0  1  2  y0   2  PTTT : y  3x  4 2  3 0,25 4
THPT Trần Phú ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 3 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: 8x3  1 x3  1  1 a) lim b) lim x 1 6x2  5x  1 x 0 x2  x 2 Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:  x2  x  2  khi x  1 f ( x)   x  1 m  khi x  1 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2  2 x  x2 a) y  b) y  1 2tan x . x2  1 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). a) Chứng minh: (SAB)  (SBC). b) Chứng minh: BD  (SAC). a 6 c) Cho SA = . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD). 3 II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau: 1. Theo chương trình Chuẩn  1 2 n1  Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim    ...  . 2 2  n 1 n 1 n2  1  Câu 6a: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số f ( x)  sin3x . Tính f    .  2 b) Cho hàm số y  x4  x2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 3 . 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân, biết: u1  u3  u5  65  .  u1  u7  325 Câu 6b: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số f ( x)  sin2x  cos2x . Tính f    .  4 b) Cho hàm số y  x4  x2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x  2y  3  0 . 1
--------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1 a) 3 8x  1 2 (2x  1)(4x  2x  1) lim  lim 0,50 1 2 1 (2x  1)(3x  1) x 6x  5x  1 x 2 2 4 x2  2 x  1  lim 6 0,50 x 1 3x  1 2 b) x3  1  1 x3 lim  lim 0,50 x 0 x2  x x 0 x( x  1)  x3  1  1  x2  lim 0 0,50 ( x  1)   1  1 x 0 3 x 2 x  x22  khi x  1 f ( x)   x  1 m  khi x  1 f (1)  m 0,25 2 x  x2 lim f ( x)  lim  lim( x  2)  3 0,50 x 1 x 1 x1 x1 f ( x) liên tục tại x = 1  f (1)  lim f ( x)  m  3 0,25 x1 3 a) 2  2 x  x2 (2x  2)( x2  1)  2 x( x2  2x  2) y  y  0,50 x2  1  x2  1 2 2 x2  6 x  2  y  0,50 ( x2  1)2 b) 1  tan2 x y  1  2tan x  y  1,00 1  2tan x 2
4 0,25 a) Chứng minh: (SAB)  (SBC). 0,50 BC  AB, BC  SA  BC  (SAB) BC  (SBC)  (SBC)  (SAB) 0,25 b) Chứng minh: BD  (SAC) 0,50 BD  AC, BD  SA  BD  (SAC) 0,50 c) a 6 Cho SA = . Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) 3 0,25 Vì SA  ( ABCD )  AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  SC,( ABCD)    SC, AC   SCA 0,25 SA a 6 1 tan SCA      SC,( ABCD )   SCA  300 0,50 AC 3a 2 3 5a  1 2 n 1  Tính giới hạn: I  lim    ...  .  n2  1 n2  1 n2  1   1 2 n  1  1 2  ...  ( n  1) Tính được:    ...   0,50 2 2  n 1 n 1 n2  1  n2  1 (1  n  1)( n  1) n(n  1)   2( n2  1) 2( n2  1) 1 1 n2  n n 1  I  lim 2  lim 0,50 2n  2 2 2 2 2 n 6a a)   Cho hàm số f ( x)  sin3x . Tính f    .  2 0,50 Tìm được f '( x)  3cos3x  f ( x)  9sin3x   3 Tính được f     9sin  9 0,50  2 2 b) Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. x  0 0,25 Giải phương trình x0  x0  3  3  x0 ( x0  1)  0   0 4 2 2 2  x0  1  3
y '  4 x3  2 x 0,25 Với x0  0  k  0  PTTT : y  3 Với x0  1  k  2  PTTT : y  2x  5 0,25 Với x0  1  k  2  pttt : y  2x  1 0,25 5b u1  u3  u5  65  .  u1  u7  325 Gọi số hạng đầu là u1 và công bội là q ta có hệ phương trình: 0,25 u1  u1q2  u1q4  65   6 . Dễ thấy cả u1  0, q  0 u1  u1q   325 1  q6   5  q6  5q4  5q2  4  0 0,25 1  q2  q4 Đặt t  q2  t 3  5t 2  5t  4  0  (q2  4)(q4  q2  1)  0 q  2 0,25   q  2 325 325 Với q  2  u1   5 0,25 1  q6 65 6b a)   Cho hàm số f ( x)  sin2x  cos2x . Tính f    .  4 0,25   Viết được f ( x)  2 sin  2 x    4     f ( x)  2 2 cos 2x    f ( x)  4 2 sin  2x   0,50  4  4     1  f "   4 2   4 0,25  4   2 b) Cho hàm số y  x4  x2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x  2y  3  0 . 0,25 1 3 Vì tiếp tuyến vuông góc với d: y   x   nên tiếp tuyến có hê số góc k = 2 2 2 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm 0,50 y ( x0 )  k  4x0  2x0  2  2x0  x0  1  0  x0  1 3 3  y0  3  PTTT : y  2x  1 0,25 4
THPT Trần Phú ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 4 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: 2  x  x2 7x  1 a) lim b) lim x1 x 1 x3 x  3 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  3 :  x2  5x  6  khi x  3 f ( x)   x  3 2 x  1  khi x  3 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 a) y  x x2  1 b) y  (2x  5)2 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2 . a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. b) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) . 3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) . II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau: 1. Theo chương trình Chuẩn  1 1 1  Câu 5a: (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim    ...  .  1.2 2.3 n(n  1)  Câu 6a: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số f ( x)  x.tan x . Tính f   .  4 x 1 b) Cho hàm số y  có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành x 1 độ x = – 2. 2. Theo chương trình Nâng cao u4  u2  72 Câu 5b: (1,0 điểm) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:  . u5  u3  144 Câu 6b: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số f ( x)  3( x  1) cos x . Tính f   .  2 x 1 b) Cho hàm số y  có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến x 1 x2 song song với d: y  . 2 --------------------Hết------------------- 1
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . Câu Ý Nội dung Điểm 1 a) 2 x  x 2 ( x  1)( x  2) lim  lim 0,50 x1 x 1 x1 x 1  lim( x  2)  3 0,50 x1 b)  lim( x  3)  0  7x  1  x 3  Tính lim . Viết được  lim(7x  1)  20  0 0,75 x3  x3   x 3  x  3  x  3  x  3  0  7x  1  lim   0,25  x 3 x3 2  x2  5x  6  khi x  3 f ( x)   x  3 2 x  1 khi x  3 0,50  lim f ( x)  lim(2x  1)  f (3)  7   x 3 x 3 x2  5x  6 lim f ( x)  lim  lim( x  2)  1 0,25 x 3 x 3 x3  x 3  hàm số không liên tục tại x = 3 0,25 3 a) x 2 y  x x2  1  y '  x2  1  0,50 x2  1 2 x2  1 y'  0,50 x2  1 b) 3 12(2x  5) y  y'  0,50 2 (2x  5) (2x  5)4 12  y'   0,50 (2x  5)3 4 0,25 a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.  SA  AB 0,25 SA  ( ABCD )    các tam giác SAD và SAB đều vuông tại A  SA  AD CD  AD   CD  SD  SDC vuông tại D 0,25 CD  SA  BC  AB   BC  SB  SBC vuông tại B 0,25  BC  SA 2
b) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) .  BD  AC 0,50   BD  ( SAC)  BD  SA BD  (SBD ), BD  (SAC)  (SAC)  (SBD ) 0,50 c) Tính góc giữa SC và mp (SAB) . SA  ( ABCD )  hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC 0,25    (SC,( ABCD ))  (SC, AC)  SCA 0,25 SAC vuông tại A nên , AC = a 2, SA  a 2  gt     SCA  450 0,50 5a 1 1 1 1  1   1 1 1 1  1    ...   1        ...     1 0,50 1.2 2.3 3.4 n  n  1  2   2 3   n n  1 n 1  1 1 1   1  lim    ...    lim  1   1 0,50  1.2 2.3 n(n  1)   n  1 6a a) f ( x)  x.tan x x 0,25 f ( x)  tan x   f ( x)  tan x  x(1  tan2 x)  tan x  x tan2 x  x cos2 x Tìm được f "( x)  1  tan2 x  tan2 x  2x tan x(1  tan2 x)  1 0,25 Rút gọn f "( x)  2(1 tan2 x)(1  x tan x) 0,25     Tình được f "    2(1  1)  1      4 0,25  4  4 b) x 1 Cho hàm số y  (C). Viết PTTT của (C) tại điểm có hoành độ x = – 2. x 1 Tọa độ tiếp điểm x0  2  y0  3 0,25 2 y'   hệ số góc tiếp tuyến là k = f (–2) = 2 0,50 ( x  1)2 Phuơng trình tiếp tuyến là y = 2x +7 0,25 5b u4  u2  72 u1q3  u1q  72  (1) u  u  144   4 2 0,25  5 3 u1q  u1q  144  (2) u1q(q2  1)  72  Dễ thấy u1  0, q  0   2 2 q2 0,50 u1q (q  1)  144   u1  12 0,25 6b a) f ( x)  3( x  1) cos x  f ( x)  3cos x  3( x  1)sinx 0,25 f ( x)  3sin x  3cos x  3( x  1) cos x = 3(sin x  x.cos x  2cos x) 0,50   f "    3 0,25  2 b) x 1 2 y  y  0,25 x 1 ( x  1)2 x2 1 Vì TT song song với d: y  nên TT có hệ số góc là k = 2 2  x  3 0,25 2 1 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  2   ( x0  1)2  4   0 ( x0  1) 2  x0  1  3
Với x0  3  y0  2  PTTT : y  2x  8 0,25 Với x0  1  y0  0  PTTT : y  2 x  2 0,25 4
THPT Trần Phú ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 5 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: x2  4 x  3 2x  1  1 a) lim b) lim x1 2 x2  3x  2 x0 x2  3x Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  2 : 1  2x  3  khi x  2 f ( x)   2  x 1  khi x  2 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2  2 x  x2 a) y  b) y  1 2tan x x2  1 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình (1  m2 ) x5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi m. Câu 6a: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số y  x sin x . Tính y    .  2 b) Cho hàm số y  x4  x2  3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x2 cos x  x sin x  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; ). Câu 6b: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số y  sin4 x  cos4 x . Tính y    . 2 b) Cho hàm số y  x4  x2  3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x  2y  3  0 . 1
--------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . NỘI DUNG ĐIỂM I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: x2  4 x  3 a) lim 0 1,0 x1 2x2  3x  2 2x  1  1 2x 2 2 b) lim  lim  lim  1,0 x 0 2 x  3x x 0 x( x  3)  2x  1  1 x0 ( x  3) 2x  1 3 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  2 : 1  2x  3  khi x  2 f ( x)   2  x 1  khi x  2 2(2  x) 2 lim f ( x)  lim  lim  1= f(2) 0,50 x 2 (2  x) 1  2x  3  x 2 1  2x  3 x 2 Vậy hàm số liên tục tại x = 2 0,50 Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2  2 x  x2 2 x2  6x  2 a) y   y  0,50 x2  1 ( x2  1)2 1  tan2 x b) y  1  2tan x  y  0,50 1  2tan x Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 , SD= a 7 và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. 0,25 a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. SA  AB 0,25 SA   ABCD     các tam giác SAB, SAD vuông tại A SA  AD  BC  AB   BC  SB  SBC vuông tại B 0,25  BC  SA 2
CD  AD   CD  SD  SDC vuông tại D 0,25 CD  SA b) Tính góc hợp bởi các mặt phẳng (SCD) và (ABCD). (SCD )  ( ABCD )  CD 0,50 AD  ( ABCD ), AD  CD , SD  (SCD ), SD  CD AD a 3 21  (SCD ),( ABCD)   SDA; cosSDA    0,50 SD a 7 7 c) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).  AB  SA 0,25   AB  (SAD ), MN AB  MN  (SAD )  AB  AD  ( MND )  (SAD ), ( MND )  (SAD )  DM , SH  DM  SH  ( MND ) 0,25  d(S,( MND ))  SH SA AD a 3 SA2  SD 2  AD 2  7a2  3a2  4a2  MA   a  tan SMH    3 2 AM a 0,25  AMH  600 a 3 SHM : SHM  900  SH  SM .sin SMH  0,25 2 II- Phần riêng (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình (1  m2 ) x5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi m. Gọi f(x) = (1  m2 ) x5  3x  1  f(x) liên tục trên R 0,25 f(0) = –1, f(–1) = m2  1  f ( 1). f (0)  0 0,50  phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0) 0,25 Câu 6a: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số y  x sin x . Tính y    . 2 0,50 y '  sin x  x cos x  y "  cos x  sin x  x sin x     y "    1 0,50  2 2 b) Cho hàm số y  x4  x2  3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. x0  1  y0  3 0,25 y  4 x3  2 x  k  y (1)  2 0,50 Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x2 cos x  x sin x  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; ). Gọi f ( x)  x2 cos x  x sin x  1  f ( x) liên tục trên R 0,25 f (0)  1, f ( )   2  1  0  f (0). f ( )  0 0,50  phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc  0;   0,25 Câu 6b: (2,0 điểm)   a) Cho hàm số y  sin4 x  cos4 x . Tính y    .  2 3
1 3 1 1 1 Viết lại y  1  sin2 2x  y   cos4x  y '  sin 4x  y "  cos4x 0,75 2 4 4 16 64   1 1  y"    cos2  0,25  2  64 64 b) Cho hàm số y  x 4  x2  3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x  2y  3  0 . 1 3 d : y   x   hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 0,25 2 2 y  4x  2x 3 3 3 0,50 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  4x0  2x0  2  2x0  x0  1  0  x0  1  y0  3  phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1 0,25 4
THPT Trần Phú ĐỀ THI HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011 Môn TOÁN Lớp 11 Đề số 6 Thời gian làm bài 90 phút I. Phần chung: (7,0 điểm) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: 2 x2  x  1 x22 a) lim b) lim 2 x 3x  2x x2 x2  4 Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  1: x 1 khi x  1  f ( x)   1  x ²  3x khi x  1  Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau: x2  2 x  3 a) y  sin(cos x) b) y  2x  1 Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Cạnh SA = a và SA  (ABCD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD. a) Chứng minh BC  (SAB), CD  (SAD). b) Chứng minh (AEF)  (SAC). c) Tính tan  với  là góc giữa cạnh SC với (ABCD). II. Phần riêng 1. Theo chương trình Chuẩn Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x5  3x  1  0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (–1; 2). Câu 6a: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y  cos3 x . Tính y . 3x  1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  tại giao điểm của (C) với trục 1 x hoành. 2. Theo chương trình Nâng cao Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x3  4 x2  2  0 có ít nhất hai nghiệm. Câu 6b: (2,0 điểm) a) Cho hàm số y  2x  x2 . Chứng minh rằng: y3y  1  0 . 2x  1 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  tại điểm có tung độ bằng 1. x2 --------------------Hết------------------- Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1