Bài giải thống kê

Chia sẻ: Tran Xuan Hau Hau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

490
lượt xem 260
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về các bài tập môn thống kê. Tài liệu hướng dẫn bạn cách giải rất rõ ràng và dễ hiểu để bạn học tập và kiểm tra.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giải thống kê

BAØI GIAÛI THOÁNG KEÂ . Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: S S (X − zα ; X + zα ), Baøi 1: Ñeå khaûo saùt troïng luôïng X cuûa moät loaïi vaät nuoâi trong noâng traïi, n n ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau: trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta X(kg) 36 42 48 54 60 66 72 ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: Soá con 15 12 25 18 10 10 10 11, 0608 11, 0608 (51, 96 − 2, 06 ; 51, 96 + 2, 06 ) = (49, 68; 54, 24). a) Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa loaïi vaät nuoâi treân vôùi ñoä tin caäy 100 100 96%. Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, troïng löôïng trung bình cuûa moät con b) Vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi naèm trong khoaûng töø 49,68kg ñeán 54,24kg. treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? c) Nhöõng con vaät coù troïng löôïng töø 60kg trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng con b) Vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi “ñaït tieâu chuaån”. Haõy öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? 95%. Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 - α = 95% = 0,95 (α = 0,05). d) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä - Ñeå bieát troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao chính xaùc 10% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu con vaät nöõa? nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho kyø voïng μ = M(X). e) Vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? khoaûng beân traùi cho kyø voïng: S (−∞; X + z2α ), Lôøi giaûi n Ta coù: trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = (1- 2.0,05)/2 = 0,90/2 = 0,45. Tra baûng giaù n = 100; ∑X ni i =5196; ∑X i 2 n i = 282096. trò haøm Laplace ta ñöôïc z2α = 1,65. Suy ra troïng löôïng trung bình toái ña • Kyø voïng maãu cuûa X laø laø: 1 S 11, 0608 X + z2 α = 51, 96 + 1, 65 = 53,7850(kg) . X= n ∑ X in i = 51, 96(kg). n 100 • Phöông sai maãu cuûa X laø: Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi 2 1 treân laø 53,7850kg. S = ∑ X i 2n i − X 2 =(11, 0054)2 (kg 2 ). n - Ñeå bieát troïng löôïng trung bình toái thieåu cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho kyø voïng μ = M(X). n 2 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng S2 = S = (11, 0608)2 (kg 2 ). n −1 khoaûng beân traùi cho kyø voïng: • Tæ leä maãu con ñaït tieâu chuaån laø S (X − z2α ; +∞) , m 30 n Fn = = = 0, 3 n 100 trong ñoù z2α = 1,65. Suy ra troïng löôïng trung bình toái thieåu laø: vì trong n = 100 con coù m = 10 + 10 + 10 = 30 con coù troïng löôïng töø S 11, 0608 X − z2α = 51, 96 − 1, 65 = 50,1350(kg) . 60kg trôû leân, nghóa laø coù 30 con ñaït tieâu chuaån. n 100 Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, troïng löôïng trung bình toái thieåu cuûa loaïi vaät nuoâi a) Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình cuûa loaïi vaät nuoâi treân vôùi ñoä tin caäy treân laø 50,1350kg. 96%. 1 2 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
c) Nhöõng con vaät coù troïng löôïng töø 60kg trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng con Fn (1 − Fn ) (−∞; Fn + z2α ), “ñaït tieâu chuaån”. Haõy öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy n 95%. trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,80/2 = 0,40. Tra baûng giaù trò haøm Laplace Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä ta ñöôïc z2α = 1,28. Suy ra tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån laø: tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : Fn (1 − Fn ) 0, 3(1 − 0, 3) Fn + z2α = 0, 3 + 1, 28 = 0, 3587 . n 100 Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) Vaäy vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi (Fn − zα ; Fn + zα n ), n n treân laø 35,87%. trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta - Ñeå bieát tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån. 0, 3(1 − 0, 3) 0, 3(1 − 0, 3) Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p: (0, 3 − 1, 96 ; 0, 3 + 1, 96 ) = (21, 02%; 38, 98%). 100 100 Fn (1 − Fn ) (Fn − z2α ; +∞) , Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån naèm trong n khoaûng töø 21,02% ñeán 38,98%. trong ñoù z2α = 1,28. Suy ra tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån laø: Fn (1 − Fn ) 0, 3(1 − 0, 3) Fn − z2α = 0, 3 − 1, 28 = 0, 2413. d) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu chuaån vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä n 100 chính xaùc 10% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu con vaät nöõa? Vaäy vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä toái thieåu con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä con ñaït tieâu treân laø 24,13%. chuaån vôùi ñoä chính xaùc ε = 10% = 0,1 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Baøi 2: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm cuûa xí nghieäp I, Fn (1 − Fn ) ngöôøi ta quan saùt moät maãu trong kho vaø coù keát quûa sau: ε = zα , n X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta Soá sphaåm 8 9 20 16 16 13 18 ñöôïc zα = 2,58. Suy ra a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân z2 Fn (1 − Fn ) vôùi ñoä tin caäy 96%. n= α ε2 b) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït ñöôïc Thöïc teá yeâu caàu: ñoä tin caäy laø bao nhieâu? z2 Fn (1 − Fn ) 2, 582.0, 3(1 − 0, 3) c) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin caäy α n≥ = ≈ 139, 7844. ε2 0,12 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa? Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 140. Vì n1 = d) Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø nhöõng 140 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø saûn phaåm loaïi B. Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa 140 -100 = 40 con vaät nöõa. nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 98% (GS X coù phaân phoái chuaån). e) Haõy öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 92%. Baûng soá lieäu e) Vôùi ñoä tin caäy 90%, tæ leä con ñaït tieâu chuaån toái ña cuûa loaïi vaät nuoâi treân ñöôïc choïn ngaãu nhieân töø moät kho trong ñoù coù 1000 saûn phaåm treân laø bao nhieâu? Toái thieåu laø bao nhieâu? loaïi B. Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm trong kho vôùi ñoä tin caäy 92%. Ta coù ñoä tin caäy γ = 1 - α = 90% = 0,90 (α = 0,1). f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng sp loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 6% thì seõ ñaït - Ñeå bieát tæ leä toái ña con ñaït tieâu chuaån cuûa loaïi vaät nuoâi treân laø bao ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? nhieâu ta caàn öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p con ñaït tieâu chuaån. g) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 96% vaø ñoä Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p : chính xaùc 8% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu saûn phaåm nöõa? 3 4 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
h) Giaû söû trong kho ñeå laãn 1000 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II vaø trong 100 Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa saûn phaåm laáy töø kho coù 9 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II. Haõy öôùc löôïng soá chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,8cm. saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho vôùi ñoä tin caäy 82%. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Lôøi giaûi S ε = zα Laäp baûng n trong ñoù ϕ(zα) = γ /2. Suy ra Xi 13 17 21 25 29 33 37 ε n 1, 8. 100 ni 8 9 20 16 16 13 18 zα = = = 2, 41. S 7, 4827 Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø Ta coù: n = 100; ∑ X ini =2636; ∑X i 2 n i =75028. γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 41) = 2.0, 4920 = 98, 40%. Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 98,40%. • Kyø voïng maãu cuûa X laø 1 X= n ∑ X ini = 26, 36(cm). c) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin caäy 99% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa? • Phöông sai maãu cuûa X laø: Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X 2 1 S = n ∑ X i2ni − X 2 =(7, 4452)2 (cm2 ). vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,5cm vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa X laø: S ε = zα , n n 2 S2 = S = (7, 4827)2 (cm2 ). trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta n −1 ñöôïc zα = 2,58. Suy ra 2 ⎛z S⎞ a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân n=⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ vôùi ñoä tin caäy 96%. Thöïc teá yeâu caàu: Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy 2 2 γ = 1- α = 96% = 0,96. ⎛z S⎞ ⎛ 2, 58.7, 4827 ⎞ n≥⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 165, 64. ⎝ ε ⎠ ⎝ 1, 5 ⎠ Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 166. Vì n1 = S S 166 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø (X − zα ; X + zα ) n n 166 – 100 = 66 saûn phaåm nöõa. trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: d) Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø nhöõng 7, 4827 7, 4827 saûn phaåm loaïi B. Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng (26, 36 − 2, 06 ; 26, 36 + 2, 06 ) = (24, 82; 27, 90). 100 100 saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 98% (GS X coù phaân phoái chuaån). Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X naèm Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μB = M(XB) cuûa chæ tieâu trong khoaûng töø 24,82cm ñeán 27,93 cm. X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 98% = 0,98. Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB: b) Neáu öôùc löôïng GTTB cuûa X vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? XBi 13 17 5 6 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
nBi 8 9 loaïi B neân tæ leä maãu saûn phaåm loaïi B laø Fn = 0,17. Vaäy öôùc löôïng khoaûng Töø baûng treân ta tính ñöôïc: laø: 0,17(1 − 0,17) 0,17(1 − 0,17) (0,17 − 1, 75 ; 0,17 + 1, 75 ) = (10, 43%; 23, 57%). nB = 17; ∑ X Bi nBi =257; ∑ X Bi 2 n Bi =3, 953. 100 100 Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 92%, tæ leä saûn phaåm loaïi B naèm trong khoaûng töø 10,43% ñeán 23,57%. • Kyø voïng maãu cuûa XB laø 1 XB = n ∑ X Bi nBi = 15,1176 (cm). Khi trong kho coù 1000 saûn phaåm loaïi B, goïi N laø soá saûn phaåm coù trong kho, ta coù tæ leä saûn phaåm loaïi B laø 1000/N. Theo keát quaû treân, vôùi ñoä tin • Phöông sai maãu cuûa XB laø: caäy 92%, tæ leä caùc saûn phaåm loïai B töø 10,43% ñeán 23,57%, do ñoùù: ˆ2 1 SB = ∑ X Bi2n Bi − X B 2 =(1, 9965)2 (cm 2 ). 1000 10,43 1000 23,57 n 10,43% ≤ ≤ 23,57% ⇔ ≤ ≤ N 100 N 100 • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XB laø: 100.1000 100.1000 ⇔ ≤N≤ 23,57 10, 430 nB 2 ⇔ 4242, 68 ≤ N ≤ 9587,73 SB 2 = SB = (2, 0580) 2 (cm 2 ). nB − 1 ⇔ 4243 ≤ N ≤ 9587 Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σ2B= D(XB) chöa bieát, neân ta coù coâng Vaäy vôùi ñoä tin caäy 92%, ta öôùc löôïng trong kho coù töø 4243 ñeán 9587 saûn thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: phaåm. SB k S ( X B − tα k ; X B + tα B ) , nB nB f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng sp loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 6% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? trong ñoù tα ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nB–1=16 k Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi löôïng tæ leä caùc saûn vaø α = 1 - γ = 1 – 0,98 = 0,02. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc ε = 6% = 0,06. Ta coù coâng thöùc tính ñoä t α = 2, 583 . Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: k chính xaùc cuûa öôùc löôïng: 2, 0580 2, 0580 Fn (1 − Fn ) (15,1176 − 2, 583 ; 15,1176 + 2, 583 ) = (13, 83; 16, 41). ε = zα , 17 17 n Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 98%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa trong ñoù ϕ(zα) = γ /2. Suy ra: nhöõng saûn phaåm loaïi B naèm trong khoaûng töø 13,83cm ñeán 16,41cm. n 100 zα = ε = 0, 06. = 1, 60. Fn (1 − Fn ) 0,17(1 − 0,17) e) Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 92%. Baûng Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø soá lieäu treân ñöôïc choïn ngaãu nhieân töø moät kho trong ñoù coù 1000 saûn phaåm γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 60) = 2.0, 4452 = 89, 04%. loaïi B. Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm trong kho vôùi ñoä tin caäy 92%. Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi B vôùi g) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 96% vaø ñoä ñoä tin caäy γ = 1- α = 92% = 0,92. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : chính xaùc 8% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu saûn phaåm nöõa? Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä caùc saûn phaåm loaïi Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) (Fn − zα ; Fn + zα n ), B vôùi ñoä chính xaùc ε = 8% = 0,08 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96. Ta n n coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,92/2 = 0,46. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 1,75. Maët khaùc, trong n =100 saûn phaåm coù m = 17 saûn phaåm Fn (1 − Fn ) ε = zα , n 7 8 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta N N 87,17% ≤ ≤ 94,83% ⇔ 87,17% ≤ ≤ 94,83% ñöôïc zα = 2,06. Suy ra N + 1000 N + 1000 z2 Fn (1 − Fn ) 1000 n= α ⇔ 87,17% ≤ 1 − ≤ 94,83% N + 1000 ε2 1000 Thöïc teá yeâu caàu: ⇔ 5,17% ≤ ≤ 12, 83% N + 1000 1000 1000 z2 Fn (1 − Fn ) 2, 062.0,17(1 − 0,17) ⇔ -1000 ≤ N ≤ -1000 n≥ α = ≈ 93, 56. 12, 83% 5,17% ε2 0, 082 ⇔ 6794, 23 ≤ N ≤ 18342, 36 Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 94. Vì n1 = ⇔ 6795 ≤ N ≤ 18342 94 < 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta khoâng caàn ñieàu tra theâm saûn phaåm nöõa. Vaäy vôùi ñoä tin caäy 82%, ta öôùc löôïng soá saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho naèm trong khoaûng töø 6795 ñeán 18342. h) Giaû söû trong kho ñeå laãn 1000 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II vaø trong 100 saûn phaåm laáy töø kho coù 9 saûn phaåm cuûa xí nghieäp II. Haõy öôùc löôïng soá Baøi 3: Ñeå khaûo saùt chieàu cao X cuûa moät gioáng caây troàng, ngöôøi ta quan saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho vôùi ñoä tin caäy 82%. saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau: Tröôùc heát ta öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho vôùi ñoä tin caäy 82%. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 Soá caây 10 10 15 30 10 10 15 Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) (Fn − zα ; Fn + zα n ) n n a) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,82/2 = 0,41. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta caäy 96%. ñöôïc zα = 1,34. Maët khaùc, theo giaû thieát, trong n =100 saûn phaåm coù 9 b) Neáu muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi saûn phaåm cuûa xí nghieäp II töùc laø coù 91 saûn phaåm cuûa xí nghieäp I, neân tæ ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 4 cm thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao leä maãu saûn phaåm cuûa xí nghieäp I laø Fn = 91/100 = 0,91. Vaäy öôùc löôïng nhieâu caây nöõa? khoaûng laø: c) Neáu öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä 0, 91(1 − 0, 91) 0, 91(1 − 0, 91) chính xaùc 4,58cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? (0, 91 − 1, 34 ; 0, 91 + 1, 34 ) = (87,17%; 94, 83%). 100 100 d) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 92%, tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I naèm “cao”. Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng caây “cao”vôùi ñoä tin caäy 95%. trong khoaûng töø 87,17% ñeán 94,83%. e) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä chính xaùc 10% thì Baây giôø goïi N laø soá saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho. Khi ñoù: seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? - Toång soá saûn phaåm coù trong kho laø N + 1000ø. f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä tin caäy 95% vaø ñoä - Tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho laø N/(N+1000). chính xaùc 11% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu caây nöõa? Theo keát quaû treân, vôùi ñoä tin caäy 82%, tæ leä saûn phaåm cuûa xí nghieäp I coù trong kho naèm trong khoaûng töø 87,17% ñeán 94,83%, do ñoùù: Lôøi giaûi Ta coù: n = 100; ∑X n i i =13100; ∑X i 2 ni =1749000. 1 • Kyø voïng maãu cuûa X laø X = n ∑ X ini = 131(cm). • Phöông sai maãu cuûa X laø: 9 10 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
ˆ2 1 Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 139. Vì n1 = S = ∑ X 2n i − X 2 =(18,1384)2 (cm 2 ). i n 139 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: 139 – 100 = 39 caây nöõa. n ˆ2 S2 = S = (18, 2297)2 (cm 2 ). n −1 c) Neáu öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä chính xaùc 4,58cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? a) Öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa caäy 96%. chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 4,58cm. Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc γ = 1- α = 96% = 0,96. cuûa öôùc löôïng: Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng S cho kyø voïng: ε = zα , n S S (X − zα ; X + zα ), trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra n n trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ε n 4, 58. 100 zα = = = 2, 5123. ñöôïc zα = 2,06. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: S 18, 2297 Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø 18, 2297 18, 2297 γ = 2ϕ(zγ ) = 2ϕ(2, 5123) = 2ϕ(2, 52) = 2.0, 4941 = 98, 82%. (131 − 2, 06 ; 131 + 2, 06 ) = (127, 2447; 134, 7553). 100 100 d) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 96%, chieàu cao trung bình cuûa moät caây naèm “cao”. Haõy öôùc löôïng tæ leä nhöõng caây “cao”vôùi ñoä tin caäy 95%. trong khoaûng töø 127,2447cm ñeán 134,7553cm. Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc caây cao vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : b) Neáu muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây troàng treân vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 4cm thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu Fn (1 − Fn ) Fn (1 − Fn ) (Fn − zα ; Fn + zα ), caây nöõa? n n Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta vôùi ñoä chính xaùc ε = 4cm vaø ñoä tin caäy γ = 99% = 0,99. ñöôïc zα = 1,96. Trong n = 100 caây coù m = 10 + 10 + 15 = 35 caây coù Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc chieàu cao töø 135cm trôû leân neân tæ leä maãu caùc caây cao laø Fn = 35/100 = cuûa öôùc löôïng: 0,35. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: S ε = zα , n 0, 35(1 − 0, 35) 0, 35(1 − 0, 35) trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta (0, 35 − 1, 96 ; 0, 35 + 1, 96 ) = (25, 65%; 44, 35%). 100 100 ñöôïc zα = 2,58. Suy ra Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä caây cao naèm trong khoaûng töø 2 ⎛z S⎞ 25,65% ñeán 44,35%. n=⎜ α ⎟ . ⎝ ε ⎠ Thöïc teá yeâu caàu: e) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä chính xaùc 10% thì seõ 2 2 ⎛z S⎞ ⎛ 2, 58.18, 2297 ⎞ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? n≥⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 138, 254. ⎝ ε ⎠ ⎝ 4 ⎠ Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy khi löôïng tæ leä caây cao vôùi ñoä chính xaùc ε = 10% = 0,1. Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: 11 12 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Fn (1 − Fn ) Goïi X(kg) laø nhu caàu cuûa moät hoä veà loaïi haøng treân trong moät thaùng. Ta coù: ε = zα , n trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 . Ta coù tæ leä maãu caây cao laø: Fn = 0,35. Suy ra Xi 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 n 100 ni 10 35 86 132 78 31 18 10 zα = ε = 0,1. = 2, 0966. Fn (1 − Fn ) 0, 35(1 − 0, 35) Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø n = 400; ∑X ni i =1448; ∑X i 2 n i = 6076. γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 0966) = 2ϕ(2,1) = 2.0, 4821 = 96, 42%. 1 • Kyø voïng maãu cuûa X laø X = n ∑ X in i = 3, 62. f) Neáu öôùc löôïng tæ leä nhöõng nhöõng caây “cao” vôùi ñoä tin caäy 95% vaø ñoä • Phöông sai maãu cuûa X laø: 2 1 chính xaùc 11% thì caàn phaûi ñieàu tra theâm bao nhieâu caây nöõa? S = n ∑ X 2ni − X 2 =(1, 4442)2 . i Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä caây cao vôùi ñoä • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: chính xaùc ε = 11% = 0,11 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. n 2 Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: S2 = S = (1, 4460)2 . n −1 Fn (1 − Fn ) a) Öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc trong ε = zα , n moät naêm vôùi ñoä tin caäy 95%. trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta Tröôùc heát ta öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa moät ñöôïc zα = 1,96. Suy ra hoä trong khu vöïc trong moät thaùng vôùi ñoä tin caäy 95%. 2 zα Fn (1 − Fn ) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy n= . ε2 γ = 1- α = 95% = 0,95. Thöïc teá yeâu caàu: Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng z2 Fn (1 − Fn ) 1, 962.0, 35(1 − 0, 35) cho kyø voïng: n≥ α = ≈ 72, 23. ε2 0,112 (X − zα S ; X + zα S ), Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 73. Vì n1 = n n 73 < 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta khoâng caàn ñieàu tra theâm caây trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta naøo nöõa. ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: 1, 4460 1, 4460 (3, 62 − 1, 96 ; 3, 62 + 1, 96 ) = (3, 4783; 3, 7617). Baøi 4: Ñeå nghieân cöùu nhu caàu cuûa moät loaïi haøng ôû moät khu vöïc, ngöôøi ta 400 400 khaûo saùt 400 hoä gia ñình. Keát quaû nhö sau: Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy Nhu caàu (kg/thaùng/hoä) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 cuûa moät hoä trong khu vöïc trong moät thaùng naèm trong khoaûng töø Soá hoä 10 35 86 132 78 31 18 10 3,4783kg ñeán 3,7617kg. Xeùt 4000 hoä trong moät naêm 12 thaùng, ta coù caùc Cho bieát trong khu vöïc coù 4000 hoä. nhu caàu töông öùng laø: a) Öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc trong 3,4783×4000×12 = 166958,4kg = 166,9584taán; moät naêm vôùi ñoä tin caäy 95%. 3,7617×4000×12 = 180561,6kg = 180,5616taán. b) Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc Keát luaän: Vôùi ñoä tin caäy 95%, nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa trong moät naêm, neáu ta muoán ñaït ñöôïc ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø toaøn khu vöïc trong moät naêm naèm trong khoaûng töø 166,9584taán ñeán 4,8taán thì caàn khaûo saùt ôû ít nhaát bao nhieâu hoä gia ñình? 180,5616taán. Lôøi giaûi 13 14 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
b) Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc Fn = m/n = 80/400 = 0,2. trong moät naêm, neáu ta muoán ñaït ñöôïc ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø 4,8taán thì caàn khaûo saùt ôû ít nhaát bao nhieâu hoä gia ñình? a) Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy öôùc löôïng soá caù coù trong hoà. Tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi Khi öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa toaøn khu vöïc ñoä tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95. trong moät naêm vôùi ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc laø 4,8 taán= 4800kg, Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng: nghóa laø ta öôùc löôïng nhu caàu trung bình veà maët haøng naøy cuûa moät hoä Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) (Fn − zα ; Fn + zα n ), trong moät thaùng vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 0,99 vaø ñoä chính xaùc ε = n n 4800/(4000×12) = 0,1kg. Nhö vaäy, ta ñöa veà baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu trong ñoù ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng giaù trò haøm khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 0,1 vaø ñoä tin Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: caäy γ = 1- α = 99% = 0,99. 0, 2(1 − 0, 2) 0, 2(1 − 0, 2) (0, 2 − 1, 96 ; 0, 2 + 1, 96 ) = (16, 08%; 23, 92%) Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc 400 400 cuûa öôùc löôïng: Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 95%, tæ leä con ñöôïc ñaùnh daáu naèm trong khoaûng S töø 16,08% ñeán 23,92%, do ñoùù: ε = zα , n trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta 2000 2000 2000 16,08% ≤ ≤ 23,92% ⇔ ≤N≤ ñöôïc zα = 2,58. Suy ra N 23, 92% 16, 08% 2 ⎛z S⎞ ⇔ 8361,20 ≤ N ≤ 12437,81 n=⎜ α ⎟ . ⎝ ε ⎠ ⇔ 8362 ≤ N ≤ 12437 Thöïc teá yeâu caàu: Vaäy vôùi ñoä tin caäy 95%, ta öôùc löôïng soá caù coù trong hoà khoaûng töø 8362 2 2 ⎛z S⎞ ⎛ 2, 58 × 1, 4460 ⎞ ñeán 12437 con. n≥⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 1391, 8. ⎝ ε ⎠ ⎝ 0,1 ⎠ b) Öôùc löôïng soá caù toái ña coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 96%. Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 1392. Vaäy Soá caù toái ña coù trong hoà töôg öùng vôùi giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä con ñöôïc caàn khaûo saùt ít nhaát laø 1392 hoä gia ñình. ñaùnh daáu. Do ñoù tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng beân phaûi cho tæ leä p caùc con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96 (α = 0,04). Baøi 5: Ñeå bieát soá löôïng caù trong hoà lôùn ngöôøi ta baét leân 2000 con ñaùnh Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân phaûi: daáu xong roài thaû chuùng xuoáng hoà. Sau ñoù ngöôøi ta baét leân 400 con vaø thaáy coù 80 con ñöôïc ñaùnh daáu. Fn (1 − Fn ) (Fn − z2α ; +∞) a) Vôùi ñoä tin caäy 95%, haõy öôùc löôïng soá caù coù trong hoà. n b) Öôùc löôïng soá caù toái ña coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 96%. trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ /2 = 0,92/2 = 0,46. Tra baûng giaù trò haøm c) Öôùc löôïng soá caù toái thieåu coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 94%. Laplace ta ñöôïc z2α = 1,75. Suy ra giaù trò toái thieåu cuûa tæ leä con ñöôïc ñaùnh daáu laø: Lôøi giaûi Fn − z2α Fn (1 − Fn ) = 0, 2 − 1,75 0, 2(1 − 0, 2) = 0,165. n 400 Goïi N laø soá caù coù trong hoà. Khi ñoù tæ leä caù ñöôïc ñaùnh daáu coù trong hoà Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 96%, ta coù laø p = 2000/N. 2000 2000 ≥ 0,165 ⇔ N ≤ = 12121, 2 N 0,165 Vôùi maãu thu ñöôïc, ta coù: • Côõ maãu n = 400. Vaäy vôùi ñoä tin caäy 96%, soá caù toái ña coù trong hoà laø 12121. • Soá con ñöôïc ñaùnh daáu trong maãu laø: m = 80. c) Öôùc löôïng soá caù toái thieåu coù trong hoà vôùi ñoä tin caäy 94%. • Tæ leä maãu con ñöôïc ñaùnh daáu laø: 15 16 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Soá caù toái thieåu coù trong hoà töôg öùng vôùi giaù trò toái ña cuûa tæ leä con ñöôïc Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z|= 0,1146 < 1,96 = zα neân ta chaáp nhaän ñaùnh daáu. Do ñoù tröôùc heát ta öôùc löôïng khoaûng beân traùi cho tæ leä p caùc giaû thieát H0: μ = 6. con ñöôïc ñaùnh daáu vôùi ñoä tin caäy γ = 1- α = 94% = 0,94 (α = 0,06). Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, tình hình saûn xuaát ñöôïc xem laø bình Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng beân traùi: thöôøng. Fn (1 − Fn ) (−∞; Fn + z2α ), n Baøi 7: Troïng löôïng cuûa moät saûn phaåm coù phaân phoái chuaån vôùi troïng trong ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ/2 = 0,88/2 = 0,44. Tra baûng giaù trò haøm löôïng trung bình laø 500g. Sau moät thôøi gian saûn xuaát, ngöôøi ta nghi ngôø Laplace ta ñöôïc z2α = 1,56. Suy ra giaù trò toái ña cuûa tæ leä con ñöôïc ñaùnh troïng löôïng trung bình cuûa loaïi saûn phaåm naøy coù xu höôùng giaûm neân tieán daáu laø: haønh kieåm tra 25 saûn phaåm vaø thu ñöôïc keát quaû sau: Fn (1 − Fn ) 0, 2(1 − 0, 2) Troïng löôïng (g) 480 485 490 495 500 510 Fn + z2α = 0, 2 + 1, 56 = 0, 2312. n 400 Soá saûn phaåm 2 3 8 5 3 4 Nhö vaäy, vôùi ñoä tin caäy 94%, ta coù Vôùi möùc yù nghóa 3%, haõy keát luaän ñieàu nghi ngôø treân coù ñuùng hay khoâng. 2000 2000 ≤ 0,2312 ⇔ N ≥ = 8650,5 N 0, 2312 Lôøi giaûi Vaäy vôùi ñoä tin caäy 94%, soá caù toái thieåu coù trong hoà laø 8651. Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù Baøi 6: Troïng löôïng cuûa moät saûn phaåm theo qui ñònh laø 6kg. Sau moät thôøi nghóa α = 3% = 0,03: gian saûn xuaát, ngöôøi ta tieán haønh kieåm tra 121 saûn phaåm vaø tính ñöôïc H0: μ = 500 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ < 500. trung bình maãu laø 5,975kg vaø phöông sai maãu hieäu chænh 5,7596kg2. Saûn Ta coù: xuaát ñöôïc xem laø bình thöôøng neáu caùc saûn phaåm coù troïng löôïng trung Xi 480 485 490 495 500 510 bình baèng troïng löôïng qui ñònh. Vôùi möùc yù nghóa 5%, haõy keát luaän veà ni 2 3 8 5 3 4 tình hình saûn xuaát. Lôøi giaûi n = 25; ∑X n i i =12350; ∑X i 2 n i = 6102800. • Kyø voïng maãu cuûa X laø Goïi X laø troïng löôïng cuûa moät saûn phaåm. Giaû thieát cho ta: 1 • Côõ maãu n = 121. X= n ∑ X in i = 494(g). • Kyø voïng maãu cuûa X laø X = 5,975 (kg) . • Phöông sai maãu cuûa X laø: 2 • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø S = 5,7596(kg ). 2 2 1 • Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa X laø S = 2,3999(kg). S = n ∑ X i2ni − X 2 =(8, 7178)2 (g 2 ). Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: n 2 nghóa α = 5% = 0,05: S2 = S = (8, 8976) 2 (g 2 ). n −1 H0: μ = 6 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 6. Vì n < 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 1: Ta coù Böôùc 1: Ta coù (X − μ 0 ) n (494 − 500) 25 (X − μ 0 ) n (5, 975 − 6) 121 z= = = −3, 3717. z= = = −0.1146. S 8, 8976 S 2, 3999 Böôùc 2: Ñaët k = n - 1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû 24 vaø 2α = 0,06 ta ñöôïc t 2α = 1,974. ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta ñöôïc zα = 1,96. Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì -z = 3,3717 > 1,974 = t 2α neân ta baùc boû giaû thieát H0: μ = 500, nghóa laø chaáp nhaän H1: μ < 500. 17 18 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 3%, ñieàu nghi ngôø troïng löôïng trung bình Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, phöông phaùp kyõ thuaät môùi laøm taêng cuûa loaïi saûn phaåm naøy coù xu höôùng giaûm laø ñuùng. naêng suaát luùa trung bình cuûa vuøng naøy. Baøi 8: Naêng suaát luùa trung bình cuûa nhöõng vuï tröôùc laø 5,5taán/ha. Vuï luùa Baøi 11: Moät maùy saûn xuaát töï ñoäng, luùc ñaàu tæ leä saûn phaåm loaïi A laø 45%. naêm nay ngöôøi ta aùp duïng moät phöông phaùp kyõ thuaät môùi cho toaøn boä Sau khi aùp duïng moät phöông phaùp saûn xuaát môùi, ngöôøi ta laáy ra 400 saûn dieän tích troàng luùa trong vuøng. Ñieàu tra naêng suaát 100ha luùa, ta coù baûng phaåm ñeå kieåm tra thì thaáy coù 215 saûn phaåm loaïi A. Vôùi möùc yù nghóa 5%, soá lieäu sau: haõy keát luaän xem phöông phaùp môùi coù thöïc söï laøm taêng tæ leä saûn phaåm Naêngsuaát (taï/ha) 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 loaïi A hay khoâng? Dieän tích (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 Vôùi möùc yù nghóa 1%, haõy keát luaän xem phöông phaùp kyõ thuaät môùi coù laøm Lôøi giaûi taêng naêng suaát luùa trung bình cuûa vuøng naøy hay khoâng? Töø giaû thieát ta suy ra: • Côõ maãu n = 400. Lôøi giaûi • Soá saûn phaåm loaïi A coù trong maãu laø m = 215. • Tæ leä maãu saûn phaåm loaïi A laø Fn = m/n = 215/400 = 0,5375. Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù Ta ñöa baøi toaùn veà baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc saûn nghóa α = 1% = 0,01: phaåm loaïi A vôùi möùc yù nghóa α = 5% = 0,05: H0: μ = 55 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ > 55. H0: p = 45% = 0,45 vôùi giaû thieát ñoái H1: p > 0,45. (5,5taán = 55taï). Ta kieåm ñònh nhö sau: Ta coù: Böôùc 1: Ta coù Xi 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 (F − p 0 ) n (0, 5375 − 0, 45) 400 ni 7 12 18 27 20 8 5 3 z= n = = 3,5176. p0 (1 − p0 ) 0, 45(1 − 0, 45) Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû n = 100; ∑X n i i =5750; ∑X i 2 n i =337475. ϕ(z2α) = (1 - 2α)/2 = 0,90/2 = 0,45 • Kyø voïng maãu cuûa X laø 1 ta ñöôïc z2α = 1,65. X = ∑ X in i = 57, 5(taï ). Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 3,5176 > 1,65= z2α neân ta baùc boû giaû thieát n • Phöông sai maãu cuûa X laø: H0: p = 0,45, nghóa laø chaáp nhaän H1: p > 0,45. 2 1 Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, phöông phaùp môùi thöïc söï laøm taêng tæ leä S = ∑ X i 2n i − X 2 =(8, 2765)2 (taï 2 ). saûn phaåm loaïi A. n • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: n 2 Baøi 13: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt S2 = S = (8, 3182)2 (taï 2 ). n −1 moät maãu vaø coù keát quûa sau: Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 1: Ta coù X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 (X − μ 0 ) n (57, 5 − 55) 100 Soásaûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 z= = = 3, 0055. S 8, 3182 Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm z2α thoaû Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19cm trôû xuoáng ñöôïc goïi laø nhöõng saûn ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 phaåm loaïi B. ta ñöôïc z2α = 2,33. a) Giaû söû trung bình tieâu chuaån cuûa chæ tieâu X laø 29cm. Haõy cho nhaän Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì z = 3,0055 > 2,33 = z2α neân ta baùc boû giaû thieát xeùt veà tình hình saûn xuaát vôùi möùc yù nghóa 2%. H0: μ = 55, nghóa laø chaáp nhaän H1: μ > 55. 19 20 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
b) Baèng phöông phaùp saûn xuaát môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy giaù b) Baèng phöông phaùp saûn xuaát môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B laø 16cm. Haõy trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B laø 16cm. Haõy cho keát luaän veà phöông phaùp saûn xuaát môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X cho keát luaän veà phöông phaùp saûn xuaát môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X coù phaân phoái chuaån). coù phaân phoái chuaån). c) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng tæ leä nhöõng saûn phaåm loaïi B laø 12%. Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μB = M(XB) cuûa chæ tieâu Haõy nhaän ñònh veà taøi lieäu naøy vôùi möùc yù nghóa 5%. X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi möùc yù nghóa α = 1% = 0,01: H0: μB = 16 vôùi giaû thieát ñoái H1: μB ≠ 16. Lôøi giaûi Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB: Laäp baûng: XBi 13 17 Xi 13 17 21 25 29 33 37 nBi 8 9 Töø baûng treân ta tính ñöôïc: ni 8 9 20 16 16 13 18 Ta coù: nB = 17; ∑ X Bi nBi =257; ∑ X Bi 2 n Bi =3, 953. n = 100; ∑ X ini =2636; ∑X i 2 n i =75028. • Kyø voïng maãu cuûa XB laø 1 • Kyø voïng maãu cuûa X laø XB = n ∑ X Bi nBi = 15,1176 (cm). 1 • Phöông sai maãu cuûa XB laø: X= n ∑ X in i = 26, 36(cm). 2 1 • Phöông sai maãu cuûa X laø: SB = n ∑ X Bi2nBi − X B2 =(1, 9965)2 (cm 2 ). 2 1 S = ∑ X i2ni − X 2 =(7, 4452)2 (cm2 ). • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XB laø: n nB 2 • Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa X laø: SB 2 = SB = (2, 0580) 2 (cm 2 ). nB − 1 n 2 S2 = S = (7, 4827)2 (cm2 ). Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σ2B = D(XB) chöa bieát, neân ta kieåm n −1 a) Giaû söû trung bình tieâu chuaån cuûa chæ tieâu X laø 29cm. Haõy cho nhaän ñònh nhö sau: xeùt veà tình hình saûn xuaát vôùi möùc yù nghóa 2%. Böôùc 1: Ta coù Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù (X B − μ 0 ) n B (15,1176 − 16) 17 z= = = −1,7678. nghóa α = 2% = 0,02: SB 2, 0580 H0: μ = 29 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 29. Böôùc 2: Ñaët k = nB -1 = 16. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = Vì n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: 16 vaø α = 0,01 ta ñöôïc t α = 2,921. Böôùc 1: Ta coù Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 1,7678 < 2,921= t α neân ta chaáp nhaän giaû (X − μ 0 ) n (26, 36 − 29) 100 thieát H0: μB = 16. z= = = −3, 5281. Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 2%, phöông phaùp môùi khoâng coù taùc duïng S 7, 4827 laøm thay ñoåi giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu XB cuûa caùc saûn phaåm loaïi B. Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,98/2 = 0,49 c) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng tæ leä saûn phaåm loaïi B laø 12%. Haõy ta ñöôïc zα = 2,33. nhaän ñònh veà taøi lieäu naøy vôùi möùc yù nghóa 5%. Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z|= 3,5281 > 2,33 = zα neân ta baùc boû giaû thieát Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi B H0: μ=29, nghóa laø chaáp nhaän H1: μ ≠ 29. vôùi möùc yù nghóa α = 5% = 0,05: Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, tình hình saûn xuaát khoâng bình thöôøng H0: p = 12% = 0,12 vôùi giaû thieát ñoái H1: p ≠ 0,12. vì giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X khoâng ñuùng tieâu chuaån. Ta coù qui taéc kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 1: Ta coù 21 22 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
(Fn − p0 ) n (0,17 − 0,12) 100 n 2 z= = = 1, 5386. S2 = S = (18, 2297)2 (cm 2 ). p 0q 0 0,12(1 − 0,12) n −1 a) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû troàng treân laø 127cm. Haõy cho keát luaän veà taøi lieäu ñoù vôùi möùc yù nghóa ϕ(zα) = (1- α)/2 = 0,95/2 = 0,475 1%. ta ñöôïc zα = 1,96. Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μ = M(X) vôùi möùc yù Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 1,5386 < 1,96 = zα neân ta chaáp nhaän giaû nghóa α = 1% = 0,01: thieát H0: p = 0,12. H0: μ = 127 vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ 127 Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, taøi lieäu cuõ veà tæ leä saûn phaåm loaïi B coøn Vì n ≥ 30; σ2 chöa bieát, neân ta coù qui taéc kieåm ñònh nhö sau: phuø hôïp. Böôùc 1: Ta coù (X − μ 0 ) n (131 − 127) 100 Baøi 14: Ñeå khaûo saùt chieàu cao X cuûa moät gioáng caây troàng, ngöôøi ta quan z= = = 2,1942. saùt moät maãu vaø coù keát quûa sau: S 18, 2297 X(cm) 95-105 105-115 115-125 125-135 135-145 145-155 155-165 Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû Soá caây 10 10 15 30 10 10 15 ϕ(zα) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta ñöôïc zα = 2,58. a) Moät taøi lieäu thoáng keâ cuõ cho raèng chieàu cao trung bình cuûa gioáng caây Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 2,1942 < 2,58 = zα neân ta chaáp nhaän troàng treân laø 127cm. Haõy cho keát luaän veà taøi lieäu ñoù vôùi möùc yù nghóa 1%. H0: μ = 127. b) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, taøi lieäu cuõ veà chieàu cao trung bình cuûa “cao”. Tröôùc ñaây, tæ leä nhöõng caây “cao” cuûa loaïi caây troàng treân laø 40%. Caùc gioáng caây troàng treân coøn phuø hôïp vôùi thöïc teá. soá lieäu treân thu thaäp ñöôïc sau khi ñaõ aùp duïng moät kyõ thuaät môùi. Haõy cho keát luaän veà kyõ thuaät môùi vôùi möùc yù nghóa 5%. b) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 135cm trôû leân ñöôïc goïi laø nhöõng caây c) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 105cm ñeán 125cm ñöôïc goïi laø nhöõng “cao”. Tröôùc ñaây, tæ leä nhöõng caây “cao” cuûa loaïi caây troàng treân laø 40%. caây loaïi A. Baèng phöông phaùp môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy Caùc soá lieäu treân thu thaäp ñöôïc sau khi ñaõ aùp duïng moät kyõ thuaät môùi. chieàu cao trung bình cuûa nhöõng caây loaïi A laø 119,5cm. Haõy cho keát luaän Haõy cho keát luaän veà kyõ thuaät môùi vôùi möùc yù nghóa 5%. veà phöông phaùp môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X coù phaân phoái chuaån). Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà tæ leä p caùc caây cao vôùi möùc yù nghóa α = 5% = 0,05: Lôøi giaûi H0: p = 40% = 0,4 vôùi giaû thieát ñoái H1: p ≠ 0,4 Ta coù qui taéc kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 1: Ta coù Xi 100 110 120 130 140 150 160 (Fn − p 0 ) n (0, 35 − 0, 4) 100 ni 10 10 15 30 10 10 15 z= = = −1, 0206. Ta coù: p 0q 0 0, 4(1 − 0, 4) n = 100; ∑ X in i =13100; ∑X i 2 n i =1749000. Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû • Kyø voïng maãu cuûa X laø ϕ( zα) = (1 - α)/2 = 0,95/2 = 0,475 1 ta ñöôïc zα = 1,96. X= n ∑ X ini = 131(cm). Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì|z| = 1,0206 < 1,96 = zα neân ta chaáp nhaän giaû • Phöông sai maãu cuûa X laø: thieát H0: p = 0,4. 2 1 Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 5%, phöông phaùp môùi khoâng coù taùc duïng S = n ∑ X i2ni − X 2 =(18,1384)2 (cm2 ). laøm thay ñoåi tæ leä caùc caây cao. • Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø: 23 24 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
c) Nhöõng caây troàng coù chieàu cao töø 105cm ñeán 125cm ñöôïc goïi laø nhöõng caây loaïi A. Baèng phöông phaùp môùi, sau moät thôøi gian ngöôøi ta thaáy chieàu cao trung bình cuûa nhöõng caây loaïi A laø 119,5cm. Haõy cho keát luaän veà phöông phaùp môùi vôùi möùc yù nghóa 1% (GS X coù phaân phoái chuaån). Ñaây laø baøi toaùn kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng μA = M(XA) cuûa chieàu cao X = XA cuûa caùc caây loaïi A vôùi möùc yù nghóa α = 1% = 0,01: H0: μA = 119,5 vôùi giaû thieát ñoái H1: μA ≠ 119,5. Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XA: XAi 110 120 NAi 10 15 Töø baûng treân ta tính ñöôïc: n A = 25; ∑X Ai n Ai =2900; ∑X Ai 2 n Ai =337000. - Kyø voïng maãu cuûa XA laø 1 XA = n ∑ X Ain Ai = 116(cm). - Phöông sai maãu cuûa XA laø: 2 1 SA = n ∑ X Ai2n Ai − X A 2 =(4, 8990)2 (cm2 ). - Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa XA laø: nA 2 SA 2 = S A = 52 (cm 2 ). nA − 1 Vì nA = 25 < 30, XA coù phaân phoái chuaån, σ2A= D(XA) chöa bieát, neân ta kieåm ñònh nhö sau: Böôùc 1: Ta coù (X A − μ0 ) n A (116 − 119, 5) 25 z= = = −3, 5. SA 5 Böôùc 2: Ñaët k = nA - 1 = 24. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = k 24 vaø α = 0,01 ta ñöôïc t α = t α = 2,797. Böôùc 3: Kieåm ñònh. Vì |z| = 3,5 > 2,797 = t α neân ta baùc boû giaû thieát H0: μA = 119,5, nghóa laø chaáp nhaän H1: μA ≠ 119,5. Cuï theå, ta nhaän ñònh μA < 119,5 (vì X A = 116 < 119, 5 ). Keát luaän: Vôùi möùc yù nghóa 1%, phöông phaùp môùi coù taùc duïng laøm thay ñoåi chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi A, theo höôùng laøm taêng chieàu cao trung bình cuûa caùc caây loaïi naøy. ------------------------------------------------------------------ 25 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com